2020年高考理科数学原创专题卷：《函数的图象、函数的应用》

原创理科数学专题卷 专题 函数的图象、函数的应用

考点10：函数的图象（1-5题，13题，17,18题）

考点11：函数与方程（6-10题，14,15题，19-21题） 考点12：函数模型及其应用（11,12题，16题，22题）

考试时间：120分钟 满分：150分

说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上

第I 卷（选择题）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 1．【来源】2017届山东潍坊中学高三上学期开学考试 考点10 中难 已知函数()f x 对任意的x ∈R 有()()0f x f x +-=，且当0x >时，()ln(1)f x x =+，则函数()f x 的大致图象为（ ）

2．【来源】2017届黑龙江双鸭山一中高三上学期质检一 考点10 中难 已知函数)1(x f y -=的图象如下，则)2(+=x f y 的图象是（ ）

3．【来源】2017届河北衡水中学高三上学期一调考试 考点10 中难 函数()21cos 1e x

f x x ??

=-

?+??

的图象的大致形状是（ ） A ． B ．

C ．

D ．

4.【2017山东，理10】 考点10 难 已知当[]0,1x ∈时，函数()2

1y mx =-的图象与y x m =

+的图象有且只有一个交点，则

正实数m 的取值范围是

（A ）(])

0,123,?+∞?

U （B ）(][)0,13,+∞U

（C ）(

)

0,223,??+∞??

U （D ）(

[)0,23,?+∞?

U

5．【来源】2017届广东省仲元中学高三9月月考 考点10 难

如图，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，顶点(0,1)A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动

一周，记走过的弧长?

AB x =，直线AM 与x 轴交于点(,0)N t ，则函数()t f x =的图像大致为（ )

6．【来源】2017届广西河池课改联盟高三上联考二 考点11 易 函数()41

log 4

x f x x =

-的零点所在的区间是（ ） A ．10,2?

? ???

B ．1,12??

???

C ．()1,2

D ．()2,4 7．【来源】2016-2017学年河北故城县高级中学期中 考点11 易 已知0x 是函数()1

23

x f x x =-

-的一个零点，若()()10203,,,x x x x ∈∈+∞，则（ ） A.()()12f x f x < B.()()12f x f x > C.()()120,0f x f x << D.()()120,0f x f x >> 8．【来源】2017届湖南省衡阳市高三下学期第二次联考 考点11 中难

已知方程

sin x k x

=在()0,+∞有且仅有两个不同的解α、()βαβ<，则下面结论正确的

是（ ） A. 1tan 41πααα+??+

= ?-?

? B. 1tan 41πααα-?

?+= ?+?? C. 1tan 41πβββ+??+

= ?-?

? D. 1tan 41πβββ-??+= ?+?

? 9．【来源】2017届河南天一大联考高三段测二 考点11 难

设函数[]2(2),(1,),()1||,1,1,f x x f x x x -∈+∞??=?-∈-??

若关于x 的方程()log (1)0a f x x -+=（0a >且

1a ≠）在区间[]0,5内恰有5个不同的根，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．(

B ．)+∞

C ．)+∞

D ． 10．【来源】2017届吉林镇赉县一中高三上月考 考点11 难

已知()()2

3,x

f x x

g x me =-=,若方程()()f x g x =有三个不同的实根, 则m 的取值范

围是（ ） A ．360,

e ?

? ??? B ．363,e ??- ??? C ．362,e e ?

?- ??

? D ．()0,2e 11．【来源】2014届湖北省八市高三下学期3月联考 考点12 易

某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．己知在过滤过程中废气中的污染物数量尸P （单位：毫克／升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为：P=P 0e

－kt

，（k ，P 0均为正的常数,ｐ0为原污染物数量）．若在前5个小时的过滤过程中污

染物被排除了90%．那么，至少还需（ ）时间过滤才可以排放． A ．

12小时 B ．5

9

小时 C ．5小时 D ．10小时 12．【来源】2013-2014学年湖南张家界普通高中高一上学期期末联考 考点12 难 某校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当班人数除以10的余数大于6时，再增选一名代表，则各班推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数，如[][]3,44π==）可表示为（ ） A ．10x y ??=?

