等差数列及其变式
等差数列及其变式
一、基本等差数列
【例】1，4，7，10，l 3，l 6，19，22，25，…
1、二级等差数列
一般地，一个数列相邻的两项作差，得到的新数列为等差数列，则称原数列为二级等差数列。
解题模式：（1）观察数列特征。大部分多级等差数列为递增或递减的形式。
（2）尝试作差，一般为相邻两项之间作差，注意作差时相减的顺序保持不变、
（3）测测规律
（4）检验。
（5）重复步骤（2）~（4）直至规律吻合。
【例1】(2007黑龙江，第8题)11，12，15，20，27，( )
A．32 B．34 C．36 D．38
【解题关键点】原数列：11 12 15 20 27 （36）
做一次差： 1 3 5 7 （9）等差数列【答案】C
【例2】(2002国家，B类，第3题)32，27，23，20，18，( )
A．14 B．15 C．16 D．1 7
【解题关键点】原数列：32 27 23 20 18 （17）
做一次差：5 4 3 2 1 等差数列【答案】D
【例3】(2002国家，B类，第5题)－2，1，7，16，( )，43
A．25 B．28 C．31 D．35
【解题关键点】原数列：-2 1 7 16 （z）43
做一次差： 3 6 9 x y
猜测：一个公差为3的等差数列。
尝试：x=9+3=12，（z ）=16+12=28
检验：y=12+3=15, ( z )=43-15=28 【答案】B
【例】3，6，11，( )，27
A．15 B．18 C．19 D．24
【解题关键点】二级等差数列。
3 6 11 (18) 27
3 5 7 9 【答案】B
3、二级等差数列变式
（1）相邻两项之差是等比数列
【例】0，3，9，21，( )，93
A．40 B．45 C. 36 D．38
【解题关键点】二级等差数列变式
0 3 9 21 (45) 93
求差
3 6 12 (24) (48) 公比为2 的等比数列【答案】B
（2）相邻两项之差是连续质数
【例】11，13，16，21，28，( )
A．37 B．39 C.41 D.47
【解题关键点】二级等差数列变式
11 13 16 21 28 （39）
求差
2 3 5 7 （11）质数列【答案】B
（3）相邻两项之差是平方数列、立方数列
【例】1，2，6，15，（）
A．19 B．24 C．31 D．27
【解题关键点】数列特征明显单调且倍数关系不明显，优先做差。
原数列：1 2 6 15 （31）
做差： 1 4 9 （16）得到平方数列。【答案】C
（4）相邻两项之差是和数列
【例】2, 1, 5, 8, 15, 25, ( )
A.41
B.42
C.43
D.44
【解题关键点】相邻两项之差是和数列
2 1 5 8 15 25 （42）
求差
-1 4 3 7 10 （17）和数列【答案】Ｂ
（5）相邻两项之差是循环数列
【例】1,4,8,13,16,20,( )
A. 20
B. 25
C. 27
D. 28 【答案】B
【解题关键点】该数列相邻两数的差成3，4，5一组循环的规律，所以空缺项应为20+5=25，故选B。
1、三级等差数列
一般地，一个数列相邻的两项作差，得到的新数列，然后对该新数列相邻两项作差，得到等差数列，则称原数列为三级等差数列。
解题模式：（1）观察数列特征。大部分多级等差数列为递增或递减的形式。
（2）尝试作差，一般为相邻两项之间作差，注意作差时相减的顺序保持不变、
（3）测测规律
（4）检验。
（5）重复步骤（2）~（4）直至规律吻合。
【例】（2009年中央机关及其直属机构公务员录用考试行测真题）1，9，35，91，189，( ) A．361 B．341 C．321 D．301
【解题关键点】原数列后项减前项构成数列8，26，56，98，( )，新数列后项减前项构成数列18，30，42，(54)，该数列是公差为12的等差数列，接下来一项为54，反推回去，可得原数列的空缺项为54+98+189=341，故选B。如图所示：
1 9 35 91 189 （341）
8 26 56 98 （52）
18 30 42 （54）【答案】B
解法二：因式分解数列，原数列经分解因式后变成：1×1，3×3，5×7，7×13，9×21，(11×31)，将乘式的第一个因数和第二个因数分别排列，前一个因数是公差为2的等差数列，后一个因数是二级等差数列，答案也为B。图示法能把等差(比)数列的结构清晰地表示出来，一般应用于多级等差(比)数列中。
【例2】5，12，21，34，53，80，( )
A .121 B．115 C．119 D．117
【解题关键点】三级等差数列
5 12 21 34 53 80 （117）
求差
7 9 13 19 27 （37）
求差
2 4 6 8 （10）公差为2的等差数列【答案】D
5、三级等差数列变式
（1）两次作差之后得到等比数列
【例】(2005国家，－类，第35题)0，1，3，8，22，63，( )。
A．163 B．174 C．185 D．196
