典型例题与习题1

zn = xn + i yn f(zn) = An + i Bn，f’(zn) = Cn + i Dn
AnC n Bn Dn x n1 x n 2 2 C n Dn An Dn BnC n yn1 yn 2 2 C n Dn
17/20
证明
牛顿迭代法的收敛域问题:
解：由|e(x1)|≤0.5×10-2，|e(x2)|≤0.5×10-2， |e(x3)|≤0.5×10-2 所以, |e(x2+x3)|≤10-2 |e(x1×(x2+x3))|≤ (1.21+0.5×13.46)×10-2 =7.94×10-2
5/20
例2.设计算球体V允许其相对误差限为 1%,问测量 球半径R 的相对误差限最大为多少? 解：由球体计算公式分析误差传播规律
lim xn x * , 若存在 a>0 , r>0 使得 n
( x*) ( x*) ( p1) ( x*) 0
( p ) ( x*) 0 则 xn1 ( xn ) p阶收敛 而
4/20
例1.设x1 = 1.21,x2 = 3.65,x3 = 9.81都具有三位 有效位数,试估计数据：x1×(x2+x3)的误差限。
18/20
收敛到 z1 的牛顿迭代初值点集合 收敛到 z2 的牛顿迭代初值点集合 收敛到 z3 的牛顿迭代初值点集合
19/20
在复平面内,有一些例外点是牛顿迭代不收敛的初 值点. 这些例外点构成了茹利亚集(为纪念法国女 数学家Julia).
20/20
2/20
1. 设x*是 f(x)=0在[a, b]内的唯一根,且 f(a)· f(b)<0,则二分法计算过程中, 数列 1 xn (an bn ) ( n 0,1,2,) 2 满足: | xn – x*|≤ (b – a)/ 2n+1
2. Newton迭代格式: f ( xn ) xn1 x n ·· ·) f ( xn ) (n = 0, 1, 2 , ·· 3. 弦截法迭代格式:
用牛顿迭代法求解复数方程 z3 – 1 = 0，该方程在复 平面上三个根分别是 1 3 1 3 z3 i z2 i z1 = 1 2 2 2 2 选择中心位于坐标原点，边长 为2的正方形内的任意点作初始 值，进行迭代，把收敛到三个 根的初值分为三类，并分别标 上不同颜色（例如红、黄、 蓝）。对充分多的初始点进行 实验，绘出牛顿迭代法对该方 程的收敛域彩色图。
f 1 y
f 2 y
( x 0 , y0 )
( y y0 )
( x0 , y0 )
f 1 1 y 2 x f 2 2 x 4 2 y 1 y
( x0 , y0 )
12/20
xn1 xn f1 1 [G ]( xn , yn ) f 2 ( xn , yn ) yn1 yn
1 1
1 1 2 | x k 1 7 | ( xk 7 ) | x k 7 |2 2 xk 2 7
1 | x k 1 7 | | xk 7 | 102 2 n 2 7 2 7 4
2
1 | xk 1 7 | 101 2 n 2
Ex2：对 C 是否都有这 一性质?
13/20
Ex6. 若 x*是f(x)=0的m重根,试分析牛顿迭代法 的收敛阶 Ex7. 若 x*是f(x)=0的m重根,试证明修正的牛顿 迭代法 f ( xn ) x n1 x n m f ( x n ) 至少为二阶收敛
14/20
Ex8 证明割线法可改写如下迭代公式
xn1 f ( x n ) x n 1 f ( x n 1 ) x n f ( x n ) f ( x0 )
x n1
2 a ( x) x 2 3 3x
x a 2 a xn xn 2 2 3 xn 3 3 xn
3 n
a ( x ) 2 4 x
2 2 a ( x ) 3 3 3x
( x ) 0
*
10/20
故立方根迭代算法二阶收敛
例 4.设a 为正实数，试建立求1/a 的牛顿迭代公 式，要求在迭代公式中不含有除法运算，并考 虑迭代公式的收敛。 解:建立方程
x n1 ( x n x n 1 ) xn f ( xn ) f ( x n ) f ( x n 1 )
3/20
设
| xn1 x* | lim a 则称数列{xn} r 阶收敛. r nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ | x x* | n
定理2.6 设x*是 ( x ) 的不动点,且
分别取初值(1,0),(2,2),牛顿迭代法计算数据如下
n xn yn xn yn
0 1 2 3 4
1 1.0625 1.0673 1.0673 1.0673
0 0.1250 0.1391 0.1392 0.1392
2 1.6458 1.5570 1.5465 1.5463
2 1.5833 1.4163 1.3917 1.3912
6/20
例3*. 采用迭代法计算 7
x k 1 1 7 ( xk ) 2 xk
，取x0 = 7
(k = 0，1，2，……)
若xk具有n位有效数字，求证xk+1具有2n位有效数字。
xk 1 1 1 ( xk 7 / xk ) ( xk 7 / xk )2 7 7 2 2
11/20
例2.10 用牛顿迭代法求解非线性方程组
x2 y 1 0 ( x 2 ) 2 ( y 0 .5 ) 2 1 0
f1 ( x , y ) x 2 y 1
f 2 ( x , y ) ( x 2)2 ( y 0.5)2 1
《数值分析》典型例题
一、二章内容提要
典型例题分析
I
例题与练习题 实验题介绍
1/20
如果一个浮点数
x 0.a1a2 an 10
m
具有n 位有效数字,则绝对误差满足 1 mn | e( x ) | x x 10 2 相对误差满足 5 n er ( x ) 10 a1
n
(1) x sin x = 1；(2) sin x – e -x =0；
(3) x = tan x； (4) x2 – e-x =0
16/20
Ex12 对于复变量 z = x + i y 的复值函数 f(z) 应用牛顿迭代公式 f (z )
z n1 z n
f ( z n )
n
时为避开复数运算,令
Ex9 隐函数定理条件满足时,利用G(x, y) = 0 可以计算隐函数的值,设有G(x0, y0) = 0,则在 x0附近有y = y(x). 试分别构造牛顿迭代法和 割线法计算函数值的迭代格式
15/20
Ex10 在计算机上对调和级数逐项求和计算
1 Sn k 1 k
当 n 很大时，Sn 将不随n 的增加而增加。试 分析原因。 Ex11 确定下列方程的全部隔根区间
推导 In 的符号表达式
8/20
1-12 利用级数

