2016届高考数学一轮复习11.6离散型随机变量及其分布列课时作业理湘教版
高考数学一轮复习---离散型随机变量的均值与方差、正态分布
离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、基础知识1.均值一般地，若离散型随机变量X的分布列为：则称E(X)＝x1p1＋x2p2i i n n.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.,(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态.,(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加.2.方差设离散型随机变量X的分布列为：则(x i－E(X))2描述了x i(i＝)＝(x i－E(X))2p i为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差.(1)随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.D(X)越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散.反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近.,(2)方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负.3.两个特殊分布的期望与方差4.正态分布(1)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(2)正态分布的三个常用数据①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682 6；②P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)≈0.954 4；③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)≈0.997 4.二、常用结论若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 是常数，X 是随机变量，则 (1)E (k )＝k ，D (k )＝0，其中k 为常数； (2)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )； (3)E (X 1＋X 2)＝E (X 1)＋E (X 2)； (4)D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2；(5)若X 1，X 2相互独立，则E (X 1·X 2)＝E (X 1)·E (X 2).(6)若X ～N (μ，σ2)，则X 的均值与方差分别为：E (X )＝μ，D (X )＝σ2. 三、考点解析考点一 离散型随机变量的均值与方差例、为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E (ξ)，方差D (ξ).跟踪训练1.随机变量X 的可能取值为0,1,2，若P (X ＝0)＝15，E (X )＝1，则D (X )＝( )A.15B.25C.55D.1052.随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化.某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店.(1)若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率； (2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X 的分布列和数学期望.考点二 二项分布的均值与方差例、某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对其每天的用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图(单位：吨).若用水量不低于95吨，则称这一天的用水量超标.(1)从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天的用水量超标的概率；(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量X 为未来这3天中用水量超标的天数，求X 的分布列、数学期望和方差.[解题技法]二项分布的期望与方差(1)如果ξ ～B (n ，p )，则用公式E (ξ)＝np ，D (ξ)＝np (1－p )求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E (a ξ＋b )＝aE (ξ)＋b 以及E (ξ)＝np 求出E (a ξ＋b )，同样还可求出D (a ξ＋b ).跟踪训练1.设X 为随机变量，且X ～B (n ，p )，若随机变量X 的数学期望E (X )＝4，D (X )＝43，则P (X ＝2)＝________.(结果用分数表示)2.一个盒子中装有大量形状、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为[5,15]，(15,25]，(25,35]，(35,45]，由此得到样本的重量频率分布直方图(如图).(1)求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5,15]内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望(以直方图中的频率作为概率).考点三 均值与方差在决策中的应用例、某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p (0＜p ＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用. ①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ； ②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？[解题技法]离散型随机变量的期望和方差应用问题的解题策略(1)求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望、方差公式进行计算.(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属于二项分布，可用二项分布的期望与方差公式计算，则更为简单.(3)在实际问题中，若两个随机变量ξ1，ξ2，有E (ξ1)＝E (ξ2)或E (ξ1)与E (ξ2)较为接近时，就需要用D (ξ1)与D (ξ2)来比较两个随机变量的稳定程度.即一般地将期望最大(或最小)的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案.跟踪训练某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.考点四 正态分布例、(1)设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )A.P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B.P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C.对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D.对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t ) (2)已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (X ≥4)＝0.158 7，则P (2＜X ＜4)＝( ) A.0.682 6 B.0.341 3 C.0.460 3 D.0.920 7(3)某校在一次月考中有900人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布X ～N (90，a 2)(a ＞0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有________人.[解题技法]正态分布下2类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.跟踪训练1.已知随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，若P (ξ＜2)＝P (ξ＞6)＝0.15，则P (2≤ξ＜4)等于( ) A.0.3 B.0.35 C.0.5 D.0.72.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2). (1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. ①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得x ＝9.97，s ≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ＜Z ＜μ＋3σ)＝0.997 4.0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.课后作业1.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的期望为( )A.13B.23C.2D.832.已知随机变量X 服从正态分布N (a,4)，且P (X ＞1)＝0.5，P (X ＞2)＝0.3，则P (X ＜0)＝( ) A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.83.已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布N (100,4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有( )(附：若X 服从N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954 5) A.4 093件 B.4 772件 C.6 827件 D.8 186件4.某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是( )A.3B.83C.2D.535.某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动.参选的志愿者回答三个问题，其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设ξ为回答正确的题数，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝( )A.1B.43C.53D.26.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D (X )＝________.7.若随机变量ξ的分布列如表所示，E (ξ)＝1.6，则a －b ＝________.8.一个人将编号为1,2,3,4每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了.设放对的个数为ξ，则ξ的期望值为________. 9.某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2018年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选择的贷款期限的频数如下表：. (1)某大学2019年毕业生中共有3人准备申报此项贷款，计算其中恰有2人选择的贷款期限为12个月的概率；(2)设给某享受此项政策的自主创业人员的补贴为X 元，写出X 的分布列；该市政府要做预算，若预计2019年全市有600人申报此项贷款，则估计2019年该市共要补贴多少万元.10.某厂有4台大型机器，在一个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为13.(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%?(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资.每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润.若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值.提高练习1.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX ＝2.4，P (X ＝4)＜P (X ＝6)，则p ＝( )A.0.7B.0.6C.0.4D.0.32.设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ 没有零点的概率是12，则μ等于( )A.1B.2C.4D.不能确定 3.已知离散型随机变量X 的分布列如表所示，若E (X )＝0，D (X )＝1，则P (X ＜1)＝________.4.甲、乙两家外卖公司，元，每单送餐员抽成4元；乙公司，无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超出40单的部分送餐员每单抽成7元.假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表(1)现从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数，求这3天送餐单数都不小于40的概率.(2)若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望E(X)；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.5.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？。
离散型随机变量及其分布列、数字特征-高考数学复习
0.8 .
