圆锥曲线高考题汇编(带详细解析)

第八章 圆锥曲线方程

●考点阐释

圆锥曲线是解析几何的重点内容，这部分内容的特点是：

（1）曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用.

（2）综合性强．在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容，体现了对各种能力的综合要求．

（3）计算量大．要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力． ●试题类编 一、选择题

1.（2003京春文9，理5）在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ）

2.（2003京春理，7）椭圆??

?=+=?

?

sin 3cos 54y x （?为参数）的焦点坐标为（ ）

A.（0，0），（0，－8）

B.（0，0），（－8，0）

C.（0，0），（0，8）

D.（0，0），（8，0）

3.（2002京皖春，3）已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ）

A.圆

B.椭圆

C.双曲线的一支

D.抛物线

4.（2002全国文，7）椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于（ ）

A.－1

B.1

C.5

D. －

5

5.（2002全国文，11）设θ∈（0，

4

π

），则二次曲线x 2cot θ－y 2tan θ＝1的离心率的取值范围为（ ）

A.（0，

2

1

） B.（

2

2

,21） C.（

2,2

2

） D.（

2，＋∞）

6.（2002北京文，10）已知椭圆222253n y m x +和双曲线2

2

2232n y m x -

＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）

A.x ＝±

y 2

15

B.y ＝±

x 2

15

C.x ＝±

y 4

3 D.y ＝±

x 4

3 7.（2002天津理，1）曲线?

??==θθ

sin cos y x （θ为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ）

A.

2

1

B.

2

2 C.1 D.

2

8.（2002全国理，6）点P （1，0）到曲线???==t

y t x 22

（其中参数t ∈R ）上的点的最短距离为（ ）

A.0

B.1

C.

2 D.2

9.（2001全国，7）若椭圆经过原点，且焦点为F 1（1，0），F 2（３，0），则其离心率为（ ） A.

4

3

B.

3

2 C.2

1 D.

4

1 10.（2001广东、河南，10）对于抛物线y 2=4x 上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是（ ）

A.（－∞，0）

B.（－∞，2]

C.［0，2］

D.（0，2）

11.（2000京皖春，9）椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是（ ） A.

4

3

B.

55

4

C.

35

8

D.

33

4 12.（2000全国，11）过抛物线y =ax 2（a ＞0）的焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则

q

p 1

1+等于（ ） A.2a

B.

a

21

C.4a

D.

a

4 13.（2000京皖春，3）双曲线22

22a

y b x -＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ）

A.2

B.

3

C.

2

D.

2

3

14.（2000上海春，13）抛物线y =－x 2的焦点坐标为（ ） A.（0，

4

1

） B.（0，－

4

1

） C.（

4

1

，0）

D.（－

4

1

，0）

15.（2000上海春，14）x =

231y -表示的曲线是（ ）

A.双曲线

B.椭圆

C.双曲线的一部分

D.椭圆的一部分 16.（1999上海理，14）下列以t 为参数的参数方程所表示的曲线中，与xy =1所表示的曲线完全一致的是（ ）

A.??

???

==-21

21

t y t x

B.?????==||1||t y t x

C.?

??==t y t

x sec cos

D.?

??==t y t x cot tan

17.（1998全国理，2）椭圆3

1222y x +

=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的（ ）

A.7倍

B.5倍

C.4倍

D.3倍

18.（1998全国文，12）椭圆3

1222y x +

=1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是（ ）

A.±

43 B.±2

3 C.±

2

2

D.±

4

3 19.（1997全国，11）椭圆C 与椭圆4)2(9)3(2

2-+

-y x ，关于直线x +y =0对称，椭圆C 的方程是（ ） A.19)3(4)2(2

2=+++y x

B.19)3(4)2(2

2=++-y x

C.14

)3(9)2(2

2=+++y x

D.19

)3(4)2(2

2=-+-y x

20.（1997全国理，9）曲线的参数方程是??

?

??-=-=2111t y t x （t 是参数，t ≠0），它的普通方程是（ ）

A.（x －1）2（y －1）＝1

B.y ＝

2

)1()

2(x x x -- C.y ＝

1)

1(1

2

--x D.y ＝

2

1x x

-＋1

21.（1997上海）设θ∈（

4

3

π，π），则关于x 、y 的方程x 2csc θ－y 2sec θ=1所表示的曲线是（ ） A.实轴在y 轴上的双曲线

B.实轴在x 轴上的双曲线

C.长轴在y 轴上的椭圆

D.长轴在x 轴上的椭圆

22.（1997上海）设k ＞1，则关于x 、y 的方程（1－k ）x 2+y 2=k 2－1所表示的曲线是（ ） A.长轴在y 轴上的椭圆 B.长轴在x 轴上的椭圆 C.实轴在y 轴上的双曲线 D.实轴在x 轴上的双曲线 23.（1996全国文，9）中心在原点，准线方程为x =±4，离心率为

