如何构建数学模型

如何构建数学模型

如何构建数学模型

【摘要】：数学来源于现实生活，学习数学的最终目的是为了更好地认识和解决现实生活中的实际问题。解决问题的关键，就是从实际问题中，舍弃与数学问题无关的东西，抓住体现问题实质的东西。即把实际问题经过抽象转化，构建数学模型。

【关键词】:数学模型、建模意识解决问题

数学是一门基础学科，说它基础，就在于它能够有效地解决现实世界向我们提出的各种问题，而数学模型正是联系数学与现实世界的桥梁。历史上著名的“哥尼斯堡七桥问题”就是大数学家欧拉巧妙地运用数学知识把河岸抽象成“点”，把桥抽象为“线”，构建出平面几何模型，成为数学史上用数学解决实际问题的经典。

新课程标准明确提出：让学生亲身经历将初建问题抽象成数学模型并进行解释和应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面进步和发展。

要理解数学模型先要理解什么是“模型”？通俗的说，模型就像是纸飞机，它虽然不是真飞机，但是它具备飞机的本质特征，符合飞机的空气动力学特征，它就能飞。这个“假”飞机就是模型。

那什么是数学模型？就是要把数学问题抽丝剥茧，找出问题

的数学本质，从而能够推而广之的一种结构。

数学建模，就像是搭建一个飞机、一座高楼，在学生的感受上讲是一个心理过程，在形式上讲是一个创造性思维活动。所以，教师要让学生经历建模的整个心理过程，体会整个心理历程。结合本节课，谈一谈对建模这一心理过程的认识。

一、发现

建模的第一步是学生要有所发现。“发现”是亲历的过程，是学生身心体会的起点。它必须作为“建模”这个心理过程的第一步。

下面通过分析相遇问题的教学，谈一谈如何让学生发现。

1、发现什么？

课始，老师通过课件展示了现实生活中的相遇问题，学生需通过完整观察整个过程，收集本活动中的全部要素。如：①这是一个什么场景？②上面都有什么？③有几个运动物体？④他们的运动方向是怎样的？⑤他们家与学校的距离有什么特点？⑥他们的出发时间有什么特点？⑦他们的速度怎样？⑧他们到校时是什么状态？

当然，我们要模拟呈现出现实生活中的场景，那学生们看到的就不仅仅是有效要素，还包括大量无效或是干扰要素。比如这个场景中的颜色对比、场景明暗差异、人物的形象、动画呈现方式（滑动前进）等等都会对学生的发现产生

干扰。

对于所有呈现出来的要素，最终目的要使学生吸收有效的，排除无效的，才能进行下一步的构建。把要素按有效、无效分化开来，这需要老师的适当点拨、引导。在课上，老师说：我们一起来看一下他们的运动过程，仔细观察。看你有什么发现？以及还让学生再次观察表的时刻，都是使学生抓住有效要素、排除无效要素所做的引导。

2、提取要素

发现有效要素后，要把它们提取出来，使它们成为构建数学模型的“砖石”。这个提取过程要根据教学内容和学生实际适当安排，过程可繁可简。

比如本课的“相遇问题”，需要学生提取的要素很多且难于理解，所以提取这些有效要素要多用些“笔墨”。教师设计了“过程再现模拟”这一环节。在此环节中，师生两人“重走上学路”，并故意依次出现以下错误：①同向行走②错时出发③中途转向，从而在辨析中提取如下要素：两个远动物体、从两地、同时出发、相对而行、最终相遇。并利用串连起所有要素讲述这个运动过程，强化这个完整远动过程。

至此，发现、提取构建数学模型所需有效要素的工作完成。

二、问题提出

“砖石”已经放在手边了，该盖房子了。盖什么样的房子呢？得看你有什么样的“砖石”。这一步，就是确定“盖什么样的房子”。课中，我把这一“问题提出”环节设计成开放性的，目的就是让学生们看看：这些“砖石”都能盖什么样的房子？然后通过学生们的尝试，要达到拨云见日，抬头看远方的效果，最终沿着那清新的小路，找到那座就在不远处的——“房子”。

学生：①李华家距离学校有多远？

②王明家距离学校有多少米？

这些都是学生已经会盖了的“平房”。

③王明、李华一共走了多少米？

师：也就是求两家距离学校一共多少米。出示题目。

至此，我们找到了那些“砖石”能盖的“二层小楼”。

三、抽象

建高楼要先打框架，它支撑起楼的基本样子，只要有框架已经架在那儿了，我们就知道——这是一座楼。数学模型就是“砖石、钢筋”所搭建起来的那个楼的框架。

这一步，要把数学问题去繁去赘、进行简化、抽象，让学生只看问题的本质，把实际问题“数学化”。

题目出来后，教师让学生“用你自己喜欢的方式，把题目的信息与问题整理出来”，就是“数学化”的体现。学生写出了：摘录法、表格法、图示法、学具法、线段图法等。

利用线段图理解题目是解决数学问题的一般性方法，它体现了数学解决问题时“数形结合”的思想，这种方法是应用题建模的重要方法。所以教师着重带领学生理解这种方法。对于“相遇问题”这样的行程问题，利用线段图法，简化实际问题为数学问题，是一个“抽丝剥茧”的过程。

其中，在第二组学生展示学具摆放来表示他们两人的行程时，出现了如下图的摆法。这是对“相遇问题”较高水平的抽象，这个小组的学生已经是在建模了。说明学生的抽象概括能力很强。也为其他学生后面解题、利用线段图简化、抽象该题建模做了蕴伏。

其后学生独立解答出两种解法，教师带领学生最终抽象出“相遇问题”的两种模型。

四、解决

面对重重的现实问题，学生常常感到无从入手，如果学生脑中有模型化的那方法就会使问题迎刃而解。

将现实问题转化为数学模型，使之纳入自己的知识体系及认知结构中，成为学生本身的一把解题钥匙。当学生遇到新的实际问题时，他能先把实际问题“数学化”，再与脑中固有的数学模型相对照，符合模型便可以用此模型解决之。

本课中在形成了数学模型后，先后出示了求“济青高速公路长度”、求隧道长度，“背向而行”，“相向而行未相遇”等实际问题，为建立“解决实际问题”与“相遇问题”的数学