初一数学压轴题
初一数学压轴题杨辉三角
初一数学压轴题杨辉三角一、在杨辉三角中，若某一行的第二个数是15，则这一行的所有数字之和为？A. 64B. 128C. 256D. 512（答案）C二、杨辉三角的第n行（n≥2）中，除了两端的数字外，每个数字都等于它上方两个数字之和。
若第8行的中间数字为m，则m的值是？A. 28B. 42C. 56D. 70（答案）A三、在杨辉三角中，某一行的数字依次是1，x，y，z，1，其中y是这一行的最大数字，那么x+y+z的值是？A. 18B. 22C. 24D. 28（答案）B四、杨辉三角的第n行（n为奇数）所有数字之和为2的n-1次方，那么第9行的中间数字是？A. 32B. 36C. 72D. 128（答案）B五、在杨辉三角中，若某一行的数字和为1024，则这一行共有多少个数字？A. 10B. 11C. 12D. 13（答案）B六、杨辉三角的第n行数字之和等于(1+1)的n-1次方，若第k行的数字和为64，则第k+1行的第二个数字是？A. 5B. 6C. 7D. 8（答案）B七、在杨辉三角中，某一行的数字从左到右依次是a，b，c，d，e，其中c是这一行的最大数字，那么a+b+c+d+e的值可能是？A. 30B. 32C. 62D. 64（答案）D八、杨辉三角的第n行（n≥3）中，若中间的数字是m，且m=C(n, k)（其中C(n, k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数），则k的值是？A. n/2B. (n-1)/2C. n/2+1D. (n+1)/2（答案）B（注：此题假设n为偶数，若n为奇数，则中间数字对应的k值为(n+1)/2，但根据题目要求，我们选择了更一般且适用于偶数n的选项B作为“可能”的答案，实际情况下需根据n的奇偶性判断）。
初中试卷初一数学压轴题
题目：小明家住在某城市的一个小区，小区内的道路布局呈一个正方形网格，每个网格的边长为10米。
小明从家出发，要前往位于小区对角线另一端的朋友家。
已知小明家距离对角线最近的一个拐角点为20米，小明每分钟可以行走60米。
请回答以下问题：（1）小明家距离对角线另一端的朋友家有多远？（2）小明从家出发，到达朋友家需要多少时间？（3）如果小明选择沿着对角线直行，他需要走多少个网格才能到达朋友家？（4）假设小明在行走过程中，每经过一个拐角点都会休息1分钟，请问小明至少需要休息几次才能到达朋友家？（5）小明在行走过程中，如果遇到障碍物需要绕行，每次绕行会增加5分钟的时间。
如果小明遇到两次障碍物，请问他到达朋友家的时间会延长多少？解答：（1）首先，我们需要计算小明家距离对角线另一端的朋友家的直线距离。
由于小区的道路布局呈正方形网格，我们可以将问题转化为计算正方形对角线的长度。
正方形的对角线长度可以通过勾股定理计算，即对角线长度等于边长的平方根乘以2。
所以，对角线长度为：\[ \text{对角线长度} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\text{米} \]由于小明家距离对角线最近的一个拐角点为20米，所以小明家距离对角线另一端的朋友家的距离为：\[ \text{距离} = 10\sqrt{2} - 20 \text{米} \]（2）小明每分钟行走60米，所以到达朋友家所需的时间为：\[ \text{时间} = \frac{\text{距离}}{\text{速度}} = \frac{10\sqrt{2} - 20}{60} \text{分钟} \]（3）沿着对角线直行，小明需要走的网格数为对角线长度除以网格边长：\[ \text{网格数} = \frac{10\sqrt{2}}{10} = \sqrt{2} \text{个网格} \]由于网格数不能为分数，所以小明需要走整数个网格，即向上取整，所以他需要走3个网格才能到达朋友家。
数学初一超难压轴题
数学初一超难压轴题一、若a、b、c为实数，且a = x2 - 2y + π/2, b = y2 - 2z + π/3, c = z2 - 2x + π/6，则下列说法正确的是？A. a、b、c都大于0B. a、b、c中至少有一个大于0C. a、b、c都小于0D. a、b、c中至多有一个大于0（答案：B）二、甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜两局者赢得比赛。
若甲在每局比赛中获胜的概率均为2/3，乙在每局比赛中获胜的概率均为1/3，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得比赛胜利时，比赛进行的局数X的期望是？A. 2B. 5/2C. 8/3D. 3（答案：C）三、已知关于x的方程x2 + 2(k - 1)x + k2 - 1 = 0有两个实数根x1和x2。
若x1和x2满足0 < x1 < 1 < x2 < 2，则实数k的取值范围是？A. -1 < k < 0B. 0 < k < 1C. 1 < k < 2D. 2 < k < 3（答案：A）四、已知线段AB的长度为1，点C为线段AB的黄金分割点（AC > BC），则AC的长度为？A. (√5 - 1)/2B. (3 - √5)/2C. (√5 + 1)/2D. (3 + √5)/2（答案：A）五、在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，AE⊥BD交BD的延长线于点E。
若BD=2，则△ADE的周长为？A. 2 + √2B. 4C. 4 + √2D. 4 + 2√2（答案：C）六、已知多项式x2 + ax + b与2x2 - 3x + 1的乘积不含x的一次项，也不含x的三次项，则a、b的值为？A. a = -3, b = 2B. a = 3, b = -2C. a = -3, b = -2D. a = 3, b = 2（答案：D）七、已知a、b、c为非负实数，且满足3a + 2b + c = 4，2a + b + 3c = 5。
数学初一压轴题及解法
数学初一压轴题及解法摘要：一、引言1.介绍数学初一的重要性2.说明压轴题的概念及作用二、初一压轴题类型及解题技巧1.选择题解题技巧2.填空题解题技巧3.解答题解题技巧三、初一压轴题实例分析1.选择题实例解析2.填空题实例解析3.解答题实例解析四、总结与建议1.概括初一压轴题的特点2.提出针对性的解题建议3.强调数学学习的方法和态度正文：一、引言数学作为基础学科之一，在学生的整个学习阶段都具有举足轻重的地位。
尤其是在初中阶段，数学的学习将直接影响到学生未来在高中以及大学的学习。
压轴题作为数学考试的重要组成部分，能够检验学生对知识的掌握程度和解题能力。
因此，如何应对初一数学压轴题，成为了许多学生和家长关心的问题。
二、初一压轴题类型及解题技巧1.选择题解题技巧选择题是初一数学压轴题的主要类型之一。
在解选择题时，首先要认真阅读题目，理解题意。
其次，要对选项进行仔细分析，排除错误选项。
最后，要根据相关知识点进行判断，选择正确答案。
2.填空题解题技巧填空题是初一数学压轴题的另一种类型。
解填空题时，需要注意题目中的提示信息，根据已知条件进行推理。
同时，要确保答案的准确性，避免出现计算错误。
3.解答题解题技巧解答题作为初一数学压轴题的重要组成部分，通常涉及多个知识点的综合运用。
在解解答题时，要注重分析题目，提取关键信息。
然后，根据题目要求，分步骤进行解答，注意保持解答过程的简洁性和逻辑性。
最后，要进行答案的核对，确保解答正确。
三、初一压轴题实例分析1.选择题实例解析例题：若a、b、c 是等差数列的三项，则下列选项中正确的是（）A.a+b=cB.a+c=2bC.b+c=2aD.a+b+c=3b解析：根据等差数列的性质，我们可以知道选项B 是正确的，即a+c=2b。
2.填空题实例解析例题：已知平行四边形ABCD 中，AB=4，BC=6，求AC 的长度。
解析：根据平行四边形的性质，我们可以知道AB=CD，BC=AD。
初一数学上册压轴题100题
初一数学上册压轴题100题 1. 某班有 50 名学生，在一次数学考试中，平均分为 80 分，其中 20 名女生的平均分为 75 分，求男生的平均分。 2. 小明买了 5 个苹果和 3 个梨共花费 21 元，已知苹果每个 3 元，求梨每个多少钱？ 3. 某工厂要生产一批零件，原计划每天生产 80 个，15 天完成。实际每天多生产 20 个，实际需要多少天完成？ 4. 甲、乙两地相距 300 千米，一辆汽车从甲地开往乙地，已经行驶了 120 千米，剩下的路程平均每小时行驶 60 千米，还需要几小时到达？ 5. 一本书共有 240 页，小明第一天看了全书的 1/4，第二天看了全书的 1/3，还剩下多少页没看？ 6. 某服装店进了一批衣服，进价为每件 100 元，按进价提高 50%后标价，又以八折优惠卖出，每件衣服的利润是多少？ 7. 一个长方形的周长是 48 厘米，长是宽的 3 倍，求这个长方形的面积。 8. 某学校组织学生去春游，如果租用 45 座的客车，则有 15 人没有座位；如果租用 60 座的客车，则恰好空出一辆车，问有多少学生去春游？ 9. 小明用 100 元钱买了 8 支钢笔和 14 本笔记本，钢笔每支 8 元，笔记本每本多少钱？ 10. 一项工程，甲单独做 10 天完成，乙单独做 15 天完成，两人合作几天完成？ 11. 一桶油，第一次用去 1/4，第二次用去 1/5，还剩下 11 升，这桶油原来有多少升？ 12. 一个数的 20%比它的 1/3 少 6，这个数是多少？ 13. 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，甲车每小时行 60 千米，乙车每小时行 80 千米，经过 3 小时两车相遇，A、B 两地相距多少千米？ 14. 某商场将一款空调按标价的八折出售，仍可获利 10%，若该空调的进价为 2000 元，求标价是多少？ 15. 一个直角三角形的两条直角边分别为 6 厘米和 8 厘米，求斜边的长度。 16. 小明家离学校 1200 米，他每天步行上学，速度为每分钟 80 米，需要多长时间到达学校？ 