决胜2017年高考全国名校试题数学分项汇编(江苏特刊) 专题02 函数(原卷版) 无答案

决胜2017年高考全国名校试题数学分项汇编(江苏特刊) 专题14 选讲部分(原卷版)

解答题1．【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）若AB 为定圆O 一条弦（非直径），4AB =，点N 在线段AB 上移动，F 90∠ON =，F N 与圆O 相交于点F ，求F N 的最大值．2．【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．求A 的逆矩阵．3. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）过点P （－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线2cos 24ρθ=相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．4．【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）设 x ，y ，z ∈R +，且1x y z ++=，求证：2222221x y z y z z x x y++≥+++ 5【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为n S ”．（Ⅰ）当21==q p 时，记||3S =ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当32,31==q p 时，求)4,3,2,1(028=≥=i S S i 且的概率．6. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】数列}{n a 各项均为正数，211=a ，且对任意的*N ∈n ，有)0(21>+=+c ca a a n n n .（Ⅰ）求证：121ni icca =<+∑；（Ⅱ）若20161=c ，是否存在*N ∈n ，使得1>n a ，若存在，试求出n 的最小值，若不存在，请说明理由.7．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE AC =，求证：PDE POC ∠=∠．A8．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）变换1T 是逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ；变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．求函数2y x =的图象依次在1T ，2T 变换的作用下所得曲线的方程． 9．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知参数方程为0cos sin x x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）的直线l 经过椭圆2213x y +=的左焦点1F ，且交y 轴正半轴于点C ，与椭圆交于两点A 、B （点A 位于点C 上方）．若1F C B =A ，求直线l 的倾斜角θ的值．10．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数()2(0)f x x a x a =-+->，若正实数c b ,满足1=++c b a ，且不等式cb c b a x f +++≥222)(对任意实数x 都成立，求a 的取值范围．11．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分10分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为71.现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中的球取完即终止.若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.用ξ表示甲，乙最终得分差的绝对值． (1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量ξ的概率分布列及期望E ξ．12．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分10分）已知三位数abc ，其中c b a ,,不全相同，若将这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出最大数和最小数（如百位数字为0，也视作三位数），两者相减得到一个新数，定义这一操作为f ，如792038830)308(=-=f ，再对新数进行第二次操作f ，依次类推，若记经过第n 次后所得新数为n f（1）已知618=abc ，求2f ，3f ；（2）设abc 的三个数字中的最大数字与最小数字之差为d ，经n 次操作后新数n n n c b a 的三个数字中的最大数字与最小数字之差为n d ①已知61=d ，求证：当1>n 时，5=n d ； ②求证：当6≥n 时，495=n f .13．【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，在锐角三角形ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的圆O 与边,BC AC 的交点分别为,D E ，且DF AC ⊥于点F ．（Ⅰ）求证：DF 是O ⊙的切线；（Ⅱ）若3CD =，7=5EA ，求AB 的长．14．【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点P (x ，5)在矩阵M 1234⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点Q (y -2，y )，求1x y -⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ．15. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，直线l 过点P ，且倾斜角为π6，圆C ：θρsin 6=．（Ⅰ）求直线l 的参数方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB ⋅．16．【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数()f x =R ．（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数b a ,满足41532n a b a b+=++时，求47a b +的最小值．17. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】 (本小题满分10分)过直线2y =-上的动点P 作抛物线214y x =的两条切线,PA PB ，其中A ，B 为切点．（Ⅰ）若切线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值；（Ⅱ）求证：直线AB 过定点．18. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】 (本小题满分10分)设f (n )＝(a ＋b )n（n ∈N *，n ≥2），若f (n )的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f (n )具有性质P ．（Ⅰ）求证：f (7)具有性质P ；（Ⅱ）若存在n ≤2016，使f (n )具有性质P ，求n 的最大值．19．【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交BA 的延长线于点C .若DB DC =，求证：CA AO =.20．【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵10120206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，求矩阵1.A B - 21. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线l过点2),(3,)32A B ππ，且直线l 与曲线:sin (0)C a a ρθ=>有且只有一个公共点，求实数a 的值.22．【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）求函数y =的最大值.23. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】在四棱锥P ABCD -中，直线,,AP AB AD 两两相互垂直，且//,AD BC 2AP AB AD BC ===. （1）求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值；（2）求钝二面角B PC D --的大小.24. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】设数列{}n a 按三角形进行排列，如图，第一层一个数1a ，第二层两个数2a 和3a ，第三层三个数45,a a 和6a ，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如123245356,,,a a a a a a a a a =+=+=+.（1）若第四层四个数为0或1，1a 为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，1a 为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？12345678910a a a a a a a a aa25．【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，AD 与⊙O 相切，割线DM 与⊙O 相交于点M ，N ，若∠B=30°，AC=1，求DM ⋅DNA PB CD26．【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知曲线C ：1xy =，若矩阵M -⎥=⎥⎥⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程.27. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系下，已知圆O ：cos sin ρθθ=+和直线:sin()4l πρθ-=，（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．28．【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知,,a b c均为正数,证明：2222111()a b c a b c+++++≥29. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】如图，在空间直角坐标系O - xyz 中，正四棱锥P -ABCD的侧棱长与底边长都为M ，N 分别在PA ，BD 上，且13PM BN PA BD ==．（1）求证：MN ⊥AD ；（2）求MN 与平面PAD 所成角的正弦值．30. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】设集合{}5,4,3,2,1=S ，从S 的所有非空子集中，等可能地取出一个.（1）设S A ⊆，若A x ∈，则A x ∈-6，就称子集A 满足性质p ，求所取出的非空子集满足性质p 的概率；（2）所取出的非空子集的最大元素为ξ，求ξ的分布列和数学期望()ξE .31．【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，已知圆O 的半径OB 垂直于直径M AC ,为AO 上一点，BM 的延长线交圆O 于点N ，过N 点所作的切线交CA 的延长线于点P ．（1）求证：PC PA PM ⋅=2；（2）若圆O 的半径为32，且OM OA 3=，求MN 的长．PBC32．【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵⎢⎣⎡-=12A ⎥⎦⎤21，⎢⎣⎡=01B ⎥⎦⎤-12．（1）计算AB ；（2）若矩阵B 将直线0232:=+-y x l 变为直线/l ，求直线/l 的方程．33. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知直线l 的参数方程⎩⎨⎧-=+=t y t x l 11:（t 为参数）曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 2:y x C （πθ20≤≤），若直线l 与曲线C 交于两点N M ,，求MN 的长度．34．【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）若c b a ,,是正数，且1=++c b a ．（1）求证：9111≥++c b a ；（2）求证：29111≥+++++a c c b b a ．35、【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】某品牌汽车S 4店经销C B A ,,三种排量的汽车，其中C B A ,,三种排量的汽车依次有5，4，3款不同的车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．（1）求该单位购买的3辆汽车均为B 排量的概率；（2）记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X ，求X 的分布列及数学期望．36、【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】已知各项均为正数的数列}{n a 的首项11=a ，其前n 项和为n S ，若))(1(21*∈+=N n a a S nn n ．（1）求5432,,,a a a a 的值；（2）由此归纳出通项n a 的表达式，并用数学归纳法加以证明．37．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，在⊙O 直径AB 的延长线上任取一点C ，过点C 做直线CE 与⊙O 交于点D 、E ，在⊙O 上取一点F ，使点A 是弧EF 的中点，连接DF 交直线AB 于G ．若CB=OB ，求CGCB的值．38．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）若二阶矩阵M 满足：12583446M ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.曲线22:221C x xy y ++=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C '，求曲线C '的方程.39．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2sin θ，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 54253（t 为参数），设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值．40．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知a ，b ，c R ∈，若444444a b c m ++=，关于x 的不等式|2|1x m -≤的整数解有且仅有一个值为3（m 为整数）,求222a b c ++的最大值. 41．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分10分)如图,在四棱锥ABCD S -中,底面ABCD 为正方形,⊥SA 平面ABCD ,E 为SC 的中点,F 为AC 上一点,且2=AB ,22=SA .（Ⅰ）若//EF 平面SBD ,试确定F 点的位置；（Ⅱ）求二面角D SC B --的余弦值.42. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分10分)对于数列{}n a ，称∑-=+--=11111)(k i i i k a a k a P ，其中N k k ∈≥,2为数列{}n a 的前k 项“波动均值”．若对任意的N k k ∈≥,2，都有)()(1k k a P a P <+，则称数列{}n a 为“趋稳数列”．（1）若数列2,,1x 为“趋稳数列”，求x 的取值范围；（2）已知数列{}n a 的首项为1，各项均为整数，前k 项的和为k S ，且对任意N k k ∈≥,2，都有)(2)(3k k a P S P =，试计算：)()1()(2)(3322n nn n n a P C n a P C a P C -+++ ，其中N n n ∈≥,243．【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，PAQ ∠是直角，圆O 与射线AP 相切于点T ，与射线AQ 相交于两点,B C ．求证：BT 平分OBA ∠．44．【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵1252M x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为2-,求2M . 45. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系中，求圆θρsin 8=上的点到直线3πθ=（R ∈ρ）距离的最大值.46．【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）设,x y 均为正数，且x y >，求证：2212232x y x xy y +≥+-+．47. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的,,A B C 三种商品有购买意向.已知该网民购买A 种商品的概率为34，购买B 种商品的概率为23，购买C 种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立. （1）求该网民至少购买2种商品的概率；（2）用随机变量h 表示该网民购买商品的种数，求h 的概率分布和数学期望. 48. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】设集合{}1,2,3,,(3)M n n =≥，记M 的含有三个元素的子集个数为n S ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为n T . （1）求33T S ，44T S ，55T S ，66T S 的值；（2）猜想nnT S 的表达式，并证明之.49．【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】如图，PAQ ∠是直角，圆O 与射线AP 相切于点T ，与射线AQ 相交于两点,B C ．求证：BT 平分OBA ∠．50．【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】在平面直角坐标系xOy 中，设点()1,2A -在矩阵1001M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转90得到点B '，求点B '的坐标．51. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为sin()3πρθ-=椭圆C 的参数方程为2cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数) ．（1）求直线l 的直角坐标方程与椭圆C 的普通方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．52．【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】设x ，y 均为正数，且x >y ，求证：x ＋4x 2－2xy ＋y 2≥y ＋3.53. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=︒，11//A B AB ，11122AB AA A B ===．直角梯形11AAC C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到，且使得平面11AA C C ⊥平面11AA B B ．M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 上的动点．（Ⅰ）当点P 是线段1BB 中点时，求二面角P AM B --的余弦值；（Ⅱ）是否存在点P ，使得直线1A C //平面AMP ？请说明理由．54. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】设(1－x )n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，n ∈N ，n ≥2．（1）设n ＝11，求|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|的值；（2）设b k ＝1k n k +-a k ＋1(k ∈N ，k ≤n －1)，S m ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b m (m ∈N ，m ≤n －1)，求1||m m n S C -55．【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△PAE ∽△BDE ．56．【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝32a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦所对应的变换T 把点(2，3)变成点(3，4)．（1）求a ，b 的值．（2）若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2．57. 【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(12)M ，，倾斜角为3π﹒以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:6cos C ρθ=﹒若直线l 与圆C 相交于A B ，两点，求MA MB ⋅的值．AMPCBA 1C 1B 158．【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】求函数f (x )＝的最大值．59. 【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线l 与x 轴交于点M ，过M 的直线与抛物线交于A ，B 两点．设A （x 1，y 1）到准线l 的距离为d ，且d ＝λp （λ＞0）．（1）若y 1＝d ＝1，求抛物线的标准方程；（2）若AM AB λ+＝0，求证：直线AB 的斜率为定值．60. 【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】设实数12n a a a ，，，满足120n a a a +++=，且12||||||1n a a a +++≤(*n ∈N 且2)n ≥，令(*)nn a b n n=∈N ．求证：1211||22n b b b n+++-≤(*)n ∈N ． 61．【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点D ，AC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连接,AD BD . 若4AC =，3DE =，求BD 的长.62．【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求矩阵A 的特征值和特征向量． 63．【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系中，求圆θρsin 8=上的点到直线3πθ=（R ∈ρ）距离的最大值.64．【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知正实数,,a b c 满足231a b c ++=，求证：24627111a b c ++≥. 65.【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】（本小题满分10分）如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝AC ＝4，AA 1⊥平面ABC ； AB ⊥AC ，（1）求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；（2）在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，求BDBC 1的值．66【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】（本小题满分10分)已知,N*k m ∈，若存在互不相等的正整数12,,a a …,m a ，使得1223,,a a a a …11,,m m m a a a a -同时小于k ，则记()f k 为满足条件的m 的最大值．（1）求(6)f 的值；（2）对于给定的正整数n (1)n >，1A 1B 1C ABCABDEOC·（ⅰ）当(2)(1)(2)n n k n n +<≤++时，求()f k 的解析式；（ⅱ）当(1)(2)n n k n n +<≤+时，求()f k 的解析式．67．【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点,连接AE BE ，，APE ∠的平分线与AE BE ，分别交于C D ，，其中30APE ∠=︒．（Ⅰ）求证：ED PB PDBD PA PC⋅=；（Ⅱ）求PCE ∠的大小．68．【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵1252M x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为2-，求2M . 69．【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>过点(2,4)P --的直线（t为参数）与曲线C 相交于点,M N 两点．（1）求曲线C 的平面直角坐标系方程和直线l 的普通方程；（2成等比数列，求实数a 的值．70．【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数()121f x x x =++- （1）解不等式()4f x <（2）若不等式()1f x a ≥+对任意的x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围. 71．【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分10分) 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17。