2

1

的椭圆方程是（ ） A.3422y x +＝1

B.4322y x +＝1

C.4

2x ＋y 2＝1

D.x 2

＋4

2y ＝1

24.（1996上海，5）将椭圆9252

2y x +

＝1绕其左焦点按逆时针方向旋转90°，所得椭圆方程是（ ） A.19)4(25)4(22=-++y x

B.19)4(25)4(2

2=+++y x

C.125

)4(9)4(2

2=-++y x

D.125

)4(9)4(2

2=+++y x

25.（1996上海理，6）若函数f （x ）、g （x ）的定义域和值域都为R ，则f （x ）>g （x ）（x ∈R ）成立的充要条

件是（ ）

A.有一个x ∈R ，使f （x ）>g （x ）

B.有无穷多个x ∈R ，使得f （x ）>g （x ）

C.对R 中任意的x ，都有f （x ）>g （x ）+1

D.R 中不存在x ，使得f （x ）≤g （x ）

26.（1996全国理，7）椭圆?

??+-=+=??

sin 51cos 33y x 的两个焦点坐标是（ ）

A.（－3，5），（－3，－3）

B.（3，3），（3，－5）

C.（1，1），（－7，1）

D.（7，－1），（－1，－1）

27.（1996全国文，11）椭圆25x 2－150x +9y 2+18y +9=0的两个焦点坐标是（ ） A.（－3，5），（－3，3） B.（3，3），（3，－5） C.（1，1），（－7，1） D.（7，－1），（－1，－1）

28.（1996全国）设双曲线22

22b

y a x -=1（0＜a ＜b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点.已知原点到

直线l 的距离为

4

3

c ，则双曲线的离心率为（ ） A.2

B.

3

C.

2

D.

33

2

29.（1996上海理，7）若θ∈［0，

2

π］，则椭圆x 2+2y 2－22x cos θ+4y sin θ=0的中心的轨迹是（ ）

30.（1995全国文6，理8）双曲线3x 2

－y 2

＝3的渐近线方程是（ ） A.y =±3x

B.y ＝±

3

1

x C.y ＝±

3x

D.y ＝±

x 3

3 31.（1994全国，2）如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A.（0，＋∞） B.（0，2） C.（1，＋∞） D.（0，1）

32.（1994全国，8）设F 1和F 2为双曲线-4

2x y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，

则△F 1PF 2的面积是（ ）

A.1

B.

2

5 C.2 D.

5

33.（1994上海，17）设a 、b 是平面α外任意两条线段，则“a 、b 的长相等”是a 、b 在平面α内的射影长相等的（ ） A.非充分也非必要条件 B.充要条件 C.必要非充分条件 D.充分非必要条件

34.（1994上海，19）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程是y =cos x ，现在平移坐标系，把原点移到O ′（

2

π

，

－

2

π），则在坐标系x ′O ′y ′中，曲线C 的方程是（ ）

A.y ′=sin x ′+

2π

B.y ′=－sin x ′+

2

π

C.y ′=sin x ′－2

π D.y ′=－sin x ′－

2

π

二、填空题

35.（2003京春，16）如图8—1，F 1、F 2分别为椭圆22

22b

y a x +=1的左、右焦点，点P 在

椭圆上，△POF 2是面积为

3的正三角形，则b 2的值是_____.

36.（2003上海春，4）直线y =x －1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标是_____. 37.（2002上海春，2）若椭圆的两个焦点坐标为F 1（－1，0），F 2（5，

0），长轴的长为10，则椭圆的方程为 ． 38.（2002京皖春，13）若双曲线m y x 224-

＝1的渐近线方程为y ＝±2

3x ，则双曲线的焦点坐标是 ． 39.（2002全国文，16）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；

③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；

⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）． 能使这抛物线方程为y 2＝10x 的条件是 ．（要求填写合适条件的序号） 40.（2002上海文，8）抛物线（y －1）2＝4（x －1）的焦点坐标是 ． 41.（2002天津理，14）椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k ＝ ．

42.（2002上海理，8）曲线???+=-=1

212t y t x （t 为参数）的焦点坐标是_____.

43.（2001京皖春，14）椭圆x 2＋4y 2＝4长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是 ．

44.（2001上海，3）设P 为双曲线-4

2x y 2

＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨

迹方程是 ．

45.（2001上海，5）抛物线x 2－4y －3＝0的焦点坐标为 ．

46.（2001全国，14）双曲线16

92

2y x -

＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为 .