解析：由结论2易得 E （ X ）＝0.8.
目录
课堂演练
考点 分类突破
精选考点 典例研析 技法重悟通
PART
2
目录
分布列的性质
【例1】 （1）（2024·云南一中检测）设离散型随机变量ξ的分布列
如下表所示，则下列各式正确的是（
ξ
－1
0
）
1
2
3
P
D. P （ξ＜0.5）＝0
目录
1
1
1
3
3
3
3
3
2
1
1
＋ d ≤ ，所以－ ≤ d ≤ .
3
3
3
目录
解题技法
离散型随机变量分布列性质的应用
（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
（2）利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围
内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；
（3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
【例2】 （多选）设离散型随机变量 X 的分布列为
X
P
0
q
1
0.4
2
0.1
3
0.2
4
0.2
若离散型随机变量 Y 满足 Y ＝2 X ＋1，则下列结果正确的有（
）
A. q ＝0.1
B. E （ X ）＝2， D （ X ）＝1.4
C. E （ X ）＝2， D （ X ）＝1.8
D. E （ Y ）＝5， D （ Y ）＝7.2
（2） E （ aX ＋ b ）＝ aE （ X ）＋ b ， D （ aX ＋ b ）＝ a 2 D
（ X ）；
2016版高考数学大一轮复习课件：第10章-第7节离散型随机变量及其分布列
课 时
心
限
考
时
向
检
测
菜单
第十一页，编辑于星期五：二十三点 五十四分。
名师金典·新课标高考总复习·理科数学
基 础 知
识 考向一 [185] 离散型随机变量分布列的性质
点
方 法 技 巧
设离散型随机变量 X 的分布列为
X0
1
2
34
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
核
设 η＝|x－1|，则 P(η＝1)＝________.
CmMCnN－－mM
…
CnN
限 时 检 测
菜单
第六页，编辑于星期五：二十三点 五十四分。
名师金典·新课标高考总复习·理科数学
基 础 知 识 点
方 法 技 巧
运用两个分布列的关键
随机变量 X 服从两点分布，常与事件成败问题有关，随
机变量 X 服从超几何分布多与产品抽检问题有关．
课
核
时
心
限
考
时
向
检
测
菜单
计相结合综合考查.3.多以解答题中考查，难度多属中档．
课
核
时
心
限
考
时
向
检
测
菜单
第二页，编辑于星期五：二十三点 五十四分。
名师金典·新课标高考总复习·理科数学
基
础
知
识
点
一、离散型随机变量
方 法 技 巧
随着试验结果变化而变化的变量称为随__机__变__量__，常用字
母 X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，
方 法 技 巧
米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方米～75 微克/立方米
【恒心】高考数学(理科)一轮复习突破课件011006-离散型随机变量的均值与方差
1×1 1 ＝ . 6×6 36 所以 X 的分布列为 X 2 3 4 5 1 1 5 1 P 4 3 18 9 P(X＝6)＝
2 2 2
离散型随机变量的均值与方差
【例 1】 (2013· 浙江卷)设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且 规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分． (1)当 a＝3，b＝2，c＝1 时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会 均等)2 个球，记随机变量 X 为取出此 2 球所得分数之和，求 X 的分布列； (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球， 记随机变量 Y 为取出此球 5 5 所得分数．若 E(Y)＝ ，D(Y)＝ ，求 a∶b∶c. 3 9
方差的意义
D(X)表示随机变量X对 E(X)的平均偏离程度， D(X)越大表明平均偏离 程度越大，说明X的取值 越分散，反之，D(X)越 小，X的取值越集中在 E(X)附近，统计中常用来 描述X的分散程度，如 (5).