决胜2017年高考全国名校试题数学分项汇编(江苏特刊) 专题14 选讲部分(解析版)

解答题1．【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）若AB 为定圆O 一条弦（非直径），4AB =，点N 在线段AB 上移动，F 90∠ON =，F N 与圆O 相交于点F ，求F N 的最大值．2．【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．求A 的逆矩阵．【答案】121321132A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦【解析】解：由题意得11611a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，33122a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦则 66323322a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=-⎩ ， (6)分解得3234a cb d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，即3324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以121321132A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. ………………………………………10分 3. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）过点P （－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线2cos 24ρθ=相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．4．【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）设 x ，y ，z ∈R +，且1x y z ++=，求证：2222221x y z y z z x x y++≥+++ 【答案】详见解析．【解析】2222()[()()()]x y z y z z x x y y z z x x y +++++++≥+++22222()()()x y z x y z x y z y z z x x y∴++++≥+++++即2222221x y z y z z x x y++≥+++……………10分 5【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为n S ”．（Ⅰ）当21==q p 时，记||3S =ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当32,31==q p 时，求)4,3,2,1(028=≥=i S S i 且的概率．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）33536587123088080()()()()33218733P C C ⨯=+⋅⋅==或【解析】（Ⅰ）||3S =ξ 的取值为1，3，又21==q p ；故43)21()21(2)1(213=⋅==C P ξ，41)21()21()3(33=+==ξP ．所以ξ的分布列为：6. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】数列}{n a 各项均为正数，211=a ，且对任意的*N ∈n ，有)0(21>+=+c ca a a n n n .（Ⅰ）求证：121ni icca =<+∑；（Ⅱ）若20161=c ，是否存在*N ∈n ，使得1>n a ，若存在，试求出n 的最小值，若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）2018 【解析】证明：（Ⅰ）∵2111nn n ca a a +=+，∴n n n ca c a a +-=+1111，即nn n ca ca a +=-+1111，121111ca c a a +=-， 232111ca c a a +=-， ……nn n ca c a a +=-+1111， ∴nn ca c ca c ca c a a ++++++=-+111112111 ， ∴111111121ni in c ca a a a =+=-<=+∑ . …5分（Ⅱ）∵n n n n a a a a >+=+2120161，∴}{n a 单调递增. 得20162121a a a <<<= ，由201621n n n aa a +=+⇒20161111+=-+n n n a a a ⇒201612016120161122016212017++++++=-a a a a ，∵)2016,,2,1(0 =>i a i ， ∴201620161122017⨯<-a ，解得：12017<a ，7．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE AC =，求证：PDE POC ∠=∠．A【答案】详见解析【解析】AE AC =，AB 为直径，OAC OAE ∴∠=∠POC OAC OCA OAC OAC EAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠又EAC PDE ∠=∠ PDE POC ∴∠=∠.8．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）变换1T 是逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ；变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．求函数2y x =的图象依次在1T ，2T 变换的作用下所得曲线的方程．9．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知参数方程为0cos sin x x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）的直线l 经过椭圆2213x y +=的左焦点1F ，且交y 轴正半轴于点C ，与椭圆交于两点A 、B （点A 位于点C 上方）．若1F C B =A ，求直线l 的倾斜角θ的值．【答案】6πθ=【解析】把cos sin x t y t θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩代入椭圆方程，并整理得：()2212sin cos 10tθθ+--=，设点A 、B 对应的参数为A t 、B t ，由1FB A C =结合参数t 的几何意义得：A B C t t t +=，即212sin cos θθθ=+，解得1sin 2θ=，依题意知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴6πθ=.10．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数()2(0)f x x a x a =-+->，若正实数c b ,满足1=++c b a ，且不等式cb c b a x f +++≥222)(对任意实数x 都成立，求a 的取值范围．【答案】270-≤<a【解析】由条件可知10<<a ，故2)(-+-=x a x x f a a -=-≥22又因1=++c b a ，故a c b -=+1，故2222)1(21)(21a c b c b -=+≥+原不等式可化为22222)1(21)1)(2(a a c b a a a -+≥++≥-- 化简得0342≤-+a a ，解之得270-≤<a .11．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分10分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为71.现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中的球取完即终止.若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.用ξ表示甲，乙最终得分差的绝对值． (1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量ξ的概率分布列及期望E ξ．31434712(0)35C C P C ξ⋅===；4224434719(2)35C C C P C ξ+⋅===；1343474(4)35C C P C ξ⋅===，121945402435353535E ξ=⨯+⨯+⨯=.12．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分10分）已知三位数abc ，其中c b a ,,不全相同，若将这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出最大数和最小数（如百位数字为0，也视作三位数），两者相减得到一个新数，定义这一操作为f ，如792038830)308(=-=f ，再对新数进行第二次操作f ，依次类推，若记经过第n 次后所得新数为n f（1）已知618=abc ，求2f ，3f ；（2）设abc 的三个数字中的最大数字与最小数字之差为d ，经n 次操作后新数n n n c b a 的三个数字中的最大数字与最小数字之差为n d ①已知61=d ，求证：当1>n 时，5=n d ； ②求证：当6≥n 时，495=n f .【答案】（1）5943699632=-=f ，4954599543=-=f ；（2）详见解析当51=d 时，4959952=⨯=f ，结论成立；当61=d 时，由①已证结论成立；当71=d 时，6939972=⨯=f ，由（1）可证结论成立；当81=d 时，7929982=⨯=f ，从而72=d ，故证结论成立；当91=d 时，8919992=⨯=f ，从而82=d ，故证结论成立；综上所述，当6≥n 时，495=n f .13．【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，在锐角三角形ABC中，AB AC=，以AB为直径的圆O与边,BC AC的交点分别为,D E，且DF AC⊥于点F．（Ⅰ）求证：DF是O⊙的切线；（Ⅱ）若3CD=，7=5EA，求AB的长．14．【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，设点P(x，5)在矩阵M1234⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点Q(y-2，y)，求1x y-⎡⎤⎢⎥⎣⎦M．【答案】1x y-⎡⎤⎢⎥⎣⎦M1610⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦【解析】依题意，1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦5x⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2yy-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即102320x yx y+=-⎧⎨+=⎩，，解得48xy=-⎧⎨=⎩，，...4分.由逆矩阵公式知，矩阵M 1234⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵1213122--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦M ，......8分所以1x y -⎡⎤⎢⎥⎣⎦M 213122-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦48-⎡⎤⎢⎥⎣⎦1610⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． ......10分 15. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，直线l 过点P ，且倾斜角为π6，圆C ：θρsin 6=．（Ⅰ）求直线l 的参数方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB ⋅．16．【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数()f x =R ．（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数b a ,满足41532n a b a b+=++时，求47a b +的最小值．【答案】（Ⅰ）6≤∴m （Ⅱ）23【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，∴240x x m ++--?恒成立，即24m x x ?+-恒成立，又6)4()2(42=--+≥-++x x x x ，6≤∴m . ………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知6=n ，由基本不等式知，47a b +=141(47)()6532a b a b a b++++ 1[(5)(32)]6a b a b =+++413()5322a b a b +≥++，当且仅当15,2626a b ==时取等号， 47a b ∴+的最小值为23. ………10分 17. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】 (本小题满分10分)过直线2y =-上的动点P 作抛物线214y x =的两条切线,PA PB ，其中A ，B 为切点．（Ⅰ）若切线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值；（Ⅱ）求证：直线AB 过定点．18. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】 (本小题满分10分)设f (n )＝(a ＋b )n（n ∈N *，n ≥2），若f (n )的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f (n )具有性质P ．（Ⅰ）求证：f (7)具有性质P ；（Ⅱ）若存在n ≤2016，使f (n )具有性质P ，求n 的最大值．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）k ＝989或945．【解析】（Ⅰ）f (7)的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为123777C 7,C 21,C 35===，因为132777C C 2C +=，即123777C ,C ,C 成等差数列，所以f (7)具有性质P ． …………………………4分（Ⅱ）设f (n )具有性质P ，则存在k ∈N *，1≤k ≤n －1，使11C ,C ,C k k k n n n -+成等差数列，所以11C C 2C k k k n n n -++=．整理得，4k 2－4nk ＋(n 2－n －2)＝0， …………………7分即(2k －n )2＝n ＋2，所以n ＋2为完全平方数．又n ≤2016，由于442＜2016＋2＜452，所以n 的最大值为442－2＝1934，此时k ＝989或945． ……10分19．【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交BA 的延长线于点C .若DB DC =，求证：CA AO =.20．【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵10120206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，求矩阵1.A B - 【答案】1101212.1060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【解析】设矩阵A 的逆矩阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则10100201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即102201a b c d --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，于是11,0,2a b c d =-===，从而110102A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，……7分所以1101212.1060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦……10分 21. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线l过点2),(3,)32A B ππ，且直线l 与曲线:sin (0)C a a ρθ=>有且只有一个公共点，求实数a 的值. 【答案】 2.a =【解析】点2),(3,)32A B ππ的直角坐标为3(),(0,3)2A B ，从而直线l 的直角坐标方程30,y -+=曲线:sin (0)C a a ρθ=>的直角坐标方程为222()24a a x y +-=……5分因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以|3|2,022aa a -+=>，解得 2.a =……10分22．【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）求函数y =的最大值.23. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】在四棱锥P ABCD -中，直线,,AP AB AD 两两相互垂直，且//,AD BC 2AP AB AD BC ===. （1）求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值；（2）求钝二面角B PC D --的大小.【答案】（1（2）3.4A PBCD24. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】设数列{}n a 按三角形进行排列，如图，第一层一个数1a ，第二层两个数2a 和3a ，第三层三个数45,a a 和6a ，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如123245356,,,a a a a a a a a a =+=+=+.（1）若第四层四个数为0或1，1a 为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，1a 为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？12345678910a a a a a a a a aa【答案】（1）13448C C +=（2）82=256【解析】（1）设第4层四个数字依次为1234,,,x x x x ，则第3层三个数字依次为12,x x +2334,x x x x ++，第2层两个数字依次为1232342,2x x x x x x ++++，所以1a =123433x x x x +++. ……………2分25．【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，AD 与⊙O 相切，割线DM 与⊙O 相交于点M ，N ，若∠B=30°，AC=1，求DM ⋅DN【答案】3【解析】因为AD 与O 相切，所以30DAC B ∠=∠=︒，设圆的半径为r ，则122,1sin 30r r ==∴=︒，连接OA ，则1OA OC AC ===，即OAC ∆为正三角形，所以60OCA ∠=︒，30ODA OAC DAC ∠=∠-∠=︒，在Rt OAD ∆中，1OA =，所以AD =23DM DN AD ⨯==.26．【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知曲线C ：1xy =，若矩阵M -⎥=⎥⎥⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程.【答案】．222y x -=【解析】设曲线C 一点(,)x y ''对应于曲线C '上一点(,)x y ，∴2222x x y y '⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥=⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴22x y x ''-=，22x y y ''+=，……5分∴x '=，y '=∴1x y ''==，∴曲线C '的方程为222y x -=. …10分27. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系下，已知圆O ：cos sin ρθθ=+和直线:sin()42l πρθ-=，（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．28．【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知,,a b c均为正数,证明：2222111()a b c a b c+++++≥【答案】详见解析．【解析】因为a b c ，，均为正数，由均值不等式得22223()a b c abc ++≥3，………………2分因为13111()abc a b c -++≥3，所以223111(()abc a b c-++)≥9 ． (5)分故22222233111(()()a b c abc abc a b c-++++++)≥39．（当且仅当c b a ==时取等号）又32233()9()abc abc -+≥（当且仅当433=abc 时取等号），所以原不等式成立．…………………………………10分29. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】如图，在空间直角坐标系O - xyz 中，正四棱锥P -ABCD 的侧棱长与底边长都为M ，N 分别在PA，BD上，且13 PM BNPA BD==．（1）求证：MN⊥AD；（2）求MN与平面PAD所成角的正弦值．（2）设平面PAD的法向量为(,,),n x y z=(3,3,0),(3,0,3),AD AP=--=-30. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】设集合{}5,4,3,2,1=S ，从S 的所有非空子集中，等可能地取出一个.（1）设S A ⊆，若A x ∈，则A x ∈-6，就称子集A 满足性质p ，求所取出的非空子集满足性质p 的概率；（2）所取出的非空子集的最大元素为ξ，求ξ的分布列和数学期望()ξE . 【答案】（1）317=p （2）详见解析．【解析】可列举出集合S 的非空子集的个数为：31125=-个.（2分）（1）满足性质p 的非空子集为：{}3，{}5,1，{}4,2，{}5,3,1，{}4,3,2，{}5,4,2,1，{}5,4,3,2,1共7个，所以所取出的非空子集满足性质p 的概率为：317=p .（6分）（2）ξ的可能值为1，2，3，4，5.ξ1 2 3 4 5P 311 312 314 318 3116 （9分） ()31129311653184314331223111=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .（10分） 31．【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，已知圆O 的半径OB 垂直于直径M AC ,为AO 上一点，BM 的延长线交圆O 于点N ，过N 点所作的切线交CA 的延长线于点P ．（1）求证：PC PA PM ⋅=2；（2）若圆O 的半径为32，且OM OA 3=，求MN 的长．PBC32．【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵⎢⎣⎡-=12A ⎥⎦⎤21，⎢⎣⎡=01B ⎥⎦⎤-12．（1）计算AB ；（2）若矩阵B 将直线0232:=+-y x l 变为直线/l ，求直线/l 的方程．33. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知直线l 的参数方程⎩⎨⎧-=+=t y t x l 11:（t 为参数）曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 2:y x C （πθ20≤≤），若直线l 与曲线C 交于两点N M ,，求MN 的长度．