第四章习题解答

解：如图所示，各杆的重力分别为 G1 = ag ， G2 = 2ag ， G3 = 2ag ，设其作用点的坐标 分别为 yO1 ， yO2 ， yO3 。 由几何关系易知：
yO1 = a sin α ， yO2 = a ( sin α + sin γ ) ， yO3 = a sin β 2
另外，利用几何关系还可以得到下面两个关系式： ⎧ a sin α + 2a sin γ − 2a sin β = 0 ⎨ ⎩a cos α + 2a cos γ + 2a cos β = 3a 变分得
3பைடு நூலகம்2
而力偶所做的功为： Mδθ 1 根据虚位移原理， ( M −
3 mgl cos θ 1 )δθ 1 = 0 2
∴
M−
3 mgl cos θ 1 = 0 2
θ 1 = arccos
2M 3mgl
现假设 θ 1 不动， θ 2 有一个小的转角 δθ 2 ， 那么
δrB = lδθ 2 ， δrA = 0 ，两根杆的重力所做的功为 mgl cos θ 2δθ 2
图示平面平衡系统，在列其整体的平衡方程时，不需计入弹簧内力；而用虚位移原理求力 F1和F2之间的关系时，必需计入弹簧的虚功，二者矛盾吗？简要说明理由。
解：这二者并不矛盾。 在列其整体的平衡方程时，弹簧力是属于内力，不计入平衡方程。 虚位移原理求力F1和F2之间的关系时，弹簧力是主动力，必须计入。
长度均为 l 的轻棒四根，由光滑铰链联成一个菱形 ABCD；AB、AD 两边支于同一水平线 的两个钉 E，F 上，相距为 2a，BD 间用细绳连接，C 点作用一个铅直力 P，如图所示。 设 A 点的顶角为 2 α ，试用虚功原理求绳中张力 T。
则有：
δ xB = −l cos αδα ， δx D = l cosαδα
δy C = 2l sin αδα − a csc 2 α
由虚位移原理有：
2Tl cos αδα + P (2l sin α − a csc 2 α )δα = 0
由此解得：
T = P tan α (a csc 3 α / 2l − 1)
均质杆 AB 长 2l， 一端靠在光滑的铅垂墙壁上， 另一端放在固定光滑曲面 DE 上， 如图所示。 欲使细杆能静止在铅垂平面的任意位置。问曲面的 DE 应是怎样的曲线？
x
解：建立如图所示坐标系。杆受到主动力 P 作用，由虚位移原理，平衡时应该满足
P ⋅ δ yc = 0 ，因为 P ≠ 0 ，故 δ yc = 0 ，即
δ rD
AD
=
δ rC
AC
所以：
δ rD =
AD 2 δ rC = δ rC AC 5 BE 2 δ rC = δ rC CE 5
δ A = Pδ yB − Qδ y A = 0
于是
Q=P
δ yB Pb = δ yA a
图示机构的在 C 处铰接，在 D 点上作用水平力 P，已知 AC=BC=EC=FC=DE=DF=l，求保持 机构平衡的力 Q 的值。
解：建立如图所示的坐标系，由几何关系得： y A = 2l cos θ ， x D = 3l sin θ 由虚位移原理得：
δ rB / δ rA = 1 / 5
故
PB = 5PA
反平行四边形机构 ABCD 中的杆 AB、CD 和 BC 用铰链 B 和 C 互相连接，同时又用铰链
A 和 D 连在机架 AD 上。在杆 CD 的铰链 C 处作用一个水平力 FC 。在铰链 B 沿垂直于杆 AB 的 方 向 作 用 有 力 FB ， 机 构 在 图 示 位 置 处 于 平 衡 。 设 AD = BC ， AB = CD ，
由以上式子可得 vC = vB (4 /15) = v A (6 / 5)(4 /15) 则A点的虚位移δrA与滑块C的虚位移δrC的关系同速度之间的关系，即
δ rC = δ rB (4 /15) = δ rA (6 / 5)(4 /15)
由虚位移原理 M 得 P = 125N
δ rA
OA
+ Pδ rC = 0 ，代入δrA与δrC的关系
vC cos 60o = vB
由此得到相应的虚位移关系：
δ rC cos 60o = δ rB
