圆锥曲线理科高考真题汇总

2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线

一、选择题

1 .过点(2,0)引直线l 与曲线21y x =

+相交于A,B 两点,O 为坐标原点,当?AOB 的面积取最大值时,直

线l 的斜率等于（ ） A ．y EB BC CD

=++33

B ．33

-

C ．33

±

D ．3-

【答案】B

2 ．双曲线2

214

x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）

A ．

25

B ．

45

C ．

25

5

D ．

45

5

【答案】C

3 ．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3

2,在双曲线C 的方程是

（ ）

A ．22145x -=

B ．221

45x y -=

C ．22

125x y -=

D ．22

125x -=

【答案】B

4 ．已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>)的离心率为5

2

,则C 的渐近线方程为

（ ）

A ．14

y x =±

B ．13

y x =±

C ．12

y x =±

D ．y x =±

【答案】C

5 ．已知04π

θ<<,则双曲线22122:

1cos sin x y C θθ-=与22

2222:1sin sin tan y x C θθθ

-=的 （ ）

A ．实轴长相等

B ．虚轴长相等

C ．焦距相等

D ．离心率相等

【答案】D

6 ．抛物线2

4y x =的焦点到双曲线2

2

13

y

x -=的渐近线的距离是（ ） A ．

12

B ．

32

C ．1

D 3【答案】B

7 ．如图,21,F F 是椭圆14

:22

1=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（ ）

A ．2

B ．3

C ．

2

3 D ．

2

6 【答案】D

8 ．已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O

为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB

则p =（ ） A ．1

B ．

3

2

C ．2

D ．3

【答案】C

9 ．椭圆22

:143

x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是 （ ）

A ．1324

??????

， B ．3384

??????

，

C ．112??

????

，

D ．314??????

，

【答案】B

10．已知抛物线2

:8C y x =与点

()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若

0MA MB =u u u r u u u r

g ,则k =（ ）

A ．

12

B

．

2

C

D ．2

【答案】D

11．若双曲线22

221x y a b

-=

则其渐近线方程为（ ）

【答案】B

12．已知抛物线1C :212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C :221

3x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限

的点M .若

1

C 在点M 处的切线平行于

2

C 的一条渐近线,则p =（ ）

A ．3

B ．3

C ．23

D ．43

【答案】D

13．已知椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的

中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）

A ．

22

14536

x y += B ．

22

13627x y += C ．

22

12718x y += D ．

22

1189

x y += 【答案】D

14．设抛物线2

:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,

5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,

则C 的方程为

（ ）

A ．24y x =或28y x =

B ．22y x =或28y x =

C ．24y x =或216y x =

D ．22y x =或216y x =

【答案】C

15．已知 A B 、为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N .若2MN AN NB λ=?u u u u r u u u r u u u r

,

其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是

（ ）

A ．圆

B ．椭圆

C ．抛物线

D ．双曲线

【答案】C

16．已知圆()

()2

2

1:231C x y -+-=,圆()()2

2

2:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P

为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为 （ ）

A ．524

B 171

C ．622-

D 17

【答案】A 二、填空题

17．双曲线19

162

2=-y x 的两条渐近线的方程为_____________. 【答案】

x y 4

3

±=

18.抛物线2

2(0)x py p =>的焦点为F,其准线与双曲线22

133

x y -=相交于,A B 两点,若ABF ?为等边三角形,则P =_____________

【答案】6

19．设12,F F 是双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若21

6,PF PF a +=且12PF F ?的最小内角为30o ,则C 的离心率为___.

【答案】3

20．设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且4

CBA π

∠=

,若AB=4,2BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为

________

【答案】46.

21．已知直线y a =交抛物线2

y x =于,A B 两点.若该抛物线上存在点C ,使得ABC ∠为直角,则a 的取值

范围为___ _____.

【答案】),1[+∞ 22．抛物线2

x y =在

1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点

),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是__________.

【答案】??

???

?-2

1,2

23．在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(122

22>>=+b a b

y a x ,右焦点为F ,右准线为l ,

短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆C 的

离心率为_______.

【答案】

3

24．椭圆22

22:1(0)x y a b a b

Γ+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为2c,若直线3()y x c =+与椭圆Γ

2MF F MF F ∠=∠

【答案】

1-

25．双曲线22116x y m -=的离心率为5

4

, 则m 等于_______.

【答案】9

26．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接,AF BF ,

若4

10,6,cos ABF 5

AB AF ==∠=

,则C 的离心率e =______. 【答案】

5

7

27．抛物线2

8y x =的准线方程是_______________

【答案】2x =-

28．在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数x

y

1

=

(0>x )图象上一动点,若点A P ，之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为_______.

