第五章 滤波器 信号系统 啊
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南京大学信号系统-第五章1
第五章傅里叶变换应用于通信系统－－滤波、调制与抽样§ 5.1 引言本章主要内容本章初步介绍傅里叶变换方法应用于通信系统中的几个主要方面——滤波、调制和抽样。
•系统函数H(jω)及傅里叶变换分析法；•无失真传输条件；•理想低通滤波器模型；•系统的物理可实现条件；•调制／解调的原理与实现；•带通系统的运用；•抽样信号的传输与恢复；§5.2 利用系统函数H(jω)求响应•系统的频响特性与H(s)的关系•正弦信号激励下的稳态响应•非周期信号激励下系统的响应傅氏分析和拉氏变换比较•傅氏分析从频谱改变的观点说明激励与响应波形的差异，系统对信号的加权作用改变了信号的频谱，物理概念清楚；•但是，用傅里叶分析法求解过程烦琐，有时还会出现冲激函数项，不如拉氏变换容易；•引出H(jω)重要意义在于研究信号传输的基本特性，建立滤波器的基本概念，并理解频响特性的物理意义，这些理论内容在信号传输和滤波器设计等实际问题中具有十分重要的指导意义。
§5.3 无失真传输•失真•无失真传输条件•利用失真－－波形形成一．失真线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成●幅度失真：各频率分量幅度产生不同程度的衰减；●相位失真：各频率分量产生的相移不与频率成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化。
信号经系统传输，要受到系统函数的加权，输出波形发生了变化，与输入波形不同，则产生失真。
()ωj H ●线性系统的失真——幅度、相位变化，但不产生新的频率成分；●非线性系统产生非线性失真——产生新的频率成分。
对系统的不同用途有不同的要求：●无失真传输；●利用失真⎯⎯波形变换。
§5.4 理想低通滤波器•理想低通的频率特性•理想低通的冲激响应•理想低通的阶跃响应•理想低通对矩形脉冲的响应1．比较输入输出，可见严重失真；2．理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统几点认识当经过理想低通时，以上的频率成分都衰减为0，所以失真。
第五章IIR数字滤波器理论和设计
p 3dB 通带
2020/7/24
过渡带
p
20 lg
| H (e j0 ) | | H (e j p ) |
dB
s
20 lg
| H (e j0 ) | | H (e js ) | dB
通带内最大衰减 阻带内最小衰减
阻带
3dB通带截止频率
归一化后：
p 20lg|H(ejp )| s 20lg|H(ejs )|
5
2020/7/24
6
1 滤波器设计方法 （1）简单滤波器零极点位置累试法
单位圆内的极点 频谱中的峰值 单位圆内的零点 频谱中的谷值
Pole-zero diagram
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频响的几何表示法 Geometric evaluation
7
（2）利用模拟滤波器的理论
模拟滤波器的设计方法： 简单严格的设计公式 设计参数已表格化 可以利用设计软件
2020/7/24
16
Z平面与S平面的映射关系：多值映射
z e s， Tz rj e , sj
CHAPTER 5 INFINITE IMPULSE RESPONSE FILTER 无限冲激响应滤波器设计
2020/7/24
1
主要内容
5.1 IIR滤波器简介 5.2 脉冲响应不变法
Impulse Invariance
5.3 双线性变换法
Bilinear Transformation
5.4 原型变换法
（2）Ha(s)的因果稳定性经映射后H(z)仍保持，即： s平面左半平面Re[s]<0（模拟域因果稳定条件） 映射到 z平面单位圆内|z|<1 （数字域因果稳定条件） 。
2020/7/24
第5章-滤波器结构
k 0 k 1
M
N