【解题关键点】原数列：0 1 3 8 22 63 （185）
求差
1 2 5 14 41 （122）
求差
1 3 9 27 （81）等比数列【答案】C （2）两次作差之后得到连续质数
【例】1,8,18,33,55,( )
A．86 B．87 C．88 D．89
【解题关键点】
1 8 18 33 55 (88)
求差
7 10 15 22 (33)
求差
3 5 7 (11) 质数列【答案】C
（3）两次作差之后得到平方数列、立方数列
【例】5,12,20,36,79,( )
A．185 B．186 C．187 D．188
【解题关键点】
5 12 20 3
6 79 (186)
求差
7 8 16 43 (107)
求差
1 8 27 (64) 立方数列【答案】B
（4）两次作差之后得到和数列
【例4】-2, 0, 1, 6, 14, 29, 54, ( )
A.95
B.96
C.97
D.98
【解题关键点】三级等差数列变式-2 0 1 6 14 29 54 （96）
求差
2 1 5 8 15 25 （42）
求差
-1 4 3 7 10 （17）和数列
【答案】Ｂ
基本等差数列单选题1. 12，34，56，78，( )
A．910 B．100 C.91 D.109
2. －1，1，7，17，31，( )，71，
A.41
B.37
C.49
D.50
3. 3，6，12，21，33，( )
A．44 B．46 C．48 D．50
4. 11，14，20，29，41，（）
A.45
B.49
C.56
D.72
5. 782，733，697，672，（）
A. 656
B. 648
C. 662
D. 658
6. 7, 13, 20, 31, ( )
A.40
B.43
C.51
D.54
7. 15, 39, 65, 94, 128, 170, ( )
A.180
B.210
C.225
D.256
二级等差数列单选题1. 1，8，21，40，（），96
A．55 B．60 C．65 D．70
2. 1，2，3，10，5，26，7，50，9，( )。
A．62 B．72 C．82 D．92
3. 41, 64, 93, 128, 151, 180 ( )
A.207
B.215
C.223
D.228
4. 4，4，8，12，7，14，2，5，8，( )。
A．14 B．18 C．22 D．24
5. 5，8，( ) ，23，35
A. 19
B. 18
C. 15
D. 14
6. 1，2，3，7，8，17，15，( )。
A．31 B．10 C．9 D．25
7. 3，4，8，35，291，( )
A .302 B.343 C.3125 D.3416
8. 4, 4, 2, -2, ( )
A.-3
B.4
C.-4
D.-8
9. 25，28，32，( )，40，44，49。
A．35 B．36 C．37 D．38
10. -8, -4, 4, 20, ( )
A.60
B.52
C.48
D.36
三级等差数列单选题
1. 3, 8, 9, 0, -25, -72 ，（）
A.-147
B.-144
C.-132
D.-124
2. 1, 10, 31，70, 133, ( )
A.136
B.186
C.226
D.256
3. 1, 8, 18, 33, 55, ( )
A.74
B.88
C.95
D.103
4. 1，8，22，50，99，( )
A．120 B．134 C．142 D.176
5. -2, 0, 1, 6, 14, 29, 54, ( )
A.95
B.96
C.97
D.98
6. 0, 1, 4, 11, 26, ( )
A.61
B.57
C.43
D.33
基本等差数列参考答案
1、.B公差为22的等差数列，下一项为78+22=(100)。
4、C -1 1=-1+2+0*4 7=1+2+1*4 17=7+2+2*4 31=17+2+3*4 49=31+2+4*4 71=49+2+5*4
3、C 相邻两项之差(后项减前项)分别为3，6，9，12，(1 5)，形成一个新的以3为公差的等差数列。由此可见，括号里的数字应为33+15=48，故选C。
4、C经过仔细观察与简单的计算后可以看出，本题中的相邻两项之差构成一个等差数列3，6，9，12，…，相差数为3。根据这一规律，推算出最后两项之差应为15，所以选C。此种题型中相领项并不是一个简单的等差数列，但其仍符合等差数列的一些特征，有着明显的规律性，所以可将其看作是等差数列的变式。
5、A 782-49(7X7)=733 733-36(6X6)=697 697-25(5X5)=672
672-16(4X4)=656
6、C 三级等差数列变式7 13 20 31 （51）
求差
6 7 11 （20）
求差
1 4 （9）平方数列
7、.C 三级等差数列变式15 39 65 94 128 170 （225）
求差
