高二数学 第二章 第1-3节向量的坐标表示及空间向量的基本定理知识精讲 北师大版(理)选修2-1
高中北师大版数学选修2-1学案：2.3.3 空间向量运算的坐标表示 含答案
值．
解：a·b＝(3,0,1)·(k,2，－1)
＝3k＋0×2＋1×(－1)＝3k－1，
a·b＝|a||b|cos〈a，b〉
3π
＝ 32＋02＋12· k2＋22＋ －1 2·cos 4
10 ＝－
2
k2＋5.
3π ，求实数 k 的
4
则 3k－1＝－
10 k2＋5，
2
3－ 105
3＋ 105
解得 k＝
BA AM
aλ )．
→→ ∵ BM⊥AC1，∴ BM· ＝0.
AC1
1 即 a2λ ＋a2λ －a2＋a2λ ＝0，解得 λ ＝ ，
3
→
aaa
∴ AM＝ ， ， ，
(－ 3)
33
→ → → 2a a a
＝＋ ＝
.
(
3)
DM DA AM ， ，
33
( ∴ M 点坐标为
2a a a
3).
，， 33
规律方法 用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下
CA
→→ AB·CA
→→ |AB||CA|
－7
1
＝
＝－ .
14 × 14 2
Earlybird
晨鸟教育
已知三点 P1(1,1,0)，P2(0,1,1)和 P3(1,0,1)，O 为坐标原点，求|OP1＋
→→ OP2
→ →→
＋OP3|及 与 夹角的余弦值． P1P2 P1P3
→→→
解：OP1＋ ＋ ＝(1,1,0)＋(0,1,1)＋(1,0,1)＝(2,2,2)， OP2 OP3
或 k＝
4
4
(舍)，
Earlybird
晨鸟教育
高二数学《平面向量的坐标表示》说课稿 3篇
高二数学《平面向量的坐标表示》说课稿1各位老师好：我是户县二中的李敏，今天讲的课题是《平面向量的坐标的表示》，本节课是高中数学北师大版必修4第二章第4节的内容，下面我将从四个方面对本节课的教学设计来加以说明。
一、学情分析本节课是在学生已学知识的基础上进行展开学习的，也是对以前所学知识的巩固和发展，但对学生的知识准备情况来看，学生对相关基础知识掌握情况是很好，所以在复习时要及时对学生相关知识进行提问，然后开展对本节课的巩固性复习。
而本节课学生会遇到的困难有：数轴、坐标的表示；平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算。
二、高考的考点分析：在历年高考试题中，平面向量占有重要地位，近几年更是有所加强。
这些试题不仅平面向量的相关概念等基本知识，而且常考平面向量的运算；平面向量共线的条件；用坐标表示两个向量的夹角等知识的解题技能。
考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、融会，进而考查学生的学习潜能和数学素养，为考生展现其创新意识和发挥创造能力提高广阔的空间，相关题型经常在高考试卷里出现，而且经常以选择、填空、解答题的形式出现。
三、复习目标1.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.2.理解用坐标表示的`平面向量共线的条件.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能用坐标表示两个向量的夹角，理解用坐标表示的平面向量垂直的条件.教学重难点的确定与突破：根据《20xx高考大纲》和对近几年高考试题的分析，我确定本节的教学重点为：平面向量的坐标表示及运算。
难点为：平面向量坐标运算与表示的理解。
我将引导学生通过复习指导，归纳概念与运算规律，模仿例题解决习题等过程来达到突破重难点。
四、说教法根据本节课是复习课，我采用了“自学、指导、练习”的教学方法，即通过对知识点、考点的复习，围绕教学目标和重难点提出一系列精心设计的问题，在教师的指导下，用做题来复习和巩固旧知识点。
五、说学法根据平时作业中的问题来看，学生会本节课遇到的困难有：数轴、坐标的表示；平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算等方面。
新教材高中数学第2章向量的数乘与向量共线的关系课件北师大版必修第二册ppt
2.一条直线的方向向量唯一吗？ [提示] 不唯一．
2.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若 b＝λa，则 a 与 b 共线．
()
(2)若向量 b 与 a 共线，则存在唯一的实数 λ，使 b＝λa. ( )
(3)若向量 a、b 不共线，则当且仅当 λ＝μ＝0 时，λa＝μb. ( )
[证明] D→E＝A→E－A→D，B→C＝A→C－A→B. ∵D，E 分别为边 AB，AC 的中点， ∴A→E＝12A→C，A→D＝12A→B， ∴D→E＝12(A→C－A→B)＝12B→C， ∴DE∥BC，且|DE|＝12|BC|.