线性卷积
y ( n) x ( n) * h( n)
复频域（z域）——系统函数 频域——系统频率响应
Y ( z) H ( z) X ( z)
k b z k
M
H (e j ) H ( z) z e j
N
1 ak z k
k 1
(0 k N 1)
偶对称
N 1 n 2
n
0
1 2 34
n
x(n)
34 5 0
1 2
奇对称
0 34 1 2
n
奇对称
编程方便，或者是计算精度较高等等。
数字滤波器的功能 将输入序列经过一定的运算变换成输出序列
这种由输入到输出的运算，可以用软件或硬件实现
基本运算单元——加法器、单位延时器、常数乘法器
通过运算结构，可以一目了然的看到系统运算的步骤， 加法、乘法的次数，存储单元的多少等。而且，有限精度 (有限字长)情况下，不同运算结构的误差、稳定性不同。 运算结构对滤波器的实现很重要，尤其对于一些定点 运算的处理机，结构的不同将会影响系统的精度、误差、稳 定性、经济性以及运算速度等许多重要的性能。
xk (n)
z 1
1k
yk (n)
1k
级联型结构信号流图
x(n) H1(z) H2(z) HL(z) y(n)
x ( n) A
y ( n)
11 21
z 1 z 1
11
12
z 1 z 1
12 22
1L
z 1 z 1
1L
21
22
2L
2L
基于直接II型的级联型结构
M
N
线性卷积
y ( n) x ( n) * h( n)
复频域（z域）——系统函数 频域——系统频率响应
Y ( z) H ( z) X ( z)
k b z k
M
H (e j ) H ( z) z e j
N
1 ak z k
k 1
(0 k N 1)
偶对称
N 1 n 2
n
0
1 2 34
n
x(n)
34 5 0
1 2
奇对称
0 34 1 2
n
奇对称
编程方便，或者是计算精度较高等等。
数字滤波器的功能 将输入序列经过一定的运算变换成输出序列
这种由输入到输出的运算，可以用软件或硬件实现
基本运算单元——加法器、单位延时器、常数乘法器
通过运算结构，可以一目了然的看到系统运算的步骤， 加法、乘法的次数，存储单元的多少等。而且，有限精度 (有限字长)情况下，不同运算结构的误差、稳定性不同。 运算结构对滤波器的实现很重要，尤其对于一些定点 运算的处理机，结构的不同将会影响系统的精度、误差、稳 定性、经济性以及运算速度等许多重要的性能。
xk (n)
z 1
1k
yk (n)
1k
级联型结构信号流图
x(n) H1(z) H2(z) HL(z) y(n)
x ( n) A
y ( n)
11 21
z 1 z 1
11
12
z 1 z 1
12 22
1L
z 1 z 1
1L
21
22
2L
2L
基于直接II型的级联型结构
第5章 滤波器的结构
一阶的分子、分母多项式组成一个一阶网络
x(n) z-1
0.25 -0.379
y(n)
z-1 -1.24
z-1 -0.5 5.264
图5.3.4 例5.3.2图
级联结构的特点
它的每一个基本节只关系到滤波器的某一对极点和 一对零点。
调整β0j，β1j，β2j，只单独调整滤波器第j对零点， 而不影响其它零点。
为了用计算机或专用硬件完成对输入信号的处理
M
N
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i0
i 1
M
H z Y (z)
bi z i
i0
X (z)
N
1 ai z -i
i 1
变换成一种算法，按照这种算法对输入信号进行运算
同一个差分方程或系统函数可以有多种算 法。不同的算法直接影响系统运算误差、运算 速度以及系统的复杂程度和成本等，因此研究 实现信号处理的算法是一个很重要的问题。
已知 H (z)
8 4z 1 11z 2 2z 3
1 1.25 z 1 0.75 z 2 0.125 z 3
画出其并联型结构。
解 ： 将H(z)展成部分分式形式
H (z)
16
1
8 0.5z 1
16 20 z 1 1 z 1 0.5z 2