24 26 29 34 42 （55）
求差
2 3 5 8 （13）和数列
二级等差数列参考答案
1.C数列特征明显单调且倍数关系不明显，优先做差。
得到典型的公差为6的等差数列。如图所示，因此，选C
2. C [解一]两两分组：[1，2][3，10][5，26][7，50][9，(82)]
组内规律：前一个数的平方再加1，等于后一个数。
[解二]奇数项：1，3，5，7，9 构成等差数列；
偶数项：2，10，26，50，(82) 构成二级等差数列
3. B二级等差数列变式。相邻附项的差为23、29、35、23、29、(35)，是循环数列
4. D
5. D解法一：前后两项两两做差得到二级等差数列3.
6.9.12
6. A
7. C基本二级等差数列
3 4 8 35 291 （3416）求差
1 4 27 256 （3125）
1
1223344（55）
8. D
9. C相邻两项的差为3、4、5、3、4、5。备注：该题属于争议题。有人认为该题选B也行。解释如下：
隔项数列，25,32,40，49二级等差。28,36,44等差
10. B
三级等差数列参考答案
1.
A
2.
C 3.
B
4.
D
5. B
6.
B
等差数列应用题.题库
等差数列应用题 例题精讲 【例 1】体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？ 【例 2】一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人，那么这个队列共有多少人？ 【例 3】有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按 照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102 个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？ 【巩固】有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根? 【巩固】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？ 【难度】2星【题型】解答 【例 4】一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？ 【巩固】某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？ 【巩固】一个大剧院，座位排列成的形状像是一个梯形，而且第一排有10个座位，第二排有12个座位，第三排有14个座位，……最后一排他们数了一下，一共有210个座位，思考一下，剧院中间一排有多少个座位呢？这个剧院一共有多少个座位呢?
(完整版)等差数列的通项公式及应用习题
等差数列的通项公式及应用习题 1. 已知等差数列｛a n ｝中，a2=2, a5=8,贝擞列的第10项为（） A. 12 B . 14 C. 16 D. 18 2. 已知等差数列前3项为-3, -1, 1，则数列的第50项为（） A . 91 B. 93 C. 95 D. 97 3. 已知等差数列首项为2,末项为62,公差为4,则这个数列共有 A . 13 项 B . 14 项C. 15 项D. 16 项 4. 已知等差数列的通项公式为a n=-3n+a, a为常数，则公差d=久一3 B, 3 C. 一三 D.- 2 2 5. 已知等差数列｛a n ｝中，a1=1, d=3,那么当a n=298时，项数n等于 A. 98 B . 99 C . 100 D . 101 6. 在等差数列｛a n ｝中，若a3=-4 , a5=11,则an等于 A. 56 B . 18 C . 15 D . 45 7. 在等差数列｛a n｝中，若a1+a2=-18 , a5+a6=-2，则30是这个数列的
A .第22项B.第21项C.第20项D.第19项 3,在数列中，若ai= 20, =-^ + 1),则时等于 -- A. 45 B. 48 C. 52 D. 55 11. 已知数列a, -15 , b, c, 45是等差数列，则a+b+c的值是 A. -5 B . 0 C . 5 D. 10 12. 已知等差数列｛a n｝中，a1+a2+a3=-15 , a3+a=-16，贝卩a二 A. -1 B . -3 C . -5 D . -7 13. 已知等差数列｛a n ｝中，a10=-20 , a2°n=20,则这个数列的首 项a为 A. -56 B . -52 C . -48 D . -44 二、填空题 1. 等差数列7，11，15,…，195，共有____________ 项. 2. 已知等差数列5, 8, 11,…，它的第21项为____________ . 3. 已知等差数列-1 , -4 , -7, -10,…,则-301是这个数列的 第_____ .
