连续型随机变量和离散型随机变量
随机运筹学-2
为：红、黄、蓝、白、黑五种，其对应的奖金金 额分别为：1000元、100元、10元、1元、1 额分别为：1000元、100元、10元、1元、1元。假 定摇箱内装有很多球，其中红、黄、蓝、白、黑 的比例分别为0.1%、0.5%、1%、10%、88.4%。我 的比例分别为0.1%、0.5%、1%、10%、88.4%。我 们把一次摇奖就看作一次随机试验，其概率空间 为Ω={红，黄，蓝，白，黑}，∮={Ω的一切子 红，黄，蓝，白，黑} 集}，定义在Ω上的一个函数X（ω）， ，定义在Ω上的一个函数X （ω∈Ω）： X（红）=1000， X（黄）=100， X （红）=1000， （黄）=100， （蓝）=10， （白）=X（黑）=1。 （蓝）=10， X （白）=X（黑）=1。
称随机变量X 称随机变量X服从超几何分布。 例8 一个学校的校务委员会由十二名官员选举产 生：其中七名是民主党成员，四名是共和党成员， 另外一名是无党派人士。一个分会由四名成员组 成，用来调查学校的暴力事件。问：假设四名成 员随机选择时，民主党成员的人数为0 员随机选择时，民主党成员的人数为0、1、2、3、 4的概率是多大？ 6、负二项分布（Pascal分布） 、负二项分布（Pascal分布） 定义8 若随机变量X表示重复独立直到事件发生r 定义8 若随机变量X表示重复独立直到事件发生r
种可能值的概率分配，包含了它的全部概率信息。 离散型随机变量X 离散型随机变量X（ω）的概率满足下列两个条件： （1）非负性 pk≧0，k∈N\{0} （2）规一性 ∑pk=1 离散型随机变量X 离散型随机变量X（ω）的概率分布可以用坐标轴
或表格形式来表示。 例1 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏 信号等，每盏信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车 信号等，每盏信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车 通过。以X 通过。以X表示汽车首次停下时，它已通过的信 号灯的盏数（设各信号灯的工作是相互独立的）， 求X的分布律。 二、几种重要的离散型随机变量的概率分布 二、几种重要的离散型随机变量的概率分布 1、两点分布（0-1分布、Bernoulli分布） 、两点分布（0 分布、Bernoulli分布） 定义3 若随机变量X只取1 定义3 若随机变量X只取1和0两个值，且P（X=1） 两个值，且P X=1）
随机变量的定义与分类
随机变量的定义与分类随机变量是指随机试验中与观察对象的数值相关的数学量，它是随机现象的量化表达。
随机变量不仅在概率论中有着重要的角色，在各种领域中都有广泛的应用。
一、随机变量的定义在概率论中，对于一个实验，若对于每一个结果都可以对应唯一的实数，我们称这个实数为随机变量。
简单的说，随机变量是指一个结果对应的数值量。
例如，掷一枚骰子，用X表示掷出的点数，X的取值范围为{1,2,3,4,5,6}。
此时，X就称为一个随机变量。
在概率论的学习中，随机变量是研究随机现象的基本工具之一。
二、随机变量的分类随机变量可以分为两类：离散型随机变量和连续型随机变量。
1.离散型随机变量离散型随机变量是指在随机试验的结果中，取不到某些数，如投硬币，它只有正反两个结果。
如果用X表示正面朝上的次数，那么X的取值范围为{0,1}，X就是离散型随机变量。
离散型随机变量在数值上是可数的，例如X的取值范围为{0,1,2,3,......}。
2.连续型随机变量连续型随机变量是指在随机试验的结果中，每一个数都可以取到，如测量某件物品的长度，它的取值范围可以是任意的实数值，可以用X表示，X就是连续型随机变量。
由于连续型随机变量在数值上是不可列举的，所以它们的概率密度函数是它们的数值范围上的函数。
三、随机变量的性质1.累积分布函数累积分布函数指的是随机变量X小于等于x的概率，也就是P(X<=x)。
对于任意的随机变量X，它的累积分布函数都是单调不降的，它满足以下性质：（1）F(x)≥0；（2）F(x)≤1；（3）F(x)单调不降；（4）当x→∞时，F(x)→1；（5）当x→-∞时，F(x)→0。
2.概率密度函数概率密度函数是描述连续型随机变量在某一点上的概率密度值的函数，也称概率密度。
对于连续型随机变量X，它的概率密度函数f(x)满足以下两个性质：（1）f(x)≥0；（2）∫∞-∞f(x)dx=1。