??? B ．310x y +??=???? C ．410x y +??=???? D ．510x y +??

=????

第Ⅱ卷（非选择题）

二.填空题（每题5分，共20分） 13．【来源】2011—2012学年黑龙江大庆实验中学高一上学期期末考试 考点10 易

若直线2y a =与函数|1|(0x

y a a =->且1)a ≠的图象有两个公共点，则a 的取值范围是

14．【来源】2015-2016学年江西省抚州市高一上学期期末质量检测 考点11 易 某同学在借助计算器求“方程的近似解（精确

）”时，设

，

算得

，

；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x 的值，计算了其

函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是．那么他所取的x 的4个值中最后一

个值是 .

15．【2017江苏，14】 考点11 难

设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ?∈?=???? 其中集合

1,*n D x x n n -??

==∈????

N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ .

16．【来源】2017届河南息县第一高级中学高三理上段测五 考点12 难

已知函数()()()ln 02ln x x e f x x x e ?<≤?=?->??

，若a b c ，，互不相等，

且()()()f a f b f c ==则a b c ++的取值范围为 ．

三.解答题（共70分） 17．（本题满分10分）【来源】江苏省徐州市第五中学高一上学期期中考试 考点 10 易 已知函数2

()21f x x x =--.

(1)证明函数()f x 是偶函数；

(2)在如图所示的平面直角坐标系中作出函数()f x 的图象．

18. （本题满分12分）【来源】甘肃省天水市一中高一上学期期中 考点11 中难

x

y

O

1

2

1

2 3 3

4 -1 -2 -3 -4 -1

-2 -3

函数2()21(0,1)x

x f x a

a a a =+->≠且

（1）若2a =，求()y f x =的值域

（2）若()y f x =在区间[1,1]-上有最大值14。求a 的值； （3）在（2）的前题下，若1a >，作出1

()x f x a

-=的草图，并通过图象求出函数()f x 的

单调区间 19．（本题满分12分）【来源】江苏淮阴中学高二下期末 考点11 易 已知命题:p “函数()2

22x x

f x m -=-在R 上有零点”

．命题:q “函数()2

2f x x mx n =++在[]1,2上单调递增”．

（1）若p 为真命题，则实数m 的取值范围； （2）若p q ∧为真命题，则实数m 的取值范围．

20．（本题满分12分）【来源】2016届海南省海南中学高三考前模拟八 考点11 中难 已知x

a

x x x f +

-+=42)(2. （1）若4=a ，求)(x f 的单调区间； （2）若)(x f 有三个零点，求a 的取值范围.

21．（本题满分12分）【来源】辽宁省沈阳二中高一4月月考 考点11 中难 已知函数2

()1f x x =-，()1g x a x =-.

（1）若关于x 的方程()()f x g x =只有一个实数解，求实数a 取值范围；； （2）若当x R ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 取值范围； （3）若0a <,求函数()()()h x f x g x =+在[-2,2]上的最大值．

22. （本题满分12分）【来源】广东省汕头市金山中学高三上学期期中 考点12 中难 如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池)(ABCD 的池底水平铺设污水净化管道FHE Rt ?(，H 是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低.设计要求管道的接口H 是AB 的中点，F E ,分别落在线段AD BC ,上。已知20=AB 米，310=AD 米，记θ=∠BHE 。

（Ⅰ）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域；

（Ⅱ）若2

1

3cos sin +=

+θθ，求此时管道的长度L ； （Ⅲ）问：当θ取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度。

参考答案

1．【答案】D

【解析】()()0f x f x +-=故函数为奇函数，根据ln(1)x +图象，选D. 2．【答案】A

【解析】由()x f y -=1的图象可知，()1f 无意义，故()2+=x f y 在1-=x 处无意义. 3．【答案】B

【解析】由题意得，

()211cos cos 1e 1e x x x

e f x x x -??

