2019年高考数学考纲与考试说明解读

2019年高考数学考纲与考试说明解读

专题一：函数、极限与导数的综合问题（一）不等式、函数与导数部分考查特点分析与建议

全国课标卷考查内容分析（考什么）

（一）结论：

考查的核心知识为:函数的概念、函数的性质、函数的图象、导数的应用

函数的概念：函数的定义域、值域、解析式（分段函数）;

函数的性质：函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性;

函数的图象：包含显性与隐性；

导数的应用：导数的概念及其几何意义;利用导数求单调区间、极值、最值

与零点；结合函数的单调性解不等式或证明不等式、求参数范围．

（二）试题题型结构：全国卷基本上是2道选择题或填空题、1道解答题，共3道题.分值为22分．

（三）试题难度定位：全国卷对函数与导数的考查难度相对稳定，选择、填空题中，有一道为中等难度，另一道作为选择、填空的“压轴题”进行考查；解答题均放置于“压轴”位置．

小题考点可总结为八类：

（1）分段函数；（2）函数的性质；

（3）基本函数；（4）函数图像；

（5）方程的根（函数的零点）；（6）函数的最值；

（7）导数及其应用；（8）定积分。

解答题主要是利用导数处理函数、方程和不等式等问题，有一定的难度，往往放在解答题的后面两道题中的一个．纵观近几年全国新课标高考题，常见的考点可分为六个方面：（1）变量的取值范围问题；（2）证明不等式的问题；

（3）方程的根（函数的零点）问题；（4）函数的最值与极值问题；

（5）导数的几何意义问题；（6）存在性问题。

考点：

题型1 函数的概念 例1 有以下判断：

①f (x )＝|x |

x 与g (x )＝?

??

??

1 x ≥0－1 x <0表示同一函数；

②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2

－2t ＋1是同一函数；

④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ? ??

??f ? ????12＝0. 其中正确判断的序号是________.

题型2 函数的概念、性质、图象和零点（2017年全国新课标Ⅰ卷理科第8题） 例 2、已知函数()()

2112x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A. 12-

B. 13

C. 1

2

D. 1 C 【解析】函数()f x 的零点满足()

2112e e x x x x a --+-=-+， 设()1

1

e

e

x x g x --+=+，则()()211

1

1

1

1

1e 1

e

e

e

e e x x x x x x g x ---+----=-=-

='，

当()0g x '=时， 1x =；当1x <时， ()0g x '<，函数()g x 单调递减；

当1x >时， ()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数()g x 取得最小值，为

()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，

函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和

()ag x -有一个交点，即21a -?=-，解得1

2

a =

.故选C. 例3、

（2012理科）（10） 已知函数

1

()ln(1)f x x x

=+-；则()

y f x =

的图像大致为（ ）B

（1）定义域 （2）奇偶性 （3）对称性 （4）单调性（求导） （5）周期性 （6）特征点 （7）变化趋势

1,ln(1)y t x x t ==+-1'111x t x x -=-=

++

(1)0,

31()0

34ln 44f f <-=<-

1.考查角度

(1)以指、对、幂函数为载体考查函数的单调性、奇偶性等性质; (2)考查分段函数的求值以及指数、对数的运算; (3)函数图象的考查主要是函数图象的识别及应用;

(4)高考一般不单独考查函数零点的个数以及函数零点所在区间,有时在导数中考查函数的零点问题;

(5)函数与方程的考查既可以是结合函数零点存在性定理或函数图象判断零点的存在性,也可以是利用函数零点的存在性求参数的值、范围或判断零点所在区间. 2.题型及难易度

选择题或填空题.难度:中等或偏上.

2求函数定义域常见结论：(1)分式的分母不为零；

(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零； (4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；

(5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋ (k ∈Z )； (6)零次幂的底数不能为零；

(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求.