3.期望期望是随机变量的一种平均值，用E(X)表示，它的计算方式为：E(X)=∑[X∈S(X)]X×P(X)对于连续型随机变量X，它的期望为：E(X)=∫∞-∞xf(x)dx4.方差方差是刻画随机变量X偏离它的期望值的平均程度的值，用Var(X)表示，它的计算方式为：Var(X)=E{[X-E(X)]^2}对于连续型随机变量X，它的方差为：Var(X)=E{[X-E(X)]^2}=∫∞-∞(x-E(X))^2f(x)dx总结：随机变量是指随机试验中与观察对象的数值相关的数学量，它可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
多维随机变量函数的分布
i ,k : g ( x i , y j ) = z k
∑
p ij
＝pk ,
(x1,y1) (x1,y2) … p11 p12
(xi,yj) pij g(xi,yj)
…
Z=g(X,Y)
g(x1,y1) g(x1,y2)
例1 设(X,Y)的联合分布列如下所列： 试求(1)Z1=X+Y (2)Z2=X-Y (3)Z3=max{X,Y}的分布列
练习：设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为
X P 0 q 1 p
(1) 求W＝X＋Y的分布律; (2) 求V＝max(X, Y)的分布律； (3) 求U＝min(X, Y)的分布律。 (4)求w与V的联合分布律。
(X,Y) pij
W＝X＋Y
V＝max(X, Y) U＝min(X, Y)
−∞ 或 ∞ −∞
−∞
∫f
X
( z − y ) f Y ( y )dy ＝ ∫ f X ( x) f Y ( z − x)dx.
例2 设X和Y相互独立，并且服从[-1，1]上的均匀分 布，求Z=X+Y的密度函数。
解：
1 f Y ( x) = 2 0
+∞
当 −1 ≤ x ≤ 1 其他
其中α>0，β>0,试分别就以上两 种联结方式写出L的寿命Z的概率 密度．
αe − αx , x > 0, f X ( x) = x ≤ 0, 0,
βe − βy , y > 0, fY ( y ) = y ≤ 0, 0,
其中 α > 0, β > 0 且 α ≠ β . 试分别就以上三种联 接方式写出 L 的寿命 Z 的概率密度 .
随机变量的应用与分析方法
随机变量的应用与分析方法随机变量是概率论和数理统计学中的重要概念，可用于描述一个随机事件的性质和特征。
在实际应用中，随机变量常常用于对数据进行分析和建模，因此深入了解随机变量的应用和分析方法对于数据分析工作者非常重要。
一、随机变量的概念和类型随机变量是指一个随机事件的结果可以用具体数值表示的数学对象。
根据其取值方式，可以将随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量两种类型。
离散型随机变量是指随机事件所有可能的结果只能取有限个或者可列个数，而随机变量的取值也是有限个或可列个数的一种随机变量。
例如，扔骰子种可能出现的结果只有1、2、3、4、5、6六个，因此扔骰子这个随机事件就是一个离散型随机变量。
连续型随机变量则是指随机事件的所有结果都是从一定的范围内取值的，而且该范围内的结果数量是无限的。
而随机变量在这个范围内的取值也是一个连续区间内的任意一个实数。
例如，温度、速度、体积等连续的数量就可以看做是连续型随机变量。
二、随机变量的分布与特点随机变量的分布就是它取值的概率分布，通常称为概率分布函数。
概率分布函数可用于描述随机变量的分布规律和特征，如中心位置、分散程度等。
对于离散型随机变量，其概率分布函数也称为概率质量函数，在可列性的情况下通过概率质量函数计算所有可能取值的概率，而每个可能的取值的概率均为非负值，且所有可能的概率之和等于1。
对于连续型随机变量，其概率分布函数称为概率密度函数，概率密度函数的值只能看作是某个随机变量取值的可能性大小，而具体值并不表示概率。
用积分形式求出某一范围内随机变量的概率，而且概率密度函数必须满足一定的条件，例如概率密度函数的积分值等于1。
三、随机变量的统计分析方法在数据分析领域中，随机变量的统计分析方法主要包括描述性统计和推断性统计。
其中描述性统计主要是用于对随机变量的分布和特征进行描述和度量，而推断性统计则是用于推断总体参数或进行假设检验。
1.描述性统计方法描述性统计方法包括均值、标准差、方差和偏度等。
概率论与数理统计复习4-5章
∑ g ( x ) p 绝对收敛,则Y的期望为 ∞
k =1 k k
∑ g(x
