正弦定理余弦定理与解斜三角形

正弦定理、余弦定理和解斜三角形
1、 正弦定理推导
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1.1-2，
在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，
sin b B c =，
又
sin 1c
C c ==
,
A
则sin sin sin a
b
c
c
A
B
C
=
=
=
b c
从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a
b
c
A
B
C =
=
C a B
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图 1.1-3，当∆ABC
是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有
CD=sin sin a B
b A =,则sin sin a
b
A B =
， C 同理可得sin sin c b
C
B =
， b a 从而sin sin a b A B
=sin c
C =
A D
B (图1.1-3) 证明二：（等积法）在任意斜△AB
C 当中
S △ABC =A
bc B ac C ab sin 21
sin 21sin 21== 两边同除以abc
21即得：A a sin =B b sin =C c sin
证明三：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ
∴R CD D a
A a 2sin sin === (R 为外接圆的半径)
同理 B b sin =2R ，C c
sin ＝2R
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。

从上面的研究过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C =
(1) 理解定理
(1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使
sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；
(2）sin sin a
b
A
B
=
sin c C =
等价于sin sin a
b A
B =
，sin sin c
b C
B =
，sin a
A
=
sin c
C
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如
sin sin b A a B =
；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B
b
=。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

2、 余弦定理的推导
如图1.1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, C
已知a,b 和∠C ，求边c 。

b a
A c B
(图1.1-4) 如图1．1-5，
设CB
a →
=，CA b →=，AB c →
=，那么c=a-b ，
2||c =c ∙c=(a-b)
∙(a-b) A
=a ∙a + b ∙b -2a ∙b b c 从而 2222cos c a b ab C
=+- C a B
同理可证
2222cos a b c bc A =+- (图1．1-5)
2222cos b a c ac B =+-
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

2222cos a b c bc A =+-
2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-
从余弦定理，又可得到以下推论：
222
cos 2+-=
b c a A bc 222
cos 2+-=
a c
b B a
c 222
cos 2+-=
b a
c C ba
(三) 理解定理
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？若∆ABC 中，C=0
90
，则cos 0=C ，这时222
=+c a b
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

3．正弦定理、余弦定理及其变形形式， （1）正弦定理、三角形面积公式：
R C c
B b A a 2sin sin sin ===；
B
ac C ab A bc S ABC sin 21
sin 21sin 21===∆．
（2）正弦定理的变形： ①
C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；
②R
c
C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===
；
③sin
sin sin ::::A B C a b c =．
（3）余弦定理：
bc a c b A A bc c b a 2cos ,cos 22
222
2
2
-+=
-+=．
4、正余弦定理的应用与三角形中的有关公式
(1)内角和定理：三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性,任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.
(2)正弦定理：2sin sin sin a b c R
A B C ===(R 为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：
()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b
ii A B C R R ==
2c
R =；
()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，
若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.
(3)余弦定理：
2222
2
2
2cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc +-=+-=
等，常选用余弦定理鉴定三角形的形
状(4)面积公式：111sin ()
222a S ah ab C r a b c ===++（其中r 为三角形内切圆半径）.如ABC
∆中，若C B A B A 2
2222sin sin cos cos sin =-，判断ABC ∆的形状（答：直角三角形）。

特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意
A B C π
++=这个特殊性：
,sin()sin ,sin
cos 22A B C
A B C A B C π++=-+==；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问
题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。

