清华大学微积分习题(有答案版)
第十二周习题课 一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式
（1） Jensen不等式：设)(xf为],[ba上的下凸函数，则
1),,,2,1),1,0(],,[1nkkkknkbax，有
2),(11nxfxfknkkknkk
（2） 广义AG不等式：记xxfln)(为),0(上的上凸函数，由Jesen不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01nkkkknkx，有
nkkkknkxxk11
当),2,1(1nknk
时，就是AG不等式。
（3） Young不等式：由（2）可得
设111,1,,0,qpqpyx，qypxyxqp11。
（4） Holder不等式：设111,1,),,,2,1(0,qpqpnkyxkk
，则有
qnkqkpnkpknkkkyxyx11111
在（3）中，令nkqknkpkpkpkyYxXYyyXxx11,,,即可。
（5） Schwarz不等式：211221121nkknkknkkkyxyx。 （6） Minkowski不等式：设1),,,2,1(0,pnkyxkk
，则有
pnkpkpnkpkpnkpkkyxyx111111 证明：nkpkkknkpkkknkpkkkknkpkkyxyyxxyxyxyx1111111 记111,11qpppq，由Holder不等式 qnkpqkkpnkpkqnkpqkkpnkpknkpkkyxyyxxyx11)1(1111)1(111
qnkpkkpnkpkpnkpkyxyx111111
即：pnkpkpnkpkpnkpkkyxyx111111。 2． 相应的积分不等式 （1） Schwarz积分不等式：],[,baRgf，则有
bababadxxgdxxfdxxgxf222)()()()(
（2） Holder积分不等式：],[,baRgf，111,1,qpqp，则有 qbaqpbapbadxxgdxxfdxxgxf11)()()()(
证明：n等分],[ba，由Holder不等式, qnkqkpnkpknkkkgfgf11111)()()()(
qnkpkpnkpknkkknabgnabfnabgf11111)()()()(
n,Riemann积分的定义，qbaqpbapbadxxgdxxfdxxgxf11)()()()(。
（3） Minkowski积分不等式：],[,baRgf，1p，则有 pbappbappbap
dxxgdxxfdxxgxf111)()()()(
证明：可以用Holder不等式证明。 （4） Young积分不等式：设),0[Cf严格单调增，)(,0)0(1xff为)(xf的反函数，则有 ),0,(,)()(010baabdxxfdxxfba
其中等号当且仅当baf)(是成立。（证明需要用到Riemann积分的定义）。 3． 用上述积分不等式证明另外的积分不等式 例.1 设函数],[baCf，Mxfm)(0，证明 222)(4)()(1)()(abmMMmdxxfdxxfabbaba
证明：用Schward不等式
bababababadxxfxfdxxfdxxfdxxfdxxf)(1)()(1)()(1)(
2
2
2)(ab
0)(])(][)([xfMxfmxf
故 MmxfmMxf)()( 积分：))(()()(abMmdxxfmMdxxfbaba。 AG不等式：babababadxxfdxxfmMdxxfmMdxxf)(1)(2)()(。 ))(()(1)(2abMmdxxfdxxfmMbaba，
22)(4)()(1)(abmMMmdxxfdxxfbaba
例.2 设函数0)0(],,[)1(fbaCf。证明：babadxxfabdxxf222)]([)(21)(。 证明：0)0(],,[)1(fbaCf，],[,)()(baxdttfxfxa 由Schward不等式，
baxaxabadttfaxdtdttfdttfxf2222)()()()()(
积分，babababadttfabdttfdxaxdxxf2222)(2)()()()(。 注1：上述不等式可以改进为bababadxaxxfdxxfabdxxf2222)])(([21)]([)(21)(。 证明：记xaxaxadttfdtattfdttfaxxF)()])(([21)]([)(21)(2222， 0)(aF，)()]([)()(22xfdttfaxxFxa，
0)(aF，)()(2)()()]([)(22xfxfxfaxdttfxFxa
0)]()([)()(2)]([)]([22xaxaxaxadttfxfdtxftfdtxfdttf