47.（2001上海春，5）若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为_____.

48.（2001上海理，10）直线y =2x －

21

与曲线???==?

?2cos sin y x （?为参数）的交点坐标是_____. 49.（2000全国，14）椭圆4

92

2y x +

＝1的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是_____.

50.（2000上海文，3）圆锥曲线916)1(2

2y x --＝1的焦点坐标是_____.

51.（2000上海理，3）圆锥曲线???=+=θ

θtan 31

sec 4y x 的焦点坐标是_____.

52.（1999全国，15）设椭圆22

22b

y a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦

的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是 .

53.（1999上海5）若平移坐标系，将曲线方程y 2+4x －4y －4=0化为标准方程，则坐标原点应移到点O ′ ( ) .

54.（1998全国，16）设圆过双曲线16

92

2y x -

=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 .

55.（1997全国文，17）已知直线x －y =2与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是_____.

56.（1997上海）二次曲线?

??==θθ

sin 3cos 5y x （θ为参数）的左焦点坐标是_____.

57.（1996上海，16）平移坐标轴将抛物线4x 2－8x ＋y ＋5＝0化为标准方程x ′2＝ay ′（a ≠0），则新坐标系的

原点在原坐标系中的坐标是 ．

58.（1996全国文，16）已知点（－2，3）与抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点的距离是5，则p =_____. 59.（1996全国理，16）已知圆x 2+y 2－6x －7=0与抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线相切，则p =_____. 60.（1995全国理，19）直线L 过抛物线y 2＝a （x +1）（a >0）的焦点，并且与x 轴垂直，若L 被抛物线截得的线段长为4，则a = .

61.（1995全国文，19）若直线L 过抛物线y 2＝4（x +1）的焦点，并且与x 轴垂直，则L 被抛物线截得的线段长为 .

62.（1995上海，15）把参数方程??

?+==1

cos sin αα

y x （α是参数）化为普通方程，结果是 ．

63.（1995上海，10）双曲线9

822

2y x -

=8的渐近线方程是 . 64.（1995上海，14）到点A （－1，0）和直线x =3距离相等的点的轨迹方程是 .

65.（1994全国，17）抛物线y 2＝8－4x 的准线方程是 ，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是 ．

66.（1994上海，7）双曲线2

2

y －x 2=1的两个焦点的坐标是 .

三、解答题

67.（2003上海春，21）设F 1、F 2分别为椭圆C ：22

228b

y a x + =1（a ＞b ＞0）的左、右两个焦点.

（1）若椭圆C 上的点A （1，

2

3

）到F 1、F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标； （2）设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程；

（3）已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.试对双曲

线1

22

22=-b

y a x 写出具有类似特性的性质，并加以证明. 68.（2002上海春，18）如图8—2，已知F 1、F 2为双曲线122

22=-b

y a x （a ＞0，b ＞0）的

焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°．求双曲线的渐近线方程．

69.（2002京皖文，理，22）已知某椭圆的焦点是F 1（－4，0）、F 2（4，0），过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |＋|F 2B |＝10．椭圆上不同的两点A （x 1，y 1）、C （x 2，y 2）满足条件：|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列．

（Ⅰ）求该椭圆的方程；

（Ⅱ）求弦AC 中点的横坐标；

（Ⅲ）设弦AC 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，求m 的取值范围． 70.（2002全国理，19）设点P 到点M （－1，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2．求m 的取值范围．

71.（2002北京，21）已知O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）是△OBC 的三个顶点．如图8—3.

（Ⅰ）写出△OBC 的重心G ，外心F ，垂心H 的坐标，并证明G 、F 、H 三点共线； （Ⅱ）当直线FH 与OB 平行时，求顶点C 的轨迹．

72.（2002江苏，20）设A 、B 是双曲线x 222

y -＝1上的两点，点N （1，2）是线段AB

的中点．

（Ⅰ）求直线AB 的方程；

（Ⅱ）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么?

73.（2002上海，18）已知点A （3-

，0）和B （3，0）

，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直线y =x －2交于D 、E 两点，求线段DE 的长．

74.（2001京皖春，22）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）.过动点M （a ，0）且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ，|AB |≤2p .

（Ⅰ）求a 的取值范围；

（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值.

75.（2001上海文，理，18）设F 1、F 2为椭圆4

92

2y x +

＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点．已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|，求

|

||

|21PF PF 的值．

76.（2001全国文20，理19）设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴.证明直线AC 经过原点O .