H (z) 16 8 16 20 z 1 1 0.5z 1 1 z 1 0.5z 2
w2(n) y(n)
w3(n) w2n 1 yn 1
a2
z-1 4
w4(n) w3n 1 yn 2 w5(n) a1w3n a2w4n a1yn 1 a2yn 2
w1(n) b0xn w5n b0xn a1yn 1 a2yn 2
x(n) z-1
0.25 -0.379
y(n)
z-1 -1.24
z-1 -0.5 5.264
图5.3.4 例5.3.2图
级联结构的特点
它的每一个基本节只关系到滤波器的某一对极点和 一对零点。
调整β0j，β1j，β2j，只单独调整滤波器第j对零点， 而不影响其它零点。
为了用计算机或专用硬件完成对输入信号的处理
M
N
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i0
i 1
M
H z Y (z)
bi z i
i0
X (z)
N
1 ai z -i
i 1
变换成一种算法，按照这种算法对输入信号进行运算
同一个差分方程或系统函数可以有多种算 法。不同的算法直接影响系统运算误差、运算 速度以及系统的复杂程度和成本等，因此研究 实现信号处理的算法是一个很重要的问题。
已知 H (z)
8 4z 1 11z 2 2z 3
1 1.25 z 1 0.75 z 2 0.125 z 3
画出其并联型结构。
解 ： 将H(z)展成部分分式形式
H (z)
16
1
8 0.5z 1
16 20 z 1 1 z 1 0.5z 2
H (z) 16 8 16 20 z 1 1 0.5z 1 1 z 1 0.5z 2
w2(n) y(n)
w3(n) w2n 1 yn 1
a2
z-1 4
w4(n) w3n 1 yn 2 w5(n) a1w3n a2w4n a1yn 1 a2yn 2
w1(n) b0xn w5n b0xn a1yn 1 a2yn 2
第五章线性滤波器 37页PPT文档
(u0)xyxyo(h2)
其中D表示微分算子，因此
Mhu0(0)1h2 D(0,h)u0(y)dy
1
h2
u0(0)Du0(0)y D(0,h)12 (u0)xxx2(u0)yyy22(u0)xyxy
o(h2)dy
第一项：
1
h2
1
2h2
D (0,h)(u 0)yyy2d yh 8 2(u 0)yy(0)
第五项：
1 h 2D (0 ,h )( u 0 )x y x y d y 0 2 0 h r 3 s inc o sd r d 0
最后一项：
1
h2
o(h2)dyo(h2)
D(0,h)
{Mhnu0}
其中 h n
t n
将热传导方程初值问题的解作为滤波的结果，被滤波 的图像作为方程在0时刻的初值，称这个滤波器为热 传导方程滤波器，t是滤波器的尺度参数，如图，随t 的增大，边缘出现了模糊。
滤波过程要通过计算机来实现，所以并不要求求出 方程的解析解，是通过数值解来实现的。在离散算 法中，先将
∂u ∕∂t = △u 的左边转化为差分的形式
( ut- u0 )∕t = △u0 即 ut = u0 + t△u0 离散情况下，计算是针对每一个像素(i,j)进行
(ut)i,j = (u0)i,j+t(△u0)i,j (△u0)i,j= (uxx)i,j+ (uyy)i,j = ((ux)x)i,j + ((uy)y)i,j
其中，滤波器系数为
w(i, j), i, j = -n,-n+1,…,-1,0,1,…,n-1,n 在连续模型下，相应的变换是
Tu(x) = u(x) ﹡ j(x)
其中D表示微分算子，因此
Mhu0(0)1h2 D(0,h)u0(y)dy
1
h2
u0(0)Du0(0)y D(0,h)12 (u0)xxx2(u0)yyy22(u0)xyxy
o(h2)dy
第一项：
1
h2
1
2h2
D (0,h)(u 0)yyy2d yh 8 2(u 0)yy(0)
第五项：
1 h 2D (0 ,h )( u 0 )x y x y d y 0 2 0 h r 3 s inc o sd r d 0
最后一项：
1
h2