17. 一个圆柱形水桶，底面半径为 10 厘米，高为 20 厘米，求这个水桶的容积。（π取 3.14） 18. 某车间生产一批零件，原计划每天生产 60 个，12 天完成，实际每天多生产 12 个，提前几天完成？ 19. 一套衣服原价 500 元，现在打八折出售，现在买这套衣服比原来便宜多少钱？ 20. 学校图书馆有科技书 240 本，比故事书多 1/3，故事书有多少本？ 21. 修一条长 800 米的路，已经修了 300 米，剩下的要在 5 天内修完，平均每天修多少米？ 22. 一个圆锥形沙堆，底面半径是 3 米，高是 2 米，每立方米沙重 1.8 吨，这堆沙重多少吨？ 23. 甲、乙两艘轮船同时从相距 240 千米的两个港口相对开出，经过 4 小时相遇，甲船每小时行 35 千米，乙船每小时行多少千米？ 24. 一种商品，原价 80 元，现在降价 20 元，降价了百分之几？ 25. 某工厂有工人 280 人，其中男工人数是女工人数的 3 倍，求男、女工各有多少人？ 26. 一块长方形菜地，长 60 米，宽 40 米，在这块菜地中间挖一个边长为 20 米的正方形水池，这块菜地的实际面积是多少平方米？ 27. 一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的 1/4，第二小时行了全程的 1/3，这时离乙地还有 100 千米，甲乙两地相距多少千米？ 28. 小明读一本书，第一天读了全书的 20%，第二天读了 24 页，两天共读了全书的 44%，这本书共有多少页？ 29. 一个长方体的棱长总和是 80 厘米，长、宽、高的比是 5:3:2，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 30. 商店运来一批水果，苹果有 120 千克，梨比苹果多 1/4，梨有多少千克？ 31. 一项工作，甲单独做 8 小时完成，乙单独做 10 小时完成，甲乙合作 3 小时后，剩下的由甲单独完成，还需要几小时？ 32. 用一根长 96 厘米的铁丝围成一个正方体框架，这个正方体的表面积是多少平方厘米？ 33. 某村今年植树 800 棵，比去年多植 25%，去年植树多少棵？ 34. 一个圆形花坛的周长是 31.4 米，在花坛周围修一条宽 1 米的水泥路，水泥路的面积是多少平方米？（π取 3.14） 35. 六年级有学生 180 人，男生人数是女生人数的 2/3，男、女生各有多少人？ 36. 某工厂计划生产 5000 个零件，已经生产了 3000 个，还剩下百分之几没有生产？ 37. 一辆汽车 3 小时行驶 180 千米，照这样的速度，5 小时行驶多少千米？ 38. 把一个棱长为 6 分米的正方体铁块熔铸成一个底面积为 36 平方分米的长方体铁块，这个长方体铁块的高是多少分米？ 39. 学校买了 8 个篮球和 10 个足球，共花费 1200 元，篮球每个 80 元，足球每个多少钱？ 40. 一条公路，已经修了 40%，再修 300 米就能修完一半，这条公路长多少米？ 41. 一个等腰三角形的顶角是 80°，求它的一个底角的度数。 42. 某商品按 20%的利润定价，然后按八八折卖出，共获利润 84 元，这件商品的成本是多少元？ 43. 一个长方体的水箱，从里面量长 40 厘米，宽 30 厘米，深 35 厘米，箱中水面高 10 厘米，放进一块棱长 20 厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面，这时水面高多少厘米？ 44. 一本书，第一天看了全书的 1/5，第二天看了 60 页，两天看的页数与全书总页数的比是 1:4，这本书共有多少页？ 45. 甲乙两地相距 480 千米，一辆客车和一辆货车同时从两地相对开出，经过 4 小时相遇，客车的速度是货车的 1.5 倍，客车和货车的速度分别是多少？ 46. 有浓度为 25%的盐水 80 克，要使盐水的浓度提高到 40%，需要加盐多少克？ 47. 一个圆柱的侧面积是 188.4 平方分米，底面半径是 3 分米，它的高是多少分米？ 48. 一批零件，甲单独做 12 小时完成，乙单独做 15 小时完成，两人合作，完成任务时甲比乙多做 20 个零件，这批零件共有多少个？ 49. 把一个底面直径为 8 厘米，高为 10 厘米的圆柱形铁块，熔铸成一个底面半径为 10 厘米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 50. 学校举行数学竞赛，共 20 道题，做对一题得 5 分，做错或不做一题倒扣 2 分，小明得了 79 分，他做对了几道题？ 51. 一个长方体玻璃缸，从里面量长 5 分米，宽 3 分米，现有水的深度是 1.5 分米，当把一个石块浸没在水中时，水的深度为 2 分米，问这个石块的体积是多少立方分米？ 52. 修一条路，已修的和未修的长度比是 3:5，如果再修 12 千米，则已修和未修的长度比为 9:11，这条路全长多少千米？ 53. 某商店同时卖出两件商品，每件各得 30 元，其中一件盈利 20%，另一件亏本 20%，这个商店卖出这两件商品总体上是盈利还是亏本？具体是多少？ 54. 一个圆柱形容器的底面直径是 10 厘米，把一块铁块放入这个容器后，水面上升了 2 厘米，这块铁块的体积是多少？（π取 3.14） 55. 一辆汽车从甲地到乙地，去时每小时行 60 千米，返回时每小时行 50 千米，往返的平均速度是多少？ 56. 甲、乙、丙三人合作加工一批零件，甲加工的零件数是乙、丙两人加工零件总数的 1/2，乙加工的零件数是甲、丙两人加工零件总数的 1/3，丙加工了 60 个零件，这批零件共有多少个？ 57. 有一堆煤，第一天运走了这堆煤的 1/4，第二天运走了第一天的 2/3，还剩下 120 吨，这堆煤有多少吨？ 58. 一个圆锥形麦堆，底面周长是 18.84 米，高是 2 米，如果每立方米小麦重 750 千克，这堆小麦重多少千克？ 59. 某工厂五月份计划生产一批零件，上半月完成了计划的 5/8，下半月完成了计划的 3/4，结果超额完成了 360 个零件，五月份计划生产零件多少个？ 60. 一套西服原价 800 元，现在打七五折出售，现在买这套西服比原来便宜多少钱？ 61. 把一个底面半径为 4 厘米，高为 6 厘米的圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是多少立方厘米？ 62. 小明家到学校的距离是 1200 米，他上学时走了 15 分钟，放学回家时走了 10 分钟，他往返的平均速度是多少米/分钟？ 63. 甲、乙两个仓库共存粮 180 吨，从甲仓库运走 20%，从乙仓库运走 1/3，这时两个仓库剩下的粮食相等，甲、乙两个仓库原来各存粮多少吨？ 64. 一个长方体的长、宽、高分别是 8 厘米、6 厘米、4 厘米，把它切成两个完全一样的长方体，表面积最多增加多少平方厘米？ 65. 某班有 45 名学生，其中男生人数比女生人数的 2 倍少 9 人，求男、女生各有多少人？ 66. 修一条水渠，已经修了全长的 3/5 还多 100 米，还剩下 620 米没有修，这条水渠全长多少米？ 67. 一辆自行车的车轮半径是 30 厘米，车轮每分钟转 100 圈，要通过一条长 1884 米的桥，需要几分钟？ 68. 一个正方体的棱长总和是 96 分米，它的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？ 69. 学校买了 4 个篮球和 6 个排球，共花费 480 元，篮球每个 60 元，排球每个多少元？ 70. 某工厂生产一种产品，原来每件成本是 120 元，技术革新后，每件成本降低到 100 元，每件成本降低了百分之几？ 71. 甲、乙两人从相距 500 米的 A、B 两地同时出发，相向而行，甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 40 米，几分钟后两人相遇？ 72. 一个圆柱的体积是 125.6 立方厘米，底面半径是 2 厘米，它的高是多少厘米？ 73. 一块长方形草地的周长是 120 米，长与宽的比是 3:2，这块草地的面积是多少平方米？ 74. 商店卖出两件衣服，每件都卖 60 元，其中一件赚 20%，另一件亏 20%，商店卖出这两件衣服是赚还是亏？赚或亏了多少元？ 75. 把一个棱长为 10 厘米的正方体铁块放入一个长方体水箱中（水箱足够高），水面上升了 2 厘米，这个长方体水箱的底面积是多少平方厘米？ 76. 修一条公路，第一周修了全长的 1/5，第二周修了全长的 1/4，还剩下 990 米没修，这条公路全长多少米？ 77. 一个圆锥的底面直径是 8 分米，高是 6 分米，它的体积是多少立方分米？ 78. 小明在银行存了 500 元，定期两年，年利率是 2.25%，到期时他能取回多少钱？（不计利息税） 79. 一辆汽车 2/3 小时行驶 40 千米，照这样的速度，从甲地到乙地行驶了 5 小时，甲乙两地相距多少千米？ 80. 一个长方体的盒子，长 10 厘米，宽 8 厘米，高 6 厘米，在它的四周贴上商标纸（上、下面不贴），这张商标纸的面积至少是多少平方厘米？ 81. 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，甲车每小时行 70 千米，乙车每小时行 80 千米，3 小时后两车相距 60 千米，A、B 两地相距多少千米？ 82. 一个圆柱形水桶，底面直径是 4 分米，高是 5 分米，这个水桶能装多少升水？（π取 3.14） 83. 某班有男生 25 人，比女生多 5 人，女生人数是男生人数的百分之几？ 84. 学校举行绘画比赛，设一、二、三等奖若干名，其中获一、二等奖的人数占获奖总人数的 3/8，获二、三等奖的人数占获奖总人数的 7/8，获二等奖的人数占获奖总人数的几分之几？ 85. 把一个底面周长为 18.84 厘米，高为 5 厘米的圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是多少？ 86. 一个长方体游泳池，长 50 米，宽 25 米，深 2 米，要在游泳池的四壁和底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ 87. 一辆汽车从甲地开往乙地，前 2 小时行驶了 120 千米，照这样的速度，到达乙地还需要 3 小时，甲乙两地相距多少千米？ 88. 一个圆锥的体积是 76 立方厘米，底面积是 19 平方厘米，这个圆锥的高是多少厘米？ 89. 某商场搞促销活动，所有商品一律八折出售，一件衣服原价 200 元，现在的价格是多少元？ 90. 一块三角形菜地，底是 18 米，高是 12 米，共收青菜 720 千克，平均每平方米收青