k =1
k
) pk
(2) 设X是连续型随机变量,概率密度为 f ( x) , 如果积分 ∫−∞ g ( x) f ( x)dx 绝对收敛,则Y的期望为
E (Y ) = E[ g ( X )] = ∫ g ( x ) f ( x )dx
例 设X的概率分布律为
X −1
0 12
1
2
p 1 3 1 6 1 6 1 12 1 4
试求Y=－X+1及 Z = X 2 的期望和方差。 X －1 0 1/2 解 由于 P 1/3 1/6 1/6 Y =－X+1 2 1 1/2 Z = X2 1 0 1/4
1 1 1 1 1 1 2 E (Y ) = ( −1) ⋅ + 0 ⋅ + ⋅ + 1⋅ + 2 ⋅ = 4 12 2 6 6 3 3
2 2
D( Z ) = E ( Z 2 ) + [ E ( Z )]2 = 2.23264
1 + x − 1 < x < 0 例 设随机变量X的概率密度为 f ( x ) = 1 − x 0 ≤ x < 1 1)求D(X）, 2)求 D ( X 2 )
解 (1) E ( X ) = ∫ x(1 + x)dx + ∫ x(1 − x)dx
第四章 随机变量的数字特征
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 数学期望的性质及随机变量函数的期望 方差及其性质
4.1数学期望 数学期望
数学期望——描述随机变量取值的平均特征 数学期望——描述随机变量取值的平均特征 一、离散型随机变量的数学期望 定义 设离散型随机变量X的概率分布为
概率论与数理统计第3章
试求常数a和b。
π F xlim F x a b 2 0 解： F lim F x a b π 1 x 2
1 1 a , b 2 π
P ( 2 4) P ( 2) P ( 2 4) 0.3 0.6 0.5 0.4
P ( 3) 1 P ( 3) 1 0.5 0.5
6
例3：设r.v. 的分布函数
F x a b arctan x
b a
因此求概率可从分布函数与密度函数两条途径入手。
5、密度的图像称分布曲线，相应有两个特征： ⑴ 曲线在x轴上方；
概率面积
y
f(x)分布曲线
⑵ 曲线于x轴之间的 面积是1。
x c o d
10
例4：设 的密度在[a,b]以外为0，在[a,b]内为
一常数 ，
， a x b f ( x) 0， 其它
x2 2
16
⑶ f(x)符合密度函数的两性质： ① f(x) > 0；②
f x d x 1。
x2 2
以标准正态分布为例， e
e d t e
t2 2 2 x2 2
d x 称为高斯积分。
dy
r2 2 0
从F(x)求f(x)： f x F x 从f(x)求F(x)： F x f t d t
x
9
4、对于连续型随机变量 ，
⑴ P a 0 ，即某指定点的概率为0； ⑵ Pa b Pa b
Pa b Pa b f x d x
3.2 离散型随机变量
1、已知分布律，求分布函数※
例3：已知X的分布律，
求 X 的分布函数。
X p Pk
1 1 4
2 1 2
3 1 8
4 1 8
F ( x) P( X x)
x 1 0, P X 1 1 , 1 x 2 4 P X 1 P X 2 3 2 x3 4 P X 1 P X 2 P X 3 7 3 x 4 8 P X 1 P X 2 P X 3 P X 4 1 4 x
例2：某人的手枪里有5发子弹，他向一个目 标独立地射击，直到首次击中才停止射击。 已知每发子弹命中目标的概率为0.6，求消耗 子弹数X的分布律。
已知离散型随机变量的分布律, 求出随机事件的概率. 练习：设随机变量 X 的分布律为
求P
X 2 , P 0 X 5/ 2, P 1 X 3
例如，袋中有5个球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个, 以Y表示3个球中的最大号码,则Y服从超几何分布。
本节小结：
知识点与基本要求： （1）理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握 离散型随机变量的分布律的性质； （2）理解四种常见分布的实际意义，掌握四种分布(两 点分布、二项分布、泊松分布、超几何分布)及其应用； （3）理解泊松定理的结论和应用条件，了解应用泊松 分布近似表示二项分布； 教学重点：离散型随机变量的分布律性质，四种常见 分布的分布律及其应用； 教学难点：四种常见分布的分布律及其应用。
2、二项分布
设X表示n重伯努利试验中事件A发生的总次数.