离散型随机变量的均值与方差
【例 1】 (2013· 浙江卷)设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且 规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分． (1)当 a＝3，b＝2，c＝1 时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会 均等)2 个球，记随机变量 X 为取出此 2 球所得分数之和，求 X 的分布列； (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球， 记随机变量 Y 为取出此球 5 5 所得分数．若 E(Y)＝ ，D(Y)＝ ，求 a∶b∶c. 3 9
2016届高考数学新课标A版理科一轮复习习题10-7离散型随机变量及其分布列
自主园地 备考套餐加固训练 练透考点1．随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜52的值为( ) A.23 B.34 C.45 D.56解析：由题意得a 1·2＋a 2·3＋a 3·4＋a 4·5＝1，a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋14－15＝4a 5＝1，a ＝54， P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝a 1·2＋a 2·3＝2a 3＝56. 答案：D2．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)的值为( )A.1220B.2755C.27220D.2125 解析：由题意知取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220. 答案：C3．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，而X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)解析：X 服从超几何分布P (X ＝k )＝C k 7C 10－k 8C 1015，故k ＝4. 答案：C4．随机变量ξ的分布列如下：若a 、b 、c 解析：∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，又a ＋b ＋c ＝1.∴b ＝13.∴P (|ξ|＝1)＝a ＋c ＝23.答案：235．由于电脑故障，使得随机变量X 的分布列中部分数据丢失(以“x 、y ”代替)，其表如下：解析：由于0.20＋0.10＋(0.1x ＋0.05)＋0.10＋(0.1＋0.01y )＋0.20＝1，得10x ＋y ＝25，于是两个数据分别为2,5.答案：2,5。
2016届高考数学理科一轮复习课件 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布10-7
第十一页，编辑于星期五：二十一点 四十二分。
三、两点分布及超几何分布 5．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果随机变量X的分布列由下表给出：
X
2
5
P
0.3
0.7
则它服从二点分布．( ) (2)从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 人，其中女演员的人数 X 服 从超几何分布．( ) (3)(教材习题改编)已知随机变量 X 的分布列为 P(X＝i)＝2ia(i＝ 1,2,3,4)，则 P(2<X≤4)＝0.7.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√
(2)求随机变量在某个范围内的取值概率时，根据分布列，将所求范 围内随机变量对应的取值概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公 式．
第十六页，编辑于星期五：二十一点 四十二分。
离散型随机变量分布列的求法及应用(师生共研)
例2 (2014年高考天津卷)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同 学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化 学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到 希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
第二十三页，编辑于星期五：二十一点 四十二 分。
故X的分布列为
从而 E(X)＝1×1472＋2×4834＋3×112＝4278. 规律方法 对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应 用公式给出．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某 类个体的个数．
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超几何分布(师生共研)
例3 (2014年高考重庆卷)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其 中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中 任取3张卡片．
2023年高考数学(理科)一轮复习——离散型随机变量及其分布列
感悟提升
分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性. (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机 变量在某个范围内的概率.
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考点二 离散型随机变量的分布列
例1 (12分)某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2022年元旦来临之际举行 “庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活 动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小 组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色， 再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记 它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η.
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6.(2021·郑州检测)设随机变量X的概率分布列为
X1 2 34
P
1 3
m
1 4
1 6
5 则P(|X－3|＝1)＝___1_2____.
解析 由13＋m＋14＋16＝1，解得 m＝14， P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝14＋16＝152.
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考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
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P(ξ＝1)＝CC13·C29 16＝1386＝12， P(ξ＝2)＝CC23·C29 06＝336＝112.
所以ξ的分布列为
ξ 012
P
5 12
1 2
1 12
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感悟提升
1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超 几何分布的特征是： (1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查 某类个体数X的概率分布. 2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古 典概型.
