第三章 --第三讲--同坡屋顶的画法及本章重点难点解析

例3 试判断两平面是否平行
a
f
s
b
n
r
e
m
c
X
d
c m
n a d
O e
s
b
结论：两平面平行
r f
例4 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作
一平面平行于已知平面 。
a
s
d
f
k
e
m
n
b
c r
X
O
c
r
n
e
b
k
d
m
f
s
a
例5 试判断两平面是否平行
s e
屋脊
屋面底边：屋檐
同坡屋顶的特点
屋檐平行的两屋面 相交于屋脊。
相邻两屋面必交 于斜脊或天沟，其 水平投影必过屋檐 水平投影的交点且 呈角平分线。
屋脊
屋顶上有两条交 线时必有第三条交 线存在，且三交线 共点。
屋顶三交线中必 有一条水平的屋脊 和另两条傾斜 的斜脊或一条斜脊及一条天沟。
例 已知同坡屋顶的水平投影轮廓和屋面坡 角为45度，求其水平投影及正面投影。
3.2.1 积聚性法
V B K
A
N P
PH a
bk
C
M
c H
当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点 的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可 在直线的另一个投影上找到。
直线可见性的判别
V B
A PH a
M
K bk
N P
C c
b n
a
k
m
c
n a
kb
H
m
c
在平面之前
b n
例9 试过定点K作特殊位置平面的法线。
h PV
SV
h
k
h
k
k
k h
h QH
k hk
例10 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂
直于定平面。
a
c
m
e
f
b
d
X
n
O
b
a
m
e
d
c
n
f
例11 试过点N作一平面，使该平面与V面的夹角为60 °，与H面 的夹角为45 °。
1 作部分斜脊和天沟。
屋脊！
2 作部分屋脊。
3 作剩余斜脊。
4 作正面投影---注意屋脊和四个屋面
5 注意积聚性和长对正
例 已知同坡屋顶的水 平投影轮廓和屋面坡角 为45度，求其水平投影 及解正：面投影。 1 作部分斜脊和天沟。
2 作部分屋脊。
3 作剩余斜脊。
4 作正面投影。
5 加深
例 已知同坡屋顶的水 平投影轮廓和屋面坡角 为45度，求其水平投影 及正面投影。 解：
B
利用求一般位置
F
线面交点的方法找
出交线上的两个点，
将其连线即为两平
A
面的交线。
K
D L
E
C
作题步骤
c
X
f
f
c
k 1
k 1
b PV e 2
l
d QV
b2
a O
l a
d
1、用直线与 平面求交点 的方法求出 两平面的两 个共有点K、 L。
2、连接两个 共有点，画 出交线KL。
e
两平面相交，判别可见性
A
Ⅰ
B
两平面垂直
A
Ⅰ Ⅱ
B
Ⅱ
两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点 向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
例12 平面由 BDF给定，试过定点h K作已知平面的垂面
f
g c
k
a
b
d X
a d
f c
O k
g
b h
例13 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否
例 已知同坡屋顶的水平投影轮廓和屋面坡角为45度， 求其水平投影及正面投影。
解：
例 已知同坡屋顶的水平投影轮廓和屋面坡角 为45度，求其水平投影及正面投影。
解：
1 作部分斜脊和天沟----过屋檐交点作斜脊和天 沟
例 已知同坡屋顶的水平投影轮廓和屋面坡角为45 度，求其水平投影及正面投影。
解：
1 作部分斜脊 和天沟。
•
水平投影作图过程动画
已知
作图
描粗
自动演播
重点、难点：
1、投影的概念及分类； 2、正投影的概念； 3、平行投影的基本特性； 4、三面体系中点的投影规律； 5、点的投影与直角坐标的关系； 6、掌握两点的相对位置关系及的作图方法； 7、重影点的判别及的作图方法。
本章关键点：直线与平面、 平面与平面的相对位置
a
f
分析
A
E K F
过已知点A作平面与已知直线EF交于点K，连接AK，AK即为所求。
作图过程
f 2
1 e
a
1
e PV
e
e
2
a
f
f 2 k
a
2 k
a f
1
1
例16 求点C到直线AB的距离。
a
c X
c
b O
b
a
分析
A
K
P
C
B
过C点作直线AB的垂线CK一定在过C点并且与AB垂直 的平面P内，过C点作一平面与直线AB垂直，求出该平面与 AB的交点K，最后求出垂线CK的实长即为所求。
注意封口!45º方向
2 作部分屋脊---屋脊平行相应屋檐
例 已知同坡屋顶的水平投影轮廓和屋面坡角为45度， 求其水平投影及正面投影。
解： 1 作部分斜脊
和天沟。 2 作部分屋脊。
3 作剩余斜脊---45度方向