应用向量共线定理时的注意点 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与 三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点 共线． (2)向量 a，b 共线是指存在不全为零的实数 λ1，λ2，使 λ1a＋λ2b ＝0 成立，若 λ1a＋λ2b＝0，当且仅当 λ1＝λ2＝0 时成立，则向量 a，b 不共线．
∴λ＝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.]
1234 5
5．已知点 P、Q 是△ABC 所在平面内的两个定点，且满足P→A＋P→C ＝0，2Q→A＋Q→B＋Q→C＝B→C，若|P→Q|＝λ|B→C|，则 λ＝________．
1234 5
1 2
[由P→A＋P→C＝0 知，P 是边 AC 的中点，
∵2Q→A＋Q→B＋Q→C＝B→C＝Q→C－Q→B， ∴A→Q＝Q→B，
于是λλm＝＝1，－2.解得 m＝－2， 即 m＝－2 时，A、B、C 三点共线．
1.此类问题求解的依据：若向量 a、b 不共线，则当且仅当 λ＝μ ＝0 时，λa＝μb.
2.将点共线转化为向量共线是求解点共线问题的一种重要方法．
高中数学北师大版2019必修第二册教案平面向量及运算的坐标表示
平面向量的坐标及其运算【教学过程】一、基础铺垫1．平面向量的坐标平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b．规定零向量与任意向量都垂直．如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝x e1＋y e2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y)．方便起见，以后谈到平面直角坐标系时，默认已经指定了与x轴及y轴的正方向同向的两→对应的个单位向量．此时，如果平面上一点A的坐标为(x，y)(通常记为A(x，y))，那么向量OA→＝(x，y)；反之结论也成立．坐标也为(x，y)，即OA2．平面上向量的运算与坐标的关系设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔x1＝x2__且y1＝y2；a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．设u，v是两个实数，那么u a＋v b＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2)，u a－v b＝(ux1－vx2，uy1－vy2)．如果向量a＝(x，y)，则|a|■名师点拨（1）向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．（2）当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．3．平面直角坐标系内两点之间的向量公式与中点坐标公式设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为平面直角坐标系中的两点，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)； 设线段AB 中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 224．向量平行的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 2y 1＝x 1y 2．■名师点拨两向量的对应坐标成比例，这种形式较易记忆，而且不易出现搭配错误．二、合作探究1．平面向量的坐标表示【例1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA→＝a ，AB →＝b ，四边形OABC 为平行四边形． （1）求向量a ，b 的坐标；（2）求向量BA→的坐标； （3）求点B 的坐标．【解】（1）作AM ⊥x 轴于点M ，则OM ＝OA ·cos 45°＝4×22＝22，AM ＝OA ·sin 45°＝4×22＝22， 所以A (22，22)，故a ＝(22，22)．因为∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°，所以∠COy ＝30°.又OC ＝AB ＝3，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332， 所以AB →＝OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332， 即b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332.（2）BA →＝－AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－332. （3）因为OB→＝OA →＋AB → ＝(22，22)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332 ＝⎝⎛⎭⎪⎫22－32，22＋332. 所以点B 的坐标为(22－32，22＋332)．【规律方法】平面内求点、向量坐标的常用方法（1）求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．（2）求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点的坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．2．平面向量的坐标运算【例2】（1）已知a ＋b ＝(1，3)，a －b ＝(5，7)，则a ＝________，b ＝________．（2）已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM→＝3CA →，CN →＝2CB →，求M ，N 及MN →的坐标．【解】（1）由a ＋b ＝(1，3)，a －b ＝(5，7)，所以2a ＝(1，3)＋(5，7)＝(6，10)，所以a ＝(3，5)，2b ＝(1，3)－(5，7)＝(－4，－4)，所以b ＝(－2，－2)．（2）法一(待定系数法)：由A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，可得CA→＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)， CB→＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)， 所以CM→＝3CA →＝3(1，8)＝(3，24)， CN→＝2CB →＝2(6，3)＝(12，6)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则CM →＝(x 1＋3，y 1＋4)＝(3，24)，x 1＝0，y 1＝20；CN →＝(x 2＋3，y 2＋4)＝(12，6)，x 2＝9，y 2＝2，所以M (0，20)，N (9，2)，MN→＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)． 