故0)(xF，即0)()])(([21)]([)(21)(2222bababadttfdtattfdttfabbF。 注2：若本题的条件改为0)()(bfaf，则有babadxxfabdxxf222)]([)(81)(。 证明：22222)]([)(81)(baabaadxxfabdxxf。在区间bba,2上，用类似的方法可得： bbabbadxxfabdxxf22222)]([)(81)(
，故
babadxxfabdxxf222)]([)(81)(
。
例.3 设函数],[baCf，0)(af，证明：dxxfabdxxfxfbaba2])([2)()(。 证明：xaxadttfdttfxf|)(|)(|)(|。记xadttfxg|)(|)(，则
dxxfabdxdxxfdxxfxgdxxgxgdxxfxfbababababababa2222)]([2)]([2
1
|)(|21)(21)()()()( 4． 其他证明题 例.4 设0)(xf，],[,0)(baxxf，求证：babxadxxfabxf)(2)(max。
证明：],[)(baCxf，故)(xf在],[ba上存在最大值0)(cf。 )()()(cfdttfxfxc，
)()()()()()()()(cfabdxdttfdxdttfcfabdxdttfdxxfbcxccaxcbaxcba
因为],[,0)(baxxf，)(xf单调下降，
)()()()()()()()()()()()()()()()()()()(cfabdxxfcfabdxxfafcabfcbcfabdxxfcxcfabdxdtxfdxdtxfdxxfbabababcxccaxcba
babxadxxfabxf)(2)(max
例.5 设0,ba，，且],[)(baCxf，0)(badxxxf，求证： babadxxfabdxxfx)()(
2
。
证明：xababxbxaxbax)(,0))((],,[2。 因为0)(xf，)()()()(2xxfabxfabx，两边在ba,上积分即可。
例.6 设)(xf在],[ba上二阶可导，02baf。证明
【清华】2013年大一下微积分A2期中样卷答案
14. 设 F (x) 2x esin(xy)dy ，则 F(x) x
答案： F (x) 2x y cos(xy)esin(xy)dy 2esin(2x2 ) esin x2 x
。
。 。 。
1 ey
11
e1
15. 交换积分次序： dy f (x, y)dx = dx f (x, y)dy dx f (x, y)dy 。
证毕。
2 . （ 8 分 ） 设 f (u) 是 连 续 函 数 ， 证 明 ：
D (x, y) x y 1 。
1
f (x y)d f (u)du ， 其 中
D
1
x y u
证：做变换
x
y
v
……………………………………………………………………..3 分
3. 设函数 f (u, v) 可微，函数 z z(x, y) 由方程 f (x y z, x2 y2 z2 ) 0 确定，则偏
导数 z x
。答案： fu 2xfv fu 2zf v
4. 函数 x 2 2 y 2 3z 2 在点 (1,1,1) 处函数值递增最快的方向为
x y z 0
7.
y
y(x), z z(x)
为由方程组 xຫໍສະໝຸດ 2y2
z2
1
确定的隐函数，
y
z
，则
dy
。答案： dy z x
dx
dx z y
8. 函数 f (x, y) x y 在点 (x, y) (1,1) 处带 Peano 余项的二阶 Taylor 展式为
清华大学微积分B1课程讲义及习题答案
(2) Z+. (思路: 当" ! 1, G¯" = {a1, a2, . . . , an, . . . }, 即当"足够大时, A的"邻域可包
含{a1, a2, . . . , an, . . . }, 此时G" = Z+. 注意等号的位置.)
证明: 令M=max{|a1 A|, |a2 A|, . . . , |an A|, . . . }, 8"M > M, G¯"M = {x|x 2
<
pp 2, 故 2是S的上界. p
8c < 2, 9x 2 (c, 2), x > c(满足定理1.2.3的第二个条件), 故supS= 2.
4. 若A,B为R中的非空有界集,则A[B与A\B也是有界集,并且 inf(A[B)=min{infA,infB}, sup(A[B)=max{supA,supB},
1.3.3 习题1.3解答
8
8
1.
设f (x)
=
<x + :0,
1,
1.2.2 定理1.2.3的证明
定理1.2.3 设E为非空集合, a, b为实数. 则有
(1) b=supE的充分必要条件是下列两个条件同时满足:
1 b是E的一个上界; 2 对于任意满足c < b的实数c, 9x 2 E, 使得x > c.