2016届高考数学5年真题备考题库第九章第7节离散型随机变量及其分布列理(含解析)
第9章计数原理与概率、随机变量及其分布第7节离散型随机变量及其分布列1．(2014陕西，12分) 在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率．解：(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，因为利润＝产量×市场价格－成本，所以X所有可能的取值为500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000，300×10－1 000＝2 000,3 00×6－1 000＝800.P(X＝4 000)＝P(A)P(B)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P(X＝2 000)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，所以X的分布列为(2)设C i表示事件“第i，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(C i)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1,2,3)，3季的利润均不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.2．（2013新课标全国Ⅰ，12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．解：本题主要考查独立重复试验和互斥事件的概率、条件概率、离散型随机变量的分布列和数学期望等，意在考查考生的阅读理解能力及运用所学概率知识解决实际问题的能力．(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝416×116＋116×12 ＝364. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且P (X ＝400)＝1－416－116＝1116，P (X ＝500)＝116， P (X ＝800)＝14.所以X 的分布列为EX ＝400×1116＋500×116＋800×14＝506.25.3．(2013山东，12分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果互相独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．解：本题考查相互独立事件的概率、二项分布、离散型随机变量的概率分布与数学期望等基础知识，考查分类与整合思想，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力．(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意知，各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827， P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427. 所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4， 由题意知，各局比赛结果相互独立， 所以P (A 4)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427.由题意知，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3， 根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627，又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427，P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327，故X 的分布列为所以EX ＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79.4．（2013湖南，12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：1米．(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．解：本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，考查考生的阅读理解能力、收集数据的能力、运算求解能力和创新意识．(1)所种作物总株数N ＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有C 13C 112＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为836＝29. (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列． 因为P (Y ＝51)＝P (X ＝1)，P (Y ＝48)＝P (X ＝2)，P (Y ＝45)＝P (X ＝3)，P (Y ＝42)＝P (X ＝4)，所以只需求出P (X ＝k )(k ＝1,2,3,4)即可．记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数(k ＝1,2,3,4)，则n 1＝2，n 2＝4，n 3＝6，n 4＝3.由P (X ＝k )＝n k N ，得P (X ＝1)＝215，P (X ＝2)＝415，P (X ＝3)＝615＝25，P (X ＝4)＝315＝15. 故所求的分布列为所求的数学期望为E (Y )＝51×215＋48×415＋45×25＋42×15＝34＋64＋90＋425＝46.解析：∵P (X ＝0)＝112＝(1－p )2×13，∴p ＝12，随机变量X 的可能值为0,1,2,3，因此P (X＝0)＝112，P (X ＝1)＝23×(12)2＋23×(12)2＝13，P (X ＝2)＝23×(12)2×2＋13×(12)2＝512，P (X ＝3)＝23×(12)2＝16，因此E (X )＝1×13＋2×512＋3×16＝53. 答案：535．（2012山东，12分）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .解：(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ，由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23，由于A ＝B C D ＋B C D ＋B C D ，根据事件的独立性和互斥性得P (A )＝P (B C D ＋B C D ＋B C D )＝P (B C D )＋P (B C D )＋P (B C D )＝P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D ) ＝34×(1－23)×(1－23)＋(1－34)×23×(1－23)＋(1－34)×(1－23)×23 ＝736. (2)根据题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5. 根据事件的独立性和互斥性得P (X ＝0)＝P (B C D )＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )] ＝(1－34)×(1－23)×(1－23)＝136.P (X ＝1)＝P (B C D )＝P (B )P (C )P (D )＝34×(1－23)×(1－23)＝112. P (X ＝2)＝P (B C D ＋B C D )＝P (B C D )＋P (B C D )＝(1－34)×23×(1－23)＋(1－34)×(1－23)×23＝19， P (X ＝3)＝P (BC D ＋B C D )＝P (BC D )＋P (B C D )＝34×23×(1－23)＋34×(1－23)×23＝13， P (X ＝4)＝P (B CD )＝(1－34)×23×23＝19， P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝13.故X 的分布列为所以EX ＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.6．（2012江苏，10分）设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P (ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱，因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对， 故P (ξ＝2)＝6C 212＝111，于是P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611，所以随机变量ξ的分布列是因此E (ξ)＝1×611＋2×111＝6＋211.7．(2011新课标全国，12分)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表(1)分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；(2)已知用B 配方生产的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t 的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，t <94，2，94≤t <102，4，t ≥102.从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X (单位：元)，求X的分布列及数学期望．(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)解：(1)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为22＋8100＝0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32＋10100＝0.42，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.(2)用B 配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90,94)，[94,102)，[102,110]的频率分别为0.04,0.54,0.42，因此P (X ＝－2)＝0.04，P (X ＝2)＝0.54，P (X ＝4)＝0.42，即X 的分布列为X 的数学期望EX ＝－2×0.04＋2×0.54＋4×0.42＝2.68.8．