例 已知同坡屋顶的水
平投影轮廓和屋面坡角 屋面！
为45度，求其水平投影 及解正：面投影。
作图步骤
c
b
b c
PV
f1 m
2
a
n
a f
n 2
m1
k
1、过点K作平面 KMN// ABC平面。
h
2、过直线EF作正垂
e 平面P。
3、求平面P与平面
h
KMN的交线ⅠⅡ。
e
4、求交线ⅠⅡ 与
EF的交点H。
5、连接KH，KH即 为所求。
k
3. 3 垂直问题
3.3.1 直线与平面垂直 3.3.2 平面与平面垂直
n b
3
1 2( )
c k
l
利
用
4
e
重
影
X m m
a
O
点
b2
判 别
可
e
见
3 4( )
a l
性
k
c
1
n
例7 试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相 交。
b
X
b
c f
a
a f
c
k
e
eO
k
分析
F
K
C
H
A
E
B
过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交 于H；连接KH，KH即为所求。
3.3.1 直线与平面垂直
V
C A
E B
D
几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该 平面的一切直线。
V C
A
n
k a
c
e
b
d
E
X
O
B
D
a
k
e
c
d
b
n
定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂 直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直 于属于该平面的正平线的正面投影。
求解综合问题主要包括：空间几何元素 的定位问题（交点、交线）和空间几何元素 的度量问题（如距离、角度）。
综合问题解题的一般步骤： 1. 分析题意 2. 明确所求结果，找出解题方法 3. 拟定解题步骤
3.4.1 空间几何元素定位问题
例14 已知三条直线CD、EF和GH，求作一直线AB与CD平
行，并且与EF、GH均相交。
c
g
d
f
a
e
X
e f
d
a
结论：直线AB不平行于定平面
g c
b
O
b
例2 过点K作一水平线AB平行于已知平面 ΔCDE。
c
f
e b
k a
d X
dபைடு நூலகம்
f c
e k
b
O a
3.1.2 平面与平面平行
P E
S B
A D
F
C
若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交直 线，则这两个平面平行。
n
V
f
C A
E
D
a B Xd
a d
c b
f c
k
O k
b n
定理2（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投 影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则 直线必垂直于该平面。
例8 平面由BDF给定，试过定点M作平面的垂线。
n f
c
a
m b
d
a d
f
m
c
b
k l
a
X
n
O
m
a
kb
f
l
Hc n
3.2.2 辅助平面法
A E
K 1
2 D
C B
过AB作平面P垂直于H投影面
a
c
X PH a c
d
2 k 1
1 k 2
d
作题步骤：
1、 过AB作铅
垂平面P。
2、求P平面与
ΔCDE的交线
e ⅠⅡ。
b
O
3、求交线
ⅠⅡ与AB的
e 交点K。
b
直线AB与平面ΔCDE相交，判别可见性。
e
d
c X
c
g
h
f
O
g
h f
d e
分析
DE B F
G
C
A
H
所求得直线AB一定在平行于CD的平面上，并且与 交叉直线EF、GH相交。
作图过程
e
d
b
1
c PV k
g a
h
f 2
X
O
k
g
c
1
a
h
f2
d
b
e
例15 试过定点A作直线与已知直线EF正交。
f
e
X e
a O
a d f
X
es 结论：两平面平行
r
SH d a
f r PH
b c
O
c b
3.2 相交问题
3.2.1 积聚性法 3.2.2 辅助平面法
交点与交线的性质
B D
PA
K B
KA
L
F
E
C
直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面 相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线 与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共 有线。求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有 线的投影。
2. 相交问题
（1）熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚 性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。
