第六章_物流运筹学——图与网络分析

（2）计算 D(k) (li(jk) )nn, (k 1, 2,3, 4, , n),
其中
l(k
ij
)

min[li(jk
1)
,
l(k
ik
1)

l(k
kj
1)
]
；
（3）
D(n)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

(li(jn)
)nn
中元素
l(n)
ij
就是 vi
到vj
的最短路长。
Floyd算法
【例 6-11】（物流中心选址问题）考虑在某城市建立物流配送网络。若各需求点 之间物流费用如图 6-13 所示，试对该网点布局选择最佳配送中心。
定义W ( f ) 中边的权 wij 为：
wij

bij
fij cij fij cij
w ji

bij
fij 0 fij 0
注：长度为 的边可以从W ( f ) 中略去。
寻求最小费用流算法的基本步骤：
（1）取零流为初始可行流，即 f 0 0，置 k 1。
标号，对 v j 的 T 标号进行如下的更改：
T (v j ) min[T (v j ), p(vi ) lij ] （3）比较所有具有 T 标号的点，把最小者改为 P 标号，即：
P(v j ) min[T (v j )] 当存在两个以上最小者时，可同时改变为 P 标号。若全部均为 P 标号则停 止。否则用 v j 代替 vi ，转回（2）。
deg(v) (d(v)) 。 定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2
倍。 推论 6-1 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。 图 G (V , E) 和图 H (V , E) ，若V V且E E ，则
称 H 是 G 的子图，记作：H G ；特别的，当V V 时，
图 G (V , E) 中， V n ，构造一个矩阵 A (aij )n n ， 其中当 (vi , v j ) E 时 aij 1 ，否则为 0；称 A 图 G 的邻接
矩阵。
树 连通且不含圈的无向图称为树，树中次为 1 的点称为树叶，次
大于 1 的点称为支点。
图 T (V , E), V n, E m ，则下列关于树的说法是
别用 和 表示， f fij 是一个可行流，如果满足
0 fij cij cij fij 0
vi , v j vi , v j
则称 为从 vS 到 vt 的（关于 f 的）可增广链。
可行流 f 是最大流的充要条件是不存在从 vS 到 vt 的（关于 f 的）可增 广链。
v2 1
2 5
v1
5 3
4
v4
8
7 v3
2
6
图 6-13 各需点及其物流费用
第三节 最大流问题
最大流问题是涉及怎样使得配送网络中物流量最大的问题
设有向图 G (V , E) ， G 的每一条边 (vi , v j ) 上的非负数 cij 称为边的容量，在V 中指定了一点称为发点（记为 vs ），指定 了另一点称为收点（记为 vt ），其余的点为中间点，这样的网 络 G 称为容量网络，记作： G (V , E,C) 。
一个有向图 G 是指一个有序二元组 (V (G),E(G)) ，其中 V (G) 是一个非空集合， E(G)是V (G) 中元素的有序对的集合； V (G) 称为图 G 的顶点集，E(G) 称为 G 的边集，简写为 G (V , E) 。
图与网络的概念
当边 ek (vi , vj ) 时，称 vi ，v j 为边 ek 的端点，并称 v j 与 vi 相 邻（adjacent）；边 ek 称为与顶点 vi ，v j 关联（incident）。如果 某两条边至少有一个公共端点，则称这两条边在图 G 中相 邻。
【例 6-9】（最短路问题）某物流公司要将一批产品从城市 v1 运到城市 v3 ，其中 经过的城市及城市间的距离见图 6-11，试求从 v1 到 v3 的最短路径。
v2
2
v3
4
3
2 7
1 v1
5
v5
6 4
v6 3
v4 1
v7
1
v8
图 6-11 城市及距离
Floyd算法
算法基本步骤为：
（1）输入边权矩阵 D(0) D ；
对于图 G (V , E) ，若每个点或每条边都有一个数量指标（常称为权）
与之对应，则称 G 为赋权图或网络。“权”可以代表距离、费用、容量等 等。
图与网络的矩阵表示
网络（赋权图）G (V , E) ，边 (vi , v j ) 有权 wij ，构造矩阵 A (aij )n n 其中：当 (vi , v j ) E 时 aij wij ，否则为 0 ， 则称矩阵 A 为网络 G 的边权矩阵。
j
k
资的流入量与流出量相等）。
对收、发点 ut , us ，有 fsi f jt W （即从 us 点发出的物资
i
j
总量等于 ut 点输入量）W 为网络流的总流量。
所谓最大流问题就是在容量网络中，寻找 流量最大的可行流。
容量网络 G ，若 为网络中从 vS 到 vt 的一条链，给 定向为从 vS 到 vt , 上的边，凡与 同向称为前向边，凡与 反向称为后向边，其集合分
求最大流问题的标号法
• 将所有的点都标上号的过程（即寻找可 增广链的过程）
• 调整过程（将能够调整的流量进行调整 的过程）
【例 6-12】某企业从配送中心 vs 向接货点 vt 送货，运输线路如图 6-14 所示，路 旁第一个数字是线路的最大通行能力，第二个数字是一个容许通行的流量。现在 要求制定一个运输方案使从 vs 运到 vt 的货物数量最多。
连通图 G (V , E) 每条边上有非负的权 L(e) 。一 棵生成树的所有树枝上的权总和，称为这个生成树的 权。具有最小的权的生成树被称为最小生成树，简称 最小树。
求最小生成树的算法
Kruskal算法基本步骤如下： 每步从未选的边中选取边e，使它与已
选边不构成圈，且e是位选边中的最小权边， 直到选够n-1条边为止。
称 H 为 G 的生成子图。
图与网络的概念
在无向图 G (V , E) 中，若图 G 中某些点与某些边的交替序列可以排成 如下
(vi0 , ei1, vi1, ei2 , vik1, eik , vik ) 的形式，且 eit (vit1, vit ) ,则称这个点边序列为联接 vi0 , vik 的一条链，链长 为 k ；没有重复顶点和边的链称为路；起点和终点重合的路称为回路。
第六章 图与网络分析
图与网络的概念和模型 最短路径问题 最大流问题 最小费用流问题
运输路径优化应用
知识目标
• 掌握图与网络的概念和模型； • 掌握求最小路径两种算法的计算过程； • 掌握最大流算法； • 掌握最小费用最大流方法； • 了解图与网络分析在运输路径中的应用。
技能目标
• 能够结合实际情况建立图与网络模型； • 能够应用本章算法求最优运输路径。
最短路径问题的一般提法如下：设G (V , E) 为赋权图， 图中各边 (vi , v j ) 有权 lij ，若 lij 则表示 vi , v j 没有边相连， vs , vt 为图中任意两点（或指定的两点），求一条道路 ， 使它是从 vs到vt 的所有道路中总权最小的道路。即求满足
等价的。 （1）T 是一个树。 （2）T 无圈，且 m =n-1。 （3）T 连通，且 m =n-1。 （4）T 无圈，但每加一新边即唯一一个圈。 （5）T 中任意两点，有唯一链相连 （6）T 连通，但每舍去一边就不连通。
生成树和最小生成树
若图 G 的生成子图是一棵树，则称该树为 G 的生 成树，或简称图 G 的树。
【例6-8】中国邮路问题
一个邮递员，负责某一地区的信件投递。 他每天要从邮局出发，走遍该地区所有街 道再返回邮局，问应如何安排送信的路线 可以使所走的总路程最短？用图论的语言 描述：给定一个连通图，每边有非负权， 要求一条回路过每边至少一次，且满足总 权最小。
第二节 最短路径问题
• Dijkstra算法 • Floyd算法
修建高速公路把这些城市连接起来，使得 从其中任何一个城市都可以经高速公路直 接或间接到达另一个城市。假定已经知道 了任意两个城市之间修建高速公路的成本， 那么应如何决定在哪些城市间修建高速公 路，使得总成本最小？
【例6-7】指派问题 一家公司经理准备安排n名员工去完成
n项任务，每人一项。由于各员工的特点不 同，不同的员工去完成同一项任务时所获 得的回报是不同的。如何分配工作方案可 以使总回报最大？
（ 2 ） 若 有 f (k1) ， 构 造 赋 权 有 向 图 W ( f ) (k1) ， 在 W ( f (k1) ) 中，寻找从 vs 到 vt 的最短路。若不存在最短路， 则 f (k1) 已为最大流，算法停止；否则转（3）。
寻求最小费用流算法的基本步骤：
（3）在 G 中与这条最短路相应的可增广链 上对 f (k1) 进行调整，
所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ，使流的
总运输费用 b( f )
bij fij 取极小值。
(vi ,v j )E
对可行流 f ，构造一个赋权有向图W ( f ) ，它的顶点是
原来 G 的顶点，而把 G 中的每条边 (vi , v j ) E 变成两个相反
方向的边 (vi , v j ) ， (v j , vi ) 。
图与网络分析实例
【例6-5】最短路问题 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将
一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地 的公路网纵横交错，因此有多种行车路线， 这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车 的运行速度是恒定的，那么这一问题相当 于寻找一条从甲地到乙地的最短路。
【例6-6】公路连接问题 某一地区有若干个主要城市，现准备
图 G (V , E) 的点集 V 可以分为两个非空子集 X ,Y , 即： X Y V, X Y ，使得 E 中每一条边的两个端点必有一个 端点属于 X ，另一个端点属于Y ，则称G 为二部图（偶图）， 记作： G (X ,Y, E)。
图与网络的概念
以点 v 为端点的边数叫做顶点 v 的次（度），记作:
调整量为
令：


