圆的切线与圆心角
2.3 圆的切线的性质及判定定理 课件(人教A选修4-1)
(2)推论1：经过圆心且 垂直于切线 的直线必经过切点．
(3)推论2：经过切点且 垂直于切线 的直线必经过圆心．
2．圆的切线的判定方法 (1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
4.
如图，△ABC 内接于⊙O，点 D 在 OC 的延长线上，sin B 1 ＝ ，∠D＝30° . 2 (1)求证：AD 是⊙O 的切线． (2)若 AC＝6，求 AD 的长．
解：(1)证明：如图，连接 OA， 1 ∵sin B＝ ，∴∠B＝30° ， 2 ∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝60° ， ∵∠D＝30° ， ∴∠OAD＝180° －∠D－∠AOC＝90° ， ∴AD 是⊙O 的切线． (2)∵OA＝OC，∠AOC＝60° ， ∴△AOC 是等边三角形，∴OA＝AC＝6， ∵∠OAD＝90° ，∠D＝30° ， ∴AD＝ 3AO＝6 3.
在△OEC 中，因为∠EOC＝∠ECO＝30° ， ∴OE＝EC， 在△BOE 中，因为∠BOE＝90° ，∠EBO＝30° . ∴BE＝2OE＝2EC， CE CD 1 ∴BE＝DA＝ ， 2 ∴AB∥OD，∴∠ABO＝90° ， 故 AB 是△BCD 的外接圆的切线．
要证明某直线是圆的切线，主要是运用切线的判
6. 如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，延长BA
到 E，使AE＝AB，连接ED.
(1)求证：直线ED是⊙O的切线； (2)连接EO交AD于点F，求证： EF＝2FO.
解：(1)证明：连接 OD. ∵四边形 ABCD 为正方形， AE＝AB， ∴AE＝AB＝AD， ∠EAD＝∠DAB＝90° . ∴∠EDA＝45° ，∠ODA＝45° . ∴∠ODE＝∠ADE＋∠ODA＝90° . ∴直线 ED 是⊙O 的切线． (2)作 OM⊥AB 于 M. ∵O 为正方形的中心，∴M 为 AB 的中点． ∴AE＝AB＝2AM，AF∥OM. EF AE ∴FO＝AM＝2，∴EF＝2FO.
2.3 圆的切线的性质及判定定理 课件(人教A选修4-1)
(2)推论1：经过圆心且 垂直于切线 的直线必经过切点．
(3)推论2：经过切点且 垂直于切线 的直线必经过圆心．
2．圆的切线的判定方法 (1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需
添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线， 从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解， 或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．
1. AB是圆O的直径，D为圆O上一点， 过D作圆O的切线交AB的延长线于点C，
若DA＝DC，求证：AB＝2BC.
∠BOD 是 BD 所对的圆心角，
∠BCD＝45° ， ∴∠BOD＝90° . ∵∠ADB 是△BCD 的一个外角， ∴∠DBC＝∠ADB－∠ACB ＝60° －45° ＝15° ， ∴∠DOC＝2∠DBC＝30° ， 从而∠BOC＝120° ， ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30° .
