信号与系统常用变换与知识点

常用傅里叶变换对

双边拉普拉斯变换与Z变换性质

基本函数的（双边）拉普拉斯变换和（双边）z变换

拉普拉斯变换与z变换的收敛域、因果性、稳定性

收敛域ROC：对于s来说，使得x(t)e−σt的傅里叶变换收敛；或者x(t)的拉普拉斯变换收敛！

因果性：如果一个系统在任何时刻的输出只取决于现在的输入及过去的输入，该系统称因果系统。

单边拉普拉斯变换和z变换性质

卷积的性质与卷积对：

1、 微分性质：δ′(t )∗x (t )=x ′(t ) ，δ′(t )是微分器。推广：δ(n )(t )∗x (t )=x (n )(t )。

∫

x (t )δ(n )(t )dt =(−1)n x (n )(0)+∞

−∞

2、 积分特性： u (t )∗x (t )=∫x (τ)dτt

−∞, u (t )是积分器。

3、 求和特性：u [n ]∗x [n ]=∑x [k ]n k=−∞

4、

卷积的时不变：x (t )∗δ(t −t 0)=x (t −t 0);x [n ]∗δ[n −n 0]=x [n −n 0] 区分δ(t )的筛选特性：x (t )δ(t −t 0)=x (t 0)δ(t −t 0)；x (t )δ(t )=x (0)δ(t )

取样特性：∫x (t )δ(t −t 0)dt =x (t 0)+∞

−∞；∫x (t )δ(t )dt =x (0)+∞

−∞

5、 常用卷积对：

[e λ1t

u (t )]∗[e λ2t

u (t )]=1

λ1−λ2[e λ1t −e λ2t ]u (t )

[(λ1)n u [n ]]∗[(λ2)n u [n ]]=

1λ1−λ2

[(λ1)n+1−(λ2)n+1]u [n ] u [n ]∗u [n ]=(n +1)u [n ] u (t )∗u (t )=t u (t )

常用公式及概念：

1、欧拉公式： a)e jθ=cos θ−j sin θ;( b) cos θ=1

2(e jθ+e −jθ);( c) sin θ=1

2j (e jθ−e −jθ) 2

其中：实部x =Re {z }=r cos θ；虚部 y =Im {z }=r sin θ

③ 其中：z 的模r =|z |=√x 2+y 2；相角θ=∢z =tan −1y

x 3、洛必达法则

若函数f(x)和g(x)满足下列条件：

（1） lim x→a

f(x)=lim x→a

g (x )=0或者lim x→a

f(x)=lim x→a

g (x )=∞；

（2） 在点a 的某去心邻域内两者都可导，且g ′(x )≠0；

（3） lim x→a

f ′(x)

g ′(x )

=A ，（ A 可为实数，也可为±∞），

则有lim x→a

f (x )

g (x )

=lim x→a

f ′(x)

g ′(x )=A

4、等比数列求和

等比数列通式：a n =a 1q n−1 等比数列求和公式：S n =

a 1−a n q 1−q

， q ≠1)

5、有理函数与有理数

有理函数：通过多项式的加减乘除得到的函数。

有理数：有理数是一个整数a 和一个非零整数b 的比。（有理数是整数和分数的集合，有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。） 6、系统的因果性：系统的响应不应出现在激励之前。系统的响应与未来值有关。对于线性系统，若是因果系统则满足：t <0时ℎ(t )=0。一个线性系统的因果性就等效与初始松弛条件。

7、系统的记忆性：系统的响应与过去的输入有关。如果一个线性时不变系统的单位冲激响应ℎ(t )或单位脉冲响应ℎ[n ]，在t ≠0或n ≠0时有ℎ(t )=0或ℎ[n ]=0，则该系统是无记忆的。 8、系统的可逆性：对于一个系统，当且仅当存在一个逆系统与原系统级联后所产生的输出等于第一个系统的输入时，这个系统是可逆的。对于线性时不变系统若是可逆的则必须满足，ℎ[n ]∗ℎ1[n ]=δ[n ]或

ℎ(t)∗ℎ1(t)=δ(t)。

9、系统的稳定性：对于每一个有界的输入，其输出是有界的。对于LTI系统稳定的充要条件是：单位脉冲响应是绝对可和或单位冲激响应是绝对可积的。

10、系统的时不变：系统响应的形状不随激励施加的时间不同而改变。对于一个线性因果系统，初始松弛也意味着时不变。

11、系统的初始松弛条件：y(t0)= y′(t0)=⋯=y(N−1)(t0)=0，此时零输入响应y zi(t)=0

12、判断函数的实偶性：实函数其傅里叶级数满足a−k=a k∗或者a k=a−k∗，若为偶函数则a k也是偶函数

a k=a−k。实奇函数的a k为纯虚数，且a k=−a−k，a0=0。

8、常用三角函数

系统函数与方框图的转化方法？