题型3、函数、方程、不等式及导数的综合应用 例3（2013理科）若函数

()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线

2x =-对称，则()f x 的最大值是______. 16

16

)5()(,910)3(16)()3(16)34)(34()2(max 2

22

2222==?-+-=+-=?+-=++-+-=-g t g t t t t t g x x x x x x x f 法二：

知识点：函数的奇偶性、对称性和导数的应用

数学思想：考查转化、数形结合 体现了多角度、多维度、多层次

题型4 函数、方程、不等式及导数的综合应用 例4、已知函数()f x =x ﹣1﹣alnx ． （1）若()0f x ≥ ，求a 的值；

（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，21111++

1+)222n K ()(1)(﹤m ，求m 的最小值． 解：（1）()f x 的定义域为()0，+∞.①若0a ≤，因为11=-+2＜022

f a ln ?? ???

，所以不满足

题意；②若＞0a ，由()1a x a

f 'x x x

-=-

=知，当()0x ,a ∈时，()＜0f 'x ；当()，+x a ∈∞时，()＞0f 'x ，所以()f x 在()0,a 单调递减，在()，+a ∞单调递增，故x=a 是()f x 在

()0，+x ∈∞的唯一最小值点. 由于()10f =，所以当且仅当a=1时，()0f x ≥.

故a=1

（2）由（1）知当()1，+x ∈∞时，1＞0x ln x --

(1)(3)8(1)(5)15

f f a f f b -=-=?????

?=-=??法一：导数求最值问题

（6）复习重点

函数作为几大主干知识之一，其主体知识包括

1个工具：导数研究函数的单调性、极值、最值和证明不等式；

1个定理：零点存在性定理； 1个关系：函数的零点是方程的根；

2个变换：图象的平移变换和伸缩变换；

2大种类：基本初等代数函数(正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、三次函数、指数函数、对数函数、幂函数)和基本初等函数的复合函数(对勾函数、双曲函数、分段函数和其它函数)；

2个最值：可行域背景下的二元函数最值和均值不等式背景下的一元函数最值;

2个意义：导数的几何意义和定积分的几何意义；

3个要素：定义域、值域、解析式；

3个二次：二次函数、二次方程、二次不等式；

5个性质：单调性、奇偶性、周期性、凸凹性、对称性.

关注二阶导数在研究函数中的拓展应用

虽然高中数学没有涉及二阶导数的提法和应用，但将函数的导数表示为新的函数，并继续研究函数的性质的试题比比皆是．因此有必要关注二阶导数在研究函数中的拓展应用，但要注意过程性的学习，而不是定理的记忆．

① 当a 1≥时，恒有()'≥h x ()00'≥h ，从而()

h x 是增函数，

()00h =，()0

h x ≥

在[)0,+∞恒成立

② 当a 1p 时，()h x '在[)0,+∞是增函数，()00=a 10,0,使'-?p f h x ()0x 0'=h ，所用当

()()0x 0,0时'∈p x h x ，从而()

h x 是减函数，

()00

h =，()0≤h x ，所以

()0

h x ≥

在[)0,+∞不恒成立 故1a ≥即为所求.

全国（2）卷文设函数f(x)=(1-x 2)e x . （1）讨论f(x)的单调性；

（2）当x ≥0时，f(x)≤ax +1，求a 的取值范围. （2）∵0x ≥时，()1f x ax ≤+，∴()

211x x e ax -≤+ ∴210x x x e e ax -++≥，令()21x x h x x e e ax =-++， 即[)0,x ∈+∞时，()0h x ≥，而()00h =

再令()()22x x x x h x x e xe e a ?'==+-+，()()

241x x x x e ?'=++ 0x ≥时，()0x ?'>恒成立. ∴()h x '在[)0,+∞是增函数

（理21）已知函数()2

ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。

（1）求a 的值；

（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2

202e f x --<<.

参考解法：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞

设()ln g x ax a x =--，则()(),()0f x xg x f x =≥等价于()0g x ≥ 因为(1)0,()0g g x =≥，故(1)0g '=，而1

(),(1)1g x a g a x

''=-=-，得1a = 若1a =，则1()1g x x

'=-

当01x <<时，()0,()g x g x '<单调递减； 当1x >时，()0,()g x g x '>单调递增

所以1x =是()g x 的极小值点，故()(1)0g x g ≥=，综上，1a =

且当()00,x x ∈时，()0x ?>；当()0,1x x ∈时，()0x ?<； 当()1,x ∈+∞时，()0x ?>.

