2019届高三理科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版

高三理科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版

【简介】概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.

【3年高考试题比较】

全国课标卷概率统计必有一道解答题，而且题型相对固定，一般是第19题，有时也在第18题，难度中等，课标I比课标II、课标III难度略大.概率统计解答题主要涉及生产活动的如质检（一等品、二等品次数期望等）、检验费用、疾病治疗和实验等；电路的通断概率；体育竞技赛事胜负概率问题（包括球类、棋类等）；保险费用问题；样本估计总体（常利用频率分布直方图、频率、频数表、茎叶图、条形图、扇形图等）问题；线性回归方程的求解及应用其进行预报（偏重数据处理能力，2015年那题也可以说是非线性）；独立性检验问题；以及考查互斥事件、对立事件、独立事件等概率及条件概率（较少涉及）的问题；n次独立重复试验的分布列和数学期望、超几何分布的分布列和数学期望等等。这些考题充分体现了概率统计是研究随机现象统计规律的重要特征，为相关部门的决策提供帮助和技术支持。当然这些知识点也常常与函数（包括分段函数）的最值问题、不等式（特别是基本不等式）有机结合.

【必备基础知识融合】

1.计算古典概型概率的步骤

(1)算出基本事件的总个数n.

(2)求出事件A所包含的基本事件个数m.

(3)代入公式求出概率P(A).解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树形图法.

2.与面积有关的平面图形的几何概型的解题的关键

对所求的事件A构成的平面区域形状的判断及面积的计算是关键,基本方法是数形结合.

3.条件概率的求法

(1)利用定义,分别求P(A)和P(AB),得,这是求条件概率的通法.

(2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件

数n(AB),得.

4.求相互独立事件同时发生的概率的主要方法

(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.

(2)正面计算较复杂(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时,可从其对立事件入手计算.

5.利用独立重复试验概率公式时要注意检查该概率模型是否满足公式P(X=k)=k k

C p(1-p)n-k的三个条件:

n

(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p.

(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的.

(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.

6.二项分布

在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．

7.超几何分布的特征

(1)考查对象分两类.

(2)已知各类对象的个数.

(3)从中抽取若干个个体,考查某类个体数X 的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.

8.众数、中位数、平均数与直方图的关系

(1)众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标.

(2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标.

(3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之积的和. 9.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为

X x 1 x 2 … x i … x n P

p 1

p 2

…

p i

…

p n

(1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望．

(2)方差：称D (X )＝∑n

i ＝1 (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根D X 为随机变量X 的标准差． 10.均值与方差的性质 (1)．E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .

(2)．D (aX ＋b )＝a 2D (X )(a ，b 为常数)． 11.两点分布与二项分布的均值、方差

均值 方差 变量X 服从两点

分布 E (X )＝p D (X )＝p (1－p ) X ～B (n ，p )

E (X )＝np

D (X )＝np (1－p )

12.正态分布

(1)．正态曲线；函数φμ，σ(x )＝12πσ

e －

x －μ2

2σ2

，x ∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ为参数(σ>0，μ∈R )．我们称函

数φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)．正态曲线的性质

①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1

σ2π；

④曲线与x 轴之间的面积为1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图10-9-1甲所示；

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．

甲 乙

（3）．正态分布的定义及表示；如果对于任何实数a ，b (a

b φμ，σ(x )d x ，则称随

机变量X 服从正态分布，记作X ～N (μ，σ2)． （4）．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ

1．必会结论；(1)均值与方差的关系D (X )＝E (X 2)－E 2(X )．

(2)超几何分布的均值；若X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，则E (X )＝nM

N .

