第一章模态分析理论基础

e. 为结构动力学优化设计提供目标函数或约束条件
动力学设计，即对主要承受动载荷而动特性又至关重要的结构， 以动态特性指标作为设计准则，对结构进行优化设计。它既可在常规静 力设计的结构上，运用优化技术，对结构的元件进行结构动力修改；也 可从满足结构动态性能指标出发，综合考虑其它因素来确定结构的形状， 乃至结构的拓扑（布局设计、开孔、增删元件）。动力学优化设计就是 在结构总体设计阶段就应对结构的模态参数提出要求，避免事后修补影 响全局。
d. 振动与噪声控制
既然结构振动是各阶振型响应的迭加，只要设法控制相关频率附 近的优势模态（改设计和加阻尼材料等或使用智能材料）就可以达到 控制结构振动的目的。
对汽车车厢内或室内辐射噪声的控制，道理也一样。车厢座舱或 室内辐射噪声与其结构的振动特性（模态）关系密切，由于辐射噪声 是由结构振动“辐射”出来的。控制了结构的振动，也就是实现了辐 射噪声的控制。
第一章模态分析理论基础
姜节胜 西北工业大学 振动工程研究所
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模态分析理论基础是20世纪30年代机械阻抗 与导纳的概念上发展起来。吸取了振动理论、 信号分析、数据处理、数理统计、自动控制理 论的有关营养，形成一套独特的理论。
模态分析的最终目标是识别出系统的模态 参数，为结构系统的振动分析、振动故障诊断 和预报、结构动力特性的优化设计提供依据。
模态分析定义为：将线性时不变系统振动微分方程组 中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组 以模态坐标及模态参数描述的独立方程，坐标变换的变换 矩阵为振型矩阵，其每列即为各阶振型。
解析模态分析可用有限元计算实现，而试验模态分析则是对结构 进行可测可控的动力学激励，由激振力和响应的信号求得系统的频响 函数矩阵，再在频域或转到时域采用多种识别方法求出模态参数，得 到结构固有的动态特性，这些特性包括固有频率、振型和阻尼比等。
试验模态分析的典型应用
a. 获得结构的固有频率,可避免共振现象的发生
当外界激励力的频率等于振动系统的固有频率时，系统发生共振 现象。此时系统最大限度地从外界吸收能量，导致结构过大有害振动。 结构设计人员要设法使结构不工作在固有频率环境中。
相反，共振现象并非总是有害的：振动筛、粉末碾磨机、打夯机 和灭虫声发射装置等等就是共振现象的利用。结构设计人员此时要设 法使这种器械工作在固有频率环境中，可以获得最大能量利用率。
单自由度系统频响函数分析
粘性阻尼系统
•阻尼力（与振动速度成正比）：
fd cx
•强迫振动方程及其解
.. .
m x c x kx f
•解的形式（s为复数）及拉氏 变换： x Xest (ms 2 cs k)x(s) f (s)
自由振动
.. .
m x c x kx 0
fd jx
• 结构阻尼系数
gk
g — 为结构阻尼比或结构损耗因子
• 运动方程及拉氏变换
..
m x kxjx f
[ms 2 (1 jg )k]x(s) f (s)
•传递函数和频率响应函数
H(s)
1
ms 2 (1 jg )k
H ()

m 2
1 (1
有限元分析软件(如ANSYS、NASTRAN、SAP、MAC等)在结构设
计中被普遍采用,但在设计中,由于计算模型和实际
结构的误差,而且受到边界条件很难准确
确定的影响,特别是结构的形状和动态特性很复杂时，有
限元简化模型和计算的误差较大。通过对结构进行实验模态分析， 可以正确确定其动态特性，并利用动态实验结果修改有限元模型， 从而保证了在结构响应、寿命预计、可靠性分析、振动与噪声控 制分析与预估以及优化设计时获得有效而正确的结果。
b. 为了应用模态叠加法求结构响应，确定动强度, 和疲劳寿命
分析告诉我们任何线性结构在已知外激励作用下他的响应是可以 通过每个模态的响应迭加而成的。所以模态分析另一主要的应用是建 立结构动态响应的预测模型，为结构的动强度设计及疲劳寿命的估计 服务。
c. 载荷(外激励)识别
由激励和模态参数预测响应的问题称为动力学正问题，反之由响 应和模态参数求激励称为反问题。原则上只要全部的各阶模态参数都 求得, 由响应就可以求出外激励（称为载荷识别）。
ms2 cs k 0
s1,2 0 j0 1 2
c /(2 km)
0 k / m
实部：衰减因子，反映系统阻尼 虚部：有阻尼系统的固有频率
阻尼比 范围（0－1）
内为欠阻尼
无阻尼固有频率
结构阻尼（滞后阻尼）系统
• 阻尼力：与位移成正比，相位比位移超前90度
a(s) Ha (s) f (s)
• 位移、速度和加速度频率响应函数
H d ( )
x( ) f ()
Hv ( )
v( ) f ()
• 三者之间的关系
H a ( )

a( ) f ()
Ha () jHv () ( j)2 Hd () 2Hd ()
f. 有限元模性修正与确认
当今工程结构计算采用最广泛的计算模型就是有限元模型。再好的 算法和软件都是建立在理想的结构物理参数和边界条件假设上的。结构 有限元计算结果和试验往往存在不小差距。此时在模态试验可信的前提 下，一般是以试验结果来对有限元模型进行修正和确认。经过修正和确 认的有限元模型具有优化概念下的与试验结果最大的接近。可以进一步 用于后继的响应、载荷和强度计算。
jg )k
（1＋jg）k — 复刚度
–用实部和虚部表示
H ()

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1 k
1 2

(1
2
)2

g2

j
g
(1 2 )2

g2

与粘性阻尼系统相比频响函数形式相同 g 和2 相互置换即可得各自表达式
位移、速度和加速度传递函数
x(s) Hd (s) f (s)
v(s) Hv(s) f (s)
• 动刚度（位移阻抗） Z (s) ms 2 cs k • 动柔度（位移导纳） H (s) 1
ms2 cs k
• 质量阻抗、阻尼阻抗、刚度阻抗（位移、速度、加速度） • 质量导纳、阻尼导纳、刚度导纳（位移、速度、加速度）