法二(几何意义法)：设点O 为坐标原点，则由CM→＝3CA →，CN →＝2CB →， 可得OM→－OC →＝3(OA →－OC →)，ON →－OC →＝2(OB →－OC →)， 从而OM→＝3OA →－2OC →，ON →＝2OB →－OC →， 所以OM→＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)， ON→＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)， 即点M (0，20)，N (9，2)，故MN→＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)． 【规律方法】平面向量坐标的线性运算的方法（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．（3）向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．3．判定直线平行、三点共线【例3】（1）已知A ，B ，C 三点共线，且A (3，－6)，B (－5，2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为()A ．－13B ．9C ．－9D ．13（2）已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (1，5)，D (2，7)，向量AB→与CD →平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？【解】（1）选C ．设C (6，y )，因为AB→∥AC →， 又AB→＝(－8，8)，AC →＝(3，y ＋6)， 所以－8×(y ＋6)－3×8＝0，所以y ＝－9．（2）因为AB→＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， CD→＝(2－1，7－5)＝(1，2)． 又2×2－4×1＝0，所以AB→∥CD →. 又AC→＝(2，6)，AB →＝(2，4)，所以2×4－2×6≠0， 所以A ，B ，C 不共线，所以AB 与CD 不重合，所以AB ∥CD ．【规律方法】向量共线的判定方法4．已知平面向量共线求参数【例4】已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？【解】法一(共线向量定理法)：k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3，2k ＋2)＝λ(10，－4)，所以⎩⎨⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13. 当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，因为λ＝－13<0，所以k a ＋b 与a －3b 反向．法二(坐标法)：由题知k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，因为k a ＋b 与a －3b 平行，所以(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )， 所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．【规律方法】已知平面向量共线求参数的思路（1）利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解．（2）利用向量平行的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．三、课堂练习1．给出下面几种说法：①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．其中正确说法的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．2．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是()A ．a ＝(0，0)，b ＝(2，3)B ．a ＝(1，－3)，b ＝(2，－6)C ．a ＝(4，6)，b ＝(6，9)D ．a ＝(2，3)，b ＝(－4，6)解析：选D ．只有D 选项中两个向量不共线，可以作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底，故选D ．3．已知两点A (2，－1)，B (3，1)，则与AB→平行且方向相反的向量a 可以是() A ．(1，－2)B ．(9，3)C ．(－2，4)D ．(－4，－8)解析：选D ．由题意，得AB→＝(1，2)，所以a ＝λAB →＝(λ，2λ)(其中λ＜0)．符合条件的只有D 项，故选D ．4．已知平行四边形OABC ，其中O 为坐标原点，若A (2，1)，B (1，3)，则点C 的坐标为________．解析：设C 的坐标为(x ，y )，则由已知得OC→＝AB →，所以(x ，y )＝(－1，2)． 答案：(－1，2)5．已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB→同方向的单位向量为________． 解析：AB →＝(3，－4)，则与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45。
1-2 空间向量基本定理(精讲)(解析版)
1.2 空间向量基本定理（精讲）考点一 基底的判断【例1】（2021·河南）设x a b =+,y b c =+,z c a =+，且{},,a b c 是空间的一个基底，给出下列向量组：①{,,}a b x ，②{,,}x y z ，③{,,}b c z }，④{,,}x y a b c ++．其中可以作为空间一个基底的向量组有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】如图所示，令a AB =，1b AA =c AD =，则1x AB =，1y AD =，z AC =，1a b c AC ++=，.由于A ，B 1，C ，D 1四点不共面，可知向量,,x y z 也不共面，同理,,b c z 和,,x y a b c ++也不共面，而,,a b x 共面，故选：C.【一隅三反】1．（2021·上海）设向量{},,a b c 是空间一个基底，则一定可以与向量p a b =+，q a b =-，构成空间的另一个基底的向量是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．a 或b【答案】C【解析】由题意和空间向量的共面定理，结合()()2p q a b a b a +=++-=，得a 与,p q 是共面向量，同理b 与,p q 是共面向量，所以a 与b 不能与,p q 构成空间的一个基底；又c 与a 和b 不共面，所以c 与,p q 构成空间的一个基底．