在△OEC 中，因为∠EOC＝∠ECO＝30° ， ∴OE＝EC， 在△BOE 中，因为∠BOE＝90° ，∠EBO＝30° . ∴BE＝2OE＝2EC， CE CD 1 ∴BE＝DA＝ ， 2 ∴AB∥OD，∴∠ABO＝90° ， 故 AB 是△BCD 的外接圆的切线．
交⊙O于点E，PA＝AO＝OB＝1. (1)求∠P的度数； (2)求D切点，∴OC⊥PC，△POC 为直角三角形． ∵OC＝OA＝1，PO＝PA＋AO＝2， OC 1 ∴sin ∠P＝ PO＝ .∴∠P＝30° . 2 (2)∵BD⊥PD，∴在 Rt△PBD 中， 由∠P＝30° ，PB＝PA＋AO＋OB＝3， 3 得 BD＝ . 2 连接 AE.则∠AEB＝90° ，∴AE∥PD. ∴∠EAB＝∠P＝30° ，∴BE＝ABsin 30° ＝1， 1 ∴DE＝BD－BE＝ . 2
初中数学知识归纳圆的切线与切线定理计算方法
初中数学知识归纳圆的切线与切线定理计算方法初中数学知识归纳：圆的切线与切线定理计算方法在初中数学中，圆是一个重要的几何概念。
掌握圆的性质和相关定理，对于解决与圆相关的数学问题至关重要。
本文将对初中数学中与圆的切线及切线定理相关的计算方法进行归纳和总结。
一、切线的定义与性质在圆上，如果一条直线与圆相交，且与圆的交点只有一个，那么这条直线被称为圆的切线。
切线具有以下性质：1. 切线与半径的关系：切线与连接切点和圆心的半径垂直，即切线与半径的夹角是直角。
2. 切线的长度：从切点到切线上的圆心的距离是切线的长度。
3. 切线的唯一性：圆的外切线和内切线只有一条。
二、切线定理的计算方法1. 切线与切线的关系：圆外一点到圆的切线与该点连线的夹角等于切线与半径的夹角。
2. 切线与弦的关系：切线与一条弦的夹角等于弦所对的圆心角的一半。
3. 弦的长度计算：如果两条切线相交于圆的外点，那么两条切线的积等于外切点到两个切点的弦的积。
即切线外点到切点的线段的长度分别为a和b，那么a*b等于两条切线的积。
4. 弦切角公式：圆上的两条弦所对的圆心角之和等于两条弦所对的弧所对的圆心角的一半。
5. 切线长度计算：给定圆的半径R和切线与半径的夹角α，可以使用三角函数来计算切线的长度。
切线的长度等于R乘以正切函数的值，即L = R * tan(α)。
三、实例解析下面通过几个实例来应用切线定理的计算方法：示例1：已知圆的半径R为5cm，求切线与半径的夹角α为30°时的切线长度L。
解答：根据切线长度的计算公式L = R * tan(α)，代入已知数据，可得L =5 * tan(30°) = 5 * 1/√3 ≈ 2.88cm。
示例2：圆的直径是10cm，切线与半径的夹角α为45°，求切线的长度L。
解答：由于圆的直径等于半径的两倍，所以半径R = 直径/2 = 10/2 = 5cm。
根据切线长度的计算公式L = R * tan(α)，代入已知数据，可得L = 5 * tan(45°) = 5 * 1 ≈ 5cm。
圆中三大切线定理
14初三秋季·第2讲·尖子班·学生版围田地漫画释义满分晋级阶梯暑期班第六讲秋季班第六讲秋季班第八讲圆7级期末复习之圆中的重要结论及应用圆6级期末复习之圆的综合圆5级圆中三大切线定理秋季班第十五讲秋季班第十三讲秋季班第二讲2圆中三大切线定理15中考内容中考要求ABC圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积能解决与圆锥有关的简单实际问题圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考中考考点分析中考内容与要求16初三秋季·第2讲·尖子班·学生版查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。
要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。
圆切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理(参照分析)
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数| |（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
圆的定理
1.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；围绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的重合．2.顶点在圆心的角叫做圆心角．圆心到弦的距离叫做弦心距．3.相交弦定理:圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
