十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题17 复数

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学

专题17复数

1.(2019·全国1·文T1)设z=3-i

1+2i ,则|z|= ( ) A.2 B.√3 C.√2 D.1

【答案】C 【解析】∵z=3-i

1+2i , ∴z=

(3-i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )

=15?75

i,

∴|z|=√(15)2

+(-75)2

=√2.

故选C.

2.(2019·全国3·理T2文T2)若z(1+i)=2i,则z=( ) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i

【答案】D 【解析】z=

2i 1+i

=

2i (1-i )(1+i )(1-i )

=

2+2i

2

=1+i.故选D.

3.(2019·北京·理T1文T2)已知复数z=2+i,则z ·z =( ) A.√3 B.√5 C.3 D.5

【答案】D

【解析】∵z=2+i,∴z =2-i. ∴z ·z =(2+i)(2-i)=5. 故选D.

4.(2019·全国2·文T2)设z=i(2+i),则z =( ) A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i

【答案】D

【解析】z=2i+i 2

=-1+2i,则z =-1-2i.故选D.

5.(2019·全国1·理T2)设复数z 满足|z-i|=1,z 在复平面内对应的点为(x,y),则( ) A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1

C.x2+(y-1)2=1

D.x2+(y+1)2=1 【答案】C

【解析】设z=x+yi(x,y ∈R). 因为z-i=x+(y-1)i, 所以|z-i|=√x 2+(y -1)2

=1, 则x2+(y-1)2=1.故选C.

6.(2019·全国2·理T2)设z=-3+2i,则在复平面内 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

【答案】C

【解析】由z=-3+2i,得z =-3-2i,则在复平面内z 对应的点(-3,-2)位于第三象限,故选C. 7.(2018·全国1·理T1文T2)设z=1-i

1+i +2i,则|z|=( ) A.0 B.1

2

C.1

D.√2

【答案】C 【解析】因为

z=(1-i )2

(1+i )(1-i )+2i=-2i

2+2i=i,所以|z|=1.

8.(2018·全国2·理T1)1+2i

1-2i =( ) A.-4

5?3

5i B.-45+3

5i

C.-35

?45i D.-35

+45

i

【答案】D 【解析】

1+2i 1-2i

=

(1+2i )(1+2i )(1-2i )(1+2i )

=

1-4+4i 5=-35+4

5

i. 9.(2018·全国2·文T1)i(2+3i)=( ) A.3-2i B.3+2i

C.-3-2i

D.-3+2i

【答案】D

【解析】i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i.

10.(2018·全国3·理T2文T2)(1+i)(2-i)=( )

A.-3-i

B.-3+i

C.3-i

D.3+i

【答案】D

【解析】(1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i.

11.(2018·北京·理T2文T2)在复平面内,复数1

1-i

的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【答案】D

【解析】∵1

1-i =1+i

(1-i)(1+i)

=1+i

2

=1

2

+1

2

i,∴1

2

+1

2

i的共轭复数为1

2

?1

2

i,而1

2

?1

2

i对应的点的坐标为(1

2

,-1

2

),

点(1

2,-1

2

)位于第四象限,故选D.

12.(2018·浙江·4)复数2

1-i

(i为虚数单位)的共轭复数是( ) A.1+i B.1-i

C.-1+i

D.-1-i

【答案】B

【解析】∵2

1-i =2(1+i)

(1-i)(1+i)

=2(1+i)

2

=1+i,

∴复数2

1-i

的共轭复数为1-i.

13.(2017·全国1·理T3)设有下面四个命题

p1:若复数z满足1

z

∈R,则z∈R;

p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;

p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=z2;

p4:若复数z∈R,则z∈R.

其中的真命题为( )

A.p1,p3

B.p1,p4

C.p2,p3

D.p2,p4 【答案】B

【解析】p1:设z=a+bi(a,b∈R),则1

z =1

a+bi

=a-bi

a2+b2

∈R,所以b=0,所以z∈R.故p1正确;

p2:因为i2=-1∈R,而z=i?R,故p2不正确;

p3:若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确;

p4:实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4正确.

14.(2017·全国2·理T1)3+i

1+i

=( )

A.1+2i

B.1-2i

C.2+i

D.2-i

【答案】D

【解析】3+i

1+i =(3+i)(1-i)

(1+i)(1-i)

=4-2i

2

=2-i,故选D.

15.(2017·全国2·文T2)(1+i)(2+i)= ( )

A.1-i

B.1+3i

C.3+i

D.3+3i

【答案】B

【解析】(1+i)(2+i)=2+3i+i2=1+3i,故选B.