【答案】1-或10

29．设F 为抛物线x y C 4:2

=的焦点,过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,,点Q 为线段AB 的

中点,若2||=FQ ,则直线的斜率等于________.

【答案】1± 三、解答题

30．已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1

0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、 (1)若112F B B ?为等边三角形,求椭圆C 的方程;

(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥u u u r u u u r

,求直线l 的方

程.

31.已知椭圆C :22221,(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41

(,)33

P .

(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;

(Ⅱ)设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且

222

211

||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程.

32．椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,

,过1F 且垂直于x 轴的直线

被椭圆C 截得的线段长为1.

(Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线

12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明

12

11kk kk +为定值,并求出这个定值.

33．如图,已知曲线2

21:12

x C y -=,曲线2:||||1C y x =+,P 是平面上一点,若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点,则称P 为“C 1—C 2型点”.

(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);

(2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“C 1—C 2型点”; (3)求证:圆2

2

1

2

x y +=

内的点都不是“C 1—C 2型点”.

34．如图,在正方形OABC 中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA

和AB 十等分,分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ,连结i OB ,过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点

*(,19)i P i N i ∈≤≤.

(1)求证:点*

(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程;

(2)过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ,若OCM ?与OCN ?的面积比为4:1,求直线的方程.

35．过抛物线2

:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ,且

122k k +=,1l E 与相交于点A,B,2l E 与相交于点C,D.以AB,CD 为直径的圆M,圆N(M,N 为圆心)的公共弦所

在的直线记为l .

(I)若120,0k k >>,证明;2

2FM FN P

(II)若点M 到直线l 的距离的最小值为5

5

,求抛物线E 的方程.

36．如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:2222

1>>=+b a b

y a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:2

22=+y x C 的直

径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D (1)求椭圆1C 的方程; (2)求ABD ?面积取最大值时直线1l 的方程.

37．如题(21)图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率2

2

e =

,过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于,A A '两点,4AA '=.

(1)求该椭圆的标准方程;

(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点,P P ',过,P P '作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.若PQ P Q '⊥,求圆Q 的标准方程.

x

O

y

B

l 1

l 2 P

D

A

（第36题图）

38．设椭圆22

22

:11x y E a a

+=-的焦点在x 轴上 (Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;

(Ⅱ)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y 轴与点Q ,并且11F P F Q ⊥,证明:当a 变化时,点p 在某定直线上.

39.已知圆M :2

2(1)

1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨

迹为曲线 C.

(Ⅰ)求C 的方程;

(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.

40．设椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F , 3

, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的

43

(Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=u u u r u u u r u u u r u u u r , 求k 的值.

41．如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b ：经过点3(1,),2

P 离心率1

=2e ,直线l 的方程为=4x .

(1) 求椭圆C 的方程;

(2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ),设直线AB 与直线l 相交于点M ,记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ,使得123+=.k k k λ?若存在求λ的值;若不存在,说明理由.

42．已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F

c c >到直线l :20x y --=的距离为

32

2

.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程;

(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ?的最小值.

43．平面直角坐标系xOy 中,过椭圆22

22:1(0)x y M a b a b

+=>>的右焦点F 作直30x y +=交M 于,A B 两

点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12

. (Ⅰ)求M 的方程;

(Ⅱ),C D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.

44．如图,已知椭圆

1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为

2m ,2n ()m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为

A ,

B ,

C ,

D .记m

n

λ=

,BDM ?和ABN ?的面积分别为1S 和2S . (I)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;

(II)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.

45．已知A 、B 、C 是椭圆W :2

214

x y +=上的三个点,O 是坐标原点. (I)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积;

(II)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由.

第21题图

46．已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.

(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;

(Ⅱ) 已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.

47．如图,抛物线()2

212:4,:20C x

y C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,

切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )012x =-,切线.MA 的斜率为1

2

-. (I)求p 的值;

(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.()

,,.A B O O 重合于时中点为

48．已知双曲线()22

22:10,0x y C a b a b

-=>>的左、右焦点分别为12F F ，,离心率为3，直线2y =与C 的

6. (I)求,;a b ;

(II)设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于,A B 两点,且11AF BF =,证明:22AF AB BF 、、成等比数列.

49．已知抛物线2

4C y x =：

的焦点为F . (1)点 A P 、满足2AP FA =-u u u r u u u r

.当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P 的轨迹方程;

(2)在x 轴上是否存在点Q ,使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上?如果存在,求所有满足条件的点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.

()()

2222

2

3

2114a k n λλλλ

--+=