2010-2019高考数学(理)真题分类汇编(九：解析几何~4.抛物线)

专题九 解析几何

第四讲 抛物线

2019年

1.（2019全国II 理8）若抛物线y 2

=2px (p >0)的焦点是椭圆

2231x y p

p

+

=的一个焦点，则p =

A ．2

B ．3

C ．4

D ．8

2.（2019北京理18（1））已知抛物线2:2C x py =-经过点(2，-1).求抛物线C 的方程及其准线方程；

3．（2019全国I 理19）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为3

2

的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若

4AF BF +=，求l 的方程；

（2）若3AP PB =uu u r uu r

，求AB ．

4. （2019全国III 理21）已知曲线C ：y =2

2

x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两

条切线，切点分别为A ，B .

（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，5

2

)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.

2010-2018年

一、选择题

1．(2018全国卷Ⅰ)设抛物线C ：2

4=y x 的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为2

3

的直线与C 交于M ，N 两点，则?FM FN = A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

2．（2017新课标Ⅰ）已知F 为抛物线C ：2

4y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，

2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则||||AB DE +的最

小值为

A ．16

B ．14

C ．12

D ．10

3．(2016年四川)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线2

2(0)y px p =>上任意一点，

M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为

A B ．2

3

C ．2

D ．1 4．(2016年全国I)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E

两点．已知||AB =||DE =C 的焦点到准线的距离为 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8

5．（2015浙江）如图，设抛物线2

4y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ?与ACF ?的面积之比是

A ．

11

BF AF -- B ．

2

2

11

BF AF -- C ．

11

BF AF ++ D ．

2

2

11

BF AF ++

6．（2015四川）设直线l 与抛物线2

4y x =相交于,A B 两点，与圆()()

222

50x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 A ．()13， B ．()14， C ．()23， D ．()24，

7．（2014新课标1）已知抛物线C ：2

8y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF = A ．

72 B ．5

2

C ．3

D ．2 8．（2014新课标2）设F 为抛物线C ：23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于

,A B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）

A B C ．6332 D ．94

9．（2014辽宁）已知点(2,3)A -在抛物线C ：2

2y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第

一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．

12 B ．23 C ．34 D ．4

3

10．（2013新课标1）O 为坐标原点，F 为抛物线2

:C y =的焦点，P 为C 上一点，

若||PF =POF ?的面积为（ ）

A ．2

B ．

C ．

D ．4

11．（2013江西）已知点()2,0A ，抛物线2

:4C x y =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相

交于点M ，与其准线相交于点N ，则||:||FM MN =

A ．

B ．1:2

C ．1:

D ．1:3

12．（2012新课标）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162

=的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则C 的实轴长为 A 、2

B 、22

C 、4

D 、8

13．（2012山东）已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b

-=>>的离心率为2．若抛物线

22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为

A ．2x y =

B ．2x y =

C ．28x y =

D ．216x y = 14．（2011新课标）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，

B 两点，||12AB =，P 为

C 的准线上一点，则ABP ?的面积为

A ．18

B ．24

C ．36

D ．48 二、填空题

15．(2018全国卷Ⅲ)已知点(1,1)M -和抛物线C ：2

4y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直

线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=，则k =______．

16．（2017新课标Ⅱ）已知F 是抛物线C ：2

8y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长

线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则||FN = ．

17．（2015陕西）若抛物线2

2(0)y px p =>的准线经过双曲线22

1x y -=的一个焦点，则

p =

18．（2014湖南）如图4，正方形ABCD DEFG 和正方形的边长分别为,()a b a b <，原点

O 为AD 的中点，抛物线22(0)y px p =>经过,b

C F a

=两点，则 ．

19．（2013北京）若抛物线2

2y px =的焦点坐标为(1,0)，则p = ，准线方程为 ． 20．（2012陕西）右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水

位下降1米后，水面宽 米．

21．（2010浙江）设抛物线2

2(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A ．若线段FA 的中点B

在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________． 三、解答题

22．（2018北京）已知抛物线C ：2

2y px =经过点(1,2)P ．过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线

C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．

(1)求直线l 的斜率的取值范围；

(2)设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：

1

1

λ

μ

+

为定值．

23．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线2

4=：C y x 的焦点为F ，过F 且斜率为(0)>k k 的直线l

与C 交于A ，B 两点，||8=AB ．

(1)求l 的方程；

(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．

24．（2018浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：2

4y x =上存在

不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．

(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；

(2)若P 是半椭圆2

2

14

y x +=(0x <)上的动点，求PAB ?面积的取值范围． 25．（2017新课标Ⅲ）已知抛物线C ：2

2y x =，过点(2,0)的直线l 交C 与A ，B 两点，

圆M 是以线段AB 为直径的圆． (1)证明：坐标原点O 在圆M 上；

(2)设圆M 过点(4,2)P -，求直线l 与圆M 的方程．

26．（2017浙江）如图，已知抛物线2

x y =．点11

(,)24A -，39(,)24

B ，抛物线上的点

(,)P x y 13

()22

x -<<，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．

x

（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；

（Ⅱ）求||||PA PQ ?的最大值．

27．（2017北京）已知抛物线C ：2

2y px =过点(1,1)P ．过点1

(0,)2

作直线l 与抛物线C 交

于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．

（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点．

28．(2016年全国III)已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分

别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.