七年级下册数学期末复习压轴题 解答题试题及答案解答
七年级下册数学期末复习压轴题解答题试题及答案解答1.如图，AB∥CD，点E、F在直线AB上，G在直线CD 上，且∠EGF＝90°，∠BFG＝140°，求∠XXX的度数．解：由XXX，得∠XXX∠CGE，又∠BFG＝140°，所以∠CGE＝140°．2.已知x＋$\frac{1}{x}$＝$\frac{2}{3}$，求值；解：将x＋$\frac{1}{x}$＝$\frac{2}{3}$两边同时乘以x，得x²＋1＝$\frac{2}{3}$x，移项化简得3x²－2x－3＝0，解得x＝1或x＝－$\frac{3}{2}$，所以所求值为1或－$\frac{3}{2}$．3.已知关于x、y的二元一次方程组begin{cases} 2x+y=k\\ x+2y=-1 \end{cases}$的解互为相反数，求k的值。
解：设x＝－a，y＝a，代入方程组得begin{cases} -2a+y=k\\ x-2a=-1 \end{cases}$解得a＝$\frac{1}{3}$，y＝－$\frac{1}{3}$，k＝$\frac{4}{3}$．4.分解因式：1) x²－2xy＋xy＝x²－xy；2) 9x²－6x(y＋1)＋(y＋1)＝(3x－1)(3x－y－1)；3) m²(m－1)＋4(1－m)＝－(m－2)²．5.某口罩加工厂有A,B两组工人共150人，A组工人每人每小时可加工口罩70只，B组工人每小时可加工口罩50只，A,B两组工人每小时一共可加工口罩9300只。
1）求A、B两组工人各有多少人？2）由于疫情加重，A、B两组工人均提高了工作效率，一名A组工人和一名B组工人每小时共可生产口罩200只，若A、B两组工人每小时至少加工只口罩，那么A组工人每人每小时至少加工多少只口罩？解：（1）设A组工人有x人，B组工人有150－x人，则70x＋50(150－x)＝9300解得x＝90，150－x＝60，所以A组工人有90人，B组工人有60人．2）设A组工人每人每小时可加工a只口罩，B组工人每人每小时可加工b只口罩，则a＋b＝20070a＋50b≥解得a≥100，所以A组工人每人每小时至少加工100只口罩．6.已知下列等式：①32－12＝8。
初一数学压轴题
一．解答题共19小题1．2013扬州如果10b=n,那么b为n的劳格数,记为b=dn,由定义可知：10b=n与b=dn 所表示的b、n两个量之间的同一关系．1根据劳格数的定义,填空：d10= ,d10﹣2= ；2劳格数有如下运算性质：若m、n为正数,则dmn=dm+dn,d=dm﹣dn．根据运算性质,填空：= a为正数,若d2=,则d4= ,d5= ,d= ；3如表中与数x对应的劳格数dx有且只有两个是错误的,请找出错误的劳格数,说明理由并改正．x 3 5 6 8 9 12 27dx 3a﹣b+c 2a﹣b a+c 1+a﹣b﹣c 3﹣3a﹣3c 4a﹣2b 3﹣b﹣2c 6a﹣3b 2．2012安庆一模先阅读下列材料,再解答后面的问题．一般地,若a n=ba＞0且a≠1,b＞0,则n叫做以a为底b的对数,记为log a b即log a b=n．如34=81,则4叫做以3为底81的对数,记为log381即log381=4．1计算以下各对数的值：log24= ,log216= ,log264= ．2观察1中三数4、16、64之间满足怎样的关系式,log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；3猜想一般性的结论：log a M+log a N= a＞0且a≠1,M＞0,N＞0,并根据幂的运算法则：a m a n=a m+n以及对数的含义证明你的猜想．3．2012沈阳模拟认真阅读材料,然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则,相应的,我们可以计算出多项式的展开式,如：a+b1=a+b,a+b2=a2+2ab+b2,a+b3=a+b2a+b=a3+3a2b+3ab2+b3,…下面我们依次对a+b n展开式的各项系数进一步研究发现,当n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”,用你发现的规律回答下列问题：1多项式a+b n的展开式是一个几次几项式并预测第三项的系数；2请你预测一下多项式a+b n展开式的各项系数之和．3结合上述材料,推断出多项式a+b n n取正整数的展开式的各项系数之和为S,结果用含字母n的代数式表示．4．2009佛山阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即a2±2ab+b2=a±b2．例如：x﹣12+3、x﹣22+2x、x﹣22+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分．请根据阅读材料解决下列问题：1比照上面的例子,写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；2将a2+ab+b2配方至少两种形式；3已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0,求a+b+c 的值．5．2007东营根据以下10个乘积,回答问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．1试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣2”两数平方差的形式,并写出其中一个的思考过程；2将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；3若用a1b1,a2b2,…,a nbn表示n个乘积,其中a1,a2,a3,…,a n,b1,b2,b3,…,b n为正数．试由1、2猜测一个一般性的结论．不要求证明6．2006浙江如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22﹣02,12=42﹣22,20=62﹣42,因此4,12,20都是“神秘数”128和2012这两个数是“神秘数”吗为什么2设两个连续偶数为2k+2和2k其中k取非负整数,由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗为什么3两个连续奇数的平方差k取正数是神秘数吗为什么8．2015于洪区一模如图1,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．1如果AB=AC,∠BAC=90°,①当点D在线段BC上时与点B不重合,如图2,线段CF、BD所在直线的位置关系为,线段CF、BD的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时,如图3,①中的结论是否仍然成立,并说明理由；2如果AB≠AC,∠BAC是锐角,点D在线段BC上,当∠ACB满足什么条件时,CF⊥BC 点C、F不重合,并说明理由．9．2015菏泽如图,已知∠ABC=90°,D是直线AB上的点,AD=BC．1如图1,过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD,连接DC、DF、CF,判断△CDF的形状并证明；2如图2,E是直线BC上一点,且CE=BD,直线AE、CD相交于点P,∠APD的度数是一个固定的值吗若是,请求出它的度数；若不是,请说明理由．10．2015铁岭一模已知：△ABC中,BD、CE分别是AC、AB边上的高,BQ=AC,点F 在CE的延长线上,CF=AB,求证：AF⊥AQ．11．2013庐阳区校级模拟如图,将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起图1．△ABD不动,1若将△ACE绕点A逆时针旋转,连接DE,M是DE的中点,连接MB、MC图2,证明：MB=MC．2若将图1中的CE向上平移,∠CAE不变,连接DE,M是DE的中点,连接MB、MC图3,判断并直接写出MB、MC的数量关系．3在2中,若∠CAE的大小改变图4,其他条件不变,则2中的MB、MC的数量关系还成立吗说明理由．12．2012昌平区模拟1如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；2如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD,1中的结论是否仍然成立3如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=∠BAD,1中的结论是否仍然成立若成立,请证明；若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明．13．2011泰安已知：在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D是AB的中点,点E是AB 边上一点．1直线BF垂直于直线CE于点F,交CD于点G如图1,求证：AE=CG；2直线AH垂直于直线CE,垂足为点H,交CD的延长线于点M如图2,找出图中与BE 相等的线段,并证明．14．