(2010山东，12分)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A 、B 、C 、D 四个问题，规则如下：(1)每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A 、B 、C 、D 分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；(2)每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；(3)每位参加者按问题A 、B 、C 、D 顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A 、B 、C 、D 回答正确的概率依次为34，12，13，14，且各题回答正确与否相互之间没有影响．①求甲同学能进入下一轮的概率；②用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E ξ. 解：设A ，B ，C ，D 分别为第一、二、三、四个问题． 用M i (i ＝1,2,3,4)表示甲同学第i 个问题回答正确， 用N i (i ＝1,2,3,4)表示甲同学第i 个问题回答错误． 则M i 与N i 是对立事件(i ＝1,2,3,4)，由题意得P (M 1)＝34，P (M 2)＝12，P (M 3)＝13，P (M 4)＝14，所以P (N 1)＝14，P (N 2)＝12，P (N 3)＝23，P (N 4)＝34.(1)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q ， 则Q ＝M 1M 2M 3＋N 1M 2M 3M 4＋M 1N 2M 3＋M 1M 2N 3M 4＋N 1M 2N 3M 4， 由于每题的答题结果相互独立，因此P (Q )＝P (M 1M 2M 3＋N 1M 2M 3M 4＋M 1N 2M 3M 4＋M 1M 2N 3M 4＋N 1M 2N 3M 4)＝P (M 1M 2M 3)＋P (N 1M 2M 3M 4)＋P (M 1N 2M 3M 4)＋P (M 1M 2N 3M 4)＋P (N 1M 2N 3M 4)＝P (M 1)P (M 2)P (M 3)＋P (N 1)P (M 2)P (M 3)P (M 4)＋P (M 1)P (N 2)P (M 3)P (M 4)＋P (M 1)P (M 2)P (N 3)P (M 4)＋P (N 1)P (M 2)P (N 3)P (M 4)＝34×12×13＋14×12×13×14＋34×12×13×14＋34×12×23×14＋14×12×23×14＝14. (2)由题意，随机变量ξ的可能取值为：2,3,4. 由于每题答题结果相互独立，所以P (ξ＝2)＝P (N 1N 2)＝P (N 1)P (N 2)＝18，P (ξ＝3)＝P (M 1M 2M 3)＋P (M 1N 2N 3)＝P (M 1)P (M 2)P (M 3)＋P (M 1)P (N 2)P (N 3) ＝34×12×13＋34×12×23 ＝38. P (ξ＝4)＝1－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－18－38＝12.因此随机变量ξ的分布列为所以E ξ＝2×18＋3×38＋4×2＝8.。
高考数学一轮复习讲义 第67课时 离散型随机变量及其分布列 理
517课题：离散型随机变量及其分布列考纲要求：①理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；②理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用. 教材复习1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出5.离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为1x 、2x 、…、i x 、… ξ为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列6.离散型随机变量分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:0≤()P A ≤1，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：()1i p ≥0，1,2,i =…；()212p p ++…1=对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和.即(P ξ≥1)()()k k k x P x P x ξξ+==+=+⋅⋅⋅7.两点分布：若随机变量服从两点分布，即其分布列：其中P =(1)P X =称为成功概率(表中01p <<).8.几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，()k p A p =， ()(1)k p A q q p ==-，那么 112311231()()()()()()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q pξ---====(0,1,2,k =…，p q -=1)518称这样的随机变量ξ服从几何分布，记作(,)g k p 1k q p -=，其中0,1,2,k =…，p q -=19.超几何分布：一般地，设有N 件产品，其中有M （M ≤N ）件次品，从中任取n （n ≤N ）件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么()P X k == （其中k 为非负整数）.如果一个随机变量的分布列由上式确定，那么称X 服从参数10.求离散型随机变量分布列的步骤：1要确定随机变量ξ的可能取值有哪些.明确取每个值所表示的意义；()2分清概率类型，计算ξ取得每一个值时的概率（取球、抽取产品等问题还要注意是放回抽样还是不放回抽样；()3列表对应，给出分布列，并用分布列的性质验证.11.几种常见的分布列的求法：()1取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布，关键是概率的计算.所用方法主要有化归法、数形结合法、对应法等，对于取球、抽取产品等问题，还要注意是放回抽样还是不放回抽样.()2射击问题：若是一人连续射击，且限制在n 次射击中发生k 次，则往往与二项分布联系起来；若是首次命中所需射击的次数，则它服从几何分布，若是多人射击问题，一般利用相互独立事件同时发生的概率进行计算.()3对于有些问题，它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚，此时要仔细审题，明确题中的含义，恰当地选取随机变量，构造模型，进行求解. 典例分析：考点一 由古典概型求离散型随机变量的分布列问题1．（2013天津）一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张, 编号分别为2,3,4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张 卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率. (Ⅱ) 在取 出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.519考点二 由统计数据求离散型随机变量的分布列问题2．（2010广东）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(]490,495，(]495,500，…，(]510,515，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示. ()1根据频率分布直方图，求重量超过505 克的产品数量.()2在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产 品数量， 求Y 的分布列.()3从流水线上任取5件产品， 求恰有2件产品合格的重量 超过505克的概率.考点二 两点分布问题3．一个盒子中装有5个白色玻璃球和6红色玻璃球，从中摸出两球.当两球全为红色520玻璃球时，记0X =；当两球不全为红色玻璃球时，记为1X =.试求X 的分布列.考点三 超几何分布问题4．（2012浙江）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出3球所得分数之和．()1求X 的分布列；()2求X 的数学期望EX ．走向高考：1.（2012江苏）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=． ()1求概率(0)P ξ=； ()2求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．2.（2013浙江）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分.()1当1b=ca时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，=,2,3=记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，.求ξ分布列；()2略3.（2011江西）某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令X表示此人选对A饮料的杯数.假设次人对A和B两种饮料没有鉴别能力.()1求B的分布列；()2求此员工月工资的期望.5214.（2011广东）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素,x y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：(1已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；()2当产品中的微量元素,x y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；()3从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）.5225.（2013重庆）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一．二．三等奖如下：其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.()1求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；()2求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望()E X.523。
2016届高考数学一轮复习109离散型随机变量的分布列、.