=-=? ?++??

，所以()1cos()1e x x e f x x ----=?-+1

cos ()1e

x x

e x

f x -=?=-+，所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ，C ；令1x =，则()1

2111cos1cos101e 1e e f -????

=-=< ? ?++????

，故选B ． 4．【答案】B

【解析】当01m <≤时，

11m

≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，

且22

(1)[(1),1]y mx m =-∈-，

y m =单调递增，且[,1]y m m m =∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m >时，

101m <

< ，2(1)y mx =-在1

[,1]m

上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+?≥ 选B.

5.【答案】D

【解析】由图像知，直线AM 与x 轴交于点(,0)N t 从负无穷递增到正无穷，所以不选A 、D.又0x →时，t →-∞，所以选D. 6．【答案】C

【解析】1

17255()1,(1),(2),(4),(1)(2)02416256

f f f f f f ===-=-

【解析】因为0x 是函数()123x f x x =--的一个零点，所以()00f x =，()1

23

x f x x =--在

()

3,+∞上递增，所以10

3x x <<时()()100f x f x <=，当20x x >时

()()200f x f x >=，即()()120,0f x f x <>，()()12f x f x <，故选A.

8．【答案】C

【解析】设,,有两个交点如图，

只有当第二个交点与的正半轴第二个波峰一段曲线相切才只有两个交点，否则肯定大于或小于两个交点．于是：切点：，，，设切点，则，所以，所以

，所以．

9．【答案】C

【解析】要使方程()log(1)0

a

f x x

-+=（0

a>且1

a≠）在区间[]

0,5内恰有5个不同的根，只需()

y f x

=与()

log1

a

y x

=+的图象在区间[]

0,5内恰有5个不同的交点，在同一坐标系内做出它们的图象要使它们在区间[]

0,5内恰有5个不同的交点，只需

log32

log54

a

a

<

?

?

<

?

，得3

a>，故选C．

10．【答案】A

【解析】显然当0

=

m时，原方程可化为0

)

(=

x

f仅有两个解，排除B,C,当1

=

m时，设()23

x

h x e x

=-+仅有一个零点（如下图），故原方程仅有一个解排除D,故选A．

【解析】设原污染物数量为a ，则

0P a

=．由题意有510%k

a ae

-=，所以5ln10k =．设t 小

时后污染物的含量不得超过1%，则有1%tk

a ae -≥，所以2ln10tk ≥，10t ≥．因此至少还需

1055-=小时过滤才可以排放．

12．【答案】.B

【解析】设班级人数的个位数字为n,令10,().x m n m N =+∈则当06n ≤≤时，;y m =当

79n ≤≤时， 1.y m =+所以310x y +??

=??

??

.本题也可用特殊值法验证取舍，如取16,17x =对应1,2.y =只有B 满足.

13．【答案】1

{|0}2

a a <<

【解析】直线2y a =平行于x 轴，而1,0

|1|1,0

x

x

x

a x y a a x ?-≥?=-=?-时，

两个函数只有一个交点，不符合； 当01a <<时，

直线2y a =与函数|1|x

y a =-图象在0x <时必有一个交点，而当0x ≥时，函数

|1|x y a =-无限接近直线1y =，所以21a <，解得12a <

。所以此时102

a <<。 综上可得，1

02

a <<

14．【答案】8125.1.