于是
FB = 2 FC
套 D 套在光滑直杆 AB 上，并带动 CD 杆在铅垂滑道上滑动，如图所示。已知当 θ = 0o 时， 弹簧等于原长，且弹簧系数为 5kN/m。若系统的自重不计，求在任意位置 θ 角平衡时，在 AB 杆上应加多大力偶矩 M。
主动力 G1 , G2 , G3 的虚功之和为 0，即
δ A = ∑ Giδ yO = a 2 g ( 2.5cos αδα + 2 cos γδγ + 2 cos βδβ ) = 0
i =1
i
3
代入 δα , δγ 并由 δβ 的任意性得
5cos α sin ( β + γ ) = 2 cos γ sin (α + β ) + 2 cos β sin (α − γ )
⎧cos αδα + 2 cos γδγ − 2 cos βδβ = 0 ⎨ ⎩ sin αδα + 2sin γδγ + 2sin βδβ = 0
解得
−2sin ( β + γ ) ⎧ δβ ⎪δα = sin (α − γ ) ⎪ ⎨ ⎪ δγ = sin (α + β ) δβ ⎪ sin (α − γ ) ⎩
y F F
x
解：将弹簧解除，代之以弹簧力 F，弹簧力的大小为：
F = k i BD = 2 ka sin θ 3
(1)
利用虚功原理解本题。以 A 为原点建立坐标系，如图所示，则：
yB = a cos θ j 2 1 xD = −(a sin θ − a sin θ )i = − a sin θ i 3 3 xF = (l − a sin θ )i
已知 AD=DB=6m，CD=3m，在节点 D 的载荷为 P，各杆自重不计。试用虚位原理求图示桁 架中杆 3 的内力。
E
ϕ δ rD
δ rC
S S
δ rB
x
y
解：将杆 3 解除，并代之以相应的内力 S。这样，结构 ACD 可以绕 A 点定轴转动，CB 做平面运动，B、C、D 点的虚位移如图所示。根据运动学中定轴转动的知识可知：
y x
解：切断 BD 之间的细绳，假设有大小为 T 的主动力分别作用于 B、D 两点，方向沿着 水平方向，指向菱形内部。以四根杆组成的整体为研究对象，约束为理想约束，主动力为
T及P 。以 EF 中点为坐标原点建立坐标系，则有
y A = a / tan α
xB = −l sin α ， x D = l sin α y C = −2l cos α + (a / tan α )
(2)
以杆 AB、滑套 D 和杆 CD 为研究对象，约束为理想约束。将弹簧去除，代之以作用在 D 和 B 上的弹力。弹力在 δ rB 上所做的虚功为零，在 δ rD 上做的虚功为 F ⋅ δ rD = F δ rD cos(90o + θ ) ， 利用虚位移原理有：
M δθ + F δ rD cos(90o + θ ) = 0
(3)
由于 δθ 的任意性，可得：
1 P sin θ + F cos θ − F cos θ = 0 3
即：
2 P sin θ − F cosθ = 0 3
将(1)带入可得：
4 P sin θ − ka sin θ cos θ = 0 9
所以：
cos θ = 9P 1 = 4ka 2
θ = 60
在 曲 柄 OA 上 作 用 力 矩 为 M=6 N ⋅ m 的 力 偶 。 OA=150mm ， OO1=200mm, O1B=500mm, BC=780mm,略去摩擦及自重。当OA⊥OO1时（如图所示） ，为了使机构处于平衡，求作用在 滑块C上的水平力P。
两相同的均质杆，长度均为 l，质量均匀为 m，其上作用力偶如图。试求在平衡状态时， 杆与水平线之间的夹角 θ1 ， θ 2 。
A
B
解：假设上面杆的质心为 A 点，下面杆的质心为 B 点。 假设 θ 2 不动， θ 1 有一个小的转角 δθ1 ， 那么
δrB = 2δrA = lδθ 1 ，那么两根杆的重力所做的功为 mgl cos θ 1δθ 1
1 2
1 2
而力偶所做的功为： Mδθ 2 根据虚位移原理， ( M −
1 mgl cos θ 2 )δθ 2 = 0 2
∴
M−