第九节失散型随机变量的散布列、均值与方差题号 1 2 3 4 5答案1. 投掷两颗骰子，所得点数之和为ξ ，那么ξ ＝4表示的随机试验结果是()A．两颗都是 2 点B．一颗是 3 点，一颗是 1 点C．两颗都是 4 点D．一颗是3 点，一颗是 1 点或两颗都是 2 点分析：对 A， B 中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而 D 是ξ＝ 4 代表的所有试验结果．掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的重点．应选 D.答案： D2．(2013 ·九江模考 ) 已知一随机变量的散布列以下，且E( ξ ) ＝ 6.3 ，则 a 值为 ( )ξ 4 a 9P 0.5 0.1 bA.5B ．6C．7D．8分析：由概率散布列性质知 0.5 ＋ 0.1 ＋ b＝ 1，因此 b＝ 0.4.因此 E(ξ ) ＝4×0.5 ＋a×0.1 ＋9×0.4 ＝ 6.3 ，因此 a＝ 7，应选 C.答案： C3．随机变量 X～ B(100 ，0.2) ，那么 D(4X＋3) 的值为 ( )A．64 B ．256C． 259 D ． 320答案： B4．某街头小摊，在不下雨的日子一天可赚到100 元，在下雨的日子每日要损失10 元，若该地域每年下雨的日子约为130 天，则此小摊每日赢利的希望值是( 一年按 365 天计算)()A． 60.82 元 B ． 68.02 元C． 58.82 元 D ． 60.28 元分析： E( ξ ) ＝100×235＋ ( －10) ×130≈ 60.82. 应选 A. 365 365答案： A5．有一批产品，此中有 12 件正品和 4 件次品，从中有放回地任取 3 件，若 X 表示取到次品的个数，则D(X)＝()1 6A.4B. 1119C.8D. 161分析： ∵X ～ B 3，4 ，1 39∴ D(X) ＝3× 4× 4＝ 16.答案： D6．已知随机变量 ξ 的散布列以下表：ξ 01 221 Pxx则 x ＝________．1 答案：247. (2013 ·上海卷 ) 设非零常数 d 是等差数列x 1， x 2， x 3， ， x 19 的公差，随机变量 ξ等可能地取值 x 1， x 2， x 3， x 19，则方差 D(ξ ) ＝ _______ _．分析： 由于 x 1 ， x 2，x 3， x 19 是公差为 d 的等差数列，因此E(ξ ) ＝ x 10，d 2 22 2 222于是 D(ξ ) ＝ 19（ 9 ＋8＋ ＋ 1＋0＋ 1＋ ＋ 9 ）＝ 30|d|.答案： 30|d|8．林老师从课本上抄写一个随机变量ξ 的概率 散布列以下表：x 12 3P( ξ ＝ x) ？！ ？ 请小牛同学计算 ξ 的数学希望．只管“！”处完整没法看清，且两个“？”处笔迹模糊，但能判定这两个“？”处的数值同样．据此，小牛给出了正确答案E( ξ) ＝ ________．分析： 设“？”为 x ，“！”为 y ，由失散型的随机变量的散布列的性质可得2x ＋ y ＝ 1.∴ E( ξ ) ＝1×x ＋ 2y ＋ 3x ＝2(2x ＋ y) ＝ 2.答案： 29．某班 50 位学生期中考试数学成绩的频次散布直方图以下图，此中成绩分组区间是：[40 ， 50) ，[50 ， 60) ， [60 ，70) ， [70 ， 80) ， [80 ， 90) ，[90 ， 100] ．(1) 求图中 x 的值；(2) 从成绩不低于 80 分的学生中随机选用2 人，该 2 人中成绩在 90 分以上 ( 含 90 分 )的人数记为 ξ ，求 ξ 的数学希望．分析： (1) 由题设可知 (3 ×0.006 ＋ 0.01 ＋ x＋ 0.054 ) ×10＝ 1，解得 x＝ 0.0 18.(2)由题设可知，成绩在区间 [80 ，90) 内的人数为 0.018 × 10×50＝ 9，成绩在区间 [90 ，100] 内的人数为0.006 ×10×50＝ 3，因此不低于80 分的学生人数为9＋3＝ 12，ξ 的全部可能取值为0， 1， 2.2 6 ，C＝P( ξ＝0) ＝9C12 11C19C139P( ξ＝1) ＝2＝，C12222C3 1P( ξ＝2 ) ＝2＝.C1222691 1因此ξ的数学希望E( ξ) ＝0×11＋1×22＋ 2×22＝2( 人) ．10. 某班共有学生40 人，将一次数学考试成绩( 单位：分 ) 绘制成频次散布直方图如图所示．(1) 请依据图中所给数据，求 a 的值；(2) 从成绩在 [50 ， 70) 内的学生中随机选 3 名学生，求这 3 名学生的成绩都在[60 ， 70) 内的概率；(3) 为了认识学生本次考试的失分状况，从成绩在[50 ， 70) 内的学生中随机选用 3 人的成绩进行剖析，用X 表示所选学生成绩在[60 ， 70) 内的人数，求X 的散布列和数学希望．分析： (1) 依据频次散布直方图中的数据，可得1－（ 0.005 ＋ 0.007 5 ＋ 0.022 5 ＋ 0.035 ）× 10a＝10＝ 0.1 － 0.07 ＝ 0.03 ，因此 a＝ 0.03.(2) 学生成绩在 [50 ， 60) 内的共有40×0.05 ＝ 2( 人 ) ，在 [60 ， 70) 内的共有 40×0.225 ＝9( 人 ) ，成绩在 [50 ， 70) 内的学生共有11 人．