人教初中数学八上123角的平分线的性质《三等分角问题素材 新人教版
八年级数学角平分线的性质知识点总结
角平分线的性质是八年级数学中的重要内容之一，它是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的线段。
下面是关于角平分线的性质的总结，包括定义、性质和应用：一、定义：角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的线段。
角平分线是角的重要构造之一二、性质：1.角平分线将角分成两个相等的角。
即如果一条线段是一个角的平分线，则它将这个角分成两个度数相等的角。
2.角平分线与角的两边相交于一个点。
即角平分线与角的两边交于角的顶点。
3.角平分线与角的两边垂直相交于角平分线的中点。
即角平分线与角的两边垂直相交于角平分线上的一个点，该点同时也是角平分线的中点。
4.角平分线上的点到角的两边的距离相等。
即角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。
5.两条平行线与角的顶点与顶边所在的线段构成的两个相似三角形，它们的角平分线平行。
即如果一条线段是一个角的平分线，另一条与之平行的线段也是这个角的平分线。
三、应用：1.判断角平分线。
当我们需要判断一个线段是否为一个角的平分线时，可以使用角平分线的定义和性质进行判断，即判断这个线段能否将角分成两个相等的角。
2.利用角平分线的性质解决问题。
当我们遇到需要将角分成两个相等的角的问题时，可以使用角平分线的性质进行解决。
例如，在解决相似三角形的问题中，可以利用角平分线的性质进行角的划分。
3.构造角平分线。
当我们需要构造角的平分线时，可以利用直尺和圆规进行构造。
常见的构造方法有尺规作图法和五线谱法等。
四、例题：1.已知角ABC，其中角平分线AD交角的两边于E、F两点，证明：AE=AF。
证明：根据角平分线的性质4，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即DE=DF，又因为AD为角ABC的平分线，所以∠DAE=∠DAF。
再根据等腰三角形的性质，得知AE=AF。
2.已知直角三角形ABC中，角A=90°，角B的平分线BD与AC相交于点D，求证：∠ADB=45°。
证明：由直角三角形的性质，角B=90°-角A=90°-90°=0°，即角B为零角。
人教版八年级数学上册12.3 角的平分线的性质(第1课时)
探究新知
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上； （3）垂直距离.
O
定理的作用：证明线段相等.
A D
PC
E
B
应用格式：
∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA， PE⊥OB，
∴PD = PE
推理的理由有三个， 必须写完全，不能
人教版 数学 八年级 上册
12.3 角的平分线的性质 第1课时
导入新知
下图是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC. 将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边放下，沿 AC画一条射线AE，AE 就是这个角的平分线，你能说
A
明它的道理吗？
D
B
C E
素养目标
3. 熟练地运用角平分线的性质解决实际 问题. 2. 探究并认知角平分线的性质.
课堂小结
尺规 作图
属于基本作图，必须熟练掌握
角平分线 性 质 定理
一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等
为证明线段相等 提供了又一途径
辅助线 添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
提示
(1)已知什么？求作什么？
A
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点
与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作
图中体现这个过程呢?
(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中
O
B
体现这个过程呢？
(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
探究ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ知
已知: ∠AOB. 求作：∠AOB的平分线.
探究新知
9 人教初中数学八上 12.3角的平分线的性质 三角形的五心及其性质素材 新人教版【2023,最新经
三角形的五心及其性质一、三角形的五心1．内心：指三条内角平分线相交的点,在三角形中只有一点,到三角形三边的距离相等，以这点为圆心,到一边的距离为半径，作的圆与三边相切．２．旁心：指三角形两条外角平分线与另外一条内角平分线的交点．在三角形中有四个,到三角形三边所在直线的距离相等,以这点为圆心,到一边所在直线的距离为半径,作的圆与三边所在直线相切.3．重心：指三条中线相交的点,在三角形中只有一点,是每条中线的三等分点.4. 垂心:指三条高线相交的点，在三角形中只有一点.锐角三角形垂心在三角形内，直角三角形垂心在直角顶点,钝角三角形垂心在三角形外.5. 外心：指三边中垂线（垂直平分线)相交的点，在三角形中只有一点．锐角三角形外心在三角形内,直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在三角形外.二、“五心”的性质１.三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等.2.三角形的外心到三顶点的距离相等.3.三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心．４．三角形的内心、旁心到三边距离相等.5.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心.６．三角形的外心是它的中点三角形的垂心.7.三角形的重心也是它的中点三角形的重心.８.三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心.9．三角形的任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的二倍.《分式方程》说课稿(一）教材分析:《分式方程》第一课时本节内容是在学生掌握了一元一次方程的解法和分式四则运算的基础上进行的，为后面学习可化为一元一次方程的分式方程打下基础。
通过经历实际问题→列分式方程→探究解分式方程的过程,体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，进一步发展学生分析问题和解决问题的能力，培养应用意识，渗透类比转化思想。
（二)、教学目标：知识技能:了解分式方程定义，理解解分式方程的一般解法和分式方程可能产生增根的原因,掌握解分式方程验根的方法。
人教版 初中数学八年级上册 12.3.1角的平分线的性质(共18张PPT)
自主学习
阅读教材第48——49页思考前 完成自学检测题
感悟实践经验，用尺规作角的平分线
下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，
BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两
边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分
线．你能说明它的道理吗？
A
D
B
明过程．
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
追问3 角的平分线的性质的作用是什么？
主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方 法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等．
解决简单问题，巩固角的平分线的性质
练习1 下列结论一定成立的是 ． （1）如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，D，E 分 别为OA，OB 上的点，则PD =PE．
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
感悟实践经验，用尺规作角的平分线
追问4 你能说明为什么射线OC 是∠AOB 的平分 线吗？
A
并证明角的平分线的性质
已知：∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D，E．
求证：PD =PE．
O
A
D C
P
E
B
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
追问2 由角的平分线的性质的证明过程，你能概 括出证明几何命题的一般步骤吗？
（1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证
12.3角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质-人教版八年级数学上册课件
分析：
(1)已知了什么？让你干什么？
（已知了一个角，作角平分线）
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重 合,且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个步骤呢?