又()()'f x x ?=，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点.且 0000)(1ln )x x x =--f （x 由()0'0f x =得()00ln 21x x =-，故()()0001f x x x =-.

由()00,1x ∈得()01

4f x <.

因为0x x =是()f x 在()0,1的唯一极大值点，由()10,1e -∈，

()10f e -≠得 ()()120f x f e e -->=

所以2

20()2e

f x --<<.

（2016年Ⅱ卷理21）（本小题满分12分）

（Ⅰ）讨论函数2()e 2

x

x f x x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20x x x -++>；

（Ⅱ）证明：当[0,1)a ∈时，函数2

e ()=(0)x ax a

g x x x -->有最小值．设()g x 的最

小值为()h a ，求函数()h a 的值域．

解：（Ⅰ）略

（Ⅱ）【零点分布和运用极值点满足等式】

33

(2)e (2)(2)

'()(())x x a x x g x f x a x x -+++==+．

由（Ⅰ）知，()f x a +单调递增，对任意[0,1)a ∈，(0)10f a a +=-<，(2)0f a a +=≥．因此存在唯一0(0,2]x ∈，使得0()0f x a +=，即0'()0g x =．

当00x x <<，0()0f x a +<，0'()0g x <，()g x 单调递减； 当0x x >，0()0f x a +>，0'()0g x >，0()g x 单调递增． 因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为

000

00002

00e (1)e ()(1)e ()=2

x x x a x f x x g x x x x -+-+=+． 于是()h a 0

0e 2x x =+，由00e ()02x x '>+，00e 2x x +单调递增． 所以，由0(0,2]x ∈，得0022

01()2022224

x e e e e h a x =<=≤=+++．

【以上是稳定，后面是新意】

因为2x e x +单调递增，对任意2

1(,]24

e λ∈，存在唯一的0(0,2]x ∈，

0()[0,1)a f x =-∈，使得(),h a λ=所以()h a 的值域是2

1(,]24

e ．

综上，当[0,1)a ∈时，()g x 有最小值()h a ，()h a 的值域是2

1(,]24

e ．

【注】由0()0f x a +=，得00

02e 2

x

x a x +=--，常理是用a 去表示0x ，办不到，我们只能用0x 去表示a ，0

0002e ()2x x a f x x -==-+．

可以由第Ⅰ问2e 2

x x a x -=+在(0,)x ∈+∞单调递减，再由第Ⅰ问的不等式“当0x >时，(2)e 20x

x x -++>”启发，有结论

0[0,1)(0,2]a x ∈?∈．从而()([0,1))h a a ∈的值域就是00()((0,2])g x x ∈的值域．

这个0(0,2]x ∈不是前面试根得到的范围，而是由[0,1)a ∈与0

002e 2

x x a x -=+单调得出的，这个方向很重要！

教学思考与建议 （一）必拿的分数 1．必拿分数的知识内容

选择填空题中的中等题，此类问题主要考查函数的概念（函数的定义域、值域、解析式）、函数的性质（函数的奇偶性、单调性）、函数的图象、导数的应用：导数的概念及其几何意义（求切线问题）; 2．拿分策略

（1）定义域优先原则；

（2）重点对分段函数、函数的奇偶性与单调性简单应用、函数的图象、求切线问题进行题组训练； （3）由于所有基本问题的讨论都涉及函数的基本性质，而函数的图象的直观表达函数性质的最佳方式，因此，作出函数的图象是解决函数与导数的重要途径．应通过具体实例让学生掌握作函数的图象的步骤：第1步：确定定义域；第2步：求导数和导函数的零点；第3步：列表（含自变量取值、导数符号、函数增减与极值）；第4步：确定特殊点（图象与坐标轴的交点、极值点）；第5步：确定图象的渐近线；第6步：画图象．从另一个角度考虑，应灵活应用函数的图象的平移与对称变换．

