数学建模-草原鼠患问题(1)

论文题目：

草原鼠患问题

摘要：

在我国的内蒙古大草原，由于各种人为因素对自然生态系统的破坏(如过度放牧、大量消灭草原上的狼群等)，造成草原鼠患问题严重，并由此引发了严重的生态问题。由生物知识知道，鼠患的主要原因是由于人为对自然环境的损坏使得生态失去了平衡，至使老鼠的视线得到了很好的扩充，在加上天敌数量的减少，使得老鼠数目得不到有效控制。为了更好的对其进行有效、合理的控制，并对其各种方案进行有效性分析，本文主要通过对老鼠和天敌数目之间的关系利用微分等数学方法对模型进行了建立，并在最后给出了自己的最好的方案，但本文存在一定的缺点，对数据的要求较高，需要对大量数据进行统计，使得模型过于复杂。

关键字：微分方程、几何型曲线、生态平衡、鼠患

一、问题重述

在我国的内蒙古大草原，由于各种人为因素对自然生态系统的破坏(如过度放牧、大量消灭草原上的狼群等)，造成草原鼠患问题严重，并由此引发了严重的生态问题。

老鼠在草原上是家族式掘洞群居。它们食量巨大，繁殖力强。由于挖掘造成的环境损失远远大于单纯的食草所造成的危害。所有鼠害发生的地方水土流失严重。有的甚至形成了大面积寸草不生的“鼠荒地”。

更糟糕的是至今我们尚未找到能有效控制进而消灭草原老鼠的办法。也就是说，至少以目前的技术力量，我们还不能用人工种草的办法永久地恢复自然植被。因为不当的灭治方法，鼠害日益泛滥，而且越灭越多，因而也就不得不继续灭下去了。但是，能否最终将老鼠赶出草原，目前尚难以作出定论。

控制草原鼠患，现在人们通常采用的有下面几种方法:

(1) 灭鼠药现在所用的灭鼠药在杀死老鼠的同时，也杀死了老鼠的天敌。因此，实际的情况是，撒灭鼠药后老鼠的数量反而以几何级数增长。改进的方法是，可以研制无公害的灭鼠药，但这需要一定的时间和大量资金的投入。

(2) 引入老鼠的天敌通过人工喂养和驯化老鼠的天敌，如鹰、狐狸、狼等，将一定数量的老鼠的天敌引入鼠患严重的草原，利用它们控制老鼠的数量。这种方法在短期内有效，但也有一定的问题：一是费用比较高，例如，喂养和驯化一只银狐的费用要上千元；二是引入的数量难以确定，数量太小，难以控制鼠患，数量太多就会引起新的生态问题。

(3) 人工种植牧草鼠类是一种需要开阔视野的生物种，只要有茂密的牧草生长，它们就无法生存。它们的视线之内如果毫无遮拦，便会肆意横行。在草场植被密集的地方，老鼠并不容易打洞，而且在这样的环境中，老鼠遇到天敌追捕时也难以及时躲避，所以数量不会激增。但是，据有关资料显示，青藏高原上几乎所有的人工种草都会在一定时间内自行退化。

问题1、建立恰当数学模型，对上述灭鼠方法的效果进行评估分析，要考虑到短期和长期的效果以及资金投入的问题；

问题2、对控制草原鼠患，恢复生态平衡，提出你认为切实可行的建议；

问题3、通过网络或其它途径（如公开出版的文献、研究论文等）搜集、收集实际数据，验证你的模型及结果。

二、背景

据统计，内蒙古呼伦贝尔大草原一些地区每公顷草原约有千余鼠洞，严重地区鼠害面积已占草场面积的40%，鼠灾已严重影响牧民生存。

进入4月中旬，呼伦贝尔大草原本应该是“草色遥看近却无”的时节，但是由于去冬今春降水量偏低，干旱严重，青草至今还看不到踪影。而严重的干旱常常成了鼠害产生的温床。有关部门调查，鼠害最为严重的是新巴尔虎右旗。这个

旗的鼠害面积达800多万亩，占全旗草场的40%。当地草原工作站监测数据显示，新巴尔虎右旗生存着上亿只老鼠，每天可吃掉上千吨牧草。本来春季牧草就十分短缺，如今加上严重的鼠害，已经形成老鼠和牛羊争牧草的局面。

在呼伦贝尔草原上为害的老鼠主要是布氏田鼠和长爪沙鼠。由于近年来老鼠的天敌几乎消失殆尽，再加上多年来持续干旱，老鼠种群发展速度十分惊人。严重的鼠灾已经影响到草原牧民的生存与发展。

据统计，鼠害严重地区每公顷有老鼠洞1600多个，平均鼠洞密度为每公顷977个。人在草原上行走，随时可见老鼠窜来窜去，驱车在草原路上走过，就可能轧死几只老鼠。

有关专家警告，呼伦贝尔草原鼠繁殖能力特别强，春夏出生的幼鼠秋天即可繁殖。如果不能在春季控制住鼠害蔓延的趋势，就有可能给草原带来毁灭性的灾难。尽管化学灭鼠不是上策，目前还是不得已而为之。新巴尔虎右旗已经配制了100吨毒饵，发放给牧民，指导牧民常规灭鼠，同时还在协调飞机投毒饵灭鼠。

三、基本假设

1）老鼠、天敌的出生率、死亡率在正常状况下保持不变；

2）老鼠、天敌各个种群之间的性别比为1：1；

3）每只老鼠在单位时间内对草原的破坏程度相同；

4）老鼠药、牧草单位数量的的价格长时间内不会发生变化；

5）老鼠、天敌生存的环境不会有较大的变化；

6）老鼠在短时间内不会产生抗体；

7）牧草长成的过程不会受到老鼠的影响（为了避免其对牧草生长的影响，可在为遭破坏的草原上种植牧草然后将其移植到需要解决鼠患问题的地方）

8）草原的面积为一公顷

9）天敌的生存离不开老鼠

[模型分析]

针对题目中的三种方案，从时间资金投入以及效果等方面出发，建立差分、微分模型、V olterra 模型，对各方案在其平衡点处的最终效果进行分析并予以比较，得出其在短时间与长时期的优势、劣势，综合考虑各方案，得出一套切实可行的方案。 [模型建立]

目标函数：M （t ）=P(t)

*Q(t)1

;○

1 老鼠的数量：

axy rx ay r x dt dx

-=-=)(;○

2 天敌的数量：

byx dy bx d y dt

dy

+-=+-=)(;○3 从○

2、○3中消去dt 后得到

天敌与老鼠之间的关系：

axy

rx byx dy dx dy -+-=)

(;○

4 联立○

2、○3得两个平衡点分别为：

⎪⎭

⎫

⎝⎛a r b d A , ， ()00'，

A 计算他们的p 、q （p=-(-a+rx) , q=

dy

b rx

a -）发现，对于'A ，q=0但'A 不稳定；

对于A 点p=0,q>0,处于临界状态，属于非线性方程，不能用判断线性方程的平衡点的稳定性来判断。

由○

4得，方程○2○3的相轨线为：

()()

c e y e x

ay r bx d

=--（其中c 为任意常数）

由c 的任意性知，相轨线是一族从A 点向外扩展的封闭曲线。

1） 方案一：灭鼠药

)1(11q q a a a k k +⨯⨯=-+

1）有公害药物对老鼠的影响：

n1次繁殖后x 的增长量（呈几何型曲线增长如图）：（1）x （n 1

）=1a 1n q

Q (t)=12p xn P (t) =V 1

∑=n

k n

q

1

a