2020年中考数学二次函数压轴题专题训练(含答案)

2020年中考数学二次函数压轴题专题训练

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1.“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中,因此,越来越多的人喜欢骑自行车出行.某自行车店在销售某型号自行车时,以高出进价的50%标价.已知按标价的九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同.

(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元?

(2)若该型号自行车的进价不变,按(1)中的标价出售,该店平均每月可售出51辆;若每辆自行车每降价20元,每月可多售出3辆,求该型号自行车降价多少元时,每月获利最大?最大利润是多少?

设进价为x元,则标价是1.5x元,由题意得

1.5x×0.9×8－8x=(1.5x－100)×7－7x,

解得x=1 000,1.5×1 000=1 500(元),

答:进价为1 000元,标价为1 500元;

×3)(1 500－1 000

(2)设该型号自行车降价a元,利润为w元,由题意得w=(51+a

20

－a),

(a－80)2+26 460,

=－3

20

∵－3

<0,∴当a=80时,w最大=26 460,

20

答:该型号自行车降价80元出售每月获利最大,最大利润是26 460元.

2.如图,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.

(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长;

(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.

解(1)设AB=x m,则BC=(100－2x)m,

根据题意得x(100－2x)=450,解得x1=5,x2=45,

当x=5时,100－2x=90>20,不合题意舍去;

当x=45时,100－2x=10,答:AD的长为10 m.

(2)设AD=x m,

∴S=1

2x(100－x)=－1

2

(x－50)2+1 250,

当a≥50时,则x=50时,S的最大值为1 250;

当0

2

a2,

综上所述,当a≥50时,S的最大值为1250;当0

2

a2.

3.如图,已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3),与x轴分别交于点A,点B(3,0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点.

(1)求二次函数y=ax2+2x+c的表达式;

(2)连接PO,P C,并把△POC沿y轴翻折,得到四边形POP'C.若四边形POP'C为菱形,请求出此时点P的坐标;

(3)当点P运动到什么位置时,四边形ACPB的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积.

将点B和点C的坐标代入函数解析式,得{9a+6+c=0,

c=3,解得{a=－1,

c=3,

二次函数的解析是为y=－x2+2x+3.

(2)若四边形POP'C为菱形,则点P在线段CO的垂直平分线上,

图1

如图1,连接PP',则PE⊥CO,垂足为E,

∵C(0,3),

∴E(0,3

2

),

∴点P的纵坐标3

2,当y=3

2

时,

即－x 2+2x+3=3

, 解得

x 1=2+√10

2,x 2=2－√102(不合题意,舍),∴点

P 的坐标为(2+√102

,3

2).

图2

(3)如图2,

P 在抛物线上,设P (m ,－m 2+2m+3), 设直线BC 的解析式为y=kx+b ,

将点B 和点C 的坐标代入函数解析式,得{

3k +3=0,

b =3,

解得{k =－1,b =3.

直线BC 的解析为y=－x+3,过点P 作x 轴的垂线,交BC 于点Q ,交x 轴于点F , 设点Q 的坐标为(m ,－m+3),

PQ=－m 2+2m+3－(－m+3)=－m 2+3m. 当y=0时,－x 2+2x+3=0,

解得x 1=－1,x 2=3,OA=1,AB=3－(－1)=4, S 四边形ABPC =S △ABC +S △PCQ +S △PBQ =12AB ·OC+12PQ ·OF+1

2PQ ·FB =1

2×4×3+1

2(－m 2+3m )×3

=－32(m －32)

2

+75

8,

当m=3时,四边形ABPC的面积最大.

当m=3

2时,－m2+2m+3=15

4

,即P点的坐标为(3

2

,15

4

).

当点P的坐标为(3

2,15

4

)时,四边形ACPB的最大面积值为75

8

.

4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(－1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式;

(2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标;

(3)试探究:在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

设抛物线解析式为y=a(x+1)(x－3),

即y=ax2－2ax－3a,

∴－2a=2,解得a=－1,

∴抛物线解析式为y=－x2+2x+3;

当x=0时,y=－x2+2x+3=3,则C(0,3),

设直线AC的解析式为y=px+q,