设“从成绩在[50 ，70) 的学生中随机选 3 名，且他们的成绩都在[60 ，70) 内”为事件 A，3 28C9则P(A)＝3＝；C11 5528因此选用的 3 名学生成绩在 [60 ， 70) 内的概率为55.(3)依题意， X 的可能取值是 1， 2， 3.2 1 3C C2 9P(X＝ 1) ＝C113 ＝55；1 2 24C C2 9 ＝55；P(X＝ 2) ＝C11328P(X＝ 3) ＝ P(A) ＝55.因此 X 的散布列为X 1 2 3P 33 24 28 55 55 553 24 28 27E(X) ＝1×55＋2×55＋3×55＝11.11．2012 年春节前，有超出20 万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿 321 国道长途跋涉回乡过年，为防备摩托车驾驶人因长途疲屈驾驶，手脚僵直影响驾驶操作而引起交通事故，肇庆市公安交警部门在321 国道沿线建立了多个长途行驶摩托车驾乘人员歇息站，让过往回乡过年的摩托车驾驶人有一个泊车歇息的场所．交警小李在某歇息站连续 5 天对进站歇息的驾驶人员每隔50 辆摩托车就进行省籍咨询一次，咨询结果以下列图所示：(1) 交警小李对进站歇息的驾驶人员的省籍咨询采纳的是什么抽样方法？(2) 用分层抽样的方法对被咨询了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有 5 名，则四川籍的应抽取几名？(3) 在上述抽出的驾驶人员中任取 2 名，求抽取的 2 名驾驶人员中四川籍人数ξ 的分布列及其均值 ( 即数学希望 ) ．分析： (1) 交警小李对进站歇息的驾驶人员的省籍咨询采纳的是系统抽样方法．(2) 从图中可知，被咨询了省籍的驾驶人员广西籍的有：5＋ 20＋ 25＋ 20＋ 30＝ 100 人，5x四川籍的有： 15＋10＋ 5＋ 5＋ 5＝ 40 人，设四川籍的驾驶人员应抽取x 名，依题意得100＝40，解得 x＝ 2，即四川籍的应抽取 2 名 .(3) ξ的全部可能取值为0， 1， 2.2 1 1 10 2 1C5 10 C2C5 C2P( ξ＝ 0) ＝2＝，P( ξ＝ 1) ＝ 2 ＝， P(ξ＝ 2) ＝2＝ .C7 21 C7 21 C7 21因此ξ的散布列为ξ0 1 2P 10 10 1 21 21 2110 1 4 均值 E(ξ ) ＝1×21＋2×21＝7.。
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2016届高考数学一轮复习 11.6离散型随机变量及其分布列课时作
业 理 湘教版
一、选择题
1.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄
中交通不方便的村庄数，下列概率中等于46781015CCC的是 ( )
A.P(X＝2) B.P(X≤2) C.P(X＝4) D.P(X≤4)
2．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，
设此时取出了ξ个白球，下列概率等于23mnnmAA的是（ ）
A. 3P B.2P C. 3P D.2P
3．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么( )
A．n＝3 B．n＝4
C．n＝10 D．n＝9
4．从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数为1的概
率（）
A.32/35 B.12/35 C.3/35 D.2/35
5.已知随机变量ξ的概率分布如下：
ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P 23 223 323 423 523 623 723 823 923 m
则P（ξ=10）= （ ）
A. 923 B. 1023 C. 913 D. 1013
二、填空题
7．已知随机变量ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4 5
P 0.1 0.2 0.4 0.2
0.1
若η＝2ξ－3，则η的期望为________．
2
8.（2014·吉林质检）设随机变量的概率分布为
ξ 0 1 2
P P/3 P/3 1-2/3P
则ξ的数学期望的最小值是 ．
9.（2014·佛山一检）某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A等级的
概率分别为45、35、25，且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立．记ξ为该生取得A
等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望E(ξ)的值为 ．
ξ 0 1 2 3
P 6/125 a b 24/125
10.如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为
2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X，则P(X≥8)＝
.