【解析】根据“二分法”的定义，最初确定的区间是（1，2），又方程的近似解是x ≈1.8，故后4个区间分别是（1.5，2），（1.75，2），（ 1.75，1.875），（1.8125，1.875），故他取的4个值分别为 1.5，1.75，1.875，1.8125，故他取的x 的4个值中最后一个值是1.8125． 15．【答案】8

【解析】由于()[0,1)f x ∈ ，则需考虑110x ≤< 的情况 在此范围内，x Q ∈ 且x ∈Z 时，设*,,,2q

x p q p p

=

∈≥N ，且,p q 互质 若lg x Q ∈ ，则由lg (0,1)x ∈ ，可设*lg ,,,2n

x m n m m

=

∈≥N ，且,m n 互质

因此10

n

m

q

p

=，则10()

n m

q

p

=，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q

?

因此lg x不可能与每个周期内x D

∈对应的部分相等，

只需考虑lg x与每个周期x D

?的部分的交点，

16．【答案】2

1

22

e e

e

??

++

?

??

，

【解析】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查考生的数形结合思想、转化与化归思想及观察能力，重在考查特殊与一般数学思想方法的应用，作出函数()

()

()

ln0

2ln0

x x e

f x

x x

?<≤

?

=?

->

??

的大致图象，如图所示．由题意，若a b c

，，互不相等，且()()()

f a f b f c

==，可知不妨设a b c

<<，则01

a

<<，1b e

<<．又

()

()

()

ln01

lnx1

2ln

x x

x e

x x e

-<<

?

?

≤≤

?

?

->

?

，所以ln ln

a b

-=，即ａｂ＝１，

1

b

a

=，同理ln2ln

a c

-=-，即2

c

e

a

=，2

c ae

=．所以()

22

11

1

a b c a ae e a

a a

++=++=++，又01

a

<<，1b e

<<，

1

b

a

=，所以

1

1

a

e

<<，令函数()()

2

11

11

g x e x x

x e

??

=++<<

?

??

，显然在区间

1

1

e

??

?

??

，上单调递增，所以()()

1

1

g g x g

e

??

<<

?

??

，从而2

1

22

e a b c e

e

+<++<+.

17．【答案】（1）利用定义证明()()f x f x -= （2）分段作出函数的图象或利用图象的对称性也可以 【解析】（1）∵x R ∈，

2()()21f x x x -=----=221x x -- =()f x

∴()f x 是偶函数. ………………………………5分

（2）∵2221,0()21,0

x x x f x x x x ?--≥=?+-?＜ ，函数()f x 图象如图所示.

……………………10分

18.【答案】（1）（－1，+∞）；（2）a 的值为3或13

(2)函数的单调递增区间为(1,)+∞,单调递减区间为(,1)-∞。

【解析】（1）当2a =时 ，22()2

221(21)2x

x x f x =+?-=+-

∵ 20,x

> 设2x t =，则2

(1)2y t =+-在（0,+∞）上单调递增 故1y >-， ∴ ()y f x =的值域为（－1，+∞）；…………..3分 （2）2221(1)2x

x x y a

a a =+-=+-

① 当1a >时，又11x -≤≤，可知1

x a a a

≤≤,设x a t =, 则2

(1)2y t =+-在[

1

,a a

]上单调递增 ∴ 2

max ()(1)214f x a =+-=，解得35a a ==-或 ，故3a =

x

y 1

2

1

2 3

4 -1

-2 -3 -4

1 -

2 -3

O 3

② 当01a <<时，又11x -≤≤，可知1

x a a a

≤≤, 设x a t =, 则2

(1)2y t =+-在[1

,

a a

]上单调递增 ∴ 2max 1()(1)214f x a =+-=，解得1135

a a ==-或 ，故13a =

综上可知a 的值为3或1

3

……………………………………..9分 (2) 1

3

x y -=的图象,

函数的单调递增区间为(1,)+∞,单调递减区间为(,1)-∞。…………………12分 19．【答案】（1）12m ≥

；（2）1

2

m ≥. 【解析】（1）p 为真命题：因为函数()222x x

f x m -=-在R 上有零点，

所以()2

220x x

f x m -=-=有解，

所以222

x x

m -=有解，

所以1

2

m ≥

……………………………………………………….5分 （2）因为函数()2

2f x x mx n =++在[]