故选：C ．2．（2021·全国高二课时练习）以下四个命题中正确的是（ ）A ．基底{},,a b c 中可以有零向量B ．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是0AB AC ⋅=D ．空间向量的基底只能有一组【答案】B【解析】因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A 不正确；△ABC 为直角三角形并不一定是0AB AC ⋅=可能是0BC BA ⋅=也可能是0CA CB ⋅=,故C 不正确； 空间基底可以有无数多组，故D 不正确.故选：B3．（2021·陕西渭南市）若a 、b 、c 为空间的一个基底，则下列选项中，能构成基底的是（ ）A ．a ，a b +，a b -B ．b ，a b +，a b -C ．c ，a b +，a b -D ．a b +，a b -，2a b + 【答案】C 【解析】A 中，()()12a ab a b ⎡⎤=++-⎣⎦，不可为基底； B 中，()()12b a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦，不可为基底； D 中，()()31222a b a b a b ++-=+，不可为基底，故选：C 考点二 用基底表示向量【例2】（1）（2021·江苏盐城市）在三棱锥O ABC -中，AD DB =，2CE EB =，若DE xOA yOB zOC =++，则（ ）A ．111,,263x y z ==-= B ．111,,263x y z ===- C ．111,,263x y z =-== D ．111,,263x y z === （2）（2021·福建漳州市）已知三棱锥O ABC -中，点M 为棱OA 的中点，点G 为ABC 的重心，设OA a =，OB b =，OC c =，则向量MG =（ ）A ．111633a b c -++ B ．111633a b c -- C ．111633a b c -+ D ．111633a b c -+- （3）（2021·湖北十堰市）如图，在四面体OABC 中，G 是ABC 的重心，D 是OG 的中点，则（ ）A ．111366OD OA OB OC =++ B ．111666OD OA OB OC =++ C ．111233OD OA OB OC =++ D ．111333OD OA OB OC =++ 【答案】（1）C （2）A （3）B【解析】（1）由题意D 是AB 中点，∴1()2OD OA OB =+， 又2CE EB =，则2212()3333OE OC CE OC CB OC OB OC OC OB =+=+=+-=+， ∴111362DE OE OD OC OB OA =-=+-， 若DE xOA yOB zOC =++，则111,,263x y z =-==．故选：C ． （2）连接CG 并延长交AB 于点E ，连接OE ，则E 为AB 的中点，且23CG CE =，()()()111111222222CE CA AE CA AB CA CB CA CA CB OA OC OB OC =+=+=+-=+=-+-1122a b c =+-， 22111113322333OG OC CG OC CE c a b c a b c ⎛⎫∴=+=+=++-=++ ⎪⎝⎭， M 为OA 的中点，11111113332633MG OG OM a b c a a b c ⎛⎫∴=-=++-=-++ ⎪⎝⎭.故选：A. （3）如图，记点E 为BC 的中点，连接AE ，OE ， 所以1()2OE OB OC =+， 又G 是ABC 的重心，则23AG AE =， 所以22()33AG AE OE OA ==-. 因为12OD OG =， 所以1111()()2223OD OG OA AG OA OE OA ==+=+- 1111()6366OA OE OA OB OC =+=++ 111666OA OB OC =++.【一隅三反】1．（2021·山东淄博市·高二期末）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是侧面11CDD C 的中心，若1AF xAD yAB zAA =++，求x y z ++=（ ）A ．1B ．32C ．2D ．52【答案】C 【解析】()()11111112222AF AD DF AD DD DC AD AB AD AB AA AA =+=++=++=++， 故1x =，12y =，12z =，则2x y z ++=． 故选：C. 2．（2021·安徽池州市）已知空间任意一点О和不共线的三点A ，B ，C ，若(),,OD mOA nOB pOC m n p R =++∈，则“A ，B ，C ，D 四点共面”是“32m =，12n =，1p =-”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由题意，空间中四点A ，B ，C ，D ，若(),,OD mOA nOB pOC m n p R =++∈若A ，B ，C ，D 四点共面，根据空间向量的共面定量，只需1m n p ++=， 又由32m =，12n =，1p =-，可得1m n p ++=， 所以“32m =，12n =，1p =-”时，A ，B ，C ，D 四点共面，即必要性成立， 反之不一定成立，即充分性不成立，所以“A ，B ，C ，D 四点共面”是“32m =，12n =，1p =-”的必要不充分条件. 故选：A. 3．（2020·山东济宁市）在空间四边形ABCD 中，,,DA a DB b DC c ===，且,2DM MA BN NC ==，则MN =（ ）A ．112233a b c -- B ．121233a b c -++ C ．112233a b c -++ D ．111222a b c -++ 【答案】C 【解析】()1223MN MA AB BN DA DB DA BC =++=+-+ ()()1223DA DB DA DC DB =+-+- 121112332323DA DB DC a b c +=+-+-=+. 故选：C.4．（2021·广东广州市·高二期末）（多选）在空间四边形OABC 中，E F 、分别是OA BC 、的中点，P 为线段EF 上一点，且2PF EP =，设,,OA a OB b OC c ===，则下列等式成立的是（ ）A ．1122OF b c =+ B ．111666EP a b c =-++ C ．111333FP a b c =-++ D ．111366OP a b c =++ 【答案】ABD 【解析】E F 、分别是OA BC 、的中点，11111()22222OF OB OC OB OC b c ∴=+=+=+，故A 正确； 111222EF OF OE b c a =-=+-， 2PF EP =，12,33EP EF FP EF ∴==，1111111133222666EP EF b c a a b c ⎛⎫==+-=-++ ⎪∴⎝⎭，故B 正确； 2211111133222333FP EF b c a a b c ⎛⎫=-=-+-=-- ⎪⎝⎭，故C 错误； 11111112666366OP OE EP a a b c a b c =+=-++=++，故D 正确. 