三、解答题
11．在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽
得两张卡片1标号分别为x、y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.
(1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
(2)求随机变量ξ的概率分布.
12．(2014·温州模拟)从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一
次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则试验结束．
(1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率；
(2)记试验次数为X，求X的分布列．
13．已知一个口袋中装有n个红球(n≥1且n∈N*)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，
每次摸出两个球，若两个球颜色不同则为中奖，否则不中奖．
(1)当n＝3时，设三次摸球中(每次摸球后放回)中奖的次数为ξ，求ξ的分布列；
(2)记三次摸球中(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P，当n取多少时，P最大．
参考答案：
1.【解析】15个村庄中，7个村庄交通不方便，8个村庄交通方便，6847CC表示选出的10
个村庄中恰有4个交通不方便、6个交通方便的村庄，故P(X＝4)＝10156847CCC.
【答案】C
2.【解析】：由超几何分布知232mnnmAPA
【答案】： D
3.【解析】： ∵P(X＝k)＝1n(k＝1,2,3，…，n)，
3
∴0.3＝P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝3n.
∴n＝10.
【答案】： C
4.【解析】设随机变量X表示取出次品的个数，则X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，
n＝3，它的可能的取值为0,1,2，相应的概率为P(X＝1)＝ ＝12/35.
【答案】B
5.【解析】： 根据离散型随机变量分布列的性质，
P(ξ=1)+P(ξ=2)+…+P
(ξ=10)=1，
所以P(ξ=10)=1-(23+223+…+923)=913.
【答案】： C
7.【解析】： 由η＝2ξ－3可计算出相应的η的取值，概率不变．η的概率分布如下表：
η －1 1 3 5 7
P 0.1 0.2 0.4 0.2
0.1
10.110.230.450.270.13E
【答案】：3
8. 【解析】E(ξ)＝0×p/3＋1×p/3＋2×1－2/p3＝2－p，
又∵1>p/3≥0,1≥1－2/3p≥0，∴0≤p≤3/2.
∴当p＝3/2时，E(ξ)的值最小，此时E(ξ)＝2－3/2=1/2.
【答案】1/2
9.【解析】∵a＝4/5×2/5×3/5＋1/5×3/5×3/5＋1/5×2/5×2/5＝37/125，b＝4/5×3/5
×3/5＋4/5×2/5×2/5＋1/5×3/5×2/5＝58/125，
∴E(ξ)＝0×6/125＋1×37/125＋2×58/125＋3×24/125＝9/5.
【答案】9/5
10.【解析】方法一
由已知，X的取值为7,8,9,10，
∵P(X＝7)＝21223515CCC，P(X＝8)＝2121212235310CCCCC，
P(X＝9)＝1112213525CCCC，P(X
＝10)＝212135110CCC，
4
∴X的概率分布为
X
7 8 9 10
P
1
5
310 25 1
10
∴P(X≥8)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝310＋25＋110＝45.
方法二
P(X≥8)＝1－P(X＝7)＝1－212235CCC＝45.
【答案】45
11.【解析】(1)∵x，y可能的取值为1,2,3，
∴|x－2|≤1，|y－x|≤2，
∴ξ≤3，且当x＝1，y＝3或x＝3，y＝1时，ξ＝3取等号.
因此，随机变量ξ的最大值为3.
∵有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3＝9(种)，
∴P(ξ＝3)＝29.
故随机变量ξ的最大值为3，事件“ξ取得最大值”的概率为29.
(2)ξ的所有取值为0,1,2,3.
∵ξ＝0时，只有x＝2，y＝2这一种情况，
ξ＝1时，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四种情况，
ξ＝2时，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2两种情况，
ξ＝3时，有x＝1，y＝3或x＝3，y＝1两种情况.
∴P(ξ＝0)＝19，P(ξ＝1)＝49，P(ξ＝2)＝29，P(ξ＝3)＝29.
则随机变量ξ的概率分布为
ξ 0 1 2 3
P 1/9 4/9 2/9 2/9
12.
X的分布列为
ξ 0 1 2 3
P 13/28 9/28 5/28 1/28
5
13.【解析】(1)当n＝3时，每次摸出两个球，
中奖的概率P＝53151213CCC
由题意知ξ的可能值为0,1,2,3，
故有P(ξ＝0)＝125852303C；
P(ξ＝1)＝125365253213C；
P(ξ＝2)＝125545253223C；
P(ξ＝3)＝1252753333C.
ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P 8/125 36/125 54/125 27/125