1,2上单调递增，

所以1m -≤，所以1m ≥- ………………………………………..9分 因为p q ∧，所以,p q 均为真， 所以1

2

m ≥

…………………………………………………..12分 20．【答案】（1）)(x f 在)1,0(),0,(-∞上单调递减，在),1(+∞上单调递增；（2）)2740,

8(-∈a . 【解析】（1）由题意得)(x f 的定义域为{}0≠x x ，4=a 时，x

x x x f 4

42)(2+-+=，

则2

232422422)(x x x x x x f -+=-+='，

令0)(='x f ，解得1=x ，且有1>x 时，0)(>'x f ，1

所以)(x f 在)1,0(),0,(-∞上单调递减，)(x f 在),1(+∞上单调递增. ………………….6分 （2）0)(=x f ，即x x x a 4223-+=-，令x x x x g 42)(2

3

-+=， 则443)(2

-+='x x x g ，解得3

2

,221=

-=x x ，所以)(x g 有两个极值， 2740)32()(,8)2()(21-===-=g x g g x g ，所以)8,2740(-∈-a ，

即)2740

,8(-∈a ……12分

. 21．【答案】（1）0a <；（2）2a ≤-；（3）当3a ≤-时，max ()0h x =；当30a -<<时，

max ()3+h x a =．

【解析】（1）由题意，得211x a x -=-，即101x x a -=+=或，

显然，1x =已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程1x a +=有且仅有一个等于1的解或无解，

∴0a <．……………………………………………………………………4分

（2）当x R ∈，不等式()()f x g x ≥恒成立，即2

(1)1x a x -≥-（*）对x R ∈恒成立， ①当1x =时，（*）显然成立，此时a R ∈；

②当1x ≠时，（*）可变形为21

|1|

x a x -≤-，

令21()|1|x x x ?-=-＝1

1(1)1

x x x x +>??-+

因为当1x >时，()2x ?>，当1x <时，()2x ?>-.所以()2x ?>-，故此时2a ≤-． 综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a ≤-．…………………………………..8分 （3）当3a ≤-时，max ()(1)0h x h == 当31a -<≤-时，max ()(2)3+h x h a == 当10a -<<时，max ()(2)3+(2)h x h a h ==>-

综上：当3a ≤-时，max ()0h x =；当30a -<<时，max ()3+h x a =．……………12分

22.【答案】（Ⅰ）101010

cos sin sin cos L θθθθ

=

++

? ，[,]63ππθ∈； （Ⅱ）213cos sin +=+θθ时，4

3

cos sin =θθ，)13(20+=L ；

（Ⅲ）当4

π

θ=

时，所铺设管道的成本最低，此时管道的长度为1)米。

【解析】（Ⅰ）10cos EH θ=

，10sin FH θ

=，θθcos sin 10

=EF

由于10tan BE θ=?≤，10tan AF θ=≤tan θ≤≤[,]63

ππ

θ∈ 所

以

101010

cos sin sin cos L θθθθ

=

++

?

，

[,]63

ππ

θ∈.................................................4分

（Ⅱ）213cos sin +=

+θθ时，4

3

cos sin =θθ，)13(20+=L ；……….7分 （Ⅲ）101010cos sin sin cos L θθθθ=++?=sin cos 110sin cos θθθθ++?? ?

???

，设sin cos t θθ+=, 则21sin cos 2t θθ-?=，由于[,]63

ππ

θ∈，

所以sin cos )4t πθθθ=++∈ ，201

L t =

-在1

2

内单调递减，

于是当t =

时4

π

θ=

. L 的最小值1)米

答：当4

π

θ=

时，所铺设管道的成本最低，此时管道的长度为1)

米……………………………………………………………………………….12分