【答案】||MN =【解析】将曲线C 化为普通方程可得：4422=+y x （该曲线为椭圆），-----------------2分直接将参数方程代入可得：01652=+-t t ，-----------------------------------------------4分解之得：1=t 或51=t ，---------------------------------------------------------------------------6分当1=t 时，0,2==y x ，即得直线l 与曲线C 的一个交点为)0,2(M ，---------------7分当51=t 时，54,56==y x ，得直线l 与曲线C 的一个交点为)54,56(N ，--------------8分所以MN的长度为||MN =------------------------------------------10分34．【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）若c b a ,,是正数，且1=++c b a ．（1）求证：9111≥++c b a ；（2）求证：29111≥+++++a c c b b a ．35、【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】某品牌汽车S 4店经销C B A ,,三种排量的汽车，其中C B A ,,三种排量的汽车依次有5，4，3款不同的车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．（1）求该单位购买的3辆汽车均为B 排量的概率；（2）记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X ，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）155（2）详见解析【解析】（1）设该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车为事件M ，则343121().55C P M C ==-2分所以该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车的概率为155．--------------------------3分（2）容易算得随机变量X 的所有可能取值为1，2，3．36、【2016高考押题卷（3）【江苏卷】已知各项均为正数的数列}{n a 的首项11=a ，其前n 项和为n S ，若))(1(21*∈+=N n a a S nn n ．（1）求5432,,,a a a a 的值；（2）由此归纳出通项n a 的表达式，并用数学归纳法加以证明．【答案】．（1）122-=a 233-=a 344-=a （2）1--=n n a n【解析】（1）因)1(2122212a a a a S +=+=，即012222=-+a a ，解之可得：122-=a ， ------1分再由)1(21333213a a a a a S +=++=可得：0122323=-+a a ，解之可得233-=a ；------------2分再由)1(214443214a a a a a a S +=+++=可得：0132424=-+a a ，解之可得344-=a ；----------------------------------------------------------------3分由)1(2144543215a a a a a a a S +=++++=可得：014525=-+a a ，解之可得454-=a ．------------------------------------------------4分37．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，在⊙O 直径AB 的延长线上任取一点C ，过点C 做直线CE 与⊙O 交于点D 、E ，在⊙O 上取一点F ，使点A 是弧EF 的中点，连接DF 交直线AB 于G ．若CB=OB ，求CGCB的值．【答案】32==CA CO CG CB 【解析】连接OE,因点A 是弧EF 的中点，故EOA EDF ∠=∠,从而E 、D 、G 、O 四点共圆，得CE•CD=CO•CG，又因CE•CD=CA•CB，故CA•CB=CO•CG，当CB=OB 时，32==CA CO CG CB 38．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）若二阶矩阵M 满足：12583446M ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.曲线22:221C x xy y ++=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C '，求曲线C '的方程.39．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2sin θ，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 54253（t 为参数），设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值．【答案】15+.【解析】解析：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程可化为ρ2=2ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣2y=0，得圆C 的圆心坐标为C （0，1），半径r=1，将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得)2(34--=x y令y=0，得x=2，即M 点的坐标为（2，0），因5=MC ,N 是曲线C 上一动点，故MN 的最大值为15+．40．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知a ，b ，c R ∈，若444444a b c m ++=，关于x 的不等式|2|1x m -≤的整数解有且仅有一个值为3（m 为整数）,求222a b c ++的最大值.41．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分10分)如图,在四棱锥ABCD S -中,底面ABCD 为正方形,⊥SA 平面ABCD ,E 为SC 的中点,F 为AC 上一点,且2=AB ,22=SA .（Ⅰ）若//EF 平面SBD ,试确定F 点的位置；（Ⅱ）求二面角D SC B --的余弦值.【答案】（Ⅰ）F 是GC 中点（Ⅱ）31．【解析】以A 为原点, AB 、AD 、AS 所在直线分别为z y x 、、轴建立空间直角坐标系. 则)0,0,0(A ,)0,0,2(B ,)0,2,2(C ,)0,2,0(D ,)22,0,0(S ,)2,1,1(E ,)0,,(a a F ,其中220<<a .（Ⅰ）设AC 与BD 的交点为G ,则)0,1,1(G ,连接SG ,)2,1,1(---=a a EF ,)22,1,1(-=,42. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分10分)对于数列{}n a ，称∑-=+--=11111)(k i i i k a a k a P ，其中N k k ∈≥,2为数列{}n a 的前k 项“波动均值”．若对任意的N k k ∈≥,2，都有)()(1k k a P a P <+，则称数列{}n a 为“趋稳数列”．（1）若数列2,,1x 为“趋稳数列”，求x 的取值范围；（2）已知数列{}n a 的首项为1，各项均为整数，前k 项的和为k S ，且对任意N k k ∈≥,2，都有)(2)(3k k a P S P =，试计算：)()1()(2)(3322n nn n n a P C n a P C a P C -+++ ，其中N n n ∈≥,2【答案】（1）),23(+∞（2）)()1()(2)(3322n nn n n a P C n a P C a P C -+++ )123(231+-=+n n．【解析】（1）因()1Px x =-，1(2)(12)2P x x =-+-，故由题意得)21(211-+->-x x x即21->-x x ，两边平方得441222+->+-x x x x ，解之得23>x所以x 的取值范围是),23(+∞43．【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，PAQ ∠是直角，圆O 与射线AP 相切于点T ，与射线AQ 相交于两点,B C ．求证：BT 平分OBA ∠．【答案】详见解析【解析】连结OT ．因为AT 是切线，所以OT AP ⊥．………………………2分又因为PAQ ∠是直角，即AQ AP ⊥，所以ABOT ，所以TBA BTO ∠=∠． ………………………………… 5分又OT OB =，所以OTB OBT ∠=， …………………8分所以OBT TBA ∠=∠，即BT 平分OBA ∠． …………………………………10分44．【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵1252M x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为2-,求2M.45. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系中，求圆θρsin 8=上的点到直线3πθ=（R ∈ρ）距离的最大值.【答案】6.【解析】解：圆的直角坐标方程为22(4)16x y +-=， …………3分直线的直角坐标方程为y =， …………6分圆心(0,4)到直线的距离为2d ==，则圆上点到直线距离最大值为246D d r =+=+=． …………10分46．【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）设,x y 均为正数，且x y >，求证：2212232x y x xy y +≥+-+．【答案】详见解析．【解析】因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0， 22211222()2()x y x y x xy y x y +-=-+-+-，…………………………………4分＝21()()()x y x y x y -+-+-33≥， ……………………8分所以2212232x y x xy y++-+≥． ……………………………………………10分 47. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的,,A B C 三种商品有购买意向.已知该网民购买A 种商品的概率为34，购买B 种商品的概率为23，购买C 种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立. （1）求该网民至少购买2种商品的概率；（2）用随机变量h 表示该网民购买商品的种数，求h 的概率分布和数学期望.所以随机变量h 的概率分布为：…………………………8分故数学期望1111123012324424412E =⨯+⨯+⨯+⨯=h . …………………………10分 48. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】设集合{}1,2,3,,(3)M n n =≥，记M 的含有三个元素的子集个数为n S ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为n T .（1）求33T S ，44T S ，55T S ，66T S 的值；（2）猜想nnT S 的表达式，并证明之.和(1)k -个k ， ……………8分所以1k k T T +=+213243(1)k k ⨯+⨯+⨯++-3222223412[]2k k k C C C C C +=++++⋅⋅⋅+ 3322233412[]2k k k C C C C C +=++++⋅⋅⋅+3311222k k k C C ++-=+3122k k C ++=1(1)12k k S +++=，即11(1)12k k T k S ++++=. 所以当1n k =+时，猜想也成立.综上所述，猜想成立. ……………10分49．【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】如图，PAQ ∠是直角，圆O 与射线AP 相切于点T ，与射线AQ 相交于两点,B C ．求证：BT 平分OBA ∠．50．【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】在平面直角坐标系xOy 中，设点()1,2A -在矩阵1001M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转90得到点B '，求点B '的坐标．【答案】(1,4)B '-.【解析】解：设(,)B x y '，则由10110122--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得(1,2)A ' 则(2,2),(1,2),A B A B x y '''==--0121110224x x y y --=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩，(1,4)B '- 51. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为sin()3πρθ-=椭圆C 的参数方程为2cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数) ．（1）求直线l 的直角坐标方程与椭圆C 的普通方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．52．【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】设x ，y 均为正数，且x >y ，求证：x ＋4x 2－2xy ＋y 2≥y ＋3.【答案】详见解析．【解析】证明：x －y ＋4x 2－2xy ＋y 2＝(x －y )＋4（x －y ）2(3分)＝x －y 2＋x －y2＋4（x －y ）2，(5分)53. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=︒，11//A B AB ，11122AB AA A B ===．直角梯形11AAC C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到，且使得平面11AA C C ⊥平面11AA B B ．M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 上的动点．（Ⅰ）当点P 是线段1BB 中点时，求二面角P AM B --的余弦值；（Ⅱ）是否存在点P ，使得直线1A C //平面AMP ？请说明理由．【答案】（Ⅰ）17（Ⅱ）12BP PB =．【解析】AMPCBA 1C 1B 1所以二面角P AM B --5分（Ⅱ）存在点P ，使得直线1A C //平面AMP ．设111(,,)P x y z ，且1BP BB λ=，[0,1]λ∈，则111(,2,)(0,1,2)x y z λ-=-，所以1110,2,2x y z λλ==-=．所以(0,2,2)AP λλ=-．54. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】设(1－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ∈N ，n ≥2．（1）设n ＝11，求|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|的值；（2）设b k ＝1k n k+-a k ＋1(k ∈N ，k ≤n －1)，S m ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b m (m ∈N ，m ≤n －1)，求1||m m n S C -【答案】（1）1024（2）1．【解析】解：（1）因为a k ＝(－1)kkn C ，当n ＝11时，|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|＝67891011111111111111C C C C C C +++++ ＝01101110111111111()21024.2C C C C ++++==……………………………………………3分（2）b k ＝1k n k +-a k ＋1＝(－1)k ＋11k n k+-1k n C +＝(－1)k ＋1k n C ，……………………………………5分当1≤k ≤n －1时，b k ＝(－1)k ＋1k n C ＝ (－1)k ＋1(111k k n n C C ---+)＝(－1)k ＋111k n C --＋(－1)k ＋11kn C -＝(－1)k －111k n C --－(－1)k1kn C -． (7)分当m ＝0时，011||||m m n n S b C C --=＝1． ……………………………………8分当1≤m ≤n －1时， S m ＝－1＋1mk =∑[(－1)k －111k n C --－(－1)k 1k n C -]＝－1＋1－(－1)m 1mn C -＝－(－1)m 1m n C -，所以1||mmn S C -＝1．综上，1||mmn S C -＝1． ……………………………………10分 55．【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△PAE ∽△BDE ．56．【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝32a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦所对应的变换T 把点(2，3)变成点(3，4)．（1）求a ，b 的值．（2）若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2．【答案】（1）a ＝－1，b ＝5．（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=45112B .【解析】解：（1）由题意，得323234a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得6＋3a ＝3，2b －6＝4，…………………4分所以a ＝－1，b ＝5．…………………………………………………………6分（2）由（1），得3152A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．由矩阵的逆矩阵公式得2153B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦……………………8分所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=45112B ……………………………………………………………10分 57. 【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(12)M ，，倾斜角为3π﹒以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:6cos C ρθ=﹒若直线l 与圆C 相交于A B ，两点，求MA MB ⋅的值．58．【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】求函数f (x )＝的最大值．【答案】．【解析】解：函数定义域为[0，4]，且f (x )≥0．由柯西不等式得[52＋2)2＋2)]≥(5＋2，······················5分即27×4≥(52，所以＝x ＝10027时，取等号．所以，函数f (x )＝． ··································10分59. 【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线l 与x 轴交于点M ，过M 的直线与抛物线交于A ，B 两点．设A （x 1，y 1）到准线l 的距离为d ，且d ＝λp （λ＞0）．（1）若y 1＝d ＝1，求抛物线的标准方程；（2）若AM AB λ+＝0，求证：直线AB 的斜率为定值．所以k 2＝－2，所以直线AB 的斜率为定值． ………………10分 60. 【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】设实数12n a a a ，，，满足120n a a a +++=，且12||||||1n a a a +++≤(*n ∈N 且2)n ≥，令(*)nn a b n n=∈N ．求证：1211||22n b b b n+++-≤(*)n ∈N ．61．【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点D ，AC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连接,AD BD . 若4AC =，3DE =，求BD 的长.62．【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求矩阵A 的特征值和特征向量．【答案】．属于特征值12λ=的一个特征向量121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值23λ=的一个特征向量211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】矩阵A 的特征多项式为()2125614f λλλλλ--==--+， ……………2分由()0f λ=，解得12λ=，23λ=. …………………………………………4分当12λ=时，特征方程组为20,20,x y x y -=⎧⎨-=⎩ABDEOC·故属于特征值12λ=的一个特征向量121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；………………………………7分当23λ=时，特征方程组为220,0,x y x y -=⎧⎨-=⎩故属于特征值23λ=的一个特征向量211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． …………………………10分63．【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系中，求圆θρsin 8=上的点到直线3πθ=（R ∈ρ）距离的最大值.64．【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知正实数,,a b c 满足231a b c ++=，求证：24627111a b c ++≥. 【答案】详见解析．【解析】因为正实数,,a b c 满足231a b c ++=，所以1≥23127ab c ≤， …………………………5分所以23127ab c ≥因此，24611127a b c ++≥≥ ……………………10分 65.【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】（本小题满分10分）如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝AC ＝4，AA 1⊥平面ABC ； AB ⊥AC ，（1）求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；（2）在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，求BDBC 1的值．【答案】（1）1625（2)1925BD BC λ== 1A 1B 1C ABC因为9[0,1]25∈,所以在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B.此时,1925BDBCλ==. ………10分66【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】（本小题满分10分)已知,N*k m ∈，若存在互不相等的正整数12,,a a …,m a ，使得1223,,a a a a …11,,m m m a a a a -同时小于k ，则记()f k 为满足条件的m 的最大值．（1）求(6)f 的值；（2）对于给定的正整数n (1)n >，（ⅰ）当(2)(1)(2)n n k n n +<≤++时，求()f k 的解析式；（ⅱ）当(1)(2)n n k n n +<≤+时，求()f k 的解析式．又∵从集合1A 中选出的i a 至多n 个，∴()21f k n =-， ………………10分（写出（ⅰ）、（ⅱ）题的结论但没有证明各给1分．）67．【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点,连接AE BE ，，APE ∠的平分线与AE BE ，分别交于C D ，，其中30APE ∠=︒．（Ⅰ）求证：ED PB PDBD PA PC⋅=；（Ⅱ）求PCE ∠的大小．68．【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵1252M x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为2-，求2M . 【答案】264514M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】2λ=-代入3x = ……5分∴264514M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦…………10分。