o(h2)dyo(h2)
D(0,h)
{Mhnu0}
其中 h n
t n
将热传导方程初值问题的解作为滤波的结果，被滤波 的图像作为方程在0时刻的初值，称这个滤波器为热 传导方程滤波器，t是滤波器的尺度参数，如图，随t 的增大，边缘出现了模糊。
滤波过程要通过计算机来实现，所以并不要求求出 方程的解析解，是通过数值解来实现的。在离散算 法中，先将
∂u ∕∂t = △u 的左边转化为差分的形式
( ut- u0 )∕t = △u0 即 ut = u0 + t△u0 离散情况下，计算是针对每一个像素(i,j)进行
(ut)i,j = (u0)i,j+t(△u0)i,j (△u0)i,j= (uxx)i,j+ (uyy)i,j = ((ux)x)i,j + ((uy)y)i,j
其中，滤波器系数为
w(i, j), i, j = -n,-n+1,…,-1,0,1,…,n-1,n 在连续模型下，相应的变换是
Tu(x) = u(x) ﹡ j(x)
第5章 滤波器结构
b0 b1
直接I型
a1 z-1 z-1
y(n)
y(n 1) y(n 2)
b2
b M+1 bM
a2
x(n M 1) z-1 x(n M )
a N-1 aN
y(n N 1)
z-1 y (n N )
x(n)
b0 z-1 b1 z-1 b2 b M+1 z-1 bM a N-1 a1 a2
返回本章
5.2 用信号流图表示网络结构
数字信号处理中有三种基本运算，即乘法、加
法和单位延迟。
方框图表示法
信号流图表示法
图5.2.1 三种基本运算的流图表示
y(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2) b0 x(n)
x(n)
b0 z-1
y (n 1)
y(n)
a1y(n 1) a 2 y(n 2)
a1 a1y(n-1) a2
z-1
y (n 2)
a 2 y(n 2)
几个基本概念：
a）输入节点或源节点，x(n)所处的节点； b）输出节点或阱节点，y(n)所处的节点； c）分支节点，一个输入，一个或一个以上输 出的节点；将值分配到每一支路; d）相加器（节点)或和点，有两个或两个以上输入的节点。 e) 节点值：任何一节点值等于所有输入支路的信号值之和。 而输入支路的信号值等于这一支路起点处节点信号值乘以支路 上的传输系数，支路不标传输系数时，就认为其传输系数为1。
解：信号流图的节点变量方程为
W1 ( z ) W2 ( z ) z 1 1 W2 ( z ) W2( z ) z W2( z ) X ( z ) a1W2 ( z ) a2W1 ( z ) Y ( z ) b W ( z ) bW ( z ) b W ( z ) 2 1 1 2 0 2
第五章 滤波与成形(2)
c ，
2m 1
如果 不同于 opt ，则信噪比由下式确定：
2 opt
2
1
(
opt
2
)
opt
第七讲 滤波与成形(2)
四、无源阻容滤波成形
1、CR-(RC)m滤波成形
3）信噪比
前面的分析，仅考虑了a、b噪声，对于1/f噪声有 如下结论：
①最佳信噪比与时间常数 无关，因而1/f噪声的 强弱不影响由a、b噪声确定的最佳时间常数 opt 。
① 输入矩形电流脉冲时的 弹道亏损
当冲击响应是指数函数(时间 常数为RC)时，
DB
(S2 )min S
tD 2RC
我们也可以用泰勒级数的前
两项来拟合峰值附近的 h (t)曲
线，则
DB
1 24
h'' (tM
)
t
2 D
对于CR-RC滤波器来说，
DB
1 24
(tD
)2
第七讲 滤波与成形(2)
三、成形电路的信息畸变
1、CR-(RC)m滤波成形
3）信噪比
滤波器的频率响应为
H ()
(1
j j )m1
输出的噪声均方值为： Vn2
(a2 b2 ) H () 2d
0
2
当 opt
(a2
0
b2
2
)
[1
( (
)2 )2
]m1
d
c 时，信噪比最高。
2m 1
此时
F
M opt
m!em mm
(2m 1)1/4[ (2m 3)!!]1/2 2(2m)!!