故选：ABD.考点三 空间向量在几何中运用【例3-1】（2021·常德市）三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别是1A B ，11B C 上的点，且12BM A M =，112C N B N =.若90BAC ∠=，1160BAA CAA ∠=∠=，1AB AC AA 1===，则MN 的长为________.【解析】如图设AB a =，AC b =，1AA c =， 所以11111111133MN MA A B B N BA AB B C =++=++ ()()()()1111113333AA AB AB AC AB AB AC AA a b c =-++-=++=++， 因为()2222222a b c a b c a b a c b c ++=+++⋅+⋅+⋅1110211cos60211cos605=++++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=, 所以1533MN a b c =++=，故答案为：3【例3-2】（2021·浙江高二单元测试）如图，在空间四边形OABC 中，8,6OA AB ，4AC =，5BC =，45,60OAC OAB ，则OA 与BC 所成角的余弦值为（ ）A BC ．12D ．2 【答案】A【解析】86cos6024OA BA ︒⋅=⨯=84cos135OA AC ︒⋅=⨯=-设异面直线OA 与BA 的夹角为θ则 ()cos ||||||||OA BC OA BA AC OA BC OA BC θ⋅⋅+==243855--==⨯故选A【例3-3】（2021·全国高二课时练习）如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-，CD '和DC '相交于点O ，连接AO ，求证AO CD '⊥．【答案】证明见解析.【解析】因为正方体ABCD A B C D ''''-，所以C D CD ''⊥，AD ⊥平面C CDD ''，又因为CD '⊂平面C CDD ''，所以'AD CD ⊥，又因为C D AD D '=，所以CD '⊥平面AC D '，又因为AO ⊂平面AC D '，所以AO CD '⊥.【一隅三反】1．（2021·陕西）如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，2AB =，2AD =，3AA '=，BAD BAA DAA ''∠=∠=∠60=︒．求BC '与CA '所成角的余弦值．【答案】0【解析】取基底{,,}AB AD AA '，BC BC BB AD AA '''=+=+,CA CA AA CB CD AA AD AB AA ''''=+=++=--+,所以()()BC CA AD AA AD AB AA ''''⋅=+⋅--+22()()AD AD AB AD AA AD AA AB AA AA ''''=--⋅+⋅-⋅-⋅+4239=---+0=.设BC '与CA '的夹角为θ，则cos |cos ,|||0||||BC CA BC CA BC CA θ''⋅''=<>==''， 所以BC '与CA '所成角的余弦值为0.2．（2021·山西）已知四面体OABC ，OB OC =，AOB AOC θ∠=∠=．求证：OA BC ⊥．【答案】证明见解析. 【解析】因为BC OC OB =-,所以()cos cos OA BC OA OC OB OA OC OA OB OA OC OA OB θθ=-=-=-, 因为OB OC =，AOB AOC θ∠=∠=，所以=cos cos 0OA BC OA OC OA OB θθ-=，所以OA BC ⊥，即OA BC ⊥.3．（2021·广西）如图，在直三棱柱'''ABC A B C -'中，'AC BC AA ==，90ACB ∠=，D ，E 分别为AB ，'BB 的中点.（1）求证：'CE A D ⊥；（2）求异面直线CE 与'AC 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）10. 【解析】设CA a =，=CB b ，'=CC c ， 根据题意得=a b c =，且0a b b c a c ⋅=⋅=⋅= ∴12CE b c =+，'1122c b A D a =-+-. ∴'111·222CE A D b c c b a ⎛⎫⎛⎫=+⋅-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2211022c b =-+=， ∴'CE A D ⊥，即'CE A D ⊥. （2）∵'a c AC =-+，∴'=2AC a ，5CE a =，∵()22'111222AC CE b c c a a c ⋅=-⎛⎫+==⎪⎭+ ⎝， ∴'221102cos ,10a a AC CE >=<=. ∴异面直线CE 与'AC . 4.（2021·云南）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =，AD b =，1AA c=，（1）用,,a b c 表示BM ；（2）求对角线1AC 的长；（3）求1cos,AB AC 〈〉【答案】（1）1122a b c -++；（2；（3. 【解析】（1）连接11,,A B AC AC ，如图：因为AB a =，AD b=，1AA c =在1A AB ，根据向量减法法则可得：11BA AA AB c a =-=-因为底面ABCD 是平行四边形故AC AB AD a b =+=+因为11//AC A C 且11||AC AC =∴ 11AC AC a b==+ 又M 为线段11A C 中点 ∴11111()22A M AC a b ==+ 在1A MB 中11111()222BM BA A M c a a b a b c =+=-++=-++ （2）因为顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒ 故1602a b a b cos ⋅=︒= 1||||cos602a c a c ︒⋅=⋅= 1||||cos602b c b c ︒⋅=⋅= 由（1）可知AC a b =+故平行四边形11AA CC 中故：11AC AC AA a b c =+=++ 22211||()()AC AC a b c ==++ 222()()()222a b c a b a c b c =+++⋅+⋅+⋅222||||||2||||cos 602||||cos 602||||cos 60a b c a b a c b c ︒︒︒=+++⋅+⋅+⋅ 111111222222=+++⨯+⨯+⨯6= 故16AC =（3）因为1AC a b c =++，AB a =又111cos ,||||AB AC a AB AC AB AC ⋅⋅==⋅211123++====。
高中数学第二章平面向量章末复习课课件北师大版必修
D.与菱形的边长有关
解析 如图，设对角线 AC 与 BD 交于点 O，∴A→B＝A→O＋O→B.