(2) b=infE的充分必要条件是下列两个条件同时满足:
1 a是E的一个下界; 2 对于任意满足c > a的实数c, 9x 2 E, 使得x < c.
微信: 18811708556 • 基础习题课的教学目标:
– 使同学掌握课程基本内容 – 使同学掌握常见问题的一般解法 – 使同学学会正确地书写解答过程 • 其他要求和说明:
清华大学微积分全
y
o
dFz
dF cos
k
1
dV
r2
z r
x
其中k为引力常数, r x2 y2 z2
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于是
Fz k
(x2
z y2
z2 )32 dV
k
2
d
0
d
0
h
cos
0
cos
3
2
s
ind
2kh0 sind
2kh(1 cos )
2020/5/11
*
a cos
a2 r2
2 d
rdr
dz
0
0
0
2 d
a cos
a2 r2 rdr 1 a3
2 (1 sin3 )d
0
0
30
1 ( 2)a3
32 3
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所 以V
4V1
4 (
32
2 )a3 315
[例2]设 球 体x2 y2 z2 2Rz上 任 一 点 ( x, y, z)处 的 密 度 等 于 该 点 到 坐标 原 点 距 离 的 平 方, 求 该 球 体 的 质 心.
( ex2 dx)2
即 ex2 dx
因为上述广义积分收敛，且被积函数为偶函 数，所以有
ex2 dx 2 e x2 dx
0
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7
于是，有
ex2 dx
0
2
令 u ax, 则 dx 1 du, 得 a
e a2x2 dx 1 e u2 du
作业 P125 习题4
10. 13.
P134 习题5
大学微积分-各章节习题-多元函数微积分习题答案
20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：1、解： (,)()f x y x y x y y +-=+[]1()()()2x y x y x y =++-- (,)()2x f x y x y ∴=- 2、解：22cos (,)1x e y f x y x y =++在点（1，0）连续 '221cos cos0lim 11102x x y oe y e e x y →→∴==++++ 3、解：原式=0000(2,)(,)lim 22h of x h y f x y h→+-⋅ 0000(,)(,)lim h o f x h y f x y h→--+- ='''0000002(,)(,)3(,)x x x f x y f x y f x y +=4、解：若(,)z f x y =可微，则,z z x y∂∂∂∂存在， 反之成立，故偏导数存在是可微必要条件5、解：()xy dz e ydx xdy =+在（1，1） '()dz e dx dy =+6、解：（1）2(,1)1()z x x x x ϕ=++=2()1x x x ϕ∴=--（2）222(,)1z x y x y y x x =++--（3）212z xy x x∂=+-∂ 7、解：22222200R x y x y r ⎧--≥⎪⎨+->⎪⎩ ∴定义域{}2222(,)R D x y r x y =<+< 8、解：'2'4,2x y f x a y f xy b =++=+又(1,1)0f =，'(1,1)0y f =即410a ++=，20b +=5,2a b ∴=-=-9、解：令222'1,2,x F x y z F x =++-=''2,2y z F y F z ==（2）z x x z ∂=-∂，z y y z ∂=-∂ （3）22231(0)z z xy z x x y z y z y x∂∂-∂=+==∂∂∂∂∂ 20XXXX 、解：方程两边全微分：2cos(23)(23)23x y z dx dy dz dx dy dz +-+-=+-(23)[2cos(23)1]0dx dy dz x y z +-+--=∴23dx dy dz +=,2123z x =,2223z y = 故22122z z x y += 20XXXX 、解：令'',,z z x z F e xyz F yz F e xy =-=-=-''2x z F z yz x F e xy∂=-=∂- 20XXXX 、解：（1）画出积分区域D（2）交换二次积分次序：原式＝I=2100(,)y dy f x y dx ⎰⎰20XXXX 、解：（1）画出积分区域D（2）选择积分次序：为了不分片先对y 分积分，后对x 积分原式＝221121()x dx x d y -⎰⎰=2211()1x x dx y x -⎰ 20XXXX、解：（1）画出积分区域D （2）为了不分片先对x 分积分，后对y 积分 原式＝2111222000(1)y dy y dx y y dy +=+⎰⎰⎰ ＝11530011118535315y y +=+=⎰⎰ 20XXXX 、解：（1）画出12D D D += 1:01,02D y x y ≤≤≤≤ 2:13,03D y x y ≤≤≤≤-（2）交换积分次序I ＝()2302x x dx f x y dy -⋅⋅⎰⎰ 20XXXX 、解：（1）画出积分域D（2）交换积分次序I ＝21120sin sin y y o y y y dy dx x dy y y y=⋅⎰⎰⎰ ＝110sin cos o dy dy y +=⎰⎰ 111cos cos sin 000y y y y -+-1sin1=-20XXXX 、解：（1）画出积分区域D（2）改用极坐标定限，计算2cos 3204cos sin r r I d rdr rπθπθθθ=⎰⎰ 22cos 204sin cos 2r d πθπθθθ=⋅⎰324sin cos 2d ππθθθ=⋅⎰3242cos cos d ππθθ=-⎰ 42411cos 28ππθ=-= 20XXXX 、解：（1）画出12D D D +=（2）改用极坐标定限，计算2204R r I d e rdr ππθ-=⋅⎰⎰ 201242rR e ππ-⎛⎫⎛⎫=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22111428R R e e ππ--=⋅-=- 20XXXX 、解：（1）化为无条件极值 22()z x z x =+-一元函数的极值（2）'22(2)0x z x x =--=， 440,1x x -==''40xx z =>极小值221(21)2z =+-= 注：22'(2),20,x F x y x y F x λλ=+++-=+= '20y F y x y λ=+=→=代入约束条件2x y +=得驻点1,1x y ==。
清华大学微积分A习题课_11高阶线性微分方程以及一阶线性微分方程组
( y*) ( Ax 2 e 2 x ) ( Ax 2 )e 2 x Ax 2 (e 2 x ) 2 A( x x 2 )e 2 x ( y*) [2 A( x x 2 )e 2 x ] [2 A( x x 2 )]e 2 x 2 A( x x 2 )(e 2 x ) 2 A(1 2 x)e 2 x 4 A( x x 2 )e 2 x 2 A(1 4 x 2 x 2 )e 2 x
特征根为： 1 1， 2， 3 1 i . 所以其实基本解组为：
e t , e t cos t , e t sin t ，
t t
原方程的通解为： y C1e C 2 e （4）求 y' '
cos t C 3 e t sin t .
x 1 y' y 0 的通解。 1 x 1 x
'' ' t 2t
（3）求解方程 x 4 x 4 x e e
2
1
解：特征方程 4 4 0 ， 1, 2 2 ， 故有基本解组 e ， te ， 对于方程 x 4 x 4 x e ，因为 1 不是特征根，故有形如 x1 (t ) Ae 的特解，
作者：闫浩, 章纪民
2013 年 9 月
微积分 A(1)第十一次习题课参考答案（第十六周）
教学目的:本次习题课练习的是高阶线性微分方程以及一阶线性微分方程组。希望大家掌握 的是齐次线性微分方程的特征根法；对特殊的非齐次项需要掌握待定系数法，特殊方程应 掌握欧拉方程。对于二阶微分方程，当知道一个特解时，应会变动常数法求通解；线性微 分方程组应会基解矩阵的求法。除此之外，应掌握解的结构问题。本次习题课也是本学期 最后一次习题课。 一、高阶线形微分方程 1.求解下列方程. （1） x 5 x 8 x 4 x 0 解：其特征方程为：
清华大学习题课资料(微分方程)(含答案)
第十四周习题课例.1 求微分方程221xy y x y +++='的通解。
解：题给方程为可分离变量微分方程x x yyd )1(1d 2+=+ 上式两端积分得c x x x x y y y ++=+==+⎰⎰2)d 1(arctan 1d 22即 c x x y ++=2a r c ta n 2其中c 为任意常数．例.2 求微分方程'++=y xyx 2402满足y ()01=的特解． 解： 题给方程为可分离变量 x x x y y d 42d 2+-= 上式两端积分得⎰⎰+-==x x xy y y d 42ln d 2c x x x ~ln )4ln()4d(41222++-=++-=⎰即42+=x cy其中cc ~±=为任意常数，将1)0(=y 代入上式，得4=c ， 满足初始条件的特解为 442+=x y例.3 解方程：0cot tan =-xdy ydx解： ,2,1,0,2,±±=+==k k x k y πππ是原方程的常数解，当2,πππ+≠≠k x k y 时，原方程可化为：0cos sin sin cos =-dx xxdy y y ， 积分得原方程的通解为：C x y =cos sin .