2005扬州本题有3小题,第1小题为必答题,满分5分；第2、3小题为选答题,其中,第2小题满分3分,第3小题满分6分,请从中任选1小题作答,如两题都答,以第2小题评分．在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E．1当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；2当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证：DE=AD﹣BE；3当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系请写出这个等量关系,并加以证明．注意：第2、3小题你选答的是第2小题．15．2012淮安阅读理解如图1,△ABC中,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线A1B2折叠,剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠,点B n与点C重合,无论折叠多少次,只要最后一次恰好重合,∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2,沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠,点B与点C重合；情形二：如图3,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,此时点B1与点C重合．探究发现1△ABC中,∠B=2∠C,经过两次折叠,∠BAC是不是△ABC的好角填“是”或“不是”．2小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角,请探究∠B与∠C不妨设∠B＞∠C之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C不妨设∠B＞∠C之间的等量关系为．应用提升3小丽找到一个三角形,三个角分别为15°、60°、105°,发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成,如果一个三角形的最小角是4°,试求出三角形另外两个角的度数,使该三角形的三个角均是此三角形的好角．16．2011房山区一模已知：等边三角形ABC1如图1,P为等边△ABC外一点,且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想；2如图2,P为等边△ABC内一点,且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD．17．2010丹东如图,已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,M 为直线BC上一动点,△DMN为等边三角形点M的位置改变时,△DMN也随之整体移动．1如图1,当点M在点B左侧时,请你判断EN与MF有怎样的数量关系点F是否在直线NE上都请直接写出结论,不必证明或说明理由；2如图2,当点M在BC上时,其它条件不变,1的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立若成立,请利用图2证明；若不成立,请说明理由；3若点M在点C右侧时,请你在图3中画出相应的图形,并判断1的结论中EN与MF 的数量关系是否仍然成立若成立,请直接写出结论,不必证明或说明理由．18．2006西岗区如图,以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD,M是BC的中点,请你探究线段DE与AM之间的关系．说明：1如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来要求至少写3步；2在你经历说明1的过程之后,可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明．①画出将△ACM绕某一点顺时针旋转180°后的图形；②∠BAC=90°如图附加题：如图,若以△ABC的边AB、AC为直角边,向内作等腰直角△ABE和△ACD,其它条件不变,试探究线段DE与AM之间的关系．19．2006大连如图1,Rt△ABC中AB=AC,点D、E是线段AC上两动点,且AD=EC,AM 垂直BD,垂足为M,AM的延长线交BC于点N,直线BD与直线NE相交于点F．试判断△DEF的形状,并加以证明．说明：1如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来要求至少写3步；2在你经历说明1的过程之后,可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件,完成你的证明．1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长,然后顺时针旋转90°后图形；2、点K在线段BD上,且四边形AKNC为等腰梯形AC∥KN,如图2．附加题：如图3,若点D、E是直线AC上两动点,其他条件不变,试判断△DEF的形状,并说明理由．参考答案与试题解析一．解答题共19小题1．2013扬州如果10b=n,那么b为n的劳格数,记为b=dn,由定义可知：10b=n与b=dn 所表示的b、n两个量之间的同一关系．1根据劳格数的定义,填空：d10= 1 ,d10﹣2= ﹣2 ；2劳格数有如下运算性质：若m、n为正数,则dmn=dm+dn,d=dm﹣dn．根据运算性质,填空：= 3 a为正数,若d2=,则d4= ,d5= ,d= ﹣；3如表中与数x对应的劳格数dx有且只有两个是错误的,请找出错误的劳格数,说明理由并改正．x 3 5 6 8 9 12 27dx 3a﹣b+c 2a﹣b a+c 1+a﹣b﹣c 3﹣3a﹣3c 4a﹣2b 3﹣b﹣2c 6a﹣3b考点整式的混合运算；反证法．专题压轴题．分析1根据定义可知,d10和d10﹣2就是指10的指数,据此即可求解；2根据da3=daaa=da+da+da即可求得的值；3通过9=32,27=33,可以判断d3是否正确,同理以依据5=10÷2,假设d5正确,可以求得d2的值,即可通过d8,d12作出判断．解答解：1d10=1,d10﹣2=﹣2；故答案为：1,﹣2；2==3；因为d2=故d4=d2+d2=,d5=d10﹣d2=1﹣=,d=d8×10﹣2=3d2+d10﹣2=﹣；3若d3≠2a﹣b,则d9=2d3≠4a﹣2b,d27=3d3≠6a﹣3b,从而表中有三个劳格数是错误的,与题设矛盾,∴d3=2a﹣b,若d5≠a+c,则d2=1﹣d5≠1﹣a﹣c,∴d8=3d2≠3﹣3a﹣3c,d6=d3+d2≠1+a﹣b﹣c,表中也有三个劳格数是错误的,与题设矛盾．∴d5=a+c．∴表中只有d和d12的值是错误的,应纠正为：d=d3+d5﹣1=3a﹣b+c﹣1,d12=d3+2d2=2﹣b﹣2c．点评本题考查整式的运算,正确理解规定的新的运算法则是关键．2．2012安庆一模先阅读下列材料,再解答后面的问题．一般地,若a n=ba＞0且a≠1,b＞0,则n叫做以a为底b的对数,记为log a b即log a b=n．如34=81,则4叫做以3为底81的对数,记为log381即log381=4．1计算以下各对数的值：log24= 2 ,log216= 4 ,log264= 6 ．2观察1中三数4、16、64之间满足怎样的关系式,log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；3猜想一般性的结论：log a M+log a N= log a MN a＞0且a≠1,M＞0,N＞0,并根据幂的运算法则：a m a n=a m+n以及对数的含义证明你的猜想．考点同底数幂的乘法．专题压轴题；新定义．分析1根据材料叙述,结合22=4,24=16,26=64即可得出答案；2根据1的答案可得出log24、log216、log264之间满足的关系式；3设log a M=b1,log a N=b2,则a b1=M,a b2=N,分别表示出MN及b1+b2的值,即可得出猜想．解答解：1log24=2,log216=4,log264=6；2log24+log216=log264；3猜想log a M+log a N=log a MN．证明：设log a M=b1,log a N=b2,则a b1=M,a b2=N,故可得MN=a b1a b2=a b1+b2,b1+b2=log a MN,即log a M+log a N=log a MN．点评本题考查了同底数幂的乘法运算,题目出得比较新颖,解题思路以材料的形式给出,需要同学们仔细阅读,理解并灵活运用所给的信息．3．2012沈阳模拟认真阅读材料,然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则,相应的,我们可以计算出多项式的展开式,如：a+b1=a+b,a+b2=a2+2ab+b2,a+b3=a+b2a+b=a3+3a2b+3ab2+b3,…下面我们依次对a+b n展开式的各项系数进一步研究发现,当n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”,用你发现的规律回答下列问题：1多项式a+b n的展开式是一个几次几项式并预测第三项的系数；2请你预测一下多项式a+b n展开式的各项系数之和．3结合上述材料,推断出多项式a+b n n取正整数的展开式的各项系数之和为S,结果用含字母n的代数式表示．考点完全平方公式．专题压轴题；阅读型；规律型．分析1由题意可求得当n=1,2,3,4,…时,多项式a+b n的展开式是一个几次几项式,第三项的系数是多少,然后找规律,即可求得答案；2首先求得当n=1,2,3,4…时,多项式a+b n展开式的各项系数之和,即可求得答案；3结合2,即可推断出多项式a+b n n取正整数的展开式的各项系数之和．