等差数列及其性质典型例题及练习(学生)
等差数列及其性质 典型例题： 热点考向一：等差数列的基本量 例1. 在等差数列{n a }中， （1） 已知81248,168S S ==，求1,a 和d （2） 已知6510,5a S ==，求8a 和8S 变式训练： 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知 102030,50a a ==. （1）求通项公式{}n a ； （2）若242n S =，求n . 热点考向二：等差数列的判定与证明. 例2：在数列{}n a 中，11a =，1114n n a a +=- ，221 n n b a = -，其中* .n N ∈ （1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求证：在数列{}n a 中对于任意的* n N ∈，都有 1n n a a +>. （3 ）设n b n c =，试问数列{n c }中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由. 跟踪训练：已知数列{n a }中，13 5 a = ，数列11 2,(2,)n n a n n N a *-=-≥∈，数列{n b }满足 1()1 n n b n N a *=∈- （1）求证数列{n b }是等差数列； （2）求数列{n a }中的最大项与最小项. 热点考向三：等差数列前n 项和 例3 在等差数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）若120a =，并且1015S S =，求当n 取何值时，n S 最大，并求出最大值； （2）若10a <，912S S =，则该数列前多少项的和最小？ 跟踪训练3：设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知 .0,0,1213123<>=S S a （I ）求公差d 的取值范围； （II ）指出12321,,,,S S S S 中哪一个最大，并说明理由。 热点考向四：等差数列的综合应用 例4.已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点列(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3 a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得 T n
小学奥数五年级精讲选讲1 等差数列求和
选讲1 等差数列求和 一、知识要点 若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项;数列中,项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 二、精讲精练 【例题1】有一个数列：4，10，16，22…，52.这个数列共有多少项？ 练习1： 1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差= 2.这个等差数列共有多少项？
2.有一个等差数列：2, 5，8，11…，101.这个等差数列共有多少项？ 3.已知等差数列11, 16，21, 26，…，1001.这个等差数列共有多少项？ 【例题2】有一等差数列：3, 7，11, 15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 练习2： 1.一等差数列，首项=3.公差= 2.项数=10，它的末项是多少？
2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。 3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。 【例题3】有这样一个数列：1, 2, 3, 4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 练习3： 计算下面各题。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75
（3）100+99+98+…+61+60 【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。 练习4：计算下面各题。 （1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200 （3）9+18+27+36+…+261+270
第01讲等差数列及其性质
【知识概述】 1.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示，即 a n a n 1 d(n N ,n 2). 2.通项公式：a n a 1 (n 1)d (n N 4.递推公式：a n+1 a n +d (n N ) 5.中项公式：若a 、M 、b 成等差数列, 2M a+b ，称M 为a 、b 的等差中项, a+b 即M 丁 ；若数列a n 是等差数列，则 2a n 6.等差数列的简单性质：(m 、n 、p 、q 、k 若 m n p q ，则 a m a n a p a q ； m n 2p ,则 a m a n 2a p ； 2a m a m 1 a m 1 ； 2a m a m k + a m k a m a n ( m n)d ; S 2m 1 (2 m 1)a m ； 那么这 3.前n 项和公式：S n nd 血卫d n(a i a n ) a n i + a n 1( n 2). (6) S m , S 2m S m ,S 3m S 2m 仍为等差数列. f(n) ' an b n f(n)是n 的一次函数 f(n) 成等差数列. n 数列 ｛ a n ｝ 为等差数列 2 S n an bn 是n 的二次函数且常数项为零
【学前诊断】 已知等差数列｛a n｝中, (1)若a7 a9 16 ,a4 1 ,则a12= 已知数列a n是等差数列, 则k= 已知等差数列a n的前n项和为S n, (〔)右a3 a? a10 g, an a4 4,则S13 (2)若S2 2,S4 10, S6 【经典例题】 n的值. 求S n的最大值及相应的n值; T n a i a2 1. ［难度］易 2. (2)若a12,a2 a313, 贝U a4 a s a6= ［难度］中 (〔)右a4 a? a10 17 ,a4 a5 a6 L a12 a13 a14 77 且a k =13, 3. (2)若公差为-2，且a-i a4a97 5°,则a3 *6 a? a99 ［难度］中 例1 .在等差数列a n中, a2 9, a533,求a g. 例2.设S n表示等差数列a n的前n项和，且S9 18, S n 240,若a n 4 30(n 9)，求例3 ?在等差数列a n中, S m 30, S2m 100 ,求S3m. 例4.已知数列a n是一个等差数列，且a2 1,a5 5,S n 为其前n项和. (1) 求a n的通项a n ；
高二数学 等差数列的定义及性质