（2）熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、 面相交求交线的作图方法。
d
作图过程
a 1
k
c
2 b
e
X
O
所求距离
c 1
b d
k
a
2
e
3.4.1 空间几何元素度量问题
d
例17 求交叉直线AB和CD的公垂线。
b
a c
X
O
a
b
d
c
分析
D
G
F
H
K
B
E
L
A
PC
过一条直线CD作平面P平行于另一条直线AB，在过点A作 平面P的垂线AH，求出垂足点E；在平面P上过点E作直线
n
X
O
n
分析 平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹
角互为补角
C A
E
B
D
作图过程
m
|zM-zN|
n X mn
n
|yM-yN| m
k mn
|yM-yN|
h
直径任取
O
30°
45° NM
k
mn
|zM-zN|
h
3.3.2 两平面垂直
A
P
B
几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的 所有平面都垂直于该平面。
d
a
1
( 2 )
4
k c
X a
2
3
e
b
O
e
c
k （3）
4
1
d
b
以正垂面为辅助平面求线面交点
f
c
QV
1
k b
2
f
2
步骤： 1、 过EF作正 垂平面Q。
2、求Q平面与
ΔABC的交线
a ⅠⅡ。
e
3、求交线
ⅠⅡ与EF的交
a 点K。
b k
1
c
e
两一般位置平面相交求交线的方法
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接 判别直线的可见性--观察法
例6 铅垂线AB与一般位置平面ΔCDE相交，求交点并判别可 见性。
a’
d’
c’
k’
f’
b’
e’
X
O
e
f
k a(b) d
c
（2） 两平面相交
b
m
k
V
c
f
l
M
P
B
X
K
m
L F
m C
Nka l
fb
c
n
c H
n kb
f
垂直。
h
c
g
f
k
X
g
d b
c
a
O
f k
结论：两平面不平行。
b d
3.4 综合问题分析及解法
3.4.1 空间几何元素定位问题 3.4.2 空间几何元素度量问题
平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每 一个单个问题的投影特性、作图原理与方法。 而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需 要多种作图方法才能解决。
EF∥AB与直线CD交于点K；过点K作直线KL ∥AH交AB于L点，
KL即为所求的公垂线。
g X
g
作图过程
h
d
3 k
f
2
e
1
4
b
c
a
l
l
O
a
b
3 d
e
2 k
f
1 4
h c
本章小结
1. 平行问题
（1）熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； （2）熟练掌握线、国平行，面、面平行的投影特性及作图方法。
注意点：
画图原则----
1 先交先画。
2 注意封口符合 同坡屋顶的 投影特 点。
3 正面投影中左 右四屋面为正垂面。
4 注意三等关系 （长对正）！
注意
§3.5 同坡屋顶的画法
• 例：根据屋檐的水平投影及屋面的水平倾角，作出屋 顶的两面投影图。
§3.5 同坡屋顶的画法
•• 例：根据屋檐的水平投影及屋面的水平倾角，作出 屋顶的两面投影图。
33..11 平平行行问问题 3.2 相交问题 3.3 垂直问题 3.4 综合问题分析
3.1 平行问题
3.1.1 直线与平面平行 3.1.2 平面与平面平行
3.1.1 直线与平面平行
P
C
A
D
B
若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与 该平面平行。
例1 试判断直线AB是否平行于平面 CDE。
同坡屋顶的画法及本 章重点难点解析
2013年10月22日
➢概述：
同坡屋顶的画法
在坡屋顶中，如果各屋面有相同的水平倾角，
且屋檐各处同高，则由这种屋面构成的屋顶称为同坡屋
顶，如下图：
点击图形放大
同坡屋面
同坡屋顶画法
同坡屋顶---每个屋面的坡度相同 四周屋檐同高的屋顶。
屋顶要素---屋面交线： 同坡屋面三维展示
a O
a
l
PH
n
求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,
由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。
平面可见性的判别
VM B
m
c
f
b
k l
m C
K F
X L
N ka
f
l
a
n
O
m
a
kb
f
l
c
n
Hc
n
平面可见性的判别
VM B
m C c
K
F N
f
L
ka l
n
m
c
f