（在角的两边上截取相同的长度） (3)在平分角的仪器中，与角不重合的另外两条边相等，怎 样在作图中体现这个步骤呢？
（在角的内部取两段等长的线段） (4)找到这个交点后怎么办？
（2）求△APB的面积.
B D
P
（3）求∆PDB的周长.
CPDB PD PB DB
A
C
PC PB DB
BC DB AD DB
AB 14
学以致用
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别
是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则
B
∠EBF= 60 度，BE= BF .
新知引入
思考 1、在纸上画一个角，怎样才能得到这个角的平分线？
2、如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到
木板、钢板的角平分线吗？
3、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A 放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条 A 射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?
例2、如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，
PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=___4___cm.
B
D M
P
A
EC
举一反三
变式、如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交
BC于点P，若PC＝4, AB=14.
（1）则点P到AB的距离为___4____
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N. ∵ AD∥BC，
数学人教版八年级上册123角平分线的性质.3角平分线的性质
C
D
B
例题
2、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。
A N P B C M
证明： 过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC， CA，垂足为D、E、F， ∴PD=PE
同理 PE=PF ∴PD=PE=PF 即点P到三边AB， BC,CA的距离相等
B
∴ AC=AE (全等三角形对应边相等)
=AC+EB =AE+EB=AB=6cm
答：△DEB的周长为6cm
总结
1、本节课学习了什么内容？ 2、我们是如何并探究角平分线的性质的？ 3、角平分线的性质有什么作用？运用时需 要注意什么？ 知识内容：角平分线仪器的操作原理 角的平分线的尺规画法 角平分线的性质．
A O
D B
A
C P EB
O
平分线 可以看出，第一条折痕OC是∠AOB _______ __ PD、PE 2 条折痕，分别为__________, 第二次形成了____ 距离 它们的长度是角平分线上的一点到∠AOB两边的_______ 这两个距离______ 相等 _
猜想
角的平分线上的点到角的两 边的距离相等
A
Ｍ
Ｃ
Ｂ
Ｎ
Ｏ
则射线ＯＣ即为所求．
应用
如何用尺规作出平角 ∠AOB的平分线？
以后， 把它反向延长得到直线CD， 直线CD与直线AB是什么关系？
结论：作平角的平分线即可平分平角， 由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线 的方法。
探究
如图：将∠AOB对折，得到折痕OC，在OC上任取一点P, 折出OA,OB的垂线，垂足为D,E.比较PD,PE 你得到了什么结论？
初中数学人教版八年级上册(新)三等分角教学课件(17张)
PART3.小结提升：
➢活动过程 ➢数学思想 ➢应用意识
PART4.布置作业：
➢ 必做部分 1. 规范书写问题1和2的证明过程. 2. 阅读材料，了解阿基米德三等分角的原理，
并给出证明.
PART4.布置作业：
➢ 选作部分 根据材料，用折纸法三等分任意锐角， 并给出证明.
一、折步骤
2.将纸片对折, 使得AD与BC 重合, 折痕为EF;
一、折纸步骤
3. 翻折左上角, 使折痕通过点B, 且点A落在EF上, 折痕记为BM;
二、度量检验
4. 射线BM, BN即为∠ABC的
三等分线;
三、推理证明
数学活动的过程
观察 思考
动手 操作
实践 检验
推理 证明
PART2.问题探究：
PART1.课题引入：
➢尺规作图三等分任意角 古希腊几何作图的三大难题之一
本题无解！（60°）
PART1.课题引入：
➢借助……三等分任意角 其它工具 其它曲线 折纸……
PART2.问题探究：
• 问题1：如何三等分直角？
PART2.问题探究：
• 问题1：如何三等分直角？
一、折纸步骤
1.长方形纸片命名为ABCD;
• 问题2：勾尺三等分任意锐角
阅读材料：勾尺的直角顶点为P ,“宽臂” 的宽度=PQ=QR=RS，勾尺的一边为MN， 且满足M, N, Q三点共线（所以PQ⊥MN）.