2．必知方法；求离散型随机变量均值与方差的基本方法 (1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．

(2)已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y ＝aX ＋b 的均值、方差，可直接用X 的均值、方差的性质求解．

(3)如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，利用它们的均值、方差公式求解．. 13.回归分析

(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)样本点的中心

对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中，(x ，y )称为样本点的中心． (3)相关系数 ①r ＝

∑n

i ＝1 (x i －x )(y i －y )

∑n

i ＝1

(x i －x )2∑n

i ＝1

(y i －y )2

＝

∑n

i ＝1

x i y i －n x y

(∑n

i ＝1x 2i －n x 2)(∑n

i ＝1

y 2i －n y 2)；

②当r >0时，表明两个变量正相关； 当r <0时，表明两个变量负相关； 当r ＝0时，表明两个变量线性不相关．

r的绝对值越接近于1，表明两个变量之间的线性相关程度越高．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间的线性相关程度越低．

14．独立性检验

设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，

变量A：A1，A2＝A1；变量B：B1，B2＝B1；

2×2列联表：

B

A

B1B2总计

A1 a b a＋b

A2 c d c＋d

总计a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d

构造一个随机变量χ2＝n(ad－bc)

(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)

.

利用随机变量χ2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．

当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B没有关联的；

当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；

当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；

当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．

【解题方法规律技巧】

典例1：奥运会组委会从大学生中招收志愿者,被招收的志愿者需参加笔试和面试,把参加笔试的40名大学生的成绩分组:第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100],得到的频率分布直方图如图所示:

(1)分别求出成绩在第3,4,5组的人数.

(2)现决定在笔试成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6人进行面试.

①已知甲和乙的成绩均在第3组,求甲或乙进入面试的概率.

②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试,设第4组中有X名学生被考官D面试,求X的分布列和数学期望.

【规律总结】

求解随机变量分布列问题的两个关键点

(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件,然后综合应用各类概率公式求概率.

(2)求随机变量增值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列.若随机变量服从二项分布,则可直接使用公式法求解.

（3）超几何分布的均值；若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则.

典例2：某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和3

5.现安排甲组研发新产品A ，乙组

研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率．

(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．

【规律总结】

求相互独立事件同时发生的概率的方法

1．利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．

2．正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．

典例3:甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是2

3.假设各局比赛结果相互独立． (1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；

(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X 的分布列及均值．

【解】 (1)设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A ，B ，C ，则P (A )＝23×23×23＝827

，

P (B )＝C 23

????232×????1－23×23＝827， P (C )＝C 24

????232×????1－232×12＝427

. (2)X 的可能的取值为0,1,2,3. 则P (X ＝0)＝P (A )＋P (B )＝16

27

，

【规律总结】

独立重复试验满足的三个条件 独立重复试验是相互独立事件的特例．

可简化概率的计算，但要注意检查概率模型是否

满足三个条件：

①在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ；

②n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的； ③该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率．

典例4:继共享单车之后，又一种新型的出行方式------“共享汽车”也开始亮相北上广深等十余大中城市，一款叫“一度用车”的共享汽车在广州提供的车型是“奇瑞eQ ”，每次租车收费按行驶里程加用车时间,标准是“1元/公里+0.1元/分钟”，李先生家离上班地点10公里，每天租用共享汽车上下班，由于堵车因素，每次路上开车花费的时间是一个随机变量，根据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下： 时间（分钟）

[)15,25

[)25,35

[)35,45

[)45,55

次数 8

14

8

8

2

以各时间段发生的频率视为概率，假设每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为[]

15,65分钟.

（Ⅰ）若李先生上.下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟，便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择，设ξ是4次使用共享汽车中最优选择的次数，求ξ的分布列和期望.

（Ⅱ）若李先生每天上下班使用共享汽车2次，一个月（以20天计算）平均用车费用大约是多少（同一时段，用该区间的中点值作代表）.

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）542元.

ξ01234

P

1

256

12

256

54

256

108

256

81

256

125410881

12343

256256256256

Eξ=?+?+?+?=或

3

43

4

Eξ=?=

（Ⅱ）每次用车路上平均花的时间

814882

203040506035.5

4040404040

t=?+?+?+?+?=（分钟）

每次租车的费用约为10+35.5×0.1=13.55元.

