立体几何(高考题汇编)

立体几何测试 (高考题汇编)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1 ．（2013（理））设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （ ）

A ．若αβ⊥,m α?,n β?,则m n ⊥

B ．若//αβ,m α?,n β?,则//m n

C ．若m n ⊥,m α?,n β?,则αβ⊥

D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥

【答案】D

2.（2013年高考大纲卷（文））已知正四棱锥

1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于

（ ）

A ．

2

3

B C D ．

13

【答案】A

3．（2013（理））在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两

个不同的平面,对空间任意一点P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则

（ ）

A ．平面α与平面β垂直

B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为045

C ．平面α与平面β平行

D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为060

【答案】A

4 ．（2013春季高考）若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为

（ ）

A ．1:2

B ．1:4

C ．1:8

D ．1:16

【答案】C

5 ．（2013（理））某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是

（ ）

A ．4

B ．143

C ．163

D ．6

【答案】B

6．（2013数（理））已知三棱柱111

ABC A B C -的侧棱与底面垂直,体积为9

4,

的正三角形.若P 为底面

111

A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为

（ ）

A ．512π

B ．3π

C ．4π

D ．6π

【答案】B

7．（2013年高考卷（文））已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若

34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为

（ ）

A

B

．

C ．

132

D

．

【答案】C

8 （2013新课标Ⅱ（理））已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足

,,,l m l n l l αβ⊥⊥??,则

（ ）

A ．βα//,且α//l

B ．βα⊥,且β⊥l

C ．α与β相交,且交线垂直于l

D ．α与β相交,且交线平行于l

【答案】D

9．（2013（理））已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球

O 的球面上,

若

正视图

俯视图

侧视图

第5题图

34

AB AC

==

，,AB AC

⊥,

112

AA=,则球O的半径为（）

A．317

B．210C．

13

2

D．310

【答案】C

10．（2013（理））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为,m n,那么m n

+=

（）A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】A

11．（2013新课标Ⅱ（理））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz

-中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得

到正视图可以为

（）A．B．C．D．

【答案】A

12．（2013（理））在下列命题中,不是公理

．．的是（）A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面,那么这条直线上所有的点都在此平面

D ．如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．

13．（2013（文））某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为__________.

【答案】3

14．（2013（理））在xOy 平面上,将两个半圆弧2

2

(1)1(1)x y x -+=≥和

22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y = 和1y =-围成的封闭图形记为D,如图中阴影

部分.记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω,过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面,所得

截面面积为48π,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为__________

【答案】2

216ππ+.

15．（2013（理））某几何体的三视图如图所示, 则其体积为_______.

【答案】

3

π

16．（2013（文科））已知圆柱Ω的母线长为l ,底面半径为r ,O 是上地面圆心,A 、B 是下

底面圆周上两个不同的点,BC 是母线,如图.若直线OA 与BC 所成角的大小为

π6

,则1

r

=________. 【答案】3

三、解答题：本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．（2013（文））如图,直四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中,AB//CD,AD ⊥AB,AB=2,AD=

,AA 1=3,E

为CD 上一点,DE=1,EC=3

(1) 证明:BE ⊥平面BB 1C 1C;

(2) 求点B1 到平面EA 1C 1 的距离

【答案】解.(1)证明:过

B 作CD 的垂线交CD 于F,则

2,1,2BF AD EF AB DE FC ===-==

在36Rt BFE BE Rt BFC BC ??中，＝，中，＝ 在2

2

2

9BCE BE BC EC ?+中，因为＝＝,故BE BC ⊥ 由1111BB ABCD BE BB BE BB C C ⊥⊥⊥平面，得，所以平面 (2)1111111123

A B C E A B C V AA S ?-?三棱锥的体积＝＝2211111

11112Rt A D C AC A D D C ?+在中，＝=3, 同理,2

2

112EC EC CC +＝=3，

2

2

2

113EA AD ED AA ++＝=2因此115A C E S ?=3.设点B1到平面11EA C 的距离为d,则111B EAC -三棱锥的体积

111

53

A EC V d S d ???＝＝,1052,d d ==

18．（2013（理））如图,四棱锥P ABCD

-

中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3

BC CD AC ACB ACD π

===∠=∠=,F 为PC 的中

点,AF PB ⊥.