例.4 y x '=y y x +-22解：当0>x 时，原方程可化为：x yxy y +-='221，令ux y =整理得：xdxu du =-21， 积分得：Cx u ln arcsin =，将ux y =代入，原方程的通解为：)sin(ln Cx x y =. 当0<x 时，原方程可化为：xyx y y +--='221，（后略）例.5 yy x ey '='解：原方程可化为：1)(ln -''=y y x y ，令p y ='得1)(ln -=p xp y ，两边对x 求导，并以p 代替y '，整理得0)ln )(ln 1(=--p p dxdpxp . 从0ln 1=-p 得e p =，代如1)(ln -=p xp y 可得原方程的一个特解：ex y =，从0ln =-p p dxdpx解的Cx e p =，代如1)(ln -=p xp y 可得原方程的通解： Cxe Cy 1=例.6 02=+'-'y y x y解：原方程可化为：2y y x y '-'=，令p y ='得2p xp y -=，两边对x 求导，并以p 代替y '，整理得0)2(=-dxdpp x . 从02=-p x 得x p 21=，代入2p xp y -=可得原方程的一个特解： 241x y =，从0=dxdp解的C p =，代如2p xp y -=可得原方程的通解： 2C Cx y -=.例.7 122='+y x解： 令t y cos ='，则t x sin =， 利用dx y dy '=得： tdt dy 2cos =， 积分得： C t t y ++=2sin 4121， 将x t arcsin =代入得原方程的通解： C x x x y +-+=)1(arcsin 212.例.8 设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy=+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ．证明： 设)(x y y =是方程任一解，满足00)(y x y =，该解的表达式为00e d e )(e )()(0x x x x x s x x s sf y x y ---⎰+=取极限0e d e )(limelim)(lim 000)(0=+=--+∞→-+∞→+∞→⎰x x x x x s x x x x x s s f y x y（L ’Hospitial 法则）例.9 设)(x f 满足1)()(0=⎰xdt t f x f ，求)(x f 的表达式。
清华大学微积分习题课(Stolz定理、数列极限、函数极限)
（ ）求极限 ． 4
lim
x→0
2 1
+ +
1
ex
4
ex
+
sin x
x
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2/3
3．求下列极限
（ ）求 ．1
1
lim(1 + sin x)2x
x→0
（ ） ． x2 −1x2
3
lim
x→∞
x2
+
1
4．求下列极限
（ ）求 2
lim(sin 1 + cos 1 )x .
x→∞
f (x) g(x)
τ = Tf ∈Q
f (x) g(x)
x→∞
Tg
什么关系？
．证明：若 ，且 ≤ ，则 11
f (x) = a1 sin x + a2 sin 2x + ⋯ + an sin nx
| f (x) | | sin x |
≤ ． a1 + 2a2 + ⋯ + nan 1
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．已知 ，求证： ． 1
lim
n→∞
an
=
+∞
lim a1 + a2 + ⋯ + an = +∞
n→∞
n
．已知数列 单调，且 ，证明： ． 2
{an }
lim a1 + a2 + ⋯ + an = A
n→∞
n
lim
n→∞
an
=
A
3．证明：数列
{an
}
没有收敛子列等价于
lim
n→∞
清华大学多元微积分期中考题(A)
2010级多元微积分期中考题（A ）系名 班级 姓名 学号一．填空题（每空3分，共15空）（请将答案直接填写在横线上！）1. 将定义在区间),0(π上的函数xe 展成周期为π2的正弦级数，记)(x S 为级数的和函数，则=)0(S 。
2. =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→+∞→y x x y x x x 21lim 0 。
3. 设),(y x y x f z -+=，其中)1(Cf ∈，则=dz 。
4. 设y x z =，则=∂∂∂yx z 2 。
5. 方程e e y z xy yz =++ln 在)1,1,0(点附近确定隐函数),(y x z z =，则=∂∂xz 。