∴C→A·A→B＝C→A·(A→O＋O→B) ＝－2＋0＝－2.
12345
解析 答案
2.设四边形 ABCD 为平行四边形，|A→B|＝6，|A→D|＝4.若点 M，N 满足B→M＝3M→C， D→N＝2N→C，则A→M·N→M等于
解答
类型三 向量坐标法在平面几何中的应用 例 3 已 知 在 等 腰 △ABC 中 ， BB′ ， CC′ 是 两 腰 上 的 中 线 ， 且 BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值的大小.
解答
反思与感悟
把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标， 这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方 法具有普遍性.
∴m＝ 3.
12345
解析 答案
4.若向量 O→A ＝(1，－3)，| O→A |＝|O→B|，O→A·O→B＝0，则|A→B|＝_2__5__. 解析 由题意可知，△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形， 且腰长|O→A|＝|O→B|＝ 10，由勾股定理得|A→B|＝ 20＝2 5.
12345
cos θ＝|aa|·|bb|＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21 x22＋y22 .
跟踪训练2 已知向量 O→A＝(3，－4)，O→B＝(6，－3)，O→C＝(5－m，－(3＋m)).
(1)若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
解 若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，
∵O→A＝(3，－4)，O→B＝(6，－3)， O→C＝(5－m，－(3＋m))， ∴A→B＝(3，1)，B→C＝(－m－1，－m).
【精品】高二数学选修2-1空间向量与立体几何知识点及例题精讲
2018-2019学年高二数学选修2－1空间向量与立体几何知识点及例题精讲一、知识点总结1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b=+=+;BA OA OB a b=-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作ba //。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b存在实数λ，使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ= <=>)1(=++=y x y x 其中 （4）与a共线的单位向量为±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p x a y b z =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
高中数学第2章平面向量3.2平面向量基本定理课件北师大版必修4
利用基底表示未知向量，实质就是利用向量的加法、减法以及数乘向量进行 线性运算，解决此类问题时，要仔细分析所给图形，借助于平面几何知识的向量 共线定理及平面向量基本定理解决．
第十六页，共35页。
[再练一题] 2．如图2－3－9，在▱ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知 A→M ＝c， A→N＝d，试用c，d表示A→B和A→D.
第十九页，共35页。
如图2－3－10，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交 于E，求证：E为线段BD的三等分点．
图2－3－10
【精彩点拨】 要证E为线段BD的三等分点，只需证B→E ＝23B→D ，可设B→E ＝ μB→D .选取A→B，A→D 作为基底，通过A→B ＋B→E ＝A→E ，建立相应的方程组，并进行
【解】 如图，M→N＝C→N－C→M ＝－13A→C－23C→B ＝－13A→C－23(A→B－A→C) ＝13A→C－23A→B＝13b－23a.
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N→P＝A→P－A→N ＝13A→B－23A→C＝13a－23b. P→M＝－M→P＝－(M→N＋N→P)＝13a＋13b.