一个月的平均用车费用约为542元.

典例5:某市在对高三学生的4月理科数学调研测试的数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布

()~110,144X N ，现从甲校100分以上（含100分）的200份试卷中用系统抽样的方法抽取了20份试卷来分

析，统计如下：

（注：表中试卷编号12452028n n n n n <<<<<

<）

（1）列出表中试卷得分为126分的试卷编号（写出具体数据）；

（2）该市又从乙校中也用系统抽样的方法抽取了20份试卷，将甲乙两校这40份试卷的得分制作了茎叶图（如图6），试通过茎叶图比较两校学生成绩的平均分及分散程度（均不要求计算出具体值，给出结论即可）；

（3）在第（2）问的前提下，从甲乙两校这40名学生中，从成绩在140分以上（含140分）的学生中任意抽取3人，该3人在全市前15名的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望. （附：若随机变量X 服从正态分布()

2

,N

μσ，则()68.3%P X μσμσ-<<+=，

(22)95.4%P X μσμσ-<<+=， (33)99.7%P X μσμσ-<<+=）

【答案】（1）126分的试卷编号分别为48，88; （2）见解析；（3）见解析.

∴ξ的取值为0，1，2，3．

()35385

028C P C ξ===

()21

533

8·15

128C C P C ξ===， ()12533

8·15

256C C P C ξ===， ()33381

356

C P C ξ===，

所以ξ的分布列为

ξ

0 1 2 3

P

528 1528 1556 156

因此()51515190123282856568

E ξ=?+?+?+?=． 【规律总结】

由典例4和典例5总结：

二项分布与超几何分布的区别选取容易出错：有放回抽样时，每次抽样时的总体没有改变，因而每次抽到的某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型，而不放回抽样时，取出一个则总体就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型，因此，二项分布模型和超几何模型最

主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.超几何分布和二项分布都是离散型分布，超几何分布和二项分布的区别是：

（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；

（2）超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）；

（3）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布，经常用二项分布来解题.

典例6:某鲜奶店每天以每瓶3元的价格从牧场购进若干瓶鲜牛奶，然后以每瓶7元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的鲜牛奶作垃圾处理．

（1）若鲜奶店一天购进30瓶鲜牛奶，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：瓶，n N

∈）的函数解析式；

（2）鲜奶店记录了100天鲜牛奶的日需求量（单位：瓶），绘制出如下的柱形图（例如：日需求量为25瓶时，频数为5）：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．

（ⅰ）若该鲜奶店一天购进30瓶鲜奶，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列及数学期望；

（ⅱ）若该鲜奶店计划一天购进29瓶或30瓶鲜牛奶，你认为应购进29瓶还是30瓶？请说明理由．

【答案】（1）

()

()

()

79029

{

12030

n n

y n N

n

-≤

=∈

≥

（2）（ⅰ）()

E X=111.95元（ⅱ）应购进30瓶.

X的分布列为

()()

++?+?=元.

92991130.11200.6111.95

851060.05

E X=+?+()

（ⅱ）购进29瓶时，当天利润的数学期望为

()()()()

t=?-??+?-??+?-??+?-??+??= 254430.05264330.1274230.1284130.052940.7110.75 >，所以应购进30瓶.

，因为111.95110.75

【规律总结】

概率统计是研究随机现象统计规律的重要特征，为相关部门的决策提供帮助和技术支持，解决这类试题的关键是

认真读题，理解题意，对于利用概率统计的思想作出决策的问题，往往是通过计算随机变量的期望和方差来进行

比较，通常可以利用期望比较出来的一般就可以直接下结论了，但是当期望相同时，可以进一步研究方差的大小，从而得到满足题意的方案.