1 mgl cos θ 2 = 0 2
θ 2 = arccos
2M mgl
三根均质细杆以铰链相连， 其 A 端和 B 端另以铰链连接在固定水平直线 AB 上， 如图所示。 已知各杆的重量与其长度成正比，AC=a ，CD=DB=2a ，AB=3a。设铰链为理想约束， 求杆系平衡时 α、β 、 γ 之间的关系。
∠ABC = ∠ADC = 90° ， ∠DCB = 30° 。求 FB 的大小。
解： 根据题意， 选三根杆组成的整体为研究对象， 约束均为理想约束， 主动力为 FC 及FB 。 由虚位移原理，有
FC ⋅ δ rC + FB ⋅ δ rB = FC δ rC + FBδ rB = 0
又由运动学知识，有
解：
vB B
ψ φ v α vAr
A
vAe
E
θ
O1
γ
vC
C
如图，OA 杆速度为 v A = v Ae + v Ar , 其中 v Ae = v B
AO1 = v A sin θ BO1
cos γ = 36 / 39 对 BC 杆， 有 vB sin α = vC cos γ ， 其中 sin α = sin(∠EBC − ∠EBO1 ) = 16 / 65 ，
Qδy A + Pδx D = 0
所以：
Q= 3 Pctgθ 2
用滑轮机构将两物体A和B悬挂如图，并设物体B保持水平。如绳和滑轮的重量不计，求两物 体平衡时，重量PA和PB的关系。
B
解：取物块 A、B 为研究对象。约束为理想约束。 由虚位移原理可得：
PBδrB + PAδrA = 0
由如图所示的滑轮的几何关系，可得虚位移关系为：
(2)
其中，l 是 BF 的长度。对(2)式变分可得：
δ yB = − aδθ sin θ j δ x D = − aδθ cos θ i
主动力为： FB = − Pj，FD = − Fi，FF = Fi ，则根据虚功原理可得：
1 ( Pa sin θ + Fa cosθ − Fa cosθ )δθ = 0 3 1 3 δ x F = −aδθ cosθ i
yC = 常数。
又当杆垂直时 yC = l ，则在任意瞬时 yC 均为 l 。当杆在任意位置时，A 点坐标为
⎧ x = 2l sin ϕ ⎨ ⎩ y = yC − l cos ϕ
代入 yC = l 且消去参数 ϕ 可得
x 2 (l − y ) + =1 4l 2 l2
2
即曲线 DE 是以 x = 0, y = l 为中心、长短半轴各为 2l 和 l 的椭圆的一部分。
图示为一个轧纸钳，其尺寸如图所示。工作时上、下钳口保持平行，设手握力为 P，求作用 于纸片上的力 Q 的大小。
解： 1）取整个轧纸钳为研究对象。 2）系统约束为理想约束。 3）设主动力 P 和 Q 作用点分别为 B 点和 A 点。 4）取 A 点和 B 点的无穷小真实位移为虚位移 δ y A 和 δ yB 。 5）建立虚位移的关系。由几何关系得 δ y A / a = δ yB / b 6）主动力的虚功为
y
δ rD
δ rB
δθ
F
F
x
解：如图所示，以 A 为原点建立坐标系。则 D 点坐标： xD = 0.3，yD = 0.3 tan θ 对上式进行变分可得：
δ rD = δ yD = 0.3
1 δθ cos 2 θ
(1)
此时弹簧的弹力为：
F = k ( AD − 0.3) = 0.3k ( 1 − 1) cos θ
(3)
将(1)式代入得：
M δθ − 0.3F sin θ δθ = 0 cos2 θ sin θ cos2 θ
由 δθ 的任意性可得：
M = 0.3F
将(2)式代入，并由 k = 5000 N / m 可得：
M = 450 sin θ (1 − cos θ ) N ⋅m cos3 θ
4-07 在图示机构中，AB 与 CD 长均为 a=300cm，在 E 处以铰链连接，BE＝DE＝a/3，AB 与 BF 在 B 处以铰链连接，D 处为一光滑套筒，C 处为小滚轮，弹簧刚度系数为 1.8kN/m, 且当 θ＝0 时，弹簧具有原长，求当在 B 处作用载荷 P=1.2kN 时,系统的平衡位置 θ 。