16.(2017·山东·文T2)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=( )

A.-2i

B.2i

C.-2

D.2

【答案】A

【解析】(方法一)∵z=1+i

i =1+1

i

=1-i,

∴z2=(1-i)2=1-2i+i2=-2i.

(方法二)由zi=1+i,得(zi)2=(1+i)2,即-z2=2i.所以z2=-2i.

17.(2017·全国3·理T2)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=( )

A.1

2B.√2

2

C.√2

D.2

【答案】C

【解析】由题意,得z=2i=1+i,故|z|=√12+12=√2.

18.(2017·全国1·文T3)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )

A.i(1+i)2

B.i2(1-i)

C.(1+i)2

D.i(1+i)

【答案】C

【解析】∵i(1+i)2=2i2=-2,i2(1-i)=-1+i,(1+i)2=2i,i(1+i)=-1+i,∴(1+i)2=2i为纯虚数,故选C.

19.(2017·山东·理T2)已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+√3i,z·z=4,则a=()

A.1或-1

B.√7或-√7

C.-√3

D.√3 【答案】A

【解析】由z=a+√3i,得z ·z =|z|2=a 2+3=4,所以a 2

=1,a=±1,选A. 20.(2017·全国3·文T2)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

【答案】C

【解析】由题意可得z=-1-2i,在复平面内对应点(-1,-2),则该点位于第三象限.故选C.

21.(2017·北京·理T2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,1)

B.(-∞,-1)

C.(1,+∞)

D.(-1,+∞) 【答案】B

【解析】设z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为复数z 在复平面内对应的点 (a+1,1-a)在第二象限,所以{a +1<0,

1-a >0,

解得a<-1.故选B.

22.(2016·全国2·理T1)已知z=(m+3)+(m-1)i 在复平面内对应的点在第四象限,则实数m 的取值范围是( ) A.(-3,1)

B.(-1,3)

C.(1,+∞)

D.(-∞,-3) 【答案】A

【解析】要使复数z 在复平面内对应的点在第四象限,应满足{m +3>0,

m -1<0,解得-3

23.(2016·全国3·理T2)若z=1+2i,则zz -1=( ) A.1 B.-1

C.i

D.-I

【答案】C

【解析】由题意知z=1-2i,则

zz-1=4i

(1+2i)(1-2i)-1

=4i

5-1

=i,故选C.

24.(2016·北京·文T2)复数1+2i

2-i

=() A.i B.1+i

C.-i

D.1-I

【答案】A

【解析】1+2i

2-i =(1+2i)(2+i)

(2-i)(2+i)

=2+i+4i-2

5

=i,故选A.

25.(2016·全国1·理T2)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=( )

A.1

B.√2

C.√3

D.2

【答案】B

【解析】(定义、性质)因为(1+i)x=1+yi,x,y∈R,

所以x=1,y=x=1.

所以|x+yi|=|1+i|=√2,故选B.

26.(2016·全国1·文T2)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=( )

A.-3

B.-2

C.2

D.3

【答案】A

【解析】由已知(1+2i)(a+i)=a-2+(2a+1)i.

∵(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,

∴a-2=2a+1,解得a=-3,故选A.

27.(2016·全国2·文T2)设复数z满足z+i=3-i,则z=( )

A.-1+2i

B.1-2i

C.3+2i

D.3-2i

【答案】C

【解析】由z+i=3-i,得z=3-2i,所以z=3+2i,故选C.

28.(2016·全国3·文T2)若z=4+3i,则z

|z|

= ()

A.1

B.-1

C.4

5+3

5

i D.4

5

?3

5

i

【答案】D

【解析】因为z=4+3i,所以它的模为|z|=|4+3i|=√42+32=5,共轭复数为z =4-3i.故

z |z |

=4?3

i,选D.

29.(2016·山东·理T1)若复数z 满足2z+z =3-2i,其中i 为虚数单位,则z=( ) A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i

【答案】B

【解析】设z=a+bi(a,b ∈R),则2z+z =3a+bi=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i,选B. 30.(2015·全国2·理T2)若a 为实数,且(2+ai)·(a-2i)=-4i,则a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2

【答案】B

【解析】∵(2+ai)(a-2i)=4a+(a 2

-4)i=-4i, ∴{4a =0,a 2-4=-4,

解之,得a=0. 31.(2015·全国·文T3)已知复数z 满足(z-1)i=1+i,则z=( ) A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i

【答案】C

【解析】∵(z-1)i=1+i, ∴z=1+i

i +1=

(1+i )(-i )

-i 2

+1=1-i+1=2-i.

32.(2015·全国2·文T2)若a 为实数,且2+ai

1+i

=3+i,则a=( )

A.-4

B.-3

C.3

D.4

【答案】D

【解析】由题意,得2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,则a=4.