典例7：2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进

行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1000

人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：

(Ⅰ)估计该组数据的中位数、众数；

(Ⅱ)由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(μ，210)，μ近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求P(50.5

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，有关部门为此次参加问卷调査的市民制定如下奖励方案：

(i)得分不低于μ可获赠2次随机话费，得分低于μ则只有1次；

(ii)每次赠送的随机话费和对应概率如下：

赠送话费(单元：元)10 20

概率3

4

1

4

现有一位市民要参加此次问卷调查，记X(单位：元)为该市民参加.问卷调查获赠的话费，求X的分布列和数学期望.

附：21014.5

=，

若Z?N(μ，σ2)，则P(μ－σ

【答案】(1) 65，65 (2) 0.8185（3）

75

4 EX=

(Ⅱ)从这1000人问卷调查得到的平均值μ为

μ= 35×0.025 + 45×0.15 +55×0.20+65×0.25+75×0.225+85×0.1+ 95×0.05 =0.875 + 6.75+11 +16.25+ 16. 875 + 8.5 +4.75 = 65

因为由于得分Z服从正态分布N(65,210)，

所以P(50.5

2+=0.8185.

(Ⅲ)设得分不低于μ分的概率为p ，则P(Z≥μ)= 1

2

，

X 的取值为10,20,30,40， P(X=10) =

()1331113313

202482424432P X ?===?+??=

，， P(X=30) =

()12131311114024416

24432C P X ????===??= ???，，. 所以X 的分布列为：

所以3133175

1020304083216324

EX =?

+?+?+?=

. 【规律总结】

众数、中位数、平均数与直方图的关系

(1)众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标.

(2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标.

(3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之积的和.

典例8：一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．

（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；

（Ⅱ）X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望． （注：若三个数,,a b c 满足a b c ≤≤，则称b 为这三个数的中位数）． 【答案】（Ⅰ）5

84

P =

（Ⅱ）见解析

故的分布列为

X 1 2 3

P

1742

43

84 112

从而()174314712342841228E X =?

+?+?=.

【规律总结】

求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率； 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；

第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.

典例9：菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但蔬菜上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x （单位：千克）清洗蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y （单x

1 2 3 4 5 y

58 54 39

29

10

（1）在下面的坐标系中，描出散点图，并判断变量x 与y 是正相关还是负相关；

（2）若用解析式2

y cx d ∧

=+作为蔬菜农药残量y ∧

与用水量x 的回归方程，令2

w x =，计算平均值w 与y ，完成

以下表格（填在答题卡中），求出y

∧

与x的回归方程.（,c d保留两位有效数字）；

w1491625

y5854392910

i

w w

-

i

y y

-

（3）对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请评估需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？（精确到0.1，参考数据5 2.236

≈）（附：对于一组数据

()()()

1122

,,,,......,,

n n

u v u v u v，其回归直线v u

αβ

=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：()()

()

1

2

1

,

n

i i

i

n

i

i

u u v v

v u

u u

βαβ

∧∧∧

=

=

--

==-

-

∑

∑）

【答案】（1）负相关（2）2

2.060

y x

∧

=-+（3）需要4.5千克的清水

解析：

（1）负相关.（含散点图）

（2）11,38

w y

==

w1491625

y5854392910

i

w w

-10

-7-2-514 i

y y

-201619-28

-

()()()()

()()()

222

22

102071621591428751

2.0374

1072514c -?+-?+-?+?-+?-=

=-

≈-+-+-++ 2

751381160, 2.060 2.060374d y cw y w x ∧

??=-=--?≈=-+=-+ ???

.

（3）当20y ∧

<时， 22.06020,25 4.5x x -+≈

∴为了放心食用该蔬菜，估计需要4.5千克的清水清洗一千克蔬菜.

【规律总结】

(1)回归直线y ＝bx ＋a 必过样本点的中心(x ，y )．

(2)正确运用计算b ，a 的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键．

(3)分析两变量的相关关系，可由散点图作出判断，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．

（4）分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r 来确定，r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r 的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.