等差数列的定义及性质 ?等差数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a n+1-a n=d。 ?等差数列的性质： （1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则a m＝a n+(m-n)d； （4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a s+a t=a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a s+a t=2a p； （5）若数列｛a n｝，｛b n｝均是等差数列，则数列｛ma n+kb n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。 （6） （7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）仍为等差数列，公差为
?对等差数列定义的理解： ①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同 一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． ②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数 列；当d<0时，数列为递减数列； ④是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据； ⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a n+1-a n是一个与n无关的常数即可。 等差数列求解与证明的基本方法： (1)学会运用函数与方程思想解题； (2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键； (3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，a n，S n，知道其中任意三 个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
等差数列综合应用
第六课时 等差数列综合应用 【知识与技能】进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题，会利用等差数列通项公式和前n 项和公式研究S n 的最值，初步体验函数思想在解决数列问题中的应用；掌握裂项相消法求数列的和． 【重点难点】 重点：等差数列前n 项和公式的掌握与应用，裂项相消法求数列的和． 难点：灵活运用求和公式解决问题． 【教学过程】 一、要点梳理 1．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈，首项:1a ，公差:d ，末项:n a 变形公式：d m n a a m n )(-+=；m n a a d m n --=； 2．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A B 、是常数，当0d ≠时，n S 是二次项系数为d 2 ，图象过原点的二次函数．） 3．等差数列的性质 （1）等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列； （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有 2m n p a a a +=； （4）等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，则{a n }中连续的n 项和构成的数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…构成等差．． 数列； （5）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和. 若当项数为偶数n 2时， ()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇，11 n n n n S na a S na a ++==奇偶 若当项数为奇数12+n 时， 21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +?=+=+=+?+????=?? -==???? n+1n+1 奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶 （其中a n+1是项数为21n +的等差数列的中间项）； （6）{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n n A f n B =，则()2121 =21n n n n a A f n b B --=-； （7）若m S n =()n S m m p =≠，则m n S += ；
《等差数列》第一课时教案
《等差数列》第一课时教案 一、教材分析 1、教材的地位和作用： 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。 2、教学目标 根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标 a在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。 b在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 c在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
3、教学重点和难点 根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为: ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。同时，学生对“数学建模”的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。 二、学情分析对于三中的高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。 二、教法分析 针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。 三、学法指导在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。 四、教学程序 本节课的教学过程由（一）复习引入（二）新课探究（三）应用例解（四）反馈练习（五）归纳小结（六）布置作业，
等差数列的性质总结
等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，
等差数列的性质、求和知识点及训练
等差数列的性质、求和知识点及训练 重点：掌握等差数列的通项公式、求和公式以及等差中项的求法 难点:对等差数列的综合考察 一知识梳理 1.定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列 {} n a 是等差数列) 2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a s += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数） （当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法