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【答案】 B
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2．已知向量e1与e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，
则x－y等于( )
A．3
B．－3
C．0
D．2
【解析】 因为(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，
所以(3x－4y－6)e1＋(2x－3y－3)e2＝0，
2．平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个 不共线向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2.在具体求λ1，λ2时有两种方法：一是直接利 用三角形法则、平行四边形法则及平面向量基本定理；二是利用待定系数法，即 利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．
向量的坐标表示及运算
向量积的坐标计算公式
01
在三维空间中，对于两个向量a = (a1, a2, a3)和b = (b1, b2, b3)，它们的向量积的坐标计算公式为
02
a×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)
03
这个公式可以用来计算两个向量的向量积的坐标。
05
向量的向量积与运算
向量积的定义及性质
定义
向量积是一种二元运算，其结果是一个向量而不是一个 标量。对于两个向量a和b，它们的向量积记作a×b。
性质
向量积满足以下性质
反交换律
a×b = -b×a
分配律
(a+b)×c = a×c + b×c
与零向量的运算
任何向量与零向量的向量积都是零向量。
与自己的运算
向量的方向角
向量的方向角是指向量与坐标轴正方向之间的夹角。在二维平面中，向量与x轴正方向的夹角记作$alpha$，取值 范围为$[0,pi]$；在三维空间中，向量与x轴、y轴、z轴正方向的夹角分别记作$alpha$、$beta$、$gamma$， 取值范围均为$[0,pi]$。
向量的线性运算性质
向量的加法
混合积在几何中的应用举例
01
x_2 & y_2 & z_2 & 1
02
x_3 & y_3 & z_3 & 1
x_4 & y_4 & z_4 & 1
03
混合积在几何中的应用举例
end{matrix} right|$
应用3：求解平面方程。设平面过点$P(x_0, y_0, z_0)$，且平面的法向量为$vec{n} = (A, B, C)$，则平 面的方程可表示为
北师大版数学高二-选修2教案 2.2《空间向量及其运算》
2.2《空间向量及其运算》教学设计【教学目标】1.了解空间向量与平面向量的联系与区别；了解向量及其运算由平面向空间推广的过程。
2.了解空间向量、共线向量、共面向量等概念；理解空间向量共线、共面的充要条件；了解空间向量的基本定理及其意义；掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
3 .掌握空间向量的线性运算及其性质；掌握空间向量的坐标运算。
4 .理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
【导入新课】复习引入1.有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a 、b等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量.2. 向量的加减以及数乘向量运算： 向量的加法： 向量的减法： 实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：|λa |＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa＝0.3. 向量的运算运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a新授课阶段一. 空间向量及其加减与数乘运算1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模。
得到： 零向量、 单位向量、 相反向量的概念。
相等向量： 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：OB OA AB =+=a +b，AB OB OA =-（指向被减向量）， OP =λa()R λ∈3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律．⑴加法交换律：a +b = b + a；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b+ c )；⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa+λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a． 4. 推广：⑴ 12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=；⑵ 122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；⑶ 空间平行四边形法则．例1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.⑴ 向量AB 与AC 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；⑵ 单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB =DC ；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB，CD 在同一条直线上.②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同.③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④不正确，因为A 、B 、C 、D 可能共线.⑤正确.⑥不正确，如图所示，AC 与BC 共线，虽起点不同，但终点却相同.点评：解此类题主要是透彻理解概念，对向量、零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、共面向量的概念特征及相互关系要把握好．二、空间向量的数乘运算1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b。
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高二数学 第二章 第1－3节 从平面向量到空间向量；空间向量的基本计算；向量的坐标表示及空间向量的基本定理北师大版（理）选修2－1