X的分布律为
P( X k ) C p (1 p)
k n k
n k
第2章第4节 连续型随机变量及其概率密度(1)
第 1节 随机变量 第2节 离散型随机变量及其分布律 第3节 随机变量的分布函数第4节 连续型随机变量及其概率密度(1)第5节 随机变量的函数的分布北京邮电大学仅供课堂教学使用·请勿外传黄煜可回顾：随机变量的分类随机变量离散型 非离散型连续型其它离散型随机变量：所取的可能值是有限多个或可列无限多个。
分布律：P{ X xk } pk , k 1, 2,北京邮电大学仅供课堂教学使用·请勿外传黄煜可回顾：随机变量的分类随机变量离散型 非离散型连续型其它连续型随机变量：所取的可能值可以连续地充满某个区间。
对于这种类型的随机变量，不能象离散型随机变量那 样，以指定它取每个值概率的方式，去给出其概率分布，而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式。
北京邮电大学仅供课堂教学使用·请勿外传黄煜可定义对于随机变量X，如果存在非负可积函数f(x)，使得对任意实数 x有x ,Fxxft dtPXx则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数， 简称为概率密度、密度函数（probability density function，常缩写为pdf）。
注记1：连续型随机变量的分布函数一定是R上的连续函数。
注记2：但分布函数在R上连续的随机变量不一定都是连续型的（课外阅读介绍的Cantor分布就是例子）。
北京邮电大学仅供课堂教学使用·请勿外传黄煜可概率密度的性质1。
f (x) 0 非负可积函数F(-∞)=0，F(x)不减 2。
f (x)dx 1 F(+∞)=1【注】这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某个随机变量X的f(x)概率密度的充要条件面积为1北京邮电大学x0仅供课堂教学使用·请勿外传黄煜可概率密度的性质1。
f (x) 0 2。
f (x)dx 1 3 对于任意实数 P{ x1 X x2 } x2 f ( x)dxx1， 利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率北京邮电大学仅供课堂教学使用·请勿外传黄煜可概率密度的性质1。
选修2-3离散型随机变量及其分布知识点
离散型随机变量及其分布知识点一：离散型随机变量的相关概念；随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为12i x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅、ξ取每一个值()1,2,i x i =⋅⋅⋅的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质；任何随机事件发生的概率都满足:0()1P A ≤≤，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：(1) 01,2,i p i ≥=⋅⋅⋅，；12(2) 1P P ++=特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即1()()()k k k P x P x P x ξξξ+≥==+=+知识点二：两点分布：若随机变量X 的分布列: 则称X 的分布列为两点分布列.特别提醒：(1)若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.(2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布(3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究.知识点三：超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则(),0,1,,min{,},,,.k n kM N MnNC C P X k k m m M n n N M N C --===⋅⋅⋅=≤≤其中称超几何分布列.为超几何分布列，知识点四：离散型随机变量的二项分布；在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是kn k k n n q p C k P -==)(ξ，（0,1,2,3,k =…， p q -=1）于是得到随机变量ξ的概率分布如下：由于k k n knC p q -恰好是二项式展开式： 00111()n n n k k n kn n n n n n p q C p q C p q C p q C p q --+=+++++中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作(,)B n p ξ，其中n ，p 为参数，并记(,,)k k n kn C p q b k n p -=知识点五：离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，()k p A p =，(), (1)k p A q q p ==-，那么112311231()()()()()()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q p ξ---====(0,1,2,k =…，p q -=1)于是得到随机变量ξ的概率分布如下：称这样的随机变量ξ服从几何分布， 记作1(,),0,1,2,,1.k g k p q p k q p -===-其中知识点六：求离散型随机变量分布列的步骤；(1)要确定随机变量ξ的可能取值有哪些.