（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． （2）等差中项：数列 {} n a 是等差数列) 2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）通常把题中条件转化成只含1a 和d 的等式！ 8.等差数列的性质： （1）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （2）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有 2m n p a a a +=. (3) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 （公差为md ） 图示： m m m m m m S S S m m S S m m S m a a a a a a a a 323231221321-+-+++++++++++
等差数列的应用
五年级奥数试题（1） 等差数列的应用姓名 1，下图中有多少三角形。 分析：从图上看，独立的三角形有A、B、C、D四个；两两组合的有3个，即AB、BC、CD；三个三个组阁的有ABC、BCD两个；四个组合的有一个即ABCD。那么一共就有4＋3＋2＋1＝10（个） A B C D 解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：共有10个三角形。 2，在一个平面上，两条直线相交，只有一个交点；三条直线相交，最多有3个交点；四条直线相交最多有6个交点；那么20条直线在一个平面上相交最多有多少个交点？ 2条 1个交点 3条 3个交点 4条 6个交点 5条 10个交点
1 1＋（3－1） 1＋2＋（4－1） 1＋2＋3＋（5－1）…… 这一组数是一组等差“1”的数列，计算时可以应用求等差数列和的公式进行计算。 解： 1＋2＋3＋……＋（20－1）答：20条直线在一个平面上相交最多有190个交点。 3，下图中共有多少个长方形。 分析：按例1的分析方法，用阴影表示沿长和宽，沿长边有4＋3＋2＋1＝10（个）长方形，宽边有5＋4＋3＋2＋1＝15（个）长方形，那么这个图里共有 15×10＝150（个）长方形。 解：（4＋3＋2＋1）×（5＋4＋3＋2＋1）＝150（个） 答：这个图中一共有150个长方形。 4，若干名小学生进行体操训练，排成一个中空方阵，最外层每边12人，共4层，求组成这个方阵的小学生一共有多少人？ 分析：方阵问题中每层人数是一个等差为8的数列，也就是外面一层人数比紧邻内层的人数多8。根据题意，求出最外层人数为（12－1）×4＝44（人），再根据首项＝末项－（项数－1）×公差得最里面层共有：44－（4－1）×8＝20（人），继而求出四层总人数为（44＋20）×4÷2＝128(人) 解：最外层：（12－1）×4＝44（人）最里层：44－（4－1）×8＝20（人）
等差数列求和的应用
等差数列求和的应用 等差数列计算公式 通项公式： 第n项=首项+（n－1）×公差项数公式： 项数=（末项－首项）÷公差＋1 （1）末项公式：第几项(末项)＝首项＋（项数－1）×公差 （2）项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1 （3）求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2 （4）前n个奇数的和：1+3+5+…+(2n-1)= n2 （5）前n个偶数的和：2+4+6+…+2n= n2+n 1、有一列数:5,8,11,14,……。①求它的第100项；②求前100项的和。 2、有一串数：1,4,7,10,……,298。求这串数的和。 3、1998+1997-1996-1995+1994+1993-1992-1991+……198+197-196-195 4、1+2+3-4-5-6+7+8+9-10-11-12+……+182+183 5、1+3+5+7+…+99 6、2+4+6+8+…+100 7、21+23+25+27+…+99 8、已知一串数1,5,9,13,17,…,问这串数中第100个数是多少?
9、1971,1981,1991,2001,2011,…,2091,这几个数的和是多少? 10、98+97-96-95+94+93-92-91+…-4-3+2+1 11、1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99 12、在小于100的自然数中,被7除余3的数的和是多少? 13、已知一列数：1,3,6,10,15,21,…,问第59个数是多少？ 14、在一个八层的宝塔上安装节日彩灯共888盏。已知从第二层开始，每一层比下边一层少安装6盏。问最上边一层安装多少盏？ 15、能不能把44颗花生分给10只猴子，使每只猴子分的花生颗数都不同？ 16、红光电影院有22排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排42个座位。那么这个电影院一共有多少个座位？
第1讲 等差数列与等比数列
第1讲 等差数列与等比数列 高考定位 1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下. 真 题 感 悟 1.(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A.a n ＝2n －5 B.a n ＝3n －10 C.S n ＝2n 2－8n D.S n ＝1 2n 2－2n 解析 设首项为a 1，公差为d . 由S 4＝0，a 5＝5可得?????a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得?????a 1＝－3， d ＝2. 所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5， S n ＝n ×(－3)＋n （n －1） 2×2＝n 2 －4n . 答案 A 2.(2020·全国Ⅱ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n a n ＝( ) A.2n －1 B.2－21－n C.2－2n －1 D.21－n －1
解析 法一 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝24 12＝2. 由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12得a 1＝1. 所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝2n －1， 所以S n a n ＝2n －1 2n － 1＝2－21－n . 法二 设等比数列{a n }的公比为q ，则?????a 3q 2－a 3＝12，①a 4q 2－a 4＝24，② ②①得a 4 a 3 ＝q ＝2. 将q ＝2代入①，解得a 3＝4. 所以a 1＝a 3 q 2＝1，下同法一. 答案 B 3.(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝3 4，则S 4＝ ________. 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1＝q n －1. ∵a 1＝1，S 3＝34，∴a 1＋a 2＋a 3＝1＋q ＋q 2＝3 4， 则4q 2＋4q ＋1＝0，∴q ＝－1 2， ∴S 4＝ 1×? ??? ??1－? ??? ?－124 1－? ????－12＝58. 答案 58 4.(2019·全国Ⅱ卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1 ＝3b n －a n －4. (1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式.