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一、填空1.【江苏省苏州市2017物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为▲ ．2.【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】已知圆O：222x y r+=（0r>）及圆上的点(0,)A r-，过点A的直线交圆于另一点B，交轴于点C，若OC BC=，则直线的斜率为．【解析】试题分析：设直线的斜率为,则直线:l y kx r=-，与222x y r+=联立解得，而，由OC BC=得3.【南京市2017届高三年级学情调研】在平面直角坐标系xOy中，若直线20ax y+-=与圆心为C 的圆22(1)()16x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC ∆为直角三角形，则实数的值是 . 【答案】－1 【解析】试题分析：由题意得C 到直线20ax y +-=距离为4. 【2017届高三七校联考期中考试】已知直线1:=-y x l 与圆M ：012222=-+-+y x y x 相交于A ，C 两点，点B ，D 分别在圆M 上运动，且位于直线AC 两侧，则四边形ABCD 面积的最大值为 ▲ ．二、解答1. 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点(1,0)A -，(1,2)B ．（1）若直线平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN AB =，求直线的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得2212PA PB +=？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．【答案】（1）0x y -=或40x y --=．（2）．【解析】试题分析：（1）本题实质为直线被圆截得弦长问题，一般方法为利用垂径定理进行转化解决：先根据AB ，设直线方程0x y m -+=，再根据AB 长得弦长，根据圆心C 到直线的距，解得0m =或4m =-，（2）P 点既在圆C 上，又满足2212PA PB +=，因此研究点P 的个数，实质研究两曲线位置关系，先确定满足2212PA PB +=的轨迹方程，利用直接法得22(1)4x y +-=，也为圆，所以根据两圆位置关系可得点P 的个数试题解析：（1）圆C 的标准方程为22(2)4x y -+=，所以圆心(2,0)C ，半径为．因为l AB ∥，(1,0)A -，(1,2)B ，所以直线的斜率为设直线的方程为0x y m -+=， ……………………………………………2分则圆心C 到直线的距离为4分……………………………6分解得0m =或4m =-，故直线的方程为0x y -=或40x y --=．…………………………………8分2. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】（本小题满分16分）如图所示，已知圆A 的圆心在直线2y x =-上，且该圆存在两点关于直线10x y +-=对称，又圆A 与直线1:270l x y ++=相切，过点()2,0B -的动直线与圆A 相交于,M N 两点，Q 是MN 的中点，直线与相交于点P ．（1）求圆A 的方程；（2（3）()BM BN BP +是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．【答案】(1)()()221220x y ++-=；(2)2x =-或3460x y -+=；(3)是，20-.（1）由圆存在两点关于直线10x y +-=对称知圆心A 在直线10x y +-=上，由210y xx y =-⎧⎨+-=⎩得()1,2A -．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分设圆A 的半径为R ，因为圆A 与直线1:270l x y ++=相切，．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以圆A 的方程为()()221220x y ++-=．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）当直线与轴垂直时，易知2x =-符合题意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分当直线与轴不垂直时，设直线的方程为()2y k x =+，即20kx y k -+=连接AQ ，则AQ MN ⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∴直线的方程为3460x y -+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴所求直线的方程为2x =-或3460x y -+=．．．．．．．．．．．．．．10分（3）∵AQ BP ⊥，∴0AQ BP =，∴()()()2222BM BN BP BQ BP BA AQ BP BA BP AQ BP BA BP +==+=+=，，则50,BP ⎡=⎢，又()1,2BA =，∴()2210BM BN BP BQ BP BA BP +===-．．．．．．．．．．．13分当直线的斜率存在时，设直线的方程为()2y k x =+，由2270y kx x y =+⎧⎨++=⎩，解得，∴BP -⎡=⎢ ()522212BM BN BP BQ BP BA BP k -⎛+===+⎝综上所述，()BM BN BP +是定值，且为-10．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分3. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】已知点P 是直线230x y -+=上的一个动点，定点()1,2,M Q -，是线段PM 延长线上的一点，且PM MQ =，求点Q 的轨迹方程．【答案】250x y -+=.4. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线过点()1,0B 且与轴不重合，交圆A 与,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ，求点E 的轨迹方程．()2103y y =≠.又圆A 的标准方程为()22116x y ++=，．．．．．．．．．．．5分由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