明确取每个值所表示的意义；(2)分清概率类型，计算ξ取得每一个值时的概率（取球、抽取产品等问题还要注意是放回抽样还是不放回抽样；(3)列表对应，给出分布列，并用分布列的性质验证. 几种常见的分布列的求法：(1)取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布，关键是概率的计算.所用方法主要有划归法、数形结合法、对应法等对于取球、抽取产品等问题，还要注意是放回抽样还是不放回抽样.(2)射击问题：若是一人连续射击，且限制在n 次射击中发生k 次，则往往与二项分布联系起来；若是首次命中所需射击的次数，则它服从几何分布，若是多人射击问题，一般利用相互独立事件同时发生的概率进行计算.(3)对于有些问题，它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚，此时要仔细审题，明确题中的含义，恰当地选取随机变量，构造模型，进行求解. 知识点六：期望数学期望:则称=ξE +11p x 22p x n n 数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
名词解释离散型随机变量
名词解释离散型随机变量
离散型随机变量是指具有有限个值或有限个可能结果中出现的一种变量，它们
具有离散取值，而不是连续变化。
离散型随机变量既可以是定义在连续变量上的变量，也可以是由其他连续随机变量（如随机变量）组成的变量。
离散型随机变量的应用可以追溯到19世纪的统计学家，他们把随机变量分为
连续型变量和离散型变量，以描述发生在概率范畴里的一些事件。
离散型随机变量是一个很强大的数学概念，已被广泛应用于各种科学领域，其中包括金融、经济学、生物统计学等。
离散型随机变量在统计学中可被描述为某一实验，其值依赖于可能观测到的值，本质上是一种概率分布。
它们利用概率论来表示实验结果的不确定性，可用于估计一种实验事件发生的概率。
更重要的是，它可以用来推断概率分布的特性，如正态分布、对数正态分布等，并估计其概率密度函数的参数值。
离散随机变量的另一个重要应用是描述实验结果的统计特性。
比如，使用它们
可以表示实验组与控制组之间的统计频数，识别两者之间的差异，也可以表示实验组间统计频数之间的相关性，同时绘制实验结果的直方图，使用者可清晰地观察不同状态的变化。
离散型随机变量在相关研究中的作用也受到了人们的广泛关注。
它可以用于识
别某一变量和另一个变量之间的相关性，以及可能的关系，这常常可简化研究者在实验中的观察结果，为深入的研究提供必要的信息。
总之，离散型随机变量具有深远的影响力，它们可以用来描述实验结果的统计
特性，估计概率分布的参数，识别不同变量之间的相关性等，因此离散型随机变量当今全球社会中受到的人们的广泛关注和广泛使用，在不断提升社会生活水平的过程中扮演着重要角色。
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连续型随机变量和离散型随机变量
连续型随机变量和离散型随机变量
概率论中，随机变量是指可取不同数值的变量，并且取某个数值的可
能性是有一定概率的。
根据其取值的特点，随机变量分为连续型随机
变量和离散型随机变量。
本文将分别介绍这两种不同类型的随机变量。
1. 连续型随机变量
连续型随机变量的定义是指可以取到实数中的任意一个值的随机变量。
这类变量在数轴上形成一个区间，概率密度函数表示的是落在该区间
内的随机事件发生的概率密度。
在概率密度函数曲线下的区间面积就
是该区间的概率。
常见的连续型随机变量有正态分布、指数分布和均
匀分布等。
2. 离散型随机变量
离散型随机变量的定义是指取某些离散值的随机变量。
通俗点说，就
是只取某些个别值的随机变量。
比如说，我们抛一枚硬币，结果只有
正面和反面两种情况，而且概率分别是0.5。
这就是一个离散型随机变量，枚举所有可能的结果之后，就可以得到所有可能结果的概率。
不同于连续型随机变量，离散型随机变量的取值只能以整数来确定。
概率函数常常用于表示离散型随机变量的分布。
在概率函数中，根据
某些随机变量的离散取值，统计出每种取值的概率。
离散型随机变量的经典例子有二项分布、泊松分布和几何分布等。
总而言之，对于连续型随机变量和离散型随机变量来说，它们在数值取值和表示形式上都有很大的区别。
连续型随机变量可以取到实数中的任意一个值，并且以概率密度函数表示；而离散型随机变量只能取到整数等几个离散值，并且以概率函数表示。
广泛应用于生物学、经济学、工程学等多个领域中，对于概率论的掌握是非常重要的。