解答解：1∵当n=1时,多项式a+b1的展开式是一次二项式,此时第三项的系数为：0=,当n=2时,多项式a+b2的展开式是二次三项式,此时第三项的系数为：1=,当n=3时,多项式a+b3的展开式是三次四项式,此时第三项的系数为：3=,当n=4时,多项式a+b4的展开式是四次五项式,此时第三项的系数为：6=,…∴多项式a+b n的展开式是一个n次n+1项式,第三项的系数为：；2预测一下多项式a+b n展开式的各项系数之和为：2n；3∵当n=1时,多项式a+b1展开式的各项系数之和为：1+1=2=21,当n=2时,多项式a+b2展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=22,当n=3时,多项式a+b3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=23,当n=4时,多项式a+b4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=24,…∴多项式a+b n展开式的各项系数之和：S=2n．点评此题属于规律性、阅读性题目．此题难度较大,由特殊到一般的归纳方法的应用是解此题的关键．4．2009佛山阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即a2±2ab+b2=a±b2．例如：x﹣12+3、x﹣22+2x、x﹣22+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分．请根据阅读材料解决下列问题：1比照上面的例子,写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；2将a2+ab+b2配方至少两种形式；3已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0,求a+b+c的值．考点完全平方公式．专题压轴题；阅读型．分析12本题考查对完全平方公式的灵活应用能力,由题中所给的已知材料可得x2﹣4x+2和a2+ab+b2的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式；3通过配方后,求得a,b,c的值,再代入代数式求值．解答解：1x2﹣4x+2的三种配方分别为：x2﹣4x+2=x﹣22﹣2,x2﹣4x+2=x+2﹣2+4x,x2﹣4x+2=x﹣2﹣x2；2a2+ab+b2=a+b2﹣ab,a2+ab+b2=a+b2+b2；3a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4,=a2﹣ab+b2+b2﹣3b+3+c2﹣2c+1,=a2﹣ab+b2+b2﹣4b+4+c2﹣2c+1,=a﹣b2+b﹣22+c﹣12=0,从而有a﹣b=0,b﹣2=0,c﹣1=0,即a=1,b=2,c=1,∴a+b+c=4．点评本题考查了根据完全平方公式：a2±2ab+b2=a±b2进行配方的能力．5．2007东营根据以下10个乘积,回答问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．1试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣2”两数平方差的形式,并写出其中一个的思考过程；2将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；3若用a1b1,a2b2,…,a n b n表示n个乘积,其中a1,a2,a3,…,a n,b1,b2,b3,…,b n为正数．试由1、2猜测一个一般性的结论．不要求证明考点平方差公式．专题压轴题．分析利用两数的和与这两数的差的积,就是它们的平方差．如11×29；可想几加几等于29,几减几等于11,可得20+9和20﹣9,可得11×29=202﹣92,同理思考其它的．解答解：111×29=202﹣92；12×28=202﹣82；13×27=202﹣72；14×26=202﹣62；15×25=202﹣52；16×24=202﹣42；17×23=202﹣32；18×22=202﹣22；19×21=202﹣12；20×20=202﹣02．4分例如,11×29；假设11×29=□2﹣○2,因为□2﹣○2=□+○□﹣○；所以,可以令□﹣○=11,□+○=29．解得,□=20,○=9．故11×29=202﹣92．5分或11×29=20﹣920+9=202﹣92．5分2这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20．7分3①若a+b=40,a、b是自然数,则ab≤202=400．8分②若a+b=40,则ab≤202=400．8分③若a+b=m,a、b是自然数,则ab≤．9分④若a+b=m,则ab≤．9分⑤若a1+b1=a2+b2=a3+b3=a n+b n=40．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥≥|a n﹣b n|,则a1b1≤a2b2≤a3b3≤≤a n b n．10分⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=a n+b n=m．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|a n﹣b n|,则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤a n b n．10分说明：给出结论①或②之一的得1分；给出结论③或④之一的得2分；给出结论⑤或⑥之一的得3分．点评此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式就叫做乘法的平方差公式．6．2006浙江如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22﹣02,12=42﹣22,20=62﹣42,因此4,12,20都是“神秘数”128和2012这两个数是“神秘数”吗为什么2设两个连续偶数为2k+2和2k其中k取非负整数,由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗为什么3两个连续奇数的平方差k取正数是神秘数吗为什么考点平方差公式．专题压轴题；新定义．分析1试着把28、2012写成平方差的形式,解方程即可判断是否是神秘数；2化简两个连续偶数为2k+2和2k的差,再判断；3设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1,则2k+12﹣2k﹣12=8k=4×2k,即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数．解答解：1设28和2012都是“神秘数”,设28是x和x﹣2两数的平方差得到, 则x2﹣x﹣22=28,解得：x=8,∴x﹣2=6,即28=82﹣62,设2012是y和y﹣2两数的平方差得到,则y2﹣y﹣22=2012,解得：y=504,y﹣2=502,即2012=5042﹣5022,所以28,2012都是神秘数．22k+22﹣2k2=2k+2﹣2k2k+2+2k=42k+1,∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数,且是奇数倍．3设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1,则2k+12﹣2k﹣12=8k=4×2k,即：两个连续奇数的平方差是4的倍数,是偶数倍,不满足连续偶数的神秘数为4的奇数倍这一条件．∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．点评此题首先考查了阅读能力、探究推理能力．对知识点的考查,主要是平方差公式的灵活应用．7．2007淄博根据以下10个乘积,回答问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．1试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣○2”两数平方差的形式,并写出其中一个的思考过程；2将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；3试由1、2猜测一个一般性的结论．不要求证明考点整式的混合运算；绝对值．专题压轴题；规律型．分析1根据要求求出两数的平均数,再写成平方差的形式即可．2减去的数越大,乘积就越小,据此规律填写即可．3根据排列的顺序可得,两数相差越大,积越小．解答解：111×29=202﹣92；12×28=202﹣82；13×27=202﹣72；14×26=202﹣62；15×25=202﹣52；16×24=202﹣42；17×23=202﹣32；18×22=202﹣22；19×21=202﹣12；20×20=202﹣02…4分例如,11×29；假设11×29=□2﹣○2,因为□2﹣○2=□+○□﹣○；所以,可以令□﹣○=11,□+○=29．解得,□=20,○=9．故11×29=202﹣92．或11×29=20﹣920+9=202﹣922这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×203①若a+b=40,a,b是自然数,则ab≤202=400．②若a+b=40,则ab≤202=400．…8分③若a+b=m,a,b是自然数,则ab≤．④若a+b=m,则ab≤．⑤若a,b的和为定值,则ab的最大值为．⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=a n+b n=40．