第2讲：等差数列进阶
等差数列进阶 1. 1+2+3+……2014+2015+2014+……+3+2+1 2. 1+4+7+…+100=（） 3.已知数列4、1、8、2、12、3、16、4、…，问:这个数列中第100 个数是（）。 4.等差数列，求和：3＋6＋9＋12＋15＋18＋21＋24＋27＋30＝。 5.木材仓库堆放一批粗细均匀的圆木，最下面一层放了15 根，以后每向上堆一层就减少1 根，最上面一层放了6 根.这批圆木共有（）根。
6.刘老师开的饭馆生意兴隆，第一天赚了200 元钱，第二天赚了300 元钱，之后每天都比前一天多赚100 元，那么第11 天可以赚（）元。 7.在1 ~ 200 这二百个自然数中，所有不能被5 整除的数的和是（） 8.计算：1＋3＋4+6+7+9+…＋43+45=( )。 9.6 和26 之间插入三个数，使它们每相邻两个数的差相同，这三个数的和是（）。
10.王芳大学毕业找工作，他找了两家公司，都要求签工作五年合同，年薪开始都是一万元，但两个公司加薪的方式不同。甲公司承诺每年加薪1000 元，乙公司答应每半年加薪300 元。以五年计算，王芳应聘哪个公司工作收入更高？ 11.小青蛙沿着台阶往上跳，每跳一次都比上一次升高4 厘米，它从离地面10 厘米处开始跳，这一处称为小青蛙的第一次落脚点，那么它的第100 个落脚点正好在台阶尽头的亭子内，这个亭子高出地面多少厘米？ 12.100 个连续的自然数按从小到大的顺序排列，取出其中第1 个数、第3 个数、第5 个数… 第99 个数，把取出的数相加，得到的结果是5400，则这100 个连续自然数的和是多少？
第1讲 速算与巧算(等差数列)
第1讲 速算与巧算（等差数列） 1、数列定义：若干个数排成一列，像这样一串数，称为数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项（我们将用 1a 来表示），第二个数叫做第二项 以此类推，最后一个数叫做这个数列的末项（我们将用 n a 来表示），数列中数的个数称为项数，我们将用 n 来表示。如：2，4，6，8， ，100。 2、等差数列：从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。我们将这个差称为公差（我们用 d 来表示），即： 1122312----=-==-=-=n n n n a a a a a a a a d 例如：等差数列：3、6、9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。（省略号表示什么？） 练习：试举出一个等差数列，并指出首项、末项、项数和公差。 3、 计算等差数列的相关公式： （1）通项公式：第几项＝首项＋（项数－1）×公差 即：d n a a n ?-+=)1(1 （2）项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1 即：1)(1+÷-=d a a n n （3）求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2 即：()21321÷?+=+++n a a a a a a n n 在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。
1.计算： （1）2000－3－6－9－…－51－54 （2）（2＋4＋6＋…＋96＋98＋100）－（1＋3＋5＋7＋…＋97＋99） （3）1991－1988＋1985－1982＋…＋11－8＋5－2 2.计算：2000×1999－1999×1998＋1998×1997－1997×1996＋…＋4×3－3×2＋2×1 3.计算：1+3+4+6+7+9+10+……+2001+2002 4.在1950—1998之间要插入15个数，这样就可以组成一个等差数列，被插入的这15个数的和是多少？ 5.15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？
2015等差数列及其性质典型例题
热点考向一：等差数列的基本量 1.已知 {}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝ A.－2 B.－12 C.1 2 D.2 2. 已知{}n a 是等差数列，且满足)(,n m m a n a n m ≠==，则n m a +等于________。 3、设 {}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= 4．若a ≠b,数列a,x 1,x 2 ,b 和数列a,y 1 ,y 2 ,b 都是等差数列，则 =--1 212y y x x （） A ． 43 B ． 3 2 C ．1 D ． 3 4 5、首相为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围 6、己知}{n a 为等差数列，1 22,3a a ==，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求： （1）原数列的第12项是新数列的第几项？ （2）新数列的第29项是原数列的第几项？ 热点考向二：等差数列的判定与证明. 1.已知c b a ,,依次成等差数列，求证：ab c ac b bc a ---222 ,,依次成等差数列. 2：在数列{}n a 中，11a =，11 14n n a a +=- ，221 n n b a = -，其中* .n N ∈（1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求证：在数 列{}n a 中对于任意的* n N ∈，都有1n n a a +>. 