4.推论:如果弦与直径垂直相交时,那么弦的一半是它分直径所成两线段的比例中项。
5.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
6.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线则有这点到割线与圆交点的两条线段的积相等.（从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有PA·PB=PC·PD。
）7.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．8.垂径定理 :垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．9.垂径定理推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧10.圆周角定理 :在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(2)同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.(3)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.(4)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.11.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．12.把整个圆周等分成360份，每一份弧是1°的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．13.圆的两条平行弦所夹的弧相等14.弦切角定理（1）弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
圆的线段知识点总结
圆的线段知识点总结圆是几何学中非常重要的一种图形，其特点是由圆心和半径确定，圆心到圆周上任意一点的距离都相等。
圆的线段是指圆的周长，也称为圆的周长。
在学习圆的线段知识时，需要了解圆的周长、圆弧、弦、切线、割线等概念，以及相关的定理和公式。
1. 圆的周长圆的周长是指圆的边界上一周的长度，通常用字母C表示。
根据数学知识，圆的周长与其半径r之间存在着特定的关系。
圆的周长公式为C=2πr，其中π是一个无理数，约等于3.14159。
通过这个公式，我们可以计算出给定圆的半径的周长。
2. 圆弧圆弧是圆的一部分，是由圆周上的任意两点确定的线段。
圆弧的长度取决于圆心角的大小。
圆心角是指以圆心为顶点的角，其两条边分别为圆弧的两条切线。
圆弧长度与圆心角的关系可以用公式L=rθ来表示，其中L表示圆弧长度，r表示圆的半径，θ表示圆心角的幅度（弧度）。
通过这个公式，我们可以根据给定的圆心角和半径计算出圆弧的长度。
3. 弦弦是在圆内连接两点的线段，它的长度小于或等于圆的直径。
通过圆内两点之间的弦，我们可以推导出许多圆上的性质和定理。
例如，任意弦的两端点到圆心的距离相等；弦长相等的两个圆内角相等等等。
4. 切线切线是与圆相切的直线，它与圆的切点处的切线交于一点。
切线与半径所夹角为直角，且直角三角形的斜边就是切线的长度。
切线的长度与切点到圆心的距离之间存在着特定的关系，可以通过勾股定理推导得出。
5. 割线割线是与圆相交于两点的直线，其长度大于两切点的切线。
割线与圆的交点处的角度关系与弦和圆心角的关系密切相关，通过它们之间的角度关系可以得到诸多有趣的结论。
圆的线段知识是数学中的基础知识之一，它不仅在几何学中有着重要的应用，还在许多实际问题中有着广泛的应用。
因此，掌握圆的线段知识对于学习和工作都是非常重要的。
希望通过本文的总结，读者们可以对圆的线段知识有一个更加全面和清晰的认识，从而提高数学学习和解决问题的能力。
六年级圆的所有公式
六年级圆的所有公式六年级是学习圆的基础年级，学生需要掌握圆的相关概念和公式。
本文将介绍六年级圆的所有公式，帮助学生更好地理解圆的性质和计算方法。
一、圆的定义圆是由平面上所有离定点距离相等的点组成的图形。
这个定点叫做圆心，圆心到圆上任意一点的距离叫做半径。
圆的直径是通过圆心的一条线段，长度等于半径的两倍。
二、圆的周长和面积公式圆的周长是指圆上任意两点之间的弧长，用C表示。