典例10：“双十一”已经成为网民们的网购狂欢节，某电子商务平台对某市的网民在今年“双十一”的网购情况进行摸底调查，用随机抽样的方法抽取了100人，其消费金额t (百元)的频率分布直方图如图所示： (1)求网民消费金额t 的中位数0t ；

(2)把下表中空格里的数填上，能否有90%的把握认为网购消费与性别有关；

(3)将(2)中的频率当作概率，电子商务平台从该市网民中随机抽取10人赠送电子礼金，求这10人中女性的人数X 的数学期望.

男 女 合计 0t t ≥

0t t <

30 合计

45

()

20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0k

2.072

2.706

3.841

()

()()()()

2

2n ad bc K a b c d a c b d -=

++++.

【答案】(1)10；(2)答案见解析；(3)5.5.

男 女 0t t > 25

25

50

0t t <

20 30 50 45

55

100

()

()()()()

()2

2

210025302520100

1.01

2.70645555050

99

n ad bc k a b c d a c b d -?-?=

=

=

≈<++++???. 没有90%的把握认为网购消费与性别有关. (3)网购的网民中，女性的频率为

55

0.55100

=， ∴抽取10人中女性人数()~10,0.55X B ， ()100.55 5.5E X =?=.

【规律总结】 独立性检验的方法

①构造2×2列联表；②计算2

K ；③查表确定有多大的把握判定两个变量有关联．

注意：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的k 值

与求得的2

K 相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p ，所以其有关联的可能性为1p .

【归纳常用万能模板】

【引例】(2016·全国Ⅰ卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (1)求X 的分布列；

(2)若要求P (X ≤n )≥0.5，确定n 的最小值；

(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n ＝19与n ＝20之中选其一，应选用哪个？

规范解答 (1)每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11，记事件A i 为第一台机器3年内换掉i ＋7个零件(i ＝1，2，3，4)，记事件B i 为第二台机器3年内换掉i ＋7个零件(i ＝1，2，3，4)，由题知P (A 1)＝P (A 3)＝P (A 4)＝P (B 1)＝P (B 3)＝P (B 4)＝0.2，P (A 2)＝P (B 2)＝0.4. 1分得分点①

设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X ，则X 的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22，

2分得分点②

P(X＝16)＝P(A1)P(B1)＝0.2×0.2＝0.04，

P(X＝17)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＝0.2×0.4＋0.4×0.2＝0.16，

P(X＝18)＝P(A1)P(B3)＋P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B1)＝0.2×0.2＋0.4×0.4＋0.2×0.2＝0.24，

P(X＝19)＝P(A1)P(B4)＋P(A2)P(B3)＋P(A3)P(B2)＋P(A4)P(B1)＝0.2×0.2＋0.4×0.2＋0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.24，

P(X＝20)＝P(A2)P(B4)＋P(A3)P(B3)＋P(A4)P(B2)＝0.4×0.2＋0.2×0.2＋0.2×0.4＝0.2，

P(X＝21)＝P(A3)P(B4)＋P(A4)P(B3)＝0.2×0.2＋0.2×0.2＝0.08.

P(X＝22)＝P(A4)P(B4)＝0.2×0.2＝0.04.

5分得分点③

所以X的分布列为

X 16171819202122

P 0.040.160.240.240.20.080.04

6分得分点④

(2)要令P(X≤n)≥0.5，因为0.04＋0.16＋0.24<0.5，0.04＋0.16＋0.24＋0.24≥0.5，则n的最小值为19.8分得分点⑤

(3)购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n＝19时，费用的期望为19×200＋500×0.2＋1 000×0.08＋1 500×0.04＝4 040，当n＝20时，费用的期望为20×200＋500×0.08＋1 000×0.04＝4 080.

所以应选用n＝19.12分得分点⑥

高考状元满分心得