33.(2015·安徽·文T1)设i 是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)=( ) A.3+3i B.-1+3i C.3+i D.-1+i

【答案】C

【解析】由复数的乘法运算法则,得(1-i)(1+2i)=1-i+2i-2i2=1+i+2=3+i,因此选C. 34.(2015·湖南·文

T1)已知(1-i )

2

z

=1+i(i 为虚数单位),则复数z=( )

A.1+i

B.1-i

C.-1+i

D.-1-i

【答案】D

【解析】由已知得

z=(1-i )2

1+i

=-2i 1+i =-2i (1-i )

(1+i )(1-i )=

-2-2i

2

=-1-i. 35.(2015·全国1·理T1)设复数z 满足1+z

1-z =i,则|z|=( ) A.1 B.√2 C.√3 D.2

【答案】A 【解析】∵

1+z =i,∴z=i -1

=

(i -1)(-i+1)

(i+1)(-i+1)

=i,∴|z|=1.

36.(2015·湖北·理T1)i 为虚数单位,i 607

的共轭复数．．．．为( ) A.i B.-i C.1 D.-1

【答案】A

【解析】∵i607=i151×4+3=i3=-i,∴i607的共轭复数为i.

37.(2015·安徽·理T1)设i 是虚数单位,则复数2i

1-i 在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 【答案】B

【解析】由复数除法的运算法则可得,2i

1-i =2i (1+i )

(1-i )(1+i )=2i -2

2=-1+i,对应点为(-1,1)在第二象限.故选B. 38.(2014·全国2·理T2)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=( ) A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i

【答案】A

【解析】由题意知:z2=-2+i.

又z1=2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.故选A.

39.(2014·重庆·理T1)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于( ) A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 【答案】A

【解析】因为i(1-2i)=i+2,其在复平面内对应的点为(2,1),位于第一象限.故选A. 40.(2014·全国1·理T2)(1+i )3

(1-i )

2=(

)

A.1+i

B.1-i

C.-1+i

D.-1-I

【答案】D 【解析】

(1+i )3(1-i )

2

=

(1+i )2

(1+i )(1-i )

2

=

2i (1+i )

-2i

=-1-i.故选D.

41.(2014·全国2·文T2)1+3i

1-i =( ) A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i

【答案】B 【解析】

1+3i

1-i

=

(1+3i )(1+i )(1-i )(1+i )

=

-2+4i

2=-1+2i,故选B.

42.(2014·全国1·文T3)设z=1

1+i +i,则|z|=( ) A.12

B.√2

2

C.√3

2

D.2

【答案】B 【解析】因为

z=11+i +i=1-i (1+i )(1-i )+i=1-i 2+i=12+12i,所以|z|=|12+12i|

=√(12)2

+(12)2

=√2

2,故选B.

43.(2013·全国1·理T2)若复数z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则z 的虚部为( ) A.-4 B.-4

5

C.4

D.4

5

【答案】D

【解析】∵(3-4i)z=|4+3i|, ∴z=5

3-4i =5(3+4i )

(3-4i )(3+4i )=3

5+4

5i. 故z 的虚部为4

5,选D.

44.(2013·全国2·文T2)|2

1+i |=( )

A.2√2

B.2

C.√2

D.1

【答案】C 【解析】∵

21+i =1-i,∴|2

1+i

|=|1-i|=√2. 45.(2013·全国2·理T2)设复数z 满足(1-i)z=2i,则z=( ) A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i

【答案】A

【解析】z=2i 1-i =2i (1+i )

(1-i )(1+i )=-2+2i

2

=-1+i. 46.(2013·全国1·文T2)1+2i

(1-i )

2=(

)

A.-1-1

2

i B.-1+12

i C.1+1

2i D.1-1

2i

【答案】B 【解析】

1+2i (1-i )

2=1+2i

-2i =(1+2i )i 2

=-2+i 2=-1+1

2i.

47.(2012·全国·理T3)下面是关于复数z=2

-1+i 的四个命题: p1:|z|=2, p2:z2=2i, p3:z 的共轭复数为1+i, p4:z 的虚部为-1, 其中的真命题为( ) A.p2,p3 B.p1,p2C.p2,p4 D.p3,p4

【答案】C 【解析】z=

2(-1-i )

(-1+i )(-1-i )

=-1-i,故|z|=√2,p 1

错误;z 2=(-1-i)2=(1+i)2

=2i,p 2正确;z 的共轭复数为-1+i,p 3错

误;p 4正确.