(1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值.

【答案】

19．（2013（理））如图,在四面体BCD A -中,⊥AD 平面

BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在

线段AC 上,且QC AQ 3=.

(1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为060,求BDC ∠的大小.

【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取MD 的中点F ,且M 是AD 中点,所以

3AF FD =.因为P 是BM 中点,所以//PF BD ;又因为(Ⅰ)3AQ QC =且3AF FD =,所以//QF BD ,所以面//PQF 面BDC ,且PQ ?面BDC ,所以

//PQ 面BDC ;

A

B

C

D

P

Q

M

（第20题图）

方法二:如图7所示,取BD 中点O ,且P 是BM 中点,所以1

//

2PO MD ;取CD 的三等分点H ,使3DH CH

=

,且3AQ QC =,所以11

////42

QH AD MD ,所以

////PO QH PQ OH ∴,且OH BCD ?,所以//PQ 面BDC ;

(Ⅱ)如图8所示,由已知得到面ADB ⊥面BDC ,过C 作CG BD ⊥于G ,所以

CG BMD ⊥,过G 作GH BM ⊥于H ,连接CH ,所以CHG ∠就是C BM D --的二面角;由已知得到813BM =

+=,设BDC α∠=,所以

cos ,sin 22cos ,22cos sin ,22sin ,CD CG CB

CD CG BC BD CD BD

αααααα===?===,

在RT BCG ?中,2sin 22sin BG

BCG BG BC

ααα∠=∴=

∴=,所以在RT BHG ?中, 22

122sin 3

322sin HG α

α=∴=,所以在RT CHG ?中 2

22tan tan 60322sin 3

CG CHG HG α

∠===

= tan 3(0,90)6060BDC ααα∴=∈∴=∴∠=;

20．（2013春季高考）如图,在正三棱锥111ABC A B C -中,16AA =,异面直线1BC 与1AA 所

成角的大小为6

π

,求该三棱柱的体积.

【答案】[解]因为1CC 1AA .

所以1BC C ∠为异面直线1BC 与1AA .所成的角,即1BC C ∠=6

π. 在Rt 1BC C ?中

,11tan 63

BC CC BC C =?∠=?

=

从而24

ABC S BC ?=

=,

因此该三棱柱的体积为16ABC V S AA ?=?==.

21．（2013（理））如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AD=1,A 1A=1,证明直线BC 1平行于平

面DA 1C,并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.

C 1

1

A

【答案】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体,故1111//,AB C D AB C D =,

故ABC 1D 1为平行四边形,故11//BC AD ,显然B 不在平面D 1AC 上,于是直线BC 1平行于平面DA 1C;

直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h

考虑三棱锥ABCD 1的体积,以ABC 为底面,可得11

1(12)

1323

V =

????= 而1AD C ?中,11

AC DC AD ==,故13

2

AD C S ?= B 1

A 1

C 1

A

C

B

所以,13123233V h h =

??=?=,即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23

. 22．（2013（理））如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=?,6BC =,,D E 分别是

,AC AB 上的点

,CD BE =O 为BC 的中点.将ADE ?沿DE 折起,得到如图2所

示的四棱锥A BCDE '-,

其中A O '=.

(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.

【答案】(Ⅰ) 在图1中,

易得3,OC AC AD ===

C D O

B

E

'A

H

.

C

O B

D

E

A C

D

O

B

E

'A

图1

图2

连结,OD OE

,在OCD ?中,由余弦定理可得

OD ==由翻折不变性可知A D '=,

所以2

2

2

A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥, 理可证A O OE '⊥, 又OD

OE O =,所以A O '⊥平面BCDE .

(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--

的平面角.

结合图1可知,H 为AC 中点,

故

OH =

,从而

A H '== 所以cos 5OH A HO A H '∠

=

=',所以二面角A CD '--的平面角的余弦值为. 向量法

:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,3,0

C -,()1,2,0

D -

所以(CA '=,(1,DA '=- 设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则

00n CA n DA ?'

?=??

'

?=??,即3020

y x y ?

+=??-++=??,解得y x z =-

???=??,令1x =,得

(1,1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,

所以cos ,53n OA n OA n OA '?'

=

=='

,即二面角A CD B '--的平面角的余弦

.