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|a n﹣b n|,则 a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤a n b n．…10分⑦若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=a n+b n=m．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|a n﹣b n|,则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤a n b n．⑧若a+b=m,a,b差的绝对值越大,则它们的积就越小．说明：给出结论①或②之一的得1分；给出结论③、④或⑤之一的得2分；给出结论⑥、⑦或⑧之一的得3分．点评本题主要考查整式的混合运算,找出规律是解答本题的关键．8．2015于洪区一模如图1,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．1如果AB=AC,∠BAC=90°,①当点D在线段BC上时与点B不重合,如图2,线段CF、BD所在直线的位置关系为垂直,线段CF、BD的数量关系为相等；②当点D在线段BC的延长线上时,如图3,①中的结论是否仍然成立,并说明理由；2如果AB≠AC,∠BAC是锐角,点D在线段BC上,当∠ACB满足什么条件时,CF⊥BC 点C、F不重合,并说明理由．考点全等三角形的判定与性质．专题压轴题；开放型．分析1当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC,所以CF=BD,∠ACF=∠ABD．结合∠BAC=90°,AB=AC,得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．2当∠ACB=45°时,过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G,则∠GAC=90°,可推出∠ACB=∠AGC,所以AC=AG,由1①可知CF⊥BD．解答证明：1①正方形ADEF中,AD=AF,∵∠BAC=∠DAF=90°,∴∠BAD=∠CAF,又∵AB=AC,∴△DAB≌△FAC,∴CF=BD,∠B=∠ACF,∴∠ACB+∠ACF=90°,即CF⊥BD．②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD=AF,∠DAF=90度．∵∠BAC=90°,∴∠DAF=∠BAC,∴∠DAB=∠FAC,又∵AB=AC,∴△DAB≌△FAC,∴CF=BD,∠ACF=∠ABD．∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=45°,∴∠ACF=45°,∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．2当∠ACB=45°时,CF⊥BD如图．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G,则∠GAC=90°,∵∠ACB=45°,∠AGC=90°﹣∠ACB,∴∠AGC=90°﹣45°=45°,∴∠ACB=∠AGC=45°,∴AC=AG,∵∠DAG=∠FAC同角的余角相等,AD=AF,∴△GAD≌△CAF,∴∠ACF=∠AGC=45°,∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,即CF⊥BC．点评本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定,判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件．9．2015菏泽如图,已知∠ABC=90°,D是直线AB上的点,AD=BC．1如图1,过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD,连接DC、DF、CF,判断△CDF的形状并证明；2如图2,E是直线BC上一点,且CE=BD,直线AE、CD相交于点P,∠APD的度数是一个固定的值吗若是,请求出它的度数；若不是,请说明理由．考点全等三角形的判定与性质．专题压轴题．分析1利用SAS证明△AFD和△BDC全等,再利用全等三角形的性质得出FD=DC,即可判断三角形的形状；2作AF⊥AB于A,使AF=BD,连结DF,CF,利用SAS证明△AFD和△BDC全等,再利用全等三角形的性质得出FD=DC,∠FDC=90°,即可得出∠FCD=∠APD=45°．解答解：1△CDF是等腰直角三角形,理由如下：∵AF⊥AD,∠ABC=90°,∴∠FAD=∠DBC,在△FAD与△DBC中,,∴△FAD≌△DBCSAS,∴FD=DC,∴△CDF是等腰三角形,∵△FAD≌△DBC,∴∠FDA=∠DCB,∵∠BDC+∠DCB=90°,∴∠BDC+∠FDA=90°,∴△CDF是等腰直角三角形；2作AF⊥AB于A,使AF=BD,连结DF,CF,如图,∵AF⊥AD,∠ABC=90°,∴∠FAD=∠DBC,在△FAD与△DBC中,,∴△FAD≌△DBCSAS,∴FD=DC,∴△CDF是等腰三角形,∵△FAD≌△DBC,∴∠FDA=∠DCB,∵∠BDC+∠DCB=90°,∴∠BDC+∠FDA=90°,∴△CDF是等腰直角三角形,∴∠FCD=45°,∵AF∥CE,且AF=CE,∴四边形AFCE是平行四边形,∴AE∥CF,∴∠APD=∠FCD=45°．点评此题考查了全等三角形的判定与性质的运用,平行四边形的判定及性质的运用,等腰直角三角形的判定及性质的运用．解答时证明三角形全等是关键．10．2015铁岭一模已知：△ABC中,BD、CE分别是AC、AB边上的高,BQ=AC,点F 在CE的延长线上,CF=AB,求证：AF⊥AQ．考点全等三角形的判定与性质．专题证明题；压轴题．分析首先证明出∠ABD=∠ACE,再有条件BQ=AC,CF=AB可得△ABQ≌△ACF,进而得到∠F=∠BAQ,然后再根据∠F+∠FAE=90°,可得∠BAQ+∠FAE═90°,进而证出AF⊥AQ．解答证明：∵BD、CE分别是AC、AB边上的高,∴∠ADB=90°,∠AEC=90°,∴∠ABQ+∠BAD=90°,∠BAC+∠ACE=90°,∴∠ABD=∠ACE,在△ABQ和△ACF中,∴△ABQ≌△ACFSAS,∴∠F=∠BAQ,∵∠F+∠FAE=90°,∴∠BAQ+∠FAE═90°,∴AF⊥AQ．点评此题主要考查了全等三角形的判定与性质,关键是掌握全等三角形的判定方法,以及全等三角形的性质定理．11．2013庐阳区校级模拟如图,将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起图1．△ABD不动,1若将△ACE绕点A逆时针旋转,连接DE,M是DE的中点,连接MB、MC图2,证明：MB=MC．2若将图1中的CE向上平移,∠CAE不变,连接DE,M是DE的中点,连接MB、MC图3,判断并直接写出MB、MC的数量关系．3在2中,若∠CAE的大小改变图4,其他条件不变,则2中的MB、MC的数量关系还成立吗说明理由．考点全等三角形的判定与性质．专题证明题；几何综合题；压轴题．分析1连接AM,根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE,AB=AC,全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE,再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD=∠MAE,然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等,根据全等三角形对应边相等即可得证；2延长DB、AE相交于E′,延长EC交AD于F,根据等腰三角形三线合一的性质得到BD=BE′,然后求出MB∥AE′,再根据两直线平行,内错角相等求出∠MBC=∠CAE,同理求出MC∥AD,根据两直线平行,同位角相等求出∠BCM=∠BAD,然后求出∠MBC=∠BCM,再根据等角对等边即可得证；3延长BM交CE于F,根据两直线平行,内错角相等可得∠MDB=∠MEF,∠MBD=∠MFE,然后利用“角角边”证明△MDB和△MEF全等,根据全等三角形对应边相等可得MB=MF,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．解答证明：1如图2,连接AM,由已知得△ABD≌△ACE,∴AD=AE,AB=AC,∠BAD=∠CAE,∵MD=ME,∴∠MAD=∠MAE,∴∠MAD﹣∠BAD=∠MAE﹣∠CAE,即∠BAM=∠CAM,在△ABM和△ACM中,,∴△ABM≌△ACMSAS,∴MB=MC；2MB=MC．理由如下：如图3,延长DB、AE相交于E′,延长EC交AD于F,∴BD=BE′,CE=CF,∵M是ED的中点,B是DE′的中点,∴MB∥AE′,∴∠MBC=∠CAE,同理：MC∥AD,∴∠BCM=∠BAD,∵∠BAD=∠CAE,∴∠MBC=∠BCM,∴MB=MC；3MB=MC还成立．如图4,延长BM交CE于F,∵CE∥BD,∴∠MDB=∠MEF,∠MBD=∠MFE,又∵M是DE的中点,∴MD=ME,在△MDB和△MEF中,,∴△MDB≌△MEFAAS,∴MB=MF,∵∠ACE=90°,∴∠BCF=90°,∴MB=MC．点评本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形三线合一的性质,等角对等边的性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,以及三角形的中位线定理,综合性较强,但难度不大,作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的关键．12．