77.（2001上海春，21）已知椭圆C 的方程为x 2+22y =1，点P （a ，b ）的坐标满足a 2+2

2b

≤1，过点P 的直线

l 与椭圆交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，求：

（1）点Q 的轨迹方程；

（2）点Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数.

78.（2001广东河南21）已知椭圆2

2x +y 2

=1的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交

于A 、B 两点，点C 在右准线l 上，且BC ∥x 轴.

求证：直线AC 经过线段EF 的中点.

图8—3

79.（2000上海春，22）如图8—4所示，A 、F 分别是椭圆12

)1(16)1(2

2-+

+x y ＝1的一个顶点与一个焦点，位于x 轴的正半轴上的动点T （t ，0）与F 的连线交射影OA 于Q ．求：

（1）点A 、F 的坐标及直线TQ 的方程；

（2）△OTQ 的面积S 与t 的函数关系式S =f （t ）及其函数的最小值；

（3）写出S =f （t ）的单调递增区间，并证明之．

80.（2000京皖春，23）如图8—5，设点A 和B 为抛物线y 2＝4px （p ＞0）上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．

81.（2000全国理，22）如图8—6，已知梯形ABCD 中，|AB |＝2|C Ｄ|，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当

3

2≤λ≤43

时，求双曲线离心率e 的取值范围．

图8—5 图8—6 图8—7

82.（2000全国文，22）如图8—7，已知梯形ABCD 中|AB |＝2|CD |，点E 分有向线段AC 所成的比为11

8

，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．求双曲线离心率．

83.（2000上海，17）已知椭圆C 的焦点分别为F 1（22

-，0）和F 2（22，0）

，长轴长为6，设直线y =x +2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．

84.（1999全国，24）如图8—8，给出定点A （a ，0）（a ＞0）和直线l ：x =－1.B 是直线l

上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C.求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型

与a 值的关系.

注：文科题设还有条件a ≠1

85.（1999上海，22）设椭圆C 1的方程为22

22b

y a x +=1（a ＞b ＞0），

曲线C 2的方程为

y =

x

1

，且C 1与C 2在第一象限内只有一个公共点P . （Ⅰ）试用a 表示点P 的坐标.

（Ⅱ）设A 、B 是椭圆C 1的两个焦点，当a 变化时，求△ABP 的面积函数S （a ）的值域；

（Ⅲ）设min ｛y 1，y 2，…，y n ｝为y 1，y 2，…，y n 中最小的一个.设g （a ）是以椭圆C 1的半焦距为边长的正方形的面积，求函数f （a ）=min ｛g （a ），S （a ）｝的表达式.

86.（1998全国理，24）设曲线C 的方程是y =x 3－x ，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t 、s 单位长度后得曲线C 1.

（Ⅰ）写出曲线C 1的方程；

图8— 4

图8—

8

（Ⅱ）证明曲线C 与C 1关于点A （

2

,2s

t ）对称； （Ⅲ）如果曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，证明s =4

3

t －t 且t ≠0.

87.（1998全国文22，理21）如图8—9，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1.以

A 、

B 为端点的曲线段

C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等.若△AMN 为锐角三

角形，|AM |=

17，|AN |=3，且|BN |=6.建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程.

88.（1998上海理，20）（1）动直线y =a 与抛物线y 2=

2

1

（x －2）相交于A 点，动点B

的坐标是（0，3a ），求线段AB 中点M 的轨迹C 的方程；

（2）过点D （2，0）的直线l 交上述轨迹C 于P 、Q 两点，E 点坐标是（1，0），若△EPQ 的面积为4，求直线l 的倾斜角α的值.

89.（1997上海）抛物线方程为y 2=p （x +1）（p ＞0），直线x +y =m 与x 轴的交点在抛物线的准线的右边. （1）求证：直线与抛物线总有两个交点；

（2）设直线与抛物线的交点为Q 、R ，OQ ⊥OR ，求p 关于m 的函数f （m ）的表达式；

（3）（文）在（2）的条件下，若抛物线焦点F 到直线x +y =m 的距离为

2

2

，求此直线的方程； （理）在（2）的条件下，若m 变化，使得原点O 到直线QR 的距离不大于

2

2

，求p 的值的范围. 90.（1996全国理，24）已知l 1、l 2是过点P （－2，0）的两条互相垂直的直线，且l 1、l 2与双曲线y 2－x 2＝

1各有两个交点，分别为A 1、B 1和A 2、B 2.

（Ⅰ）求l 1的斜率k 1的取值范围；

（Ⅱ）（理）若|A 1B 1|＝

5|A 2B 2|，求l 1、l 2的方程.