【推荐】专题07 不等式-决胜2017年高考全国名校试题数学第一学期分项汇编(江苏特刊)

一、填空1.【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】若函数，则函数y的最小值为___________．【答案】32.【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】已知2,0a b b+=>，当最小值时，实数的值是▲ ．【答案】2-【解析】，即2,4a b=-=时取等号3.【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】已知实数、y满足20,50,40,x yx yy-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩若不等式222()()a x y x y+≥+恒成立，则实数的最小值是．【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC因[2,4]上单调递增，所不等式222()()a x y x y +≥+恒成立等价于4. 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】设实数，满足0,1,21,x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥则32x y +的最大值为 ▲ ．【答案】35. 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】已知正数，满足，则ab 的最小值为 ▲ ．【答案】36 【解析】试题分析：当且仅当9b a =时取等号，因此ab 的最小值为366. 【2017届高三七校联考期中考试】正数y x ,满足22=+y x ，则的最小值为▲ ．【答案】9 【解析】当且仅当y x 4=时取等号7. 【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】已知,x y 满足2y xx y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若3z x y =+的最大值为M ，最小值为m ，且0M m +=，则实数的值为_____________．【答案】1-8. 【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】已知正实数,a b 满足37a b +=，___________．【解析】试题分析: 因为9. 【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】已知正实数,x y 满足，则y x =___________．二、解答1. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】已知二次函数2()23f x mx x =--，关于实数的不等式()0f x ≤的解集为[]1,n -．（1）当0a >时，解关于的不等式：21(1)2ax n m x ax ++>++；（2）是否存在实数(0,1)a ∈，使得关于的函数1()3xx y f a a +=-（[]1,2x ∈）的最小值为5-？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）当01a <≤时，原不等式的解集为；当1a >时，原不等式（2【解析】试题分析：（1）由二次不等式解集与二次方程根的关系得：2230mx x --=的两根为1-和，且0m >，从而，解得1,3.m n =⎧⎨=⎩，再化简不等式，因式分解：(2)(2)0x ax -->，最后根据两根22）先化简函数，为一元二次函数12()3(32)3x x x x y f a a a a a +=-=-+-2(32)3t a t =-+-，其中2a t a ≤≤，再根据对称轴与定义区间位置关系研究函数最小值：因为t a =时，y 取最小值试题解析：（1）由不等式2230mx x --≤的解集为[]1,n -知，关于的方程2230mx x --=的两根为1-和，且0m >，∴1,3.m n =⎧⎨=⎩所以原不等式化为(2)(2)0x ax -->，①当01a <<时，原不等式化为或2x <； ②当1a =时，原不等式化为2(2)0x ->，解得x R ∈且2x ≠； ③当1a >时，原不等式化为或2x >；综上所述：当01a <≤时，原不等式的解集为当1a >时，原不等式的解集为（2）假设存在满足条件的实数，由（1）得：1m =，2()23f x x x =--，12()3(32)3x x x x y f a a a a a +=-=-+-．令x a t =（2a t a ≤≤），则2(32)3y t a t =-+-，（2a t a ≤≤），因为(0,1)a ∈，所以21a a <<，所以函数2(32)3y t a t =-+-在2,a a ⎡⎤⎣⎦单调递减，所以当t a =时，y 的最小值为2223y a a =---5=-，解得2. .【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】已知函数()|1|f x x =-，2()65g x x x =-+-（x R ∈）．（1）若()()g x f x ≥，求的取值范围；（2）求()g x ()f x -的最大值．【答案】（1）[]1,4（2时，()g x 22()65(1)760f x x x x x x -=-+-+-=-+-<，试题解析：（1）当1x ≥时，()1f x x =-，由()()g x f x ≥，得2651x x x -+-≥-，整理得(1)(4)0x x --≤，所以[]1,4x ∈；当1x <时，()1f x x =-，由()()g x f x ≥，得2651x x x -+-≥-，整理得(1)(6)0x x --≤，所以[]1,6x ∈，由1,16x x <⎧⎨≤≤⎩，得x ∈∅，综上的取值范围是[]1,4．（2）由（1）知，()()g x f x -的最大值必在[]1,4上取到，。