（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；

（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．

29．（2015新课标1）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：2

4

x y =与直线y kx a =+(0)a >交

与M ，N 两点，

（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；

（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由． 30．（2014山东）已知抛物线）＞0(2:2

p px y C =的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意

一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA FD =，当点A 的横坐标为3时，ADF ?为正三角形。 （Ⅰ）求C 的方程；

（Ⅱ）若直线l l //1，且1l 和C 有且只有一个公共点E ， （ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）ABE ?的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说

明理由。

31．（2014陕西）如图，曲线C 由上半椭圆22122:1(0,0)y x C a b y a b

+=>>≥和部分抛物

线2

2:1(0)C y x

y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C 的离心率为

2

． （Ⅰ）求,a b 的值；

（Ⅱ）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥

，求

直线l 的方程．

32．（2013广东）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20

l x y --=

的距离为

2

．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点．

（Ⅰ）求抛物线C 的方程；

（Ⅱ）当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； （Ⅲ）当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ?的最小值．

33．（2012新课标）设抛物线C ：)0(22

>=p py x 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，

已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 点．

（Ⅰ）若o

BFD 90=∠，ABD ?的面积为24，求p 的值及圆F 的方程；

（Ⅱ）若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共

点，求坐标原点到m 、n 距离的比值．

34．（2011新课标）在平面直角坐标系xoy 中， 已知点(0,1)A -，B 点在直线3y =-上，

M 点满足//MB OA ，MA AB MB BA =，M 点的轨迹为曲线C ．

（Ⅰ）求C 的方程；

（Ⅱ）P 为C 上动点，l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值．

专题九 解析几何

第四讲 抛物线

答案部分

2019年

1．D 解析 由题意可得：2

32p p p ??-= ???

，解得8p =．故选D ． 2.解析（I ）由抛物线2:2C x py =-经过点

()2,1-，得2p =.

所以抛物线C 的方程为24x y =-，其准线方程为1y =. 3.解析 设直线()()11223

:,,,,2

l y x t A x y B x y =

+． （1）由题设得3,04F ??

???

，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．

由232

3y x t y x ?

=+???=?，可得22

912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --

=，得78t =-．所以l 的方程为37

28y x =-． （2）由3AP PB =uu u r uu r

可得123y y =-．

由232

3y x t y x

?=+???=?，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=． 代入C 的方程得121

3,3

x x ==

．故||AB =．

4．解析（1）设()111,,,2D t A x y ?

?-

???

，则2112x y =.

由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11

11

2y x x t

+

=- ，整理得112 2 +1=0. tx y -

设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=.

所以直线AB 过定点1(0,)2

.

（2）由（1）得直线AB 的方程为12

y tx =+

. 由2

122

y tx x y ?

=+????=??，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,

1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，

()212||21AB x t =-==+.

设12,d d 分别为点D ，E 到直线

AB

的距离，则12d d ==

.

因此，四边形ADBE 的面积()

(2121

||32

S AB d d t =

+=+设M 为线段AB 的中点，则2

1,2M t t ??+

???

. 由于EM AB ⊥，而(

)2

,2EM t t =-，AB 与向量(1, )t 平行，所以(

)

2

20t t t +-=.解得t =0或1t =±.

当t =0时，S =3；当1t

=±时，S =因此，四边形ADBE

的面积为3或.

2010-2018年

1．D 【解析】通解 过点(2,0)-且斜率为

23的直线的方程为2

(2)3

=+y x ， 由22(2)3

4?

=+???=?y x y x

，得2

540-+=x x ，解得1=x 或4=x ，所以12=??=?x y ，或44=??=?x y ，不妨设(1,2)M ，(4,4)N ，易知(1,0)F ，所以(0,2)=FM ，(3,4)=FN ，所以

8?=FM FN ．故选D ．

优解 过点(2,0)-且斜率为23的直线的方程为2(2)3=+y x ，由22(2)

3

4?

=+???=?y x y x

，得2540-+=x x ，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则10>y ，20>y ，根据根与系数的关

系，得125+=x x ，124=x x ．易知(1,0)F ，所以11(1,)=-FM x y ，22(1,)=-FN x y ，

所以12121212(1)(1)()1?=--+=-+++FM FN x x y y x x x x

45188=-++=．故选D ．

2．A 【解析】由已知1l 垂直于x 轴是不符合题意，所以1l 的斜率存在设为1k ，2l 的斜率为2k ，

由题意有121k k ?=-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)D x y ，44(,)E x y 此时直线1l 方程为1(1)y k x =-，

取方程214(1)

y x y k x ?=?=-?，得2222

111240k x k x x k --+=，

∴21122124k x x k --+=-212

124

k k +=

同理得 22342

2

24

k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++

22

122222121224244448816k k k k k k ++=++=++=≥

当且仅当121k k =-=（或1-）时，取得等号．

3．C 【解析】设()

()22,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则2

2,22p FP pt pt ?