（文）若A 1恰是双曲线的一个顶点，求|A 2B 2|的值.

91.（1996上海，23）已知双曲线S 的两条渐近线过坐标原点，且与以点A （

2，0）为

圆心，1为半径的圆相切，双曲线S 的一个顶点A ′与点A 关于直线y =x 对称.设直线l 过点A ，斜率为k .

（1）求双曲线S 的方程；

（2）当k =1时，在双曲线S 的上支上求点B ，使其与直线l 的距离为

2；

（3）当0≤k ＜1时，若双曲线S 的上支上有且只有一个点B 到直线l 的距离为2，求斜率k 的值及相应的点

B 的坐标，如图8—10.

92.（1995全国理，26）已知椭圆如图8—11，16

242

2y x +

＝1，直线L ：812y x +＝1，P 是L 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |2|OP |＝|OR |2.当点P 在L

上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

图

8—

9

图8—10

93.（1995上海，24）设椭圆的方程为22

22n

y m x +＝1（m ，n >0），过原点且倾角为θ和π－θ（0＜θ＜2π＝的

两条直线分别交椭圆于A 、C 和B 、D 两点，

（Ⅰ）用θ、m 、n 表示四边形ABCD 的面积S ；

（Ⅱ）若m 、n 为定值，当θ在（0，

4

π］上变化时，求S 的最小值u ；

（Ⅲ）如果μ>mn ，求

n

m

的取值范围. 94.（1995全国文，26）已知椭圆16

242

2y x +

=1，直线l ：x =12.P 是直线l 上一点，射线OP 交椭圆于点R .又点Q 在OP 上且满足|OQ |2|OP |=|OR |2.当点P 在直线l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

95.（1994全国理，24）已知直线L 过坐标原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，若点A （－1，0）和点B （0，8）关于L 的对称点都在C 上，求直线L 和抛物线C 的方程.

96.（1994上海，24）设椭圆的中心为原点O ，一个焦点为F （0，1），长轴和短轴的长度之比为t ． （1）求椭圆的方程；

（2）设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q 、点P 在该直线上，且1|

||

|2-=t t OQ OP ，当t 变化时，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.

答案解析

1.答案：D

解析一：将方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +by 2=0转化为标准方程：x b a

y b y a x -==+22

222,111.因为a ＞b ＞0，因此，

a

b 1

1>＞0，所以有：椭圆的焦点在y 轴，抛物线的开口向左，得D 选项. 解析二：将方程ax +by 2=0中的y 换成－y ，其结果不变，即说明：ax +by 2=0的图形关于x 轴对称，排除B 、C ，又椭圆的焦点在y 轴.故选D.

评述：本题考查椭圆与抛物线的基础知识，即标准方程与图形的基本关系.同时，考查了代数式的恒等变形及简单的逻辑推理能力.

2.答案：D

解析：利用三角函数中的平方和关系消参，得925)4(2

2y x +

-=1，∴c 2=16，x －4=±4，而焦点在x 轴上，所以焦点坐标为：（8，0），（0，0），选D.如果画出9

25)4(2

2y x +

-=1的图形，则可以直接“找”出正确选项. 评述：本题考查将参数方程化为普通方程的思想和方法，以及利用平移变换公式进行逻辑推理，同时也考查了

数形结合的思想方法.

3.答案：A

解析：由第一定义得，|PF 1|+|PF 2|为定值 ∵|PQ |=|PF 2|，

∴|PF 1|+|PQ |为定值，即|F 1Q |为定值. 4.答案：B

解析：椭圆方程可化为：x 2

+k

y 52

=1

∵焦点（0，2）在y 轴上，∴a 2=k

5

，b 2=1， 又∵c 2=a 2－b 2=4，∴k =1 5.答案：D 解析：∵θ∈（0，

4

π），∴sin θ∈（0，

2

2

）， ∴a 2=tan θ，b 2=c ot θ ∴c 2=a 2+b 2=tan θ+c ot θ，

∴e 2

=θθθθ2

22sin 1

tan cot tan =+=a c ，∴e =θ

sin 1， ∴e ∈（

2，+∞）

6.答案：D

解析：由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上 ∴椭圆焦点（

2

253n m -，0），双曲线焦点（

2

232n m +，0）

∴3m 2－5n 2=2m 2+3n 2

∴m 2=8n 2

又∵双曲线渐近线为y =±

|

|2|

|6m n ?2x

∴代入m 2=8n 2，|m |=22|n |，得y =±

4

3x 7.答案：D

解析：设曲线上的点到两坐标轴的距离之和为d ∴d =|x |+|y |=|co s θ|+|sin θ| 设θ∈［0，

2

π］

∴d =sin θ+cos θ=

2sin （θ+

4

π） ∴d max =

2.