可计算出无理数 的近似值。由于交错级数的部分
1 1 1 1 4 3 5 7
和数列Sn 在其极限值上下摆动，试分析，为了得到 级数的三位有效数字近似值，应取多少项求和。
解: 由部分和
1 | S n | 4 2n 1

7/20
1-8 序列{ yn }满足递推关系 yn = 10yn-1 – 1 (n = 1,2,·· ·· ·) 若取 y0 =√2 ≈1.41(三位有效数字).递推计算 y10 时误差有多大？
思考: 由递推导出符号表达式可否用于计算？
Ex3.用递推公式: In = 1 – nIn-1 (I0 = 1- e-1)
4 3 V R 3

dV 4R dR
2

e(V ) 4R 2 e( R)
相对误差传播规律
e r (V ) 3e r ( R)
故当球体V 的相对误差限为 1% 时，测量球半径R 的相对误差限最大为0.33%。
Ex1. 对球冠体积若允许其相对误差为1%,问应 该对R, h 如何限制?
f 1 ( x , y ) f 1 ( x 0 , y0 ) ( x x 0 )
f 1 ( x , y ) f 2 ( x0 , y0 ) ( x x0 )
f 1 x G f 2 x
f 1 x
f 2 x
( y y0 )
( x 0 , y0 )
S n ( 1)
k 1
n
k 1
只需
1 1 3 10 2n 1 2
1 2k 1
n > 1000时, Sn有三位有效数
Ex4.推导部分和数列加速的计算表达式
9/20
2-6 应用牛顿迭代法于方程 x3 – a = 0,
导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛阶。
解：令 f(x) = x3 – a，则牛顿迭代公式
利用牛顿迭代法，得 xn+1 = xn(2 – a xn)，( n = 0，1，2 ……) 整理，得 1 – a xn+1 = (1 – a xn)2
2k
1 f ( x) a 0 x
1 axk (1 ax0 )
所以,当| 1 – a x0| < 1 时，迭代公式收敛。
1 2k x k [1 (1 ax0 ) ] a