有限元法的基本原理

其中，V是函数向量，它是一组和微分方程个数相等的任意函数。 式(5)是与微分方程组(1)完全等效的积分形式。我们可以说，若积分方程(5)对于任意 的V都能成立，则微分方程(1)必然在域内任一点都得到满足。
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以二维稳态的热传导方程为例，其控制方程和定解条件如下：
这里φ表示温度(在渗流问题中对应压力);k是流度或热传导系数(在渗流问题中对应流度 K/μ; 和 是边界上温度和热流的给定值(在渗流问题中分别对应边界上的压力和边界上的流 速);n是有关边界Γ的外法线方向;q是源密度(在渗流问题中对应井的产量)。 在上述问题中，若k和q只是空间位置的函数时，问题是线性的。若k和q是φ及其导数的 函数时，问题则是非线性的。 由于微分方程组(1)在域中每一点都必须为零，因此就有
有限元法的理论基础是变分原理或加权余量法，加权余量法的原理是基于微分方程等效积 分的提法，同时它也是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法[44][45]。在有限元分 析中，加权余量法可以被用于建立有限元方程，但加权余量法本身又是一种独立的数值求解方 法。 本文突破了传统方法中将裂缝看成一个高渗透条带的局限性，利用锚杆模型来模拟裂缝作 用，将裂缝叠加到基质的渗流有限元方程中去，增加了有限元方程的刚度项。为了便于不同布 置锚杆的方式而不影响有限元网格的划分，本文采用隐式锚杆单元对裂缝的高效导流作用进行 分析。将锚杆单元隐埋在基质岩体单元内，对于长度大于岩体单元的锚杆进行分来自百度文库处理，并假 定分段形成的新的锚杆单元的端点处的自由度变化与岩体协调。在模拟计算时，采用反力算法 来计算井底流量，该方法通过节点流量来计算内边界井的流量，因此，与以往方法比较准确性 更高。 加权余量法的原理是基于微分方程等效积分的提法，同时它也是求解线性和非线性微分方 程近似解的一种有效方法。在有限元分析中，加权余量法可以被用于建立有限元方程，但加权 余量法本身又是一种独立的数值求解方法。
微分方程的等效积分形式 工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的 形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u应满足微分方程组
域Ω可以是体积域、面积域等，如图1所示。同时未知函数u还满足边界条件
r是域Ω的边界。
要求解的未知函数u可以是标量场(例如压力或温度)，也可以是几个变量组成的向量 场(例如位移、应变、应力等)。A，B是表示对于独立变量(例如空间坐标、时间坐标等)的 微分算子。微分方程数目应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单 个的方程，也可以是一组方程。所以在以上两式中采用了矩阵形式。
有限元法的基本原理
有限元法是一种求解连续介质力学问题的数值方法。在许多工程问题中由于几何形状和 荷载太复杂，因而不可能得到封闭形式的数学解，这就需要一个数值解，提供数值解最灵活 的方法就是有限元法。有限元法是结构分析中的一种数值法，它已成为分析连续体的强有力 工具，但它并不是只限于结构力学问题，它已经能够成功的用来解决热传导、电磁场、渗流 和流体动力学等其它领域中的问题。 有限元法是对古典近似计算的归纳和总结，它吸取了有限差分法中的离散处理内核，又 继承了变分计算中选择试探函数并对区域积分的合理方法。有限元法的基本思想是将连续的 求解区域离散为一组有限个、按一定方式相互联结在一起的单元的组合提。由于单元能按不 同的联结方式进行组合，而且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的 求解域。有限单元法作为数值分析方法的另一个重要特点是利用在每一个单元内假设的近似 函数来分片的表示全求解域上待求的未知场函数。单元内近似函数通常由未知场函数或其导 数在单元的各个结点的数值和其插值函数来表示。这样一来，一个问题的有限元分析中，未 知场函数或其导数在各个结点上的数值就成为新的未知量(也即自由度)，从而使一个连续的 无限自由度问题变成场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。显然随着单元数目 的增加，也就是单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的 近似程度将不断改进。如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。
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有限元语言及编译器（Finite Element Language And it’s Compiler，以下简称FELAC） 是中国科学院数学与系统科学研究院梁国平研究院于1983年开始研发的通用有限元软件平 台，是具有国际独创性的有限元计算软件，是PFEPG系列软件三十年成果（1983年—2013 年）的总结与提升，有限元语言语法比PFEPG更加简练，更加灵活，功能更加强大。目前 已发展到2.0版本。其核心采用元件化思想来实现有限元计算的基本工序，采用有限元语 言来书写程序的代码，为各领域，各类型的有限元问题求解提供了一个极其有力的工具。 FELAC可以在数天甚至数小时内完成通常需要一个月甚至数月才能完成的编程劳动。