2017年全国高考数学试题及答案-江苏卷

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1. 已知集合2{1,2},{,3}A B a a ==+，若{1}AB =，则实数a 的值为________2. 已知复数(1)(12)z i i =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是__________3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件4. 右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是 5. 若1tan()46a π-=，则tan a = 6. 如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切。

记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是 7.记函数()f x = D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ，则x ∈ D 的概率是8. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是 9. 等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知36763,44S S ==，则8a = 10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则x 的值是11. 已知函数31()2xxf x x x e e =-+-，其中e 是自然数对数的底数，若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是。

12. 如图，在同一个平面内，向量,,OA OB OC 的模分别为1,1，OA 与OC 的夹角为a ，且t a n 7a =，OB 与OC 的夹角为45°。

决胜2017年高考全国名校试题数学分项汇编(江苏特刊) 专题13 复数(解析版) 含解析

一、填空题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知复数z 满足(23i)32i z -=+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.2. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知,a b ∈R ，i ibia 231-=++，其中i 是虚数单位，则ab += ．【答案】6【解析】由i i i bi a +=-+=+5)23)(1(得1,5==b a ，故6=+b a .3. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知复数z 满足(1i)i z -=（i 是虚数单位），则z 的模为_______.【解析】因为z ==，则||z == 4. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】已知复数21iz i-=+,则z 的共轭复数的模为_______.【答案】2【解析】因为()()212131(1)(1)22i i i z i i i i ---===-++-，所以1322z i =+，则||z =本题若用模的性质，则能简化运算：2|2||||z|||1|1|2i i z i i --=====++ 5. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】已知23(,,ia bi ab R i i+=+∈为虚数单位)，则a b +=_______.【答案】1 【解析】23323,2, 1.ia bi i a bi ab a b i+=+⇒-=+⇒==-+= 6. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】设复数2(a,b R,z a bi i =-∈是虚数单位）的模为1，则复数2z 的共轭复数的模是．【答案】1．【解析】由题设可知1422=+b a ，而abi b a bi a z 44)2(2222--=-=，其共轭复数为abi b a z 44222+-=，其模为1)4(16)4(||222222222=+=+-=b a b a b a z ．7. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】已知复数z 满足42-=z ，若z 的虚部大于0，则=z ．【答案】2i 【解析】试题分析：设222(,,0),24z a bi a b R b z a b abi =+∈>=-+=-则，因此 20,4,2a b b =-=-=±，又0b >则2,2b z i ==8. 【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】若复数z ＝(1＋m i)(2－i)(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为 ▲ ．9. 【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝a ＋i ，且z 1·¯z 2是实数（其中¯z 2为z 2的共轭复数），则实数a ＝___________．【答案】34【解析】试题分析：因为i a a i a i z z )34(43))(43(21-++=-+=⋅是实数，所以.43,034==-a a10. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】已知i为虚数单位，计算()21i=【答案】14-【解析】原式=ii 32231+-i i 4341)31(2)31(2--=+-=11. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】已知复数()1z i i =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点位于第象限．12. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】设复数22i(1i)z +=+（i 为虚数单位），则z 的虚部是_____________．【答案】1- 【解析】()2221221ii z i i i ++===-+，所以虚部为1- 13. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】复数iz 251+=的共轭复数为____▲_____.29i【解析】复数299z i ===-29i . 14. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】若复数i i z (21-=为虚数单位），则=+⋅z z z ．【答案】i 26-【解析】i i z z z 26215-=-+=+⋅15. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】已知复数z ＝(3＋i)2(i 为虚数单位)，则|z|＝________ 【答案】10【解析】22(3)9686z i i i i =+=++=+，10z ==．16. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】设复数122,12z i z i =+=+，在复平面的对应的向量分别为,OA OB ，则向量AB 对应的复数所对应的点的坐标为____________．【答案】(1,1)-【解析】∵复数122,12z i z i =+=+，∴(2,1)OA =，(1,2)OB =，∴(1,1)AB OB OA =-=-，∴向量AB 对应的复数所对应的点的坐标为(1,1)-.17. 【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】已知复数()22z i =-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 . 【答案】34i + 【解析】试题分析：()22=34,34.z i i z i =--=+18. 【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】若复数z 满足(2)43i z i -=+（i 为虚数单位），则||z = ▲.19. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】已知2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ▲ ．【答案】1- 【解析】试题分析：22210(i)2i 122 1.22a a a ai i a a ⎧-=-=⇒--=⇒⇒=-⎨-=⎩20. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】已知0＜a ＜2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是 ▲ ．【答案】【解析】试题分析：由题意得(1。

【江苏特刊】决胜2017年高考全国名校试题数学分项汇编专题05 平面向量原卷版

一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33C B 上有10个不同的点1021,,,P P P ，记i i AB M ⋅=2（10,,2,1 =i ），则=+++1021M M M.2. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】在ABC ∆中，点D 满足34BD BC =，当点E 在射线AD （不含点A ）上移动时，若AE AB AC λμ=+，则1λμ+的最小值为________．3. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线,m n 的同侧，且A 到,m n 的距离分别为1，3．点,B C 分别在,m n ，5AB AC +=，则AB AC ⋅的最大值是．4. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】已知向量a ，b ，c 满足||=2a ||3b a b =⋅=，若(2)(23)0c a b c -⋅-=，则||b c -的最大值是．5. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足12AB AC AD +=，且||3CD =DA DC ⋅= ．6. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】在平面直角坐标系中，点A （1，0），B （0，1），点C在第二象限内，若65π=∠AOC ,OC OA OB λμ=+u u u r u u r u u u r,2=,则λμ=7. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，2AM MD =．若AC BM ⋅＝－3，则AB AD ⋅＝ ▲ ．8. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】在平面直角坐标系xOy 中，设点(1A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等式2(2)()()C D m O C O D m O C O B O D O A -⋅+⋅⋅⋅≥对任意实数a b c d ，，，都成立，则实数m 的最大值是 ▲ ．9. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】在平面直角坐标系xOy 中，设M 是函数24()x f x x +=(x>0)的图象上任意一点，过M 点向直线y=x 和y 轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则MAM B ⋅=▲ ．10. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅= ▲ ．11. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】设二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象经过点)2,(t C ，且与x 轴交于B A ,两点，若ACB ∠是钝角，则实数a 的取值范围是．12. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】在ABC ∆中，3,4AB AC ==,N 是AB 的中点，边AC （含端点）上存在点M ，使得BM CN ⊥，则cos A 的取值范围为_______. 13. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】在ABD ∆中，13112,2,,343A B A A E A D B C B D B E A C ===⋅=，，则BAD ∠的值为_______.14. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】扇形AOB 中，弦1AB =，C 为劣弧AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP BP ⋅的最小值是_______.15. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知Rt △ABC 的面积为2，︒=∠90C ，点P是Rt △ABC所在平面的一点，满足CA CB CP 94+=,则PB PA ⋅的最大值是 . 16. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】在三角形ABC 中，13,23BC BD AB AC A π=⋅=∠=，，则||AD 的最小值为_______.二、解答题1. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分14分）已知(c o s ,s i n ),(c o s a b ααββ==．（1）若67πβα=-，求a b ⋅的值；（2）若4,58a b πα⋅==，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈-0,2πβα，求tan()αβ+的值．。

【推荐】专题13 复数-决胜2017年高考全国名校试题数学第一学期分项汇编(江苏特刊)

一、填空
1.【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】已知是虚数单位，复数z的共轭复数为，若2z =+ 2 - 3，则z=▲ ．
2
【答案】i-
2.【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】已知复数满足()
+⋅=-，则的模为．
1i z i
【解析】
3.【南京市2017届高三年级学情调研】设复数满足()34
+=-+（为虚数单位），则的
z i i i
模为 .
【解析】
4.【泰州中学2016-2017
则复数的虚部为．
-
【答案】2
【解析】
，所以复数的虚部为2-
5.【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】已知复数满足(1i)2
z-=，其中为虚数单位，则的实部为▲ ．
【答案】1
【解析】
1
6. 【2017届高三七校联考期中考试】已知复数i z i z +=+=33121 (i 为虚数单位)．在复平面内，21z z -对应的点在第 ▲ 象限．
【答案】二
7. 【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】若复数
()()()1120,x y i i x y R -+++=∈⎡⎤⎣⎦，则x y +=_____________．
【答案】
【解析】
试题分析:因为02≠+i ,所以0)1(1=++-i y x ,故1,1-==y x ,则0=+y x ,故应填答案.。

2017年高考江苏卷数学试题解析(正式版)(原卷版)

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I参考公式：柱体的体积V Sh=，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．球的体积34π3R V=，其中R是球的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知集合{1,2}A=，2{,3}B a a=+，若{1}A B=I，则实数a的值为▲ ．2．已知复数(1i)(12i)z=++，其中i是虚数单位，则z的模是▲ ．3．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取▲ 件．4．右图是一个算法流程图，若输入x的值为116，则输出y的值是▲ ．5．若π1tan(),46α-=则tanα=▲ ．6．如图，在圆柱12O O内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12O O的体积为1V，球O的体积为2V，则12VV的值是▲ ．第 1 页共 6 页第 2 页共 6 页7．记函数2()6f x x x =+-的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213xy -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ ．9．等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a = ▲ ．10．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ▲ ． 11．已知函数31()2e ex x f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r 的模分别为1，1，2，OA u u u r与OC u u u r 的夹角为α，且tan α=7，OB u u u r 与OC u u u r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ，则m n += ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20,PA PB ⋅u u u r u u u r ≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ ．14．设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n -==，*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)第 3 页共 6 页分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）AD ⊥AC ． 16．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].x x x ==-∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值． 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．18．（本小题满分16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为7，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均第 4 页共 6 页忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．19．（本小题满分16分）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++L L 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列． 20．（本小题满分16分）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．第 5 页共 6 页数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足．求证：（1）PAC CAB ∠=∠；（2）2AC AP AB =⋅．B ．[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵0110,.1002⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B （1）求AB ；（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为 2222x sy s⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值． D ．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）第 6 页共 6 页如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB =AD =2，AA 1=3，120BAD ∠=︒．（1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值；（2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值．23．（本小题满分10分）已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +L 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+L ．123Lm n +（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的数学期望，证明：()()(1)nE X m n n <+-．。