48.(2012·全国·文T2)复数z=-3+i

2+i

的共轭复数是( )

A.2+i

B.2-i

C.-1+i

D.-1-i

【答案】D

【解析】z=-3+i 2+i =(-3+i )(2-i )

(2+i )(2-i )=

-5+5i

5

=-1+i,故z 的共轭复数为-1-i.

49.(2011·全国·文T2)复数5i

1-2i =( ) A.2-i B.1-2i C.-2+i D.-1+2i

【答案】C

【解析】5i

1-2i =5i (1+2i )

(1-2i )(1+2i )=

-10+5i

5

=-2+i. 50.(2010·全国·理T2)已知复数z=√3+i

(1-√3i )

2,z 是

z 的共轭复数,则z ·z =( )

A.1

B.1

C.1

D.2

【答案】A 【解析】∵z=√3+i

(1-√3i )

2

=

√3+i

1-2√3i+3i 2

=

√3+i

-2-23i

=

√3+i √3i (-2-23i )(-2+23i )

=-√3

4+i

4, ∴z =-√3

4?i

4.

∴z ·z =(-√3

4-i 4)(-√34+i 4)=316+116=1

4. 51.(2010·全国·文T3)已知复数z=√3+i

(1-√3i )

2,则|z|等于(

)

A.1

4 B.1

2

C.1

D.2

【答案】B 【解析】z=

√3+i

1+3i 2-23i

=-

√3+i

2+2√3i

=-12×

2√3-2i 4

=

i -√34,|z|=14×2=1

2

. 52.(2018·天津·理T9文T9)i 是虚数单位,复数6+7i

1+2i = . 【答案】4-i 【解析】

6+7i

1+2i

=

(6+7i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )

=

6-12i+7i+14

5

=

20-5i

5

=4-i. 53.(2019·天津·理T9文T9)i 是虚数单位,则|5-i

1+i |的值为___________. 【答案】√13 【解析】5-i

1+i =

(5-i )(1-i )

2

=4-6i

2=2-3i.

|5-i

1+i |=√4+9=√13.

54.(2019·江苏·T 2)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i 为虚数单位,则实数a 的值是____ . 【答案】2

【解析】∵(a+2i)(1+i)=a+ai+2i+2i2=a-2+(a+2)i,∴a-2=0,∴a=2.

55.(2018·上海·5)已知复数z 满足(1+i)z=1-7i(i 是虚数单位),则|z|= . 【答案】5

【解析】因为(1+i)z=1-7i,

所以|1+i||z|=|1-7i|,即√2|z|=5√2, 解得|z|=5.

56.(2017·浙江·12)已知a,b ∈R,(a+bi)2=3+4i(i 是虚数单位),则a2+b2=_____,ab=________. 【答案】5 2

【解析】由题意可得a2-b2+2abi=3+4i, 则{a 2-b 2=3,ab =2,解得{a 2=4,b 2=1,

则a 2+b 2

=5,ab=2. 57.(2017·江苏·T 2)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i 是虚数单位,则z 的模是 . 【答案】√10

【解析】由已知得z=(1+i)(1+2i)=-1+3i,故|z|=√(-1)2

+32=√10,答案为√10.

58.(2017·天津·理T9文T9)已知a ∈R,i 为虚数单位,若a -i

为实数,则a 的值为 .

【答案】-2

【解析】∵a -i

2+i =(a -i )(2-i )

(2+i )(2-i )=2a -1

5?a+2

5i 为实数, ∴-a+2

5=0,即a=-2.

59.(2016·江苏·T 2)复数z=(1+2i)(3-i),其中i 为虚数单位,则z 的实部是 . 【答案】5

【解析】因为z=(1+2i)(3-i)=5+5i,所以z 的实部是5.

60.(2016·天津·理T9)已知a,b ∈R,i 是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则a

b 的值为 . 【答案】2

【解析】(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,则{1+b =a ,

1-b =0,

所以{a =2,b =1,即a b =2.故答案为2.

61.(2016·北京·理T9)设a ∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a= .

【答案】-1

【解析】∵(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i∈R,

∴a+1=0,即a=-1.

62.(2015·天津·理T9)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为. 【答案】-2

【解析】(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i.

∵(1-2i)(a+i)是纯虚数,∴a+2=0,且1-2a≠0,

∴a=-2.

63.(2015·江苏·T 3)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为.

【答案】√5

【解析】因为z2=3+4i,所以|z2|=√32+42=5,所以|z|=√5.

64.(2015·重庆·理T11)设复数a+bi(a,b∈R)的模为√3 ,则(a+bi)(a-bi)= .

【答案】3

【解析】因为复数a+bi的模为√3,所以2+b2=√3,

即a2+b2=3.

于是(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2+b2=3.