2012昌平区模拟1如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；2如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD,1中的结论是否仍然成立3如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=∠BAD,1中的结论是否仍然成立若成立,请证明；若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明．考点全等三角形的判定与性质．专题证明题；压轴题；探究型．分析1可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长EB到G,使BG=DF,连接AG．目的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等将EF转换成GE,那么这样EF=BE+DF了,于是证明两组三角形全等就是解题的关键．三角形ABE和AEF中,只有一条公共边AE,我们就要通过其他的全等三角形来实现,在三角形ABG和AFD中,已知了一组直角,BG=DF,AB=AD,因此两三角形全等,那么AG=AF,∠1=∠2,那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．由此就构成了三角形ABE和AEF全等的所有条件SAS,那么就能得出EF=GE了．2思路和作辅助线的方法与1完全一样,只不过证明三角形ABG和ADF全等中,证明∠ABG=∠ADF时,用到的等角的补角相等,其他的都一样．因此与1的结果完全一样．3按照1的思路,我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE 上截取BG,使BG=DF,连接AG．根据1的证法,我们可得出DF=BG,GE=EF,那么EF=GE=BE﹣BG=BE﹣DF．所以1的结论在3的条件下是不成立的．解答证明：1延长EB到G,使BG=DF,连接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°,AB=A D,∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF,∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又AE=AE,∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD21中的结论EF=BE+FD仍然成立．3结论EF=BE+FD不成立,应当是EF=BE﹣FD．证明：在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG．∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°,∴∠B=∠ADF．∵AB=AD,∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG=∠DAF,AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE,∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF∵EG=BE﹣BG∴EF=BE﹣FD．点评本题考查了三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键,没有明确的全等三角形时,要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．13．2011泰安已知：在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D是AB的中点,点E是AB 边上一点．1直线BF垂直于直线CE于点F,交CD于点G如图1,求证：AE=CG；2直线AH垂直于直线CE,垂足为点H,交CD的延长线于点M如图2,找出图中与BE 相等的线段,并证明．考点全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题几何综合题；压轴题．分析1首先根据点D是AB中点,∠ACB=90°,可得出∠ACD=∠BCD=45°,判断出△AEC≌△CGB,即可得出AE=CG,2根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°,∠BEC+∠MCH=90°,再根据AC=BC,∠ACM=∠CBE=45°,得出△BCE≌△CAM,进而证明出BE=CM．。
数学初一压轴题及解法
数学初一压轴题及解法近年来，数学作为一门重要的学科，受到了越来越多的关注。
对于初一学生来说，数学压轴题是一个非常重要的考试环节。
今天，我们就来看看一些数学初一压轴题及其解法。
一、整数运算1. 某数的三倍加上5等于17，求这个数是多少？解法：设这个数为x，根据题意得到3x+5=17。
将方程两边同时减去5，得到3x=12。
再将方程两边同时除以3，得到x=4。
所以，这个数是4。
2. 某数的五倍减去7等于18，求这个数是多少？解法：设这个数为y，根据题意得到5y-7=18。
将方程两边同时加上7，得到5y=25。
再将方程两边同时除以5，得到y=5。
所以，这个数是5。
二、代数式的简化3. 化简下列代数式：3x + 5y + x - 2y解法：将同类项合并，得到4x + 3y。
4. 化简下列代数式：2a - 3b + 4a + 2b解法：将同类项合并，得到6a - b。
三、图形的计算5. 一个矩形的长是5cm，宽是3cm，求其面积和周长。
解法：面积的计算公式为：面积 = 长× 宽。
所以，面积 = 5cm × 3cm = 15cm²。
周长的计算公式为：周长= 2 × (长 + 宽)。
所以，周长= 2 × (5cm + 3cm) = 16cm。
6. 一个正方形的边长是4cm，求其面积和周长。
解法：面积的计算公式为：面积 = 边长× 边长。
所以，面积 = 4cm × 4cm = 16cm²。
周长的计算公式为：周长= 4 × 边长。
所以，周长= 4 × 4cm = 16cm。
四、数字的运算7. 两个数的和是26，其中一个数比另一个数大6，求这两个数各是多少？解法：设较大的数为x，较小的数为y。
根据题意得到x + y = 26，x - y = 6。
将这两个方程相加，得到2x = 32。
再将方程两边同时除以2，得到x = 16。
(初一压轴题锦集)沪教版数学学科【可修改文字】
可编辑修改精选全文完整版课 题七年级压轴题精讲教学内容1. （1）如图（a ），如果,360︒=∠+∠+∠D E B 那么CD AB 、有怎样的关系？为什么？解：过点E 作E F ∥AB ①，如图（b ），则 ︒=∠+∠180BEF ABE ，（ ） 因为 ︒=∠+∠+∠360EDC BED ABE （ ） 所以 =∠+∠EDC FED ° （等式的性质）所以 FE ∥CD ② （ ） 由①、② 得AB ∥CD （ ）. （2）如图（c ），当∠1、∠2、∠3满足条件 时，有AB ∥CD .（3）如图（d ），当∠B 、∠E 、∠F 、∠D 满足条件_______________________ 时，有AB ∥CD .2.如图，DE 是△ABC 的中位线， F 是DE 的中点，BF 的延长线交AC 于点H ，则AH ：HE 等于（ ）A ．l ：1B ．2：1C ．1：2D ．3：2 3.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=1000，求x 的值。
ABE DCF (b )ABEDC (a )23AC EB(c )D1A CBE F(d )D100x 04321A7.、如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点G 是CD 的中点，联结BG .将正方形ABCD 绕点C 顺时针方向旋转90，得到正方形EDCF ,(1)请你画出旋转后点G 的对应点H 及线段BG 的对应线段；(2)用阴影表示旋转过程中线段DG 所扫过的平面区域，并计算其面积。
（结果保留π）8．已知n 为自然数， （1）用长除法求20113+n除以11+n 的商式和余式；（2）若20113+n能被11+n 整除，则称2011为n 的吉祥数，试求2011的吉祥数。
9．计算：+++++++-158134111222x x xxx…141422-+++n xnx10、如图，点C 是线段AB 上任意一点，分别以为边在线段的同一侧作等边三角形ADC 和等边三角形CEB ，AE 交DC 于点M ，BD 交CE 于点N（1）图中三角形ACE 是由三角形__________按__________时针方向旋转___________度得到的,ACE ∠的对应角是____________（2）图中经过旋转后能够重合的三角形有___________对,它们是____________（3）如果将(1)所做的等边三角形换成等腰三角形ADC 和等腰三角形CEB,且顶角BCE ACD ∠=∠那么图中是否有经过旋转后能够重合的三角形，有几对,若有请说明。
初一数学大题压轴题
初一数学大题压轴题一、绝对值与数轴的综合题题目：已知数轴上有 A、B、C 三点，分别表示有理数26，10，10，动点 P 从 A 出发，以每秒 1 个单位的速度向终点 C 移动，设点 P 移动时间为 t 秒。
（1）用含 t 的代数式表示 P 到点 A 和点 C 的距离：PA = ，PC = 。
（2）当点 P 运动到 B 点时，点 Q 从 A 点出发，以每秒 3 个单位的速度向 C 点运动，Q 点到达 C 点后，再立即以同样的速度返回，当点 P 运动到点 C 时，P、Q 两点停止运动，求当 t 为何值时，P、Q 两点相距 4 个单位长度。
答案与解析：（1）PA = t ，PC = 36 t 。