圆的面积是圆内部的所有点组成的区域，用S表示。
圆的周长公式如下：C = 2πr其中，r是圆的半径，π的近似值为3.14。
圆的面积公式如下：S = πr其中，r是圆的半径，π的近似值为3.14。
三、圆的弧长和扇形面积公式圆的弧长是圆上任意两点之间的弧长，用L表示。
圆的扇形是圆内部的一部分，由圆心、圆上两点和弧组成，用S表示。
圆的弧长公式如下：L = 2πr(θ/360°)其中，r是圆的半径，θ是圆心角的度数。
圆的扇形面积公式如下：S = 1/2πr(θ/360°)其中，r是圆的半径，θ是圆心角的度数。
四、圆的切线和切线长度公式圆的切线是与圆相切的直线。
圆的切线长度是从切点到圆心的距离，用l表示。
圆的切线长度公式如下：l = √(r-d)其中，r是圆的半径，d是切线与圆心的距离。
五、圆的切线与切线之间的关系两条切线相交于切点，形成一个外角和一个内角。
外角等于两条切线所夹圆心角的一半，内角等于180°减去外角。
六、圆的切线与切线之间的关系圆的两条切线和直径所组成的四边形是一个矩形。
矩形的对角线相等，切线长度相等，且直径是两条切线的中线。
七、圆的切线与切线之间的关系圆的两条切线所夹角等于两条切线所夹圆心角的一半。
八、圆的切线与切线之间的关系圆的两条切线所夹角等于圆心角的补角。
以上就是六年级圆的所有公式，希望能对学生们的学习有所帮助。
在学习过程中，要注意理解公式的含义和应用方法，多做练习，加深对圆的认识和理解。
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圆的切线与圆心角
圆是几何学中常见的形状，它具有许多有趣的性质和特点。
其中之
一就是圆的切线与圆心角的关系。
本文将探讨这一主题，详细介绍圆
的切线与圆心角的定义、性质以及相关定理。
一、定义与性质
1. 圆的切线定义：在圆上的两个点A、B之间的直线AB称为圆的
切线。
切线与圆的交点称为切点。
2. 圆心角定义：连接圆心与圆上一点所得的线段所对的角称为圆心角。
圆心角的度数等于所对弧的度数。
性质1：切线与半径垂直
在圆上的切线与过切点的半径垂直。
证明：设O为圆心，切点为A，连接OA，OB。
由于切线与半径相切，所以OA与切线的交角为90度。
性质2：切线与切线垂直
圆的两条切线若相交于圆上一点，则相交处的交角为90度。
证明：设切点为A、B，连接OA、OB，并延长AB相交于点C。
由性质1可知OA与切线L1垂直，OB与切线L2垂直。
所以OA⊥L1，OB⊥L2，所以L1⊥L2，即切线L1与切线L2相交于90度。
二、切线与圆心角定理
1. 见圆的切线与切点角定理 (Tangent-Chord Theorem)
定理1：在圆上，若一条切线和一条弦相交于同一切点，则切线与
切点弦所对的弧的圆心角相等。
证明：设切点为A，弦上的两个点为B、C，弧BC所对的圆心角
为θ。
连接OA，证明OA与切线的交角等于θ。
2. 见切线与切线的角定理 (Tangent-Tangent Angle Theorem)
定理2：在圆外一点，若有两条切线相交于该点，则它们的交角等
于两条切线所对的两个弧的和的一半。
证明：设圆心为O，切点为A、B，切线交点为C。
弧AB所对角
度为θ1，弧ACB所对的圆心角为θ2。
连接OA、OC，证明OA与CB
的交角等于(θ1+θ2)/2。
三、举例说明
例1：证明圆的切线与切点弦所对的弧的圆心角相等。
解：设切点为A，弦上的两个点为B、C，弧BC所对的圆心角为θ。
连接OA，证明OA与切线的交角等于θ。
证明：根据定理1，只需证明切点弦AC所对的圆心角等于θ即可。
由于切点弦AC与弧BC相交于切点A，根据定理1可知，切点弦
AC所对的圆心角等于弧BC所对的圆心角θ，得证。
例2：求圆心角
已知圆上弧AB对应的圆心角θ为30度，切点为C，求切线AC与圆心形成的角。
解：连接OC，设切线AC与圆心OC的交角为α。
根据定理1，切线与切点弦所对的圆心角相等，所以∠ACB = θ = 30度。
切点弦AB所对的圆心角等于圆心角θ，所以∠OAB = θ = 30度。
由于AO与切线AC是直角关系，所以∠ACO = 90度 - ∠OAB = 90度 - 30度 = 60度。
故切线AC与圆心形成的角α = ∠ACO = 60度。
四、总结
本文简要地介绍了圆的切线与圆心角的相关性质和定理，包括切线与半径垂直、切线与切线垂直以及切线与切点弦所对的弧的圆心角相等等。
通过定理的证明和例题的解答，可以更好地理解圆的切线与圆心角之间的关系。
研究圆的切线与圆心角的性质和定理不仅可以增进对圆形的理解，还有助于解决实际问题中与圆相关的几何计算。