【本讲教育信息】 一、教学内容： 选修2－1 空间向量的运算及空间向量的基本定理
二、教学目标： 1. 理解并掌握空间两个向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量、共面向量等基本概念。 2. 熟练地掌握空间向量的加减运算、数乘运算、空间向量坐标运算的运算法则、运算律及空间向量的数量积的几何意义及性质。 3. 熟练地掌握共线向量定理、空间向量的基本定理，并能利用它们讨论证明空间的线面关系。 4. 体会用类比的数学思想、方程的数学思想、等价转化的数学思想解决问题。
三、知识要点分析： （一）平面向量与空间向量的相同点：
1. 向量夹角：过空间一点O作AOB,OBb,OAa则是向量a与向量b的夹角。 范围：[0，]
2. 加减运算：加减运算法则：向量的平行四边形法则（三角形法则） 运算律：结合律：)()(cbacba，交换律：abba
3. 数乘运算法则：向量a与实数的乘积是一个向量，记作：a，满足 （i）||||a||a，（ii）当0时，a与a方向相同，反之，相反。0a0时，。 运算律：（i）).(,Raa （ii）)R,(,aaa)(,ba)ba(. （iii）),(),()(Raa 4. 空间向量的数量积：cos|b||a|ba。ba,。 运算律：交换律：abba 分配律：caba)cb(a，()ba=b)a()b(a 性质：（1）aa|a|，（2）0baba，（3）|b||a||ba| 注：向量的数量积运算不满足乘法的结合律。即)()(cbacba 5. 共线向量定理：ba与共线)R,0a(ab)R,0b(ba或 6. 直线的方向向量：空间直线L上有A，B两点，则向量AB称为L的方向向量 （二）平面向量与空间向量相似知识点：
平 平面向量 空间向量
相相似知识点
1. 坐标运算： ),y,x(a11)y,x(b22 )yy,xx(ba2121，
11y,x(a）
2121yyxxba，
2121yx|a|
2. 向量积性质的坐标表示： （1）2121yxaa|a| （2） 0yyxx0baba2121 （3）cos=
22222121
2121yxyxyyxx|b||a|ba
3. 共线向量定理坐标表示： ba与共线01221yxyx
4. 平面向量基本定理：平面内21,ee
不共线，平面内任意向量a，有且只有一对实数21,使
.2211eea 5. 相关的结论： （1）重心坐标： ),(),,(),,(332211yxCyxByxA
ABC的重心G的坐标是：
)3,3(321321yyyxxxG
（2）定比分点坐标：有向线段AB，A（),(),,2211yxByx，P（x，y）分
AB所成的比是。则
1,12121yyyxx
x
1. 坐标运算：)z,y,x(a111，)z,y,x(b222 )zz,yy,xx(ba212121 )z,y,x(a111 212121zyxaa|a|
212121zzyyxxba 2. 向量积性质的坐标表示 （1）212121zyxaa|a| （2）
212121zzyyxx0baba=0
（3）cos |b||a|ba
=222222212121212121zyxzyxzzyyxx 3. 共线向量定理坐标表示： ba与共线332211,yxyxyx，
4. 空间向量基本定理： 空间向量321,,eee不共面，空间内任意向量a有且只有一组实数321,,使
332211eeea 5. 相关的结论 （1）重心坐标： ),,(),,,(),,,(333222111zyxCzyxBzyxA
ABC重心G的坐标是：
)3,3,3(321321321zzzyyyxxxG
（2）定比分点坐标：有向线段AB，A（),,(),,,222111zyxBzyx，P（x，y，z）分AB所成的比是。则 ,1yyy,1xxx21211zzz21
【典型例题】 考点一：空间向量的基本计算 例1. 已知空间四边形OABC，对角线OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点。点G在线段MN上。且使：MG=2GN，若OCZOBYOAXOG，求X，Y，Z的值。 【思路分析】由已知M，N分别是对边OA、BC的中点，可以找出OC,OB,OAMN,OM与的关系。 再根据G是MN的三等分点，找出OCOBOAMG,,与的关系 由上面的两个关系，可以用OGOCOBOA表示,,
解：BNABMAMN。由M是OA的中点，N是BC的中点得：OA21MA，BC21BN 又OBOCBC,OAOBAB 故MNOA21OC21OB21)OBOC(21)OAOB(OA21
由MG=2GNOA31OC31OB31MGMN32MG 又OA21MAOM OA61OC31OB31OA31OC31OB31OA21MGOMOG 所求X，Y，Z的值是31,31,61。
考点二：空间共线向量定理及空间向量基本定理的应用 例2. 在棱长为1的正四面体OABC中，对于在空间一点P，是否存在三个唯一的实数，当这三个实数的和为1时，使|OP|最小，若存在，求出最小值，并指出P点的位置。若不存在，说明理由。 【思路分析】这是一道探索性的命题，假设存在三个实数X，Y，Z满足题设条件，再利用空间向量基本定理用X，Y，Z表示OP，当X+Y+Z=1时，采用空间向量的数量积的运算及不等式的知识解决。 解：由已知：OC,OB,OA不共线，故由空间向量基本定理得：OCZOBYOAXOP（其中，X，Y，Z.R且X，Y，Z唯一） 22)(||OCZOBYOAXOP，
21OCOBOCOAOBOA,1|OC||OB||OA| YZXZXY)ZYX(YZXZXYZYX|OP|22222 =1－XY－XZ－YZ 而1=X+Y+ZXZYZXYZYXZYX222)(12222 又，YZZYXZZXXYYX2,2,2222222
311)(3222XZYZXYXZYZXYXZYZXYZYX
故36|OP|32|OP|2.,1ZYXP点在平面ABC内。 【另解】由OCZOBYOAXOP，1ZYXP点在平面ABC内。 ||OP最小时即是正四面体OABC的高。故36|OP|min
【说明】共面向量定理：若空间两个向量ba,不共线，则向量bac,与向量共面的充要条件是： 存在唯一的一对实数x，y，使byaxc 推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是：存在有序实数对使CBYCAXCP)1ZYX(,OCZOBYOAXOP
例3 已知OA（1，2，3），OB（2，1，2），OP（1，1，2），O为原点，点Q在直线OP上运动，当QBQA取得最小值时，求点Q的坐标。 【思路分析】由已知得O，P，Q共线，可由共线向量定理表示OQ的坐标，进而表示QBQA,的坐标。然后利用函数方法解决。
解：由O，P，Q共线)2,,(xxxOQOPxOQ )23,2,1(xxxQA，)22,1,2(xxxQB
32)34x(6)x22)(x23()x1)(x2()x2)(x1(QBQA2
故当QBQA34x时，取得最小值是－32，此时)38,34,34(OQ，即Q点坐标为）38,34,34(
考点三：利用空间向量研究平行、垂直问题 例4. 在空间四面体ABCD中，（如图） （1）AB，AC，AD两两垂直，求证：A点在平面BCD内的射影O是BCD的垂心。 （2）三对对棱中点的连线相交于一点且在该点互相平分。