因为动点 P 从 A 出发，速度为每秒 1 个单位，运动时间为 t 秒，所以 PA = t 。
AC 之间的距离为 36 ，所以 PC = 36 t 。
（2）分两种情况讨论：①当 Q 点未到达 C 点时：点 P 从 B 到 C 所用时间为 26 秒，点 Q 从 A 到 C 所用时间为 12 秒。
所以当 0 t 12 时，Q 点还未到达 C 点。
P 点到达 B 点所用时间为 16 秒，此时 Q 点移动的距离为3×16 = 48 。
所以 Q 点在 B 点右侧，PQ = 48 （16 + t）= 4 ，解得 t =28 （舍去）。
②当 Q 点从 C 点返回时：Q 点从 C 点返回时所用时间为 (t 12) 秒，此时 Q 点距离 A 点的距离为 3(t 12) 。
P 点距离 A 点的距离为 16 + t 。
所以 3(t 12) (16 + t) = 4 或 16 + t 3(t 12) = 4 。
解得 t = 20 或 t = 24 。
当 t 为 20 秒或 24 秒时，P、Q 两点相距 4 个单位长度。
二、方程与实际应用的综合题题目：某工厂要制作一批零件，原计划每天制作 120 个，20 天可以完成。
但由于客户要求提前 4 天交货，工厂需要提高工作效率。
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一．解答题（共19小题） 1．（2013•扬州）如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d（n），由定义可知：10b=n与b=d（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系． （1）根据劳格数的定义，填空：d（10）= ，d（10﹣2）= ； （2）劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）﹣d（n）． 根据运算性质，填空：= （a为正数），若d（2）=，则d（4）= ，d（5）= ，d（）= ； （3）如表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正． x 3 5 6 8 9 12 27 d（x） 3a﹣b+c 2a﹣b a+c 1+a﹣b﹣c 3﹣3a﹣3c 4a﹣2b 3﹣b﹣2c 6a﹣3b
2．（2012•安庆一模）先阅读下列材料，再解答后面的问题． 一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）． （1）计算以下各对数的值：log24= ，log216= ，log264= ． （2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式； （3）猜想一般性的结论：logaM+logaN= （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并根据幂的运算法则：am•an=am+n以及对数的含义证明你的猜想．
3．（2012•沈阳模拟）认真阅读材料，然后回答问题： 我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，… 下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题： （1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数； （2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和． （3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）． 4．（2009•佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2． 例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）． 请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．
5．（2007•东营）根据以下10个乘积，回答问题： 11×29；12×28；13×27；14×26；15×25； 16×24；17×23；18×22；19×21；20×20． （1）试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣∅2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程； （2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来； （3）若用a1b1，a2b2，…，anbn表示n个乘积，其中a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn为正数．试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）
6．（2006•浙江）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数” （1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？ （3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么？
8．（2015•于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． （1）如果AB=AC，∠BAC=90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 ，线段CF、BD的数量关系为 ； ②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．
9．（2015•菏泽）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC． （1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明； （2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
10．（2015•铁岭一模）已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．
11．（2013•庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动， （1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC． （2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系． （3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．
12．（2012•昌平区模拟）（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD． 求证：EF=BE+FD；
（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
13．（2011•泰安）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点． （1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG； （2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
14．（2005•扬州）（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第（2）、（3）小题为选答题，其中，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分．） 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE； （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
注意：第（2）、（3）小题你选答的是第2小题． 15．（2012•淮安）阅读理解 如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角． 小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合． 探究发现 （1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？ （填“是”或“不是”）． （2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为 ． 应用提升 （3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角． 请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．
16．（2011•房山区一模）已知：等边三角形ABC （1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD．
17．（2010•丹东）如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）． （1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；