2、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。

【知识点练习】
1.在任一△ABC中求证：
)
sin
(sin
)
sin
(sin
)
sin
(sin=
-
+
-
+
-B
A
c
A
C
b
C
B
a
.
2. 在△ABC中，已知
3
=
a
，
2
=
b，B=45︒求A、C及c .
3.在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程
2
3
2
2=
+
-x
x的两个根，且2cos(A+B)=1
求(1)角C的度数(2)AB的长度(3)△ABC的面积.
2.总结解斜三角形的要求和常用方法.
（1）．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：
①已知两角和任一边，求其它两边和一角；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角.
（2）应用余弦定理解以下两类三角形问题：
①已知三边求三内角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角.
一、求解斜三角形中的基本元素
是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．
例1.
ABC
∆中，3
π
=
A
，BC＝3，则
ABC
∆的周长为（）
A．
3
3
sin
3
4+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
π
B
B．
3
6
sin
3
4+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
π
B
C．
3
3
sin
6+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
π
B
D．
3
6
sin
6+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
π
B
例2(2005年全国高考湖北卷)
ABC
∆中，已知6
6
cos
,
3
6
4
=
=B
AB
，AC边上的中线BD=
5
，
求sinA的值．
二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．
例3 在
ABC
∆中，已知C
B
A sin
cos
sin
2=，那么ABC
∆一定是（）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形
评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断，⑵统一化为边，再判断．三、解决与面积有关问题
主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．
例4 在
ABC
∆中，若120
A
∠= ，5
AB=，7
BC=，则ABC
∆的面积S＝_________
分析：本题只需由余弦定理，求出边AC，再运用面积公式S＝2
1
AB•AC sinA即可解决．
四、求值问题
例 5 在
ABC
∆中，C
B
A∠
∠
∠、
、所对的边长分别为c
b
a、
、，若c
b
a、
、满足条件2
2
2a
bc
c
b=
-
+和
3
2
1
+
=
b
c
，求
A
∠和B
tan的值．
分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．
五、正余弦定理解三角形的实际应用
利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：
（一.）测量问题
例6 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、
B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，
AB=120cm，求河的宽度。

（二.）遇险问题
例7.某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇
以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得
灯塔在它的东30°北。

若此灯塔周围10海里内有暗礁，
问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？
解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15°北的方向上；舰艇航行半
小时后到达B点，测得S在东30°北的方向上。

在△ABC中，可知
AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，过点S
作SC⊥直线AB，垂足为C，则SC=15sin30°=7.5。

这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故
继续航行有触礁的危险。

（三.）最值问题
例8．如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，2
OA=，B为半圆
上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？
分析：四边形的面积由点B的位置唯一确定，而点B由AOB
∠唯一确定，因此可
设
AOBα
∠=，再用α的三角函数来表示四边形OACB的面积.
本章节知识点易错题分析
图1
A B
C
D
西
北
南
东
A B C
30°
15°
图2
例题1在不等边△ABC中，a为最大边，如果a b c
222
<+，求A的取值范围。

错解：∵a bc bc a 2222220
<++->
，
∴。

则
c o s A b c a
b c
=
+-
>
222
2
，由于cosA在（0°，180°）上为减函数
且c
o
s9
009
°
，
∴°
=<
A
又∵A为△ABC的内角，∴0°＜A＜90°。

辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。

题设是a为最大边，而错解中只把a看做是三角形的普通一条边，造成解题错误。

例题2在△ABC中，若a
b
A
B
2
2
=
tan
tan，试判断△ABC的形状。

错解：由正弦定理，得sin
sin
ta n
ta n
2
2
A
B
A
B
=
即s
i n
s
i n
s
i n
c
o
s
c
o
s
s
i n
s
i n s
i n
2
2
00 A
B
A
A
B
B
A B
=>>
·，
∵，
∴，
即
s
i
n
c
o
ss
i
n
c
o
s s
i
n s
i
n A
A B
B AB
==
22。

∴2A＝2B，即A＝B。

故△ABC是等腰三角形。

辨析：由s i n s i n
22
A B
=，得2A＝2B。

这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，
三角变换生疏。

例题3在△ABC中，A＝60°，b＝1，S
A B C
△
=3
，求
a b c
A B C
++
++
s i n s i n s i n的值。

错解：∵A＝60°，b＝1，S
A B C
△
=3
，又
S
ABC
△
=
1
2b c A
s i n，
∴3
1
2
=
c s i n60°
，解得c＝4。

由余弦定理，得a b c b
c A
=+-=+-
22211
686
c
o
s c
o
s°
=13
又由正弦定理，得s i n s i n
C B
==
6
39
3
239
，。

∴
a b c
A B C
++
++
=
++
++
s i n s i n s i n
1314
3
2
3
239
6
39。

辨析：如此复杂的算式，计算困难。

其原因是公式不熟、方法不当造成的。

例题4在△ABC中，c=+
62，C＝30°，求a＋b的最大值。

错解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。

由正弦定理，得
a
A
b
A
sin sin()sin
=
-
=
+
150
62
30
°°
∴
a A
=+
262
()s i n
，
b A =+-
2621
5
()s i n
()
°
又∵s
i n s
i n
()
A A
≤-≤
11
5
01
，°
∴a b
+
≤+++=+
262262462
()()()。