1、CR-(RC)m滤波成形
1）示意图
精品文档-数字信号处理(吴瑛)-第5章
第5章 数字滤波器概论
5.3 实际滤波器的设计指标
5.3.1 图5.3.1是理想低通滤波器的幅频响应，该理想低通滤波
器具有截止频率ωd。可以看出，理想滤波器在通带内幅度为常 数(非零)，在阻带内幅度为零。另外，一般理想滤波器 要求具有线性相位(在第8章讨论)，这里假设相频响应 θ(ω)=0
h(n) sin(nd )
第5章 数字滤波器概论
1. 根据H(ejω) 一般数字滤波器从滤波功能上分类，和模拟滤波器一样， 可以分成低通、高通、带通和带阻等滤波器。它们的理想幅频 响应如图5.2.2
第5章 数字滤波器概论
图5.2.2 (a) 低通; (b) 高通; (c) 带通; (d) 带阻
第5章 数字滤波器概论
需要注意的是，数字滤波器的频率响应H(ejω)都是以2π 为周期的，滤波器的低通频带处于2π的整数倍处，而高通频 带处于π
5.3.2 当滤波器形状为非理想时，要用一些参数指标来描述其关
键特性。图5.3.5表示低通滤波器的幅频响应。滤波器的通带 定义了滤波器允许通过的频率范围。在阻带内，滤波器对 信号严重衰减。ωp和ωs分别称为通带截止频率(或通带上限频 率)和阻带截止频率(或阻带下限频率)。参数δ1定义了通带波 纹(Pass Band Ripple)，即滤波器通带内偏离单位增 益的最大值。参数δ2定义了阻带波纹(Stop Band Ripple)，即 滤波器阻带内偏离零增益的最大值。
截短脉冲响应自然会对频率响应产生影响。截短后，滤波 器幅频响应曲线不再是理想矩形，通带不再平坦，有过渡带， 同时阻带衰减不再为零。图5.3.4给出了因果脉冲响应 的幅频响应。当然，脉冲响应保留的采样点越多，即滤波器阶
第5章 数字滤波器概论 图5.3.4 非理想低通滤波器因果脉冲响应的幅频响应
第5章 滤波器的基本结构
再将H(z)部分分式分解得
0.6 0.5 0.2 z 1 H ( z ) 0.1 1 1 0.4 z 1 0.8 z 1 0.5 z 2
则得到并联结构的流图
3. FIR数字滤波器的结构
当h(n)的长度为有限长时称为有限长冲激响应系统， 简称为FIR系统。 FIR系统的系统函数可以表示为
由此，可画出直接II型结构的流图，如下图所示
将上式写成级联的形式得
0.44 0.362 z 1 0.02 z 2 z 1 H ( z) 1 2 1 1 0.8 z 0.5 z 1 0.4 z
则得到级联结构的流图
采样点在r<1的圆上
N 1
N 1
修正的频率采样结构
④ 快速卷积型
FIR滤波器快速卷积结构
1 z H ( z) N
N N 1
H (k ) k 1 1 W k 0 N z
N 1 1 H c ( z ) H k ( z ) N k 0
其中
H c ( z) 1 z
N
H (k ) H k ( z) k 1 1 WN z
a) Hc(z)为由N节延迟单元组成的全零点网络，
j 0
① 直接型
由差分方程可直接画出如下图所示的流图
结构特点： • 直观，简单 • 需要较多元件
直接Ⅰ型
线性时不变系统中，级联系统总的输入、输 出关系与子系统级联顺序无关。
直接Ⅰ型的变形
合并延时单元：
结构特点：
• 节省大量元件
• 系统函数的零、极 点由差分方程的参 数决定，高阶滤波 器的特性随参数变 化敏感，需要较高 精确度。
例3 已知系统的传输函数为
信号与系统第五章陈后金2
Yzs (e jΩ ) X (e jΩ )
DTFT {h[k ]}
DTFT{d [k]}
DTFT{h[k ]}
H(ej)一般可表示为幅度与相位的形式
H (e j ) | H (e j ) | e jj( )
幅度响应
相位响应
(magnitude response) (phase response)
( ) dj( ) 群延时 ( group delay )
即在间断点的前后出现了振荡，其振荡 的最大峰值约为阶跃突变值的9%左右， 且不随滤波器带宽的增加而减小。
结论
1. 输出响应的延迟时间取决于理想低通滤波器的 相位响应的斜率。
2. 输入信号在通过理想低通滤波器后，输出响应 在输入信号不连续点处产生逐渐上升或下降的 波形，上升或下降的时间与理想低通滤波器的 通频带宽度成反比。
低通变为无失真传输系统， h(t)也变为冲激信号。
五、理想模拟滤波器
2. 理想低通滤波器的冲激响应
分析：
2) h(t)主峰出现时刻 t = td 比输入信号d (t) 作用
时刻t = 0延迟了一段时间td 。td是理想低通 滤波器相位响应的斜率。
3) h(t)在 t<0 的区间也存在输出，可见理想低 通滤波器是一个非因果系统，因而它是一个 物理不可实现的系统。
Yzs (e j X (e j
) )
若n阶离散LTI系统的差分方程为
y[k] a1 y[k 1] an1 y [k n 1] an y[k n] b0x[k ] b1x[k 1] bm1x [k m 1] bm x[k m]
则离散系统的频率响应可表示为
H (e j
变，而相位没有失真。
四、线性相位的离散时间LTI系统