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一、填空1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且满足：194a a =，则数列{}2log n a 的前9项之和为__________．【答案】9 【解析】试题分析：∵21954a a a ==，∴52a =，∴921222921292525log log log log ()log 9log 9a a a a a a a a +++====，2. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知数列{}n a 满足：()1111,1n n n a a a a ++=-=，数列{}n b 满足：1n n n b a a +=，则数列{}n b 的前10项的和10S =__________．3. 【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】设等比数列{}n a 满足公比*q N ∈，*n a N ∈，且{}n a 中的任意两项之积也是该数列中的一项，若8112a =，则的所有可能取值的集合为．【答案】{}8127932,2,2,2,2 【解析】试题分析：由题意，8112n n a q -=，设该数列中任意两项为,m la a ，它们的积为pa ，则811811811222m l p qqq---=，即，故1p m l --+必须是81的正约数，即1p m l --+的可能取值为1,3,9,27,81，所以的所有可能取值的集合为{}8127932,2,2,2,24. 【南京市2017届高三年级学情调研】各项均为正数的等比数列{}n a ，其前项和为n S ，若2578a a -=-，313S =，则数列{}n a 的通项公式n a = .【答案】3n －1 【解析】试题分析：由题意得321111(1)78,(1)13(1)6,03,1,3n n a q q a q q q q q q a a --=++=⇒-=>∴=== 5. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】若等差数列{}n a 的前项和525S =，且43a =，则7a = ．【答案】3-6. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】数列{}n a 定义如下：11a =，23a =，，1,2,n =…．若，则正整数m 的最小值为．【答案】8069 【解析】即数列{}n na 成等差数列，首项为1，公差为212615a a -=-=，所以，因此8，所以正整数m 的最小值为8069.7. 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】设n S 是等差数列{}n a的前项和，且23a =，416S =，则9S 的值为 ▲ ．【答案】81 【解析】试题分析：由23a =，416S =得1113,46161,2a d a d a d +=+=⇒==，所以8. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】设n S 是等比数列{}n a 的前项的和，若3620a a +=，则的值是 ▲ ．【答案】2 【解析】9. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知n S 为数列{}n a 的前项和，11a =，2(1)n n S n a =+，若关于正整数的不等式222n n a ta t -≤的解集中的整数解有两个，则正实数的取值范围为▲ ．10. 【2017届高三七校联考期中考试】设等差数列{}n a 的前项和为n S ，▲ ．【解析】试题分析：11. 【2017届高三七校联考期中考试】设n S 为数列{}n a 的前项和，*2,N n n kn S n ∈+=，其中是常数．若对于任意的m m m a a a N m 42*,,,∈成等比数列，则的值为 ▲ ．【答案】0或1 【解析】试题分析：∵*2,N n n kn S n ∈+= ∴ 数列{}n a 是首项为1+k ，公差为k 2的等差数列，21n a kn k =+-又对于任意的*N m ∈都有m m m a a a 422=，∴)17)(1()13(,24122++=+=k k k a a a ，解得=k 0或1.又0=k 时1n a =，显然对于任意的m m m a a a N m 42*,,,∈成等比数列；1=k 时242,2,4,8n m m m a n a m a m a m ====，显然对于任意的m m m a a a N m 42*,,,∈也成等比数列．综上所述，=k 0或1.12. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】设数列{}n a 首项12a =,前项和为n S ，且满足()123n n a S n N *++=∈，则满足_________. 【答案】13. 【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】设数列{}n a 的前项和为n S ，已知()2*427n n S a n n n N =-+∈，则11a=______________．【答案】2- 【解析】试题分析:由题设()2*427n n S a n n n N=-+∈可得)1(7)1(24211-+--=--n n a Sn n ,将以上两式两边相减可得7122241++--=-n a a a n n n ,即41+--=-n a a n n ,所以41+-=+-n a a n n ,又因为31=a ,所以14232-=+--=a ,故34213=+-=a ,依次可推得211-=a ,应填答案2-.二、解答1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】（本题满分14分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2n b ++，求使1262n n S n ++>成立的正整数的最小值．【答案】（1）2n n a =；（2）6．试题解析：（1）∵32a +是24,a a 的等差中项，∴()32422a a a +=+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分代入23428a a a ++=，可得38a =，∴2420a a +=，∴21211820a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，解之得122a q =⎧⎨=⎩或．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ∵1q >，∴122a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（22nn ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∴()212222n n S n =-⨯+⨯++，．．．．．．．．．．．．．．．① ()2312122222n n S n n +=-⨯+⨯+++，．．．．．．．．．．．．．② ②—①得()3111121222222212n n n n n n n n ++++-+-=-=---．．．．．．．．．．．．．12分 ∵1262n n S n ++>，∴12262n +->，∴16,5n n +>>，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 ∴使1262n n S n ++>成立的正整数的最小值为6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分2. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】（本题满分16分）已知数列{}n a 的前项和为n A ，对任意*n N ∈满足且11a =，数列{}n b 满足()*21320,5n n n b b b n N b ++-+=∈=，其前9项和为63．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2，数列{}n c 的前项和为n T ，若对任意正整数，都有2n T n a ≥+，求实数的取值范围；（3）将数列{}{},n n a b 的项按照“当为奇数时，n a 放在前面；当为偶数时，n b 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：11223344556,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b b ，，求这个新数列的前项和n S ．【答案】（1）,2n n a n b n ==+；（2（3的最大值即可得2n T n -的最小（3）根据新数列的构造方法，在求新数列的前项和n S 时，对分类：2n k =，41n k =-和41n k =+三类，可求解．试题解析：（11又11a =，∴()*n a n n N =∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ∵2120n n n b b b ++-+=，∴数列{}n b 是等差数列，设{}n b 的前项和为n B ，且35b =， ∴79b =，∴{}n b 的公差为．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1111112213242n c n n n ⎛⎫++=+-+-++- ⎪+⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∴数列{}n R 为递增数列，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∵对任意正整数，都有2n T n a -≥恒成立，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分（3）数列{}n a 的前项和，数列{}n b 的前项和 ①当()*2n k k N =∈时，②当()*41n k k N =+∈时，特别地，当1n =时，11S =也符合上式； ③当()*41n k k N =-∈时，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分 3. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】（本小题满分16分）在数列{}n a 中，已知12a =，1=321n n a a n ++-．（1）求证：数列{}+n a n 为等比数列；（2）记(1)n n b a n λ=+-，且数列{}n b 的前项和为n T ,若3T 为数列{}n T 中的最小项，求λ的取值范围．【答案】（1）详见解析（2试题解析：解（1）∵1=321n n a a n ++-,∴)(311n a n a n n +=+++．又12a =，∴0,0>+>n a a n n , {}n a n ∴+是以为首项，公比为的等比数列 ………………………4分（2）由（1）知道+3nn a n =，3nn b n λ∴=-. ………………………6分………………8分若3T 为数列{}n T 中的最小项，则对*n ∀∈N 有即12381(12)n n n λ+-≥+-对*n ∀∈N 恒成立 ……………………10分当1n =时，有 2当2n =时,有239T T λ≥⇒≥； ………………12分3当4n ≥时，212(4)(3)0n n n n +-=+->恒成立,对4n ∀≥恒成立.对4n ∀≥恒成立,在4n ≥时为单调递增数列.………………………15分 ………………………16分4. 【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】已知数列{}n a 的前项和n S 满足：(1)n n n S t S a =-+（为常数，且0t ≠，1t ≠）．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n n n n b a S a =+⋅，若数列{}n b 为等比数列，求的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设41n n c a =+，数列{}n c 的前项和为n T ，若不等式对任意的*n N ∈恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）nn a t=（23后验证（3）试题解析：解：（1）当1n =时，111(1)S t S a =-+，得11a =．当2n ≥时，由(1)n n n S t S a =-+，即(1)n n t S ta t -=-+，① 得11(1)n n t S ta t ---=-+，②①②，得1(1)n n n t a ta ta --=-+，即1n n a ta -=，∴（2n ≥）， ∴{}n a 是等比数列，且公比是，∴nn a t =．（2）由（1若数列{}n b 为等比数列，则有2213b b b =⋅，而212b t =，32(21)b t t =+，423(21)b t t t =++，故23242(21)(2)(21)t t t t t t ⎡⎤+=⋅++⎣⎦，解得代入n b ，得，知{}n b 为等比数列，∴∴当4n ≤时，1n n d d +>，当4n ≥时，1n n d d +<，，∴45d d <， 5. 【南京市2017届高三年级学情调研】（本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前项和为n S ，且2315a a =，416S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11b a =，①求数列{}n b 的通项公式；②是否存在正整数,()m n m n ≠，使得2,,m n b b b 成等差数列？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）a n ＝2n －1（2）①b nn ∈N*．②m ＝3，n ＝8试题解析：（1）设数列{a n }的公差为d ，则d ＞0．由a 2·a 3＝15，S 4＝16，得111()(2)154616a d a d a d ++=⎧⎨+=⎩解得112a d =⎧⎨=⎩或172a d =⎧⎨=-⎩（舍去）所以a n ＝2n －1． …………………… 4分（2）①因为b 1＝a 1，b n ＋1－b n所以b 1＝a 1＝1，b n +1－b n…………………… 6分即 b 2－b 1b 3－b 2……b n －b n －12）累加得：b n －b……………………9分所以b n ＝b 11b 1＝1也符合上式．