8.答案：

B

解法一：将曲线方程化为一般式：y 2=4x ∴点P （1，0）为该抛物线的焦点

由定义，得：曲线上到P 点，距离最小的点为抛物线的顶点. 解法二：设点P 到曲线上的点的距离为d ∴由两点间距离公式，得

d 2=（x －1）2+y 2=（t 2－1）2+4t 2=（t 2+1）2 ∵t ∈R ∴d min 2=1 ∴d min =1 9.答案：C

解析：由F 1、F 2的坐标得2c ＝3－1，c ＝1， 又∵椭圆过原点a －c ＝1，a ＝1＋c ＝2， 又∵e ＝

2

1

=a c ，∴选C. 10.答案：B

解析：设点Q 的坐标为（42

0y

，y 0），

由 |PQ |≥|a |，得y 02

+（4

2

0y

－a ）2≥a 2.

整理，得：y 02（y 02+16－8a ）≥0， ∵y 02≥0，∴y 02+16－8a ≥0.

即a ≤2+820y 恒成立.而2+8

2

0y

的最小值为2.

∴a ≤2.选B.

11.答案：D

解析：由题意知a =2，b =1，c =3，准线方程为x =±c

a 2

，

∴椭圆中心到准线距离为3

3

4． 12.答案：C

解析：抛物线y =ax 2的标准式为x 2＝

a

1y ， ∴焦点F （0，

a

41）. 取特殊情况，即直线PQ 平行x 轴，则p =q .

如图8—13，∵PF ＝PM ，∴p ＝a

21

，

故

a p

p p q p 42

1111==+=+．

图8—13

13.答案：C

解析：渐近线方程为y =±

b a x ，由b a 2（－b

a ）＝－1，得a 2＝

b 2， ∴

c ＝

2a ，e ＝2．

14.答案：B

解析：y =－x 2的标准式为x 2＝－y ，∴p ＝21，焦点坐标F （0，－4

1

）． 15.答案：D 解析：x =

231y -化为x 2＋3y 2＝1（x ＞0）．

16.答案：D

解析：由已知xy =1可知x 、y 同号且不为零，而A 、B 、C 选项中尽管都满足xy =1，但x 、y 的取值范围与已知不同.

17.答案：A

解析：不妨设F 1（－3，0），F 2（3，0）由条件得P （3，±

23），即|PF 2|=23

，|PF 1|=2

147，因此|PF 1|=7|PF 2|，故选A.

评述：本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想，具有较强的思辨性，是高考命题的方向. 18.答案：A

解析：由条件可得F 1（－3，0），PF 1的中点在y 轴上，∴P 坐标（3，y 0），又P 在3

122

2y x +

=1的椭圆上得y 0=±

2

3， ∴M 的坐标（0，±

4

3），故选A. 评述：本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，中点坐标公式以及运算能力. 19.答案：A

解析：将已知椭圆中的x 换成－y ，y 换成－x 便得椭圆C 的方程为9

)3(4)2(2

2++

+y x ＝1，所以选A. 评述：本题考查了椭圆的方程及点关于直线的对称问题.

20.答案：B 解法一：由已知得t ＝

x -11，代入y ＝1－t 2中消去t ，得y ＝12

2)

1()2()1(1x x x x --=--，故选B. 解法二：令t ＝1，得曲线过（0，0），分别代入验证，只有B 适合，故选B.

评述：本题重点考查参数方程与普通方程的互化，考查等价转化的能力． 21.答案：C

解析：由已知得方程为θ

θcos sin 2

2y x -

=1 由于θ∈（

4

3π

，π），因此sin θ＞0，cos θ＜0，且|sin θ|＜|cos θ| ∴原方程表示长轴在y 轴上的椭圆. 22.答案：C

解析：原方程化为1

12

22+-

-k x k y =1 由于k ＞1，因此它表示实轴在y 轴上的双曲线. 23.答案：A

解析：由已知有????????==2

1

42

a c c a a ＝2，c ＝1，

b 2

＝3,于是椭圆方程为3422y x +

＝1,故选A. 评述：本题考查了椭圆的方程及其几何性质，以及待定系数法和运算能力.

24.答案：C

解析：如图8—14，原点O 逆时针方向旋转90°到O ′，则O ′（－4，4）为旋转后椭圆

的中心，故旋转后所得椭圆方程为25

)4(9)4(2

2-+

+y x ＝1．所以选C. 25.答案：D 解析：R 中不存在x ，使得f （x ）≤g （x ），即是R 中的任意x 都有f （x ）>g （x ）， 故选D.