（4）在选择填空题中，应注意数形结合思想的应用；应关注特殊与一般思想的应用．

（二）争取拿的分数

1．争取拿分数的知识内容

选择填空题中的压轴题（函数的性质的综合应用，涉及到对称性、周期性）、解答题中的第Ⅰ问，函数的单调性（如导数求单调区间、极值、最值与零点）、切线的应用;

2．争取拿分策略

（1）熟练掌握函数的周期性及对称性的相关结论，并应用． （2）调整心态，大胆准确的求导（正确求导1~2分）； （3）关注分类与整合思想的应用，合理的进行分类； （三）希望能拿的分数

1．希望能拿分数的知识内容

解答题的第Ⅱ问，结合函数的单调性解不等式或证明不等式、求参数范围． 2．拿分策略

（1）根据函数图象的性态，利用化归与转化思想，转化为熟悉的问题进行解决（函数的单调性、极值、最值问题）；

（2）了解常见解题思路：运用零点分布和运用极值点满足等式方法、找分界点方法与极值点偏离方法．

2018年高考数学（文）(函数与导数)

2018年普通高等学校招生全国统一考试大纲已于2017年12月新鲜出炉，它是高考命题的规范性文件和标准，是考试评价、复习备考的指明灯，为考生努力的方向指明了道路．与《2017年高考文科数学考试大纲》相比，《2018年高考文科数学考试大纲》在考核目标、考试范围与要求等方面都没有明显变动.无论是知识内容及其要求的三个层次（了解、理解、掌握），还是能力（空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、应用意识和创新意识）要求、个性品质要求和考查要求都没有变化.这说明2018年高考数学学科的命题仍然保持相对的稳定.下面对2018年考纲中函数与导数部分进行综合解读：

函数与导数，一般在高考中至少三个小题，一个大压轴题，分值在30分左右。以指数函数、对数函数及扩展函数为载体，结合图像的变换（平移、伸缩、对称变换），四性问题(单调性、奇偶性、周期性、对称性)，以选择题填空题为考查的主要形式，其中函数的单调性和奇偶性有向抽象函数发展的趋势．压轴题以二次或三次函数结合e x和lnx的复杂函数为主，以切线问题、极值最值问题、单调性问题、存在或恒成立问题、零点问题为设置条件，求解范围或证明结论为主。

（一）函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）

1．涉及本专题知识的考题，大多以选择题、填空题的形式出现，可易可难，预测2018年高考仍然会出小题.

2．函数的概念及其表示：考查函数的概念、定义域和值域，函数的解析表示法，其中常以分段函数为载体考查函数、方程、不等式等知识的综合.

3．函数的性质：考查单调性，可以从函数图象、单调性定义、导数来理解；考查奇偶性，可以从图象和定义入手，尤其要注意抽象函数奇偶性的判断；对称性和周期性结合，用以考查函数值重复出现的特征以及求解析式.

4．基本初等函数：比较大小，基本初等函数的图象和性质，基本初等函数的综合应用，其中常以分段函数为载体考查函数、方程、不等式等知识的综合.

（二）导数及其应用

与2017年考纲相比没什么变化，而且这部分内容作为高考的必考内容，在2018年的高考中预计仍会以“一小一大”的格局呈现，“一小”即以选择题或填空题的形式考查导数的几何

意义和导数在研究函数问题中的直接应用为主，难度中等；“一大”即以压轴题的形式呈现，仍会以导数的应用为主，主要考查导数、含参不等式、方程、探索性等方面的综合应用，难度较大.

对2018年考纲整体综合解读

核心考点不变

2018年的高考中，核心考点仍然是函数与导数、三角函数、解三角形、数列、立体几何、解析几何、概率与统计、选考内容等.

在选择题或填空题中，集合、复数、程序框图、三视图、三角函数的图象和性质、线性规划、平面向量、数列的概念与性质、圆锥曲线的简单几何性质、解三角形、导数与不等式的结合、函数的性质仍然是高频考点.在解答题中，除数列和三角函数轮流命题外，立体几何、概率与统计、解析几何、函数导数与不等式、选考内容仍然是必考内容.