故b n n ∈N*． …………………… 11分②假设存在正整数m 、n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列，则b 2＋b n ＝2b m ．又bm (14)分当n ＋1＝3，即n ＝2时，m ＝2，（舍去）；当n ＋1＝9，即n ＝8时，m ＝3，符合题意．所以存在正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列． …………………… 16分6. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】已知各项都为正数的等比数列{}n a 的前项和为n S ，数列{}n b 的通项公式,1,n n n b n n ⎧=⎨+⎩为偶数为奇数（*n N ∈），若351S b =+，4b 是2a 和4a 的等比中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n n a b ⋅的前项和n T ．【答案】（1）12n n a -=（2试题解析：（1）∵数列{}n b 的通项公式,1,n n n b n n ⎧=⎨+⎩为偶数为奇数（*n N ∈），∴56b =，44b =．设各项都为正数的等比数列{}n a 的公比为，0q >，∵3517S b =+=，∴21117a a q a q ++=，①∵4b 是2a 和4a 的等比中项，∴224316a a a ==，解得2314a a q ==，② 由①②得23440q q --=，解得2q =或，∴11a =，12n n a -=．（2）当为偶数时，0(11)2n T =+⨯[]2342122(31)242(51)2(1)122n n n n --+⨯++⨯+⨯++⨯++-+⨯+⨯…0231022(22232422)(222)n n n --=+⨯+⨯+⨯++⨯++++……，设023122232422n n H n -=+⨯+⨯+⨯++⨯…，③则2312 2 2232(1)22n n n H n n -=+⨯+⨯++-⨯+⨯…，④∴(1)21nn H n =-⨯+，当为奇数，且3n ≥时，经检验，12T =符合上式．7. 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】（本小题满分16分）在数列{}n a 中，已知，*n ∈N ，设n S 为{}n a 的前项和．（1）求证：数列{3}n n a 是等差数列；（2）求n S ；（3）是否存在正整数p ，， ()p q r <<，使,,p q r S S S 成等差数列？若存在，求出p ，，的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）详见解析（23）p ，，的值为，，．通过研究n S 单调性，确定满足条件解的范围：当2n ≥时足条件的解2q =，经验证满足条件试题解析：（1，所以11332n nn n a a ++-=-，…………………2分，所以113=1a ⋅，所以{3}nn a 是首项为1，公差为2-的等差数列． …………………………4分（26分10分（3）假设存在正整数p ，， ()p q r <<，使,,p q r S S S 成等差数列，则2q p r S S S =+，即由于当2n ≥时，，所以数列{}n S 单调递减．又p q <，所以1p q -≤且至少为2………………12分14分②当2q =时，1p =，，所以3r =({}n S 单调递减，解唯一确定)．，． ………………………………16分8. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】(本小题满分14分)设公差不为零的等差数列{}n a 的前项的和为55，且 (1)求数列{}n a 的通项公式． (2)，求证：数列{}n b 的前项和【答案】(1) 25n a n =+ (2)详见解析111111[(1)()()]23352121n b n n ++=-+-++--+=试题解析：(1)设等差数列的的首项为1a ，公差为d ，或1110a d =⎧⎨=⎩(舍去)故数列{}n a 的通项公式为72(1)n a n =+-即25n a n =+．………… 7分 (2)由(1)25n a n =+，分111111[(1)()()]23352121n b n n ++=-+-++--+= 9. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】(本题满分16分)已知数列}{n a 的前项和为n S ，且4=+n n a S ，∈n N * (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)已知32+=n c n (∈n N *)，记=n d n C n a c log +(0>C 且1≠C )，是否存在这样的常数C ，使得数列}{n d 是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由． (3)若数列}{n b ，对于任意的正整数，均有求证：数列}{n b 是等差数列．【答案】(1) nn a -=22(2) 详见解析试题解析：(1)114a a -=，所以21=a ………………1分由4=+n n a S 得2≥n 时，411=+--n n a S 两式相减得，12-=n n a a ，…………2分数列}{n a 是以2 所以nn a -=22(*N n ∈) ……………4分(2)由于数列}{n d 是常数列n d =n C n a c log +2log )2(32C n n -++= ……………6分2log 2log 232C C n n -++2log 23)2log 2(C C n ++-=为常数，只有02log 2=-C ；解，此时7=n d ………8分1=n ，，其中21=a ，所以…10分当2≥n 时，分分…16分10. 【2017届高三七校联考期中考试】（本小题满分16分）设数列{}n a 的前项和为n S ，且满足2,1,2,3n n S a n =-=g g g . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足b =11，且n n n b b a +=+1，求数列{}n b 的通项公式；（3，数列{}n C 的前n 求.【答案】3）6n =减法求和：注意相减时项的符号变化，中间等比数列求和时的项数，最后结果需除以1q -，法求超越方程的根.试题解析：(1)当n=1时，S a =-112，所以a =11 （1分）当n ≥2时， n n S a --=-112，且n n S a =-2 所以()()n n n a a a -=---122（3分）则数列{}n a 是以1数列{}n a 的通项公式是（4分）(2) 由 n n n b b a +=+1且（7分）以上n-1()n -++2122，又b =11 （9分）（10分）（3 （11分）恒成立，6n ∴= 注：需用单调性证明唯一性，否则扣1分. （16分）11. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】（本小题满分14分）已知{}n a 是一个公差大于的等差数列，且满足362755,16a a a a =+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）等比数列{}n b 满足:1122,1b a b a ==-, 若数列n n n c a b =，求数列{}n c 的前项和n S . 【答案】(1)12-=n a n ；(2)n n n S 2)32(3-+=.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则依题设0d >.由2716a a +=,得12716a d += ① 由3655a a =,得()()112555a d a d ++= ② 由①得12167a d =- 将其代入②得()()163163220d d -+=. 即222569220,4d d -=∴=,又0,2d d >∴=代入①得()11,11221n a a n n =∴=+-=-.（2）()11121,2,2,212n n n n n n b b b c a b n --==∴=∴==-,()()011121232...212,21232...212n n n n S n S n -=+++-=+++-.两式相减可得: ()0121122222...22212n n n -++++--)12n =，)()()111212*********n n n n n n n ++=+---=---，()()1321223232n n n n S n n +∴=+--=+-12. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】（本小题满分16分）设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为()1q q ≠的等比数列. 记n n n c b a =-. （1）求证: 数列{}1n n c c d +-+为等比数列；（2）已知数列{}n c 的前项分别为9,17,30,53. ①求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；②是否存在元素均为正整数的集合{}()12,,...,,4,k A n n n k k N*=≥∈，使得数列12,,...,k n n n c c c 等差数列？证明你的结论.【答案】(1)证明见解析；(2)①131,52nn n a n b -=--=；②不存在满足题意的集合A .（1）证明: 依题意，()()()()()1111110n n n n n n n n n n n c c d b a b a d b b a a d b q ++++-+=---+=---+=-≠,又()21110c c d b q -+=-≠,所以{}1n n c c d +-+是首项为()11b q -，公比为的等比数列 .（2）① 由（1）得，等比数列{}1n n c c d +-+的前项为8,13,23d d d +++, 则()()()213823d d d +=++,解得3d =-, 从而2q =, 且()111192317b a b a -=⎧⎪⎨--=⎪⎩, 解得114,5a b =-=,所以131,52n n n a n b -=--=.②假设存在满足题意的集合A ,不妨设(),,,l m p r A l m p r ∈<<<, 且,,,l m p r c c c c 等差数列, 则2m p l c c c =+, 因为0l c >, 所以2m p l c c c =+ ① 若1p m >+, 则2p m ≥+,结合①得, ()15231n n c n -=++, 则()()()11125231523152321m p m m p m --+⎡⎤++>++>+++⎣⎦, 化简得,② 因为2,m m N *≥∈, 这与②矛盾，所以只能1p m =+,同理2r p l m =+=+, 所以,,m p r c c c 为数列{}n c 的连续三项，从而122m m m c c c ++=+,即()()()11222m m m m m m b a b a b a ++++-=-+-,又122m m m a a a ++=+.故122m m m b b b ++=+,又212m m m b b b ++=，故1q =，这与1q ≠矛盾，所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合A .13. 【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】（本题满分16分）已知正项数列{}n a 为等比数列，等差数列{}n b 的前项和为()*n S n N∈，且满足：139********,41,,S S S a b a b =-===.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设()*1122n n n T a b a b a b n N =+++∈，求n T ；（3）设,,n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，问是否存在正整数m ，使得()121283m m m m m m c c c c c c +++++=++.【答案】(1)()1*2n n a n N -=∈；(2)()()*3828nnT n n N =-⨯+∈；(3)2m =.试题解析：（1）因为数列{}n b 为等差数列，且1397208,41S S S =-=，即13797981320841S b S S b b ==⎧⎨-=+=⎩，解得716b =，公差为3，．．．．．．．．．．．．．2分所以12b =-，得35n b n =-．．．．．．．．．．．．．．3分又12331,4a b a b ====，所以()1*2n n a n N -=∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）()111222112352n n n n T a b a b a b n -=+++=-⨯+⨯++-⨯，．．．．．．．．．①则()222212352n n T n =-⨯+⨯++-⨯，．．．．．．．．．．．．．．②将①—②得：()()()()()212322235232235228328n nn nnnT n n n --=-+⨯+++--⨯=⨯---⨯-=-⨯-所以()()*3828nn T n n N=-⨯+∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）因为12,35,n n n n c n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，当1m =时，()1231238114812,318c c c c c c +=+=++=，不等，．．．．．．．．．．．9分当2m =时，2348147836c c c +=+=，()()2343314736c c c ++=++=成立，．．．．．．．．．．．．．．．10分当3m ≥且为奇数时，2,m m c c +为偶数，1m c +为奇数，所以128m m m c c c +++为偶数，()123m m m c c c ++++为奇数，不成立，．．．．．．．．．．．．．12分当4m ≥，且m 为偶数时，若()121283m m m m m m c c c c c c +++++=++，即()()()352318335231mm m m m m -++=-+++，．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分得()2912821820mm m m --=-．．．．．．．．．．．．．（*）因为()()24912823612821820mm m m m m --≥-->-，所以（*）不成立．．．．．．．15分综上得2m =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分。