故a b
+的最大值为462
()
+。

辨析：错因是未弄清A与150°－A之间的关系。

这里A与150°－A是相互制约的，不是相互独立的两个量，sinA与sin(150°－A)不能同时取最大值1，因此所得的结果也是错误的。

例题5在△ABC中，已知a＝2，b＝
22，C＝15°，求A。

错解：由余弦定理，得c ab a
b
22221
5
=+-c
o
s
°
48228
=+-=-
××
∴c=-
62。

又由正弦定理，得s i n
s i n
A
a C
c
==
1
2
而
0000 018030150
A A A
<<=
，∴＝或。

辨析：由题意b a
>，∴B A
>。

因此A＝150°是不可能的。

错因是没有认真审题，未利用隐含条件。

在解题时，要善于应用题中的条件，特别是隐含条件，全面细致地分析问题，避免错误发生。

例题6在△ABC中，
cos cos
A b B
α=，判断△ABC的形状。

错解：在△ABC中，∵a A b B
c
o
s c
o
s
=，由正弦定理
得22
R
A
A
R
B
B s
i
n
c
o
s s
i
n
c
o
s
=
∴
s i n s i n 222222180A B A B A B ==+=，∴且°
∴A ＝B 且A ＋B ＝90° 故△ABC 为等腰直角三角形。

辨析：对三角公式不熟，不理解逻辑连结词“或”、“且”的意义，导致结论错误。

例题7 若a ，b ，c 是三角形的三边长，证明长为
a b c ，，的三条线段能构成锐角三角形。

错解：不妨设0<≤≤abc ，只要考虑最大边的对角θ为锐角即可。

c o s ()()()θ=+-=
+-
a b c a b abc a b 222
22。

由于a ，b ，c 是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有a b c +>，即c o s θ>0。

∴长为
a b c ，，的三条线段能构成锐角三角形。

辨析：三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：①三条边满足三角形边长关系；②最长线段的对角是锐角。

显然错解只验证了第二个条件，而缺少第一个条件。

【练习1】
1、（06湖北卷）若ABC ∆的内角
A 满足
2
sin 23A =
，则sin cos A A +=
A.
3 B
．3-
C ．53
D ．53-
2、（06安徽卷）如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则
A ．111A
B
C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形
C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形
D ．
111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形
3、（06辽宁卷）已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角
A 的正切值是（
）
Ａ．
2
Ｃ．
8
Ｄ．
7
4、（06四川卷）设,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，则()2a b b c =+是2A B =的
（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件
5、（06上海春）在△ABC 中，已知
5,
8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos .
6、（06全国卷I ）ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，
cos 2cos
2
B C
A ++ 取得最
大值，并求出这个最大值。

7、（06全国II ）
在45,5ABC B AC C ∆∠=︒==
中，,求
（1）?BC
= (2)若点D AB 是的中点，求中线CD 的长度。

8、（07全国卷2理17）在ABC △中，已知内角A π
=
3
，边BC =B x =，周长为y ．
（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．
【练习2】
1．已知ABC ∆的两边,b c 是方程2400x kx -+=的两个根，
的面积是2cm ，周长是20cm ，
试求A 及k 的值；
2．如图，AB BC ⊥，33CD =，30ACB ∠= ，75BCD ∠= ，45BDC ∠= ，
求AB 的长.
3.在△ABC 中，求证：0
cos cos cos cos cos cos 2
22222=+-++-++-A C a c C B c b B A b a
4.设x 、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x 的取值范围。

5.在∆ABC 中，0
60A =，1a =，2b c +=，判断∆ABC 的形状。

6.（07浙江理18）已知ABC △
1
，且sin sin A B C +=．
（I ）求边
AB 的长；
（II ）若ABC △的面积为1
sin 6C
，求角C 的度数．
7.（07上海理17）在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．
若4
π
,2=
=C a ，
5
522cos
=B ，求ABC △的面积S ．
8.（07全国卷1理17）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．
（Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．
9.（07北京文理13）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标 是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全 等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果 小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小 的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于
．
10.（07山东理20）如图，
甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，
当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105 方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分
钟到达
2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120 方向的2B
处，此时两船相距航行多少海里？
1
A
2
A。