【备考策略】1．函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系.首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”；

2．选择题与填空题中出现不等式的题目时，优选特殊值法；

3．求参数的取值范围时，应该建立关于参数的等式或不等式，用函数的定义域或值域或解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法；

4．恒成立问题或它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复、不遗漏；

5．圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择根与系数的关系求解，使用根与系数的关系时必须先考虑是否为二次方程及根的判别式；

6．求椭圆或双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可；

7．求三角函数的周期、单调区间或最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；

8．数列的题目条件与和有关，优选作差的方法；

解答的时候注意使用通项公式及前n 项和公式，体会方程的思想；

9．导数的常规题目一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或者前一问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；

10．概率与统计的解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略。

新课标全国III 卷文科数学2016-2017年高考分析及2018年高考预测

越来越多的省份加入全国卷的行列，2017年使用全国卷III 的省份有云南、贵州、四川、广西。研究发现，新课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性，每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定，掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷命题的灵魂。基于此，我研究近两年的全国高考文科数学III 卷和高考数学考试说明，分类汇总了全国卷近两年的题型。现在，就函数与导数部分(文科数学III 卷)，与各位老师进行讨论研究．

函数小题，两年五考，可见其重要性！主要考查基本初等函数图像和性质，包括：定义域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、平移、导数、切线、零点等。分段函数是重要载体！

2017

7. 函数2sin 1x

y x x

=++

的部分图像大致为（ ）

D

函数与导数大题，两年两考，每年一题，第一问一般考察导数的几何意义或者函数的单调性，第二问考查利用导数讨论函数性质，若是在小题中考查了导数的几何意义，则在大题中一般不再考查．

1.函数载体上，无论文科或理科，基本放弃纯三次函数，对数函数和指数

函数很受器重，较多出现，文科卷通常两种函数不会同时出现。但是无

论怎么考，讨论单调性永远是考查的重点，而且通常是围绕分类整合思

想的考查。

2.对含参数问题，在考查分离参数还是不分离参数上，命题者会大做文章。

一般来讲，主要考查不分离参数或部分分离参数问题。

3.另外，函数与方程的转换也不容忽视，如函数零点的讨论。函数问题设

问灵活，多数考生做到此题时间紧，若能分类整合抢一点分就很好了。

4.还有一个灵活性问题，有些情况下函数性质是不用导数就可以“看出

来”的，比如增函数＋增函数＝增函数，复合函数单调性，显然成立的

不等式，放缩法等等，总之导数是很重要，但是有些解题环节不要吊死

在导数上，不要过于按部就班！

5.数形结合，有时也是可以较快地出答案的，虽然，因为表达不严谨不得

满分，但是在时间紧的情况下可以适当使用。

专题二：三角函数

一、18年考试说明要求：

1. 理解任意角三角函数的定义、性质、周期变化现象的模型。会利用三角函数解决一些简单实际问题；

2. 三角恒等变换；

3. 解三角形、正余弦定理的应用。

二、总的来说三角函数部分的要求保持与去年的要求一致，没有变化，难度也不是很高。

三、近三年三角考查内容：

四、复习建议：

1. 切实掌握三角函数的概念、图象和性质，在复习时应充分将数形结合起来，利用图的直观性得出函数的性质，这样既利于掌握函数的图象和性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法；

2. 切实掌握三角函数的基本变换思想与三角恒等变换的灵活应用（公式的记忆与应用是关键）；

3. 掌握三角函数的应用意识，注意在有些实际问题中建立三角函数模型，利用三角函数知识来解决问题，更要注意在代数、平面向量、立体几何、导数等问题中建立三角函数模型，使问题获得简捷的解法；

4．解三角形（包括实际应用）的解题技巧。

专题三：数列

一、考纲解读

1、数列的概念和简单表示方法

（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）（2）了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，掌握数列的概念及其表示方法，等差、等比数列的通项公式及其有关性质，等差、等比数列的前n项和公式，特别是有关数列求和的几种常用方法：分组转化、错位相减、裂项相消求和应当重点掌握。

2、等差数列、等比数列

（1）理解等差数列、等比数列的概念。

（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式。

（3）能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

二、高考考点

近三年高考（广西）数列内容分布统计表