?=-

???

，∵13FM FP =，∴22,2362,3p p p x t pt y ?-=-????=??，∴22,33

2,3p p x t pt y ?

=+????=??

∴2

2112122OM t k t t t =

=≤=++

∴max ()2

OM k =

，故选C ． 4．B 【解析】由题意，不妨设抛物线方程为2

2(0)y px p =>

，由||AB =，

||DE =

4(A p

，(2p

D -，设O 为坐标原点，

由||||OA OD =，得2

216854

p p +=

+，得4p =，所以选B ． 5．A 【解析】如图，

1

1--===??AF BF x x AC BC S S A B ACF BCF ，故选A ． 6．D 【解析】当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰好有2条，即5x r =±，

所以05r <<；所以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有2条即可．

设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，则120

12022x x x y y y +=??+=?．又211222

44y x y x ?=?=?，

两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，1212120

42

AB y y k x x y y y -=

==-+．

设圆心为(5,0)C ，则005CM y k x =

-，因为直线l 与圆相切，所以

0002

15

y y x ?=--， 解得03x =，于是2204y r =-，2r >，又2004y x <，即2

412r -<，

所以04r <<，又05r <<，2r >所以24r <<，选D ．

7．C 【解析】过点Q 作QQ l '⊥交l 于点Q '，因为4PF FQ =，所以||:||3:4PQ PF =，

又焦点F 到准线l 的距离为4，所以||||3QF QQ '==．故选C ．

8．D 【解析】易知抛物线中32p =

，焦点3

(,0)4

F ，直线AB 的斜率3k =，故直线AB 的

方程为3)4y x =

-，代人抛物线方程23y x =，整理得2219

0216

x x -+=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则1221

2

x x +=

，由物线的定义可得弦长 12||12AB x x p =++=，结合图象可得O 到直线AB 的距离3sin 3028

p d =

=， 所以OAB ?的面积19

||24

S AB d =

?=． 9．D 【解析】∵(2,3)A -在抛物线2

2y px =的准线上，∴22

p

-

=-．∴4p =， ∴2

8y x =，设直线AB 的方程为(3)2x k y =--①，将①与2

8y x =联立， 得2

824160y ky k -++=②，则△=2

(8)4(2416)0k k --+=， 即22320k k --=，解得2k =或1

2

k =-

（舍去）， 将2k =代入①②解得8,8x y ==，即(8,8)B ， 又(2,0)F ，∴4

3

BF k =，故选D ．

10．C 【解析】∵OF =

P 点的坐标(±，

∴POF ?的面积为

11

22

P OF y ==

11．C 【解析】依题意可得AF 所在直线方程为

12

x

y +=代入24x y =得y =，

又||:||(1):(1)1:FM MN y y =-+=

12．C 【解析】设222:(0)C x y a a -=>交x y 162

=的准线:4l x =-

于(4,A -(4,B --

得：222

(4)4224a a a =--=?=?=

13．D 【解析】因为双曲线1C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的离心率为2,

所以

2.c

b a

=?=又渐近线方程为0,bx ay ±=所以双曲线1C 的渐近线

0.y ±=而抛物22:2(0)C x py p =>的焦点坐标为(0,

),2p

|

|28p p =?=.故选D ． 14．C 【解析】设抛物线的方程为2

2y px =，易知||212AB p ==，即6p =，

∵点P 在准线上，∴P 到AB 的距离为6p =，所以ABP ?面积为36，故选C ． 15．2【解析】解法一 由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方

程为(1)y k x =-(0)k ≠，由2

(1)4y k x y x

=-??

=?，消去y 得22

(1)4k x x -=， 即2

2

2

2

(24)0k x k x k -++=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，

则212224k x x k ++=，121x x =．由2

(1)4y k x y x

=-??=?，消去x 得2

14(1)y y k =+， 即2

440y y k -

-=，则124

y y k

+=，124y y =-， 由90AMB ∠=，得1122(1,1)(1,1)MA MB x y x y ?=+-?+-

1212121241()10x x x x y y y y =++++-++=，

将212224k x x k ++=，121x x =与12

4

y y k

+=，124y y =-代入，得2k =． 解法二 设抛物线的焦点为F ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则211

222

44y x y x ?=?=?，

所以22

12124()y y x x -=-，则121212

4

y y k x x y y -=

=-+，

取AB 的中点00(,)M x y '，分别过点A ，B 做准线1x =-的垂线，垂足分别为A '，B '，又90MB ∠=，点M 在准线1x =-上，