6. 设)(),(x z z x y y ==为由方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++10222222c z b y ax z y x 确定的隐函数，z b y c 22≠，则 =dxdy 。
7. 函数32z y x ++在点)1,1,1(处沿方向⎪⎭⎫ ⎝⎛0,53,54的方向导数为 。
8. 函数22y x +在点)2,1(处函数值增大最快的方向为 。
9. 设⎩⎨⎧==θϕθϕsin cos cos cos y x ，则它的Jacobi 矩阵的行列式 =∂∂),(),(det θϕy x 。
10. 参数曲面v u z uv y v u x sin ,,==+=在)0,1(),(=v u 处的切平面方程为 。
11. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==++222226yx z z y x 在点)2,1,1(-处的切线方程为 。
12. 曲面 2132222=++z y x 在点)2,2,1(-处的法线方程为 。
13. 曲面x y z arctan =在点⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1,1π处的单位法向量为 。
14. M 是曲线32,,t z t y t x ===上的一点，此点处切线平行于平面42=++z y x ，则M点的坐标为 。
15. 函数)cos (sin ),(y y e y x f x +=在)0,0(点的带有Peano 余项的二阶Taylor 公式为 。
清华大学微积分(数列极限的运算、存在性判断、柯西准则)题目
lim
n→∞
an
=
A
lim
n→∞
bn
=
B
lim a1bn + a2bn−1 + ⋯ + anb1 = AB
n→∞
n
．设极限 存在，证明 ． 2
lim
n→∞
(a1
+
a2
+⋯
+
an
)
=
a
lim a1 + 2a2 + ⋯ + nan = 0
n→∞
n
3．设θ ≠ kπ ，证明数列{sin nθ}发散．
三、实数理论（柯西收敛准则，Bolzano 定理，区间套，有限覆盖）
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3．下列哪些命题与柯西准则等价，证明你的结论或举出反例．
（ ）对于任意的 ，均有 ． 1
p ∈ ℕ*
lni→m∞(an+ p − an ) = 0
（ ） ， ，只要 ，就有 ． 2 ∀ε > 0 ∃N ∈ℕ*
n>N
| an − aN |< ε
（ ） ， 以及 ，只要 ，就有 ． 3 ∀ε > 0 ∃Nε ∈ℕ*
Aε ∈ ℝ
n > Nε
| an − Aε |< ε
．证明：有界数列 若不收敛，则必存在两个子列 ， ，使得 4
{an }
{ank } {amk }
lim
k →∞
ank
= a,
lim
k →∞
amk
=b
且a≠b．
5．（1）利用 Cauchy 收敛准则证明单调有界数列收敛；
（2）利用区间套定理证明单调有界数列收敛．
清华大学微积分A习题课_9广义积分的敛散性
（7）
∫
1
0
1 ln x ln x ln x 2 dx dx dx = + 1 ∫ ∫ 2 2 0 x (1 − x) x (1 − x) x (1 − x) 2 2
1
x → 1− ，
1 1 ln x ln x ln x 1 dx 发散，故 ∫ dx 发散。 ~− ， ∫1 2 2 0 1− x x (1 − x) x (1 − x) x (1 − x) 2 2
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作者：闫浩, 章纪民
2012 年 9 月
(4)
∫
+∞
0
1 +∞ 1 1 1 1 1 1 ln1 + x − 1 + x dx = ∫0 ln1 + x − 1 + x dx + ∫1 ln1 + x − 1 + x dx
故
∫
0
1 1 ln1 + x − 1 + x dx 收敛。
π dx dx dx 4 =∫ + ∫π2 p p q p q 0 sin x cos x sin x cos x 4 sin x cos q x
(5)
∫
π 2 0
π
dx 1 1 ∽ p ，当 p < 1 时， ∫ 4 收敛； x →0， p p q 0 sin x cos q x sin x cos x x
0
1 sin t
2
dt = ∫ 2
0
π
1 sin x
dx ，收敛.
(3)
+ ∞ arctan x 1 arctan x arctan x dx + ∫ dx = ∫ dx p p 0 1 0 x xp x arctan x 1 与 p −1 等价（ x → 0 ） ， 对第一个积分， p x x