PART2.问题探究：
1.画直线DE使DE∥BC，且这两条平行线
的距离等于PQ；
2.移动勾尺到合适位置，使其顶点P落在DE 上，使勾尺的MN边经过点B，同时让点R落 在的BA边上；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三等分角问题 “只准用直尺与圆规，能不能将一个任意角3等分呢？” 这个题目看上去也很容易，似乎与两等分角问题差不多.所以，在2000多年前，当古希腊见到这个题目时，有不少人甚至不假思索就拿起了直尺与圆规…… 一天过去了，一年过去了，人们磨秃了无数支笔，始终也画不出符合题意的图形来! 这个题目吸引了许多数学家.公元前3世纪，古希腊最伟大的数学家阿基米德，也曾拿起直尺与圆规，用这个题目测试过自已的智力. 阿基米德失败了.古希腊数学家全失败了.2000多年来，这个问题激动了一代又一代的数学家，成为一个举世闻名的数学难题.笛卡儿、牛顿等许许多多最优秀的数学家，也都曾拿直尺圆规，用这个难题测试过自已的智力……无数的人全都失败.2000多年里，从初学几何的少年到天才的数学大师，谁也不能只用直尺和圆规将一个任意角三等分! 一次接一次的失败，使得后来的人们变得审慎起来.渐渐地，人们心中生发一个巨大的问号：三等分一个任意角，是不是一定能用直尺与圆规作出来呢？如果这个题根本无法由尺规作出，硬要用尺规去尝试，岂不是白费气力？ 以后，数学家们开始了新的探索.因为，谁要是能从理论上予以证明：三等分任意角是无法由尺规作出的，那么，谁也就解决了这个著名的数学难题. 1837年，数学家们终于赢得了胜利.法国数学家闻脱兹尔宣布：只准用直尺与圆规，想三等分一个任意角是根本不可能的! 这样，他率先走出了这座惑了无数人的数学谜宫，了结了这桩长达2000多年的数学悬案. 15.2.2 分式的加减
教学目标 明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点 1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法 教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程 例、习题的意图分析 1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式. 2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入 1．说出分数混合运算的顺序. 2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解 （教科书）例7 计算 [分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. （教科书）例8 计算： [分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：
(1) xxxxx22)242(2 （2）)11()(baabbbaa
（3）)2122()41223(2aaaa 五、课后练习 1．计算：
(1))1)(1(yxxyxy
(2)22242)44122(aaaaaaaaaa (3)zxyzxyxyzyx)111( 2．计算24)2121(aaa，并求出当a-1的值.
六、答案： 四、（1）2x （2）baab （3）3
五、1.(1)22yxxy (2)21a （3）z1 2.原式=422aa，当a-1时，原式=-31.
13.3.1 等腰三角形 教学目标 （一）教学知识点 1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质． 3．等腰三角形的概念及性质的应用． （二）能力训练要求 1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质． （三）情感与价值观要求 通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯． 重点难点 重点：1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用． 难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教学方法 探究归纳法． 教具准备 师：多媒体课件、投影仪； 生：硬纸、剪刀． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 [师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？ [生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是． [师]那什么样的三角形是轴对称图形？ [生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形． [师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形． Ⅱ．导入新课 [师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．
ABI CA
BI
作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形． [生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点． [师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形． …… [师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角． [师]有了上述概念，同学们来想一想． （演示课件） 1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． 2．等腰三角形的两底角有什么关系？ 3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？ 4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？ [生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线． [师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系． [生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等． [生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线． [生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴． [生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线． [师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质． [生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高． [师]很好，大家看屏幕． （演示课件） 等腰三角形的性质： 1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）． [师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）． （投影仪演示学生证明过程） [生甲]如右图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为
,,,ABACBDCDADAD
所以△BAD≌△CAD（SSS）． 所以∠B=∠C．
DCAB [生乙]如右图，在△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为 ,,,ABACBADCADADAD
所以△BAD≌△CAD． 所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°． [师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕． （演示课件） [例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD， 求：△ABC各角的度数． [师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题． [生]根据等边对等角的性质，我们可以得到 ∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，• 再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC的三个内角． [师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷． （课件演示） [例]因为AB=AC，BD=BC=AD， 所以∠ABC=∠C=∠BDC． ∠A=∠ABD（等边对等角）． 设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x． 于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°． 在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°． [师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习 （一）课本练习 1、2、3． 练习 1． 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．
(2)12036
(1) 答案：（1）72° （2）30° 2.如图，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，
DCAB
DC
A
B