min min (cij

f
( ij
k
1)
)
,
min
f
( ij
k
1)

f (k1)
f (k) ij


ij
f (k 1) ij

(vi , v j ) (vi , v j )
(3,3)
vs
(5,1)
v2 (1,1)
v1
(4,3) (1,1)
(2,2)
图 6-14 运输线路图
v4 (5,3)
(3,0)
vt
(2,1)
v3
第四节 最小费用最大流问题
在容量网络 G (V , E,C) ，每一条边 (vi , v j ) E 上，除了已 给容量 cij 外，还给了一个单位流量的费用 bij 0 ，记此时的容 量网络为 G (V , E,C, B) 。
对任意 G 中的边 vi , vj 有流量 fij ，称集合 f fij 为 G 的一个流。
称满足下列条件的流为可行流。
（1）容量限制条件：对 G 中每条边 vi , vj ，有 0 fij cij 。
（2）平衡条件：对中间点 vi ，有 fij fki （即中间点 vi 的物
第一节 图与网络的概念和模型
• 图与网络的概念 •树 • 图与网络分析实例
图与网络的概念
一个无向图 G 是指一个有序二元组 (V (G),E(G)) ，其中 V (G) 是一个非空集合， E(G)是V (G) 中元素的无序对的集合； V (G) 称为图 G 的顶点集，E(G) 称为 G 的边集，简写为 G (V , E) 。
最小的 。
L()
lij
(vi ,v j )
Dijkstra算法
算法的基本步骤： （1）给 vs 以 P 标号， P(vs ) 0 ，其余各点均给 T 标号，T (vi ) 。
（2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j：(vi , v j ) E ，且 v j 为 T