26.答案：B

解析：可得a ＝3，b ＝5，c ＝4，椭圆在新坐标系中的焦点坐标为（0，±4），在原坐标系中的焦点坐标为（3，3），（3，－5），故选B.

评述：本题重点考查椭圆的参数方程、坐标轴的平移等基本知识点，考查数形结合的能力． 27.答案：B

解析：把已知方程化为25

)1(9)3(2

2++

-y x =1，∴a =5，b =3，c =4 ∵椭圆的中心是（3，－1），

∴焦点坐标是（3，3）和（3，－5）. 28.答案：A

解析：由已知，直线l 的方程为ay +bx －ab =0，原点到直线l 的距离为

43

c ，则有

c b

a a

b 432

2=+， 又c 2=a 2+b 2，∴4ab =3c 2，两边平方，得16a 2（c 2－a 2）=3c 4，两边同除以a 4，并整理，得3e 4－16e 2+16=0

∴e 2=4或e 2=

3

4

. 图8—14

而0＜a ＜b ，得e 2=222

221a

b

a b a +=+＞2，∴e 2=4.故e =2. 评述：本题考查点到直线的距离，双曲线的性质以及计算、推理能力.难度较大，特别是求出e 后还须根据b ＞

a 进行检验.

29.答案：D

解析：把已知方程化为标准方程，得2

)cos 2(2

θ-x +（y +sin θ）2=1.

∴椭圆中心的坐标是（2cos θ，－sin θ）.

其轨迹方程是??

?-==θ

θsin cos 2y x θ∈［0，2π

］.

即2

2x +y 2

=1（0≤x ≤2，－1≤y ≤0）.

30.答案：C

解法一：将双曲线方程化为标准形式为x 2

－3

2

y ＝1，其焦点在x 轴上，且a =1，b =3，故其渐近线方程为y

＝±

a

b

x ＝±3x ，所以应选C. 解法二：由3x 2－y 2＝0分解因式得y ＝±3x ，此方程即为3x 2－y 2＝3的渐近线方程，故应选C.

评述：本题考查了双曲线的标准方程及其性质. 31.答案：D

解析：原方程可变为k

y x 2222+

＝1，因为是焦点在y 轴的椭圆，所以???

??>>220

k k ，解此不等式组得0

评述：本题考查了椭圆的方程及其几何意义以及解不等式的方法，从而考查了逻辑思维能力和运算能力.

32.答案：A

解法一：由双曲线方程知|F 1F 2|＝25，且双曲线是对称图形，假设P （x ，142

-x ）

，由已知F 1P ⊥F 2 P ，有15

1

45142

2-=+-?--x x x x ，即1145221,52422=-??==x S x ，因此选A. 解法二：S △=b 2cot

2

2

1PF F =13cot45°=1. 评述：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、两条直线垂直的条件、三角形面积公式以及运算能力. 33.答案：A

解析：a 、b 长相等a 、b 在平面α内的射影长相等，因此选A.

34.答案：B

解析：由已知得平移公式??????

?-'=+'=2

2π

πy y x x 代入曲线C 的方程，得y ′－2π=cos （x ′+2π）.

即y ′=－sin x ′+

2

π. 35.答案：2

3

解析：因为F 1、F 2为椭圆的焦点，点P 在椭圆上，且正△POF 2的面积为3，

所以S =21|OF 2|2|PO |sin60°=4

3c 2

，所以c 2=4.

∴点P 的横、纵坐标分别为

2

3

,

2c c ，即P （1，3）在椭圆上，所以有2231b a +=1，又b 2+c 2=a 2，???+==+2

22

22243b

a b a a b 解得b 2=2

3.

评述：本题主要考查椭圆的基本知识以及基本计算技能，体现出方程的思想方法. 36.答案：（3，2）

解法一：设直线y =x －1与抛物线y 2=4x 交于A (x 1，y 1),B （x 2，y 2）,其中点为P （x 0，y 0）.

由题意得???=-=x

y x y 41

2，（x －1）2=4x ，x 2－6x +1=0.

∴x 0=

2

2

1x x +=3.y 0=x 0－1=2.∴P （3，2）. 解法二：y 22=4x 2，y 12=4x 1，y 22－y 12=4x 2－4x 1

1

21212)

)((x x y y y y -+-=4.∴y 1+y 2=4，即y 0=2，x 0=y 0+1=3.

故中点为P （3，2）.

