正弦定理余弦定理与解斜三角形

正弦定理、余弦定理和解斜三角形

1、 正弦定理推导

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1.1-2，

在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，

sin b B c =，

又

sin 1c

C c ==

,

A

则sin sin sin a

b

c

c

A

B

C

=

=

=

b c

从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a

b

c

A

B

C =

=

C a B

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图 1.1-3，当∆ABC

是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有

CD=sin sin a B

b A =,则sin sin a

b

A B =

， C 同理可得sin sin c b

C

B =

， b a 从而sin sin a b A B

=sin c

C =

A D

B (图1.1-3) 证明二：（等积法）在任意斜△AB

C 当中

S △ABC =A

bc B ac C ab sin 21

sin 21sin 21== 两边同除以abc

21即得：A a sin =B b sin =C c sin

证明三：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ

∴R CD D a

A a 2sin sin === (R 为外接圆的半径)

同理 B b sin =2R ，C c

sin ＝2R

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。 从上面的研究过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

sin sin a

b

A

B

=

sin c

C =

(1) 理解定理

(1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使

sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；

(2）sin sin a

b

A

B

=

sin c C =

等价于sin sin a

b A

B =

，sin sin c

b C

B =

，sin a

A

=

sin c

C

从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如

sin sin b A a B =

；

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B

b

=。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

2、 余弦定理的推导

如图1.1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, C

已知a,b 和∠C ，求边c 。 b a

A c B

(图1.1-4) 如图1．1-5，

设CB

a →

=，CA b →=，AB c →

=，那么c=a-b ，

2||c =c ∙c=(a-b)

∙(a-b) A

=a ∙a + b ∙b -2a ∙b b c 从而 2222cos c a b ab C

=+- C a B

同理可证

2222cos a b c bc A =+- (图1．1-5)

2222cos b a c ac B =+-

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

2222cos a b c bc A =+-

2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-

从余弦定理，又可得到以下推论：

222

cos 2+-=

b c a A bc 222

cos 2+-=

a c

b B a

c 222

cos 2+-=

b a

c C ba

(三) 理解定理

从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？若∆ABC 中，C=0

90

，则cos 0=C ，这时222

=+c a b

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

3．正弦定理、余弦定理及其变形形式， （1）正弦定理、三角形面积公式：

R C c

B b A a 2sin sin sin ===；

B

ac C ab A bc S ABC sin 21

sin 21sin 21===∆．

（2）正弦定理的变形： ①

C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；

②R

c

C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===

；

③sin

sin sin ::::A B C a b c =．

（3）余弦定理：

bc a c b A A bc c b a 2cos ,cos 22

222

2

2

-+=

-+=．

4、正余弦定理的应用与三角形中的有关公式

(1)内角和定理：三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性,任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.

(2)正弦定理：2sin sin sin a b c R

A B C ===(R 为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：

()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b

ii A B C R R ==

2c

R =；

()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，

若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.

(3)余弦定理：

2222

2

2

2cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc +-=+-=

等，常选用余弦定理鉴定三角形的形

状(4)面积公式：111sin ()

222a S ah ab C r a b c ===++（其中r 为三角形内切圆半径）.如ABC

∆中，若C B A B A 2

2222sin sin cos cos sin =-，判断ABC ∆的形状（答：直角三角形）。

特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意

A B C π

++=这个特殊性：

,sin()sin ,sin

cos 22A B C

A B C A B C π++=-+==；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问

题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。

2、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。