最新弹性力学答案清晰修改

2-16 设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上 (包括孔口边界上 )受有均匀

压力 q 试证 x y q 及 xy 0能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也 能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。

程、相容方程

2)对于微小的三角板 A, dx, dy 都为正值，斜边上的方向余弦 l cos(n, x),m cos(n, y),

将 x y

q ， xy 0 代入平面问题的应力边界条件的表达式

(l x m yx ) s f x ( s) ( c )

(m y l xy ) s f y ( s)

则有 x cos(n, x) qcos(n,x) y cos( n, y) q cos(n, y)

所以 x q ， y q 。

对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。 (3)对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。

该题为平面应力的情况，首先，将应力分量 x y q 及 xy 0 代入物理方程，得形

证明：

1)将应力分量

y

q ， xy 0和 f x f y 0 分别代入平衡微分方

x yx

f x

x

y

y xy f y

y

x

2

2

(2

2

)( x

y

)

(

x y

a )

() fx

fy )

0 (b

)

xy

x

显然( a )、( b )是满足的

12

变分量 x ( E 1)q ， y ( E 1)q ， xy 0

(d )

然后，将( d )的变形分量代入几何方程，得

其中的 f 1和 f 2分别是 y 和 x 的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式( f )代 入( e )的第三式得

df 1(y) df 2(x)

dy dx

等式左边只是 y 的函数，而等式右边只是 x 的函数。因此，只可能两边都等于同一个常数ω，

代入( f )得位移分量

其中 u 0 ,v 0 , 为表示刚体位移量的常数，须由约束条件求得。

从式( g )可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件，因而，应力分量是正确 的解答。

2-17 设有矩形截面的悬臂粱，在自由端受有集中荷载 F ，体力可以不计。试根据材料力学

公式，写出弯应力 x 和切应力 xy 的表达式，并取挤压应力

解〔 1〕矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程为

M(x) Fx ，横

截 面对 z

轴(中性轴)的惯性矩为I

h 3

根据材料力学公式，

弯应力

1)

q ，

( 1) q E

e )

前而式的积分得到

( E 1)qx f 1(y)，v ( E 1)qy f 2(x)

f )

于是有

df 1(y)

dy

df 2(x) dx

，积分以后得 f 1(y)

y u 0 ， f 2 (x) x v 0

1

)

E qx 1) E

qy y u 0

xv 0，然后证明，这些表达

式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答。

2)经验证，上述表达式能满足平衡微分方程

yx

xy

2

2

)( x

y

) (1 ()

y 2

x

h / 2 的主要边界上，应精确满足应力边界条件：

xy

M (x)

y I z

123

F

xy ； 该 截 面 上 的 剪 力 为 F s ( x) F h

剪应力

3 F s (x) (I

2 h ( I

4h y 22)

6F

3 (h y 2) ；并取挤压应力 y 0

h4

y ) y h/ 2 0， ( yx ) y h / 2 0 ；

y ) y h /2

，

( yx ) y h / 2 0 。

在次要边界 能满足

x=0 上，列出三个积分的应力边界条

件： h/

2

h/2 h/2 x )x 0 dy h/2 h/2 x )x 0

ydy h/2

xy )x 0

dy

h/2

h / 2

12F

h / 2 ( x ) x l dy h/2 3 lydy 0 h 3

h/2

h/2 12F 2

h / 2 ( x ) x l ydy h / 2 3 ly 2 Fl h

3

h/2

h/2 6F h 2 2

h / 2

( xy ) x 0 dy h/2

h 3 ( 4 y 2) h4

列出三个积分的应力边界条件：

满足应力边界条件 因此，他们是

该问题的解答。 3-6 如题 3-6 图所示的墙，高度为 h ，宽度为 b ， h?b ，在两侧面上受到均布剪力 q 的作用。

试用应力函

数 Axy Bx 2y 求解应力分量。 也能满足相容方程 (

再考察边界条件：在

满足应力边界条件。 在次要边界 x l 上，