评述：本题考查曲线的交点与方程的根的关系.同时应注意解法一中的纵坐标与解法二中的横坐标的求法.

37.答案：16

25)2(2

2y x +

- =1 解析：由两焦点坐标得出椭圆中心为点（2，0），焦半径c =3

∵长轴长为10，∴2a =10， ∴a =5，∴b =

2

2c a -

=4

∴椭圆方程为16

25)2(2

2y x +

-=1 38.答案：（±

7，0）

解析：由双曲线方程得出其渐近线方程为y =±

2

m

x ∴m =3，求得双曲线方程为3

42

2y x -

=1，从而得到焦点坐标. 39.答案：②，⑤

解析：从抛物线方程易得②，分别按条件③、④、⑤计算求抛物线方程，从而确定⑤. 40.答案：（2，1）

解析：抛物线（y －1）2=4（x －1）的图象为抛物线y 2=4x 的图象沿坐标轴分别向右、向上平移1个单位得来的. ∵抛物线y 2=4x 的焦点为（1，0）

∴抛物线（y －1）2=4（x －1）的焦点为（2，1） 41.答案：－1

解析：椭圆方程化为x 2+k

y

52-=1

∵焦点（0，2）在y 轴上， ∴a 2=

k

-5

，b 2=1 又∵c 2=a 2－b 2=4，∴k =－1 42.答案：（0，1）

解析：将参数方程化为普通方程：（y －1）2=4（x +1） 该曲线为抛物线y 2=4x 分别向左，向上平移一个单位得来. 43.答案：

25

16 解析：原方程可化为4

2x ＋y 2

＝1，a 2＝4，b 2＝1

∴a ＝2，b ＝1，c ＝

3 当等腰直角三角形，设交点（x ，y ）（y ＞0）可得2－x ＝y ， 代入曲线方程得：y ＝

5

4 ∴S ＝

21

32y 2＝25

16 44.答案：x 2－4y 2＝1

解析：设P （x 0，y 0） ∴M （x ，y ） ∴2

,200y

y x x ==

∴2x ＝x 0，2y ＝y 0

∴4

42x －4y 2＝1?x 2－4y 2＝1

45.答案：（0，

4

1

） 解析：x 2＝4y ＋3?x 2＝4（y ＋

4

3） ∴y ＋

43＝1，y ＝41，∴坐标（0，4

1） 46.答案：

5

16

解析：设|PF 1|＝M ，|PF 2|＝n （m ＞n ） a ＝3 b ＝4 c ＝5

∴m －n ＝６ m 2＋n 2＝4c 2

m 2＋n 2－（m －n ）2＝m 2＋n 2－（m 2＋n 2－2mn ）＝2mn ＝4325－36＝64 mn ＝32.

又利用等面积法可得：2c 2y ＝mn ，∴y ＝

5

16 47.答案：16

92

2y x -

=1 解析：由已知a =3，c =5，∴b 2=c 2－a 2=16

又顶点在x 轴，所以标准方程为16

92

2y x -

=1. 48.答案：（

2

1

,21） 解析：???-=-==????==?

????

2

2sin 211cos 2sin 2cos sin y x y x ①代入②得y ＝1－2x 2?2x 2＋y ＝1 ???

??

=+-=1

22122y x x y

解方程得：??????

?

==2

121y x

①②

∴交点坐标为（

2

1,21） 49.答案：5

3

53<

<-

x 解析：已知a 2＝9，b 2＝4，∴c ＝5，

∵x PF x ex a PF 3

5

3||,353||21+=-

=-= 由余弦定理，)9

59(1

95||||2||||||cos 22

212

212

22

121x x PF PF F F PF PF PF F --=??-+=，

∵∠F 1PF 2是钝角，∴－1＜cos F 1PF 2＜0，

即0)9

59(1

95122

<--<-x x ，解得5353<

<-x ． 评述：本题也可以通过PF 1⊥PF 2时，找到P 点的横坐标的值.类似问题，在高考命题中反复出现，本题只是改变了叙述方式.

50.答案：（6，0），（－4，0）

解析：令???'

='=-y y x x 1原方程化为标准形式191622='-'y x ．

∵a 2＝16，b 2＝9，∴c 2＝25，c ＝5，在新坐标系下焦点坐标为（±5，0）．

又由???='=±='=-05

1y y x x 解得???==06y x 和?

??=-=04y x

所以焦点坐标为（6，0），（－4，0）．

51.答案：（－4，0），（6，0）

解析：由???=+=θ

θtan 31sec 4y x

得???????==-θθtan 3

sec 4

1

y x 由③2

－④2

，得9

16)1(22y x --＝1．

① ② ③ ④