3.已知数列{n a }中，1 35a = ，数列112,(2,)n n a n n N a *-=-≥∈，数列{n b }满足1 ()1 n n b n N a *=∈-（1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项. 热点考向三：等差数性质的应用 1.在等差数列{}n a 中， 40135=+a a ，则 =++1098a a a （ ）A ．72 B ．60 C ．48 D ．36 2.在等方程0)2)(2(22 =+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为 4 1 的等差数列，则|m －n|= 3．在等差数列 {}n a 中，公差d ＝1，174a a +＝8，则20642a a a a ++++ = 4．在等差数列}{n a 中，若4 681012120a a a a a ++++=，则10122a a -= . 热点考向四：等差数列前n 项和重的基本运算 1．n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，542,30n a a -==(n ≥5，* n N ∈)，n S =336，则n 的值是 . 2.已知{}n a 是等差数列，12 4a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S ＝________. 3、已知等差数列{}n a 的公差1 2 d =，8010042=+++a a a ，那么=100S ) A ．80 B ．120 C ．135D ．160． 4、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S ( ) A ．390 B ．195 C ．180 D ．120 5.设等差数列 {}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则 9 5 S S = 6.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 7．等差数列}{n a 中，110052515021,2700,200a a a a a a a 则=+++=+++ ＝________. 8. 已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T .等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和， 9. 1 2008a =-， 20072005220072005 S S -=，则2008S 的值为______________ 热点考向五：等差数列前n 项和中的最值问题 1、已知等差数列 {}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （ ）
等差数列及应用概论
等差数列及应用 一、聚焦核心： 1．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为________． 2．在等差数列{a n }中，a 1＞0，S 4＝S 9，则S n 取最大值时，n ＝________. 3．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则S 9＝________. 4．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a 2＝2，b 1＝2，且任意的正整数i ，j ，k ，l ， 当i ＋j ＝k ＋l 时，都有a i ＋b j ＝a k ＋b l ，则12 010∑2 010 i ＝1 (a i ＋b i )的值是________． 5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1≤a 5≤4,2≤a 6≤3，则S 6的取值范围是________． 6．设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________. 7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2＋pn ，a 7＝11.若a k ＋a k ＋1＞12，则正整数k 的最小值为________． 二、典例分析： 例1．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 满足S 5S 6＋15＝0. (1)若S 5＝5，求S 6及a 1；(2)求d 的取值范围．
例2．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n 满足关系式2S n ＝S n －1－????12n －1 ＋2 (n ≥2，n 为正整数)，a 1＝1 2. (1)令b n ＝2n a n ，求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)在(1)的条件下，求S n 的取值范围． 例3．已知数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，且a 3＝27. (1)求a 1，a 2的值； (2)记b n ＝1 2n (a n ＋t )(n ∈N *)，问是否存在一个实数t ，使数列{b n }是等差数列？若存在， 求出实数t ；若不存在，请说明理由．
等差数列(第一节)教案
等差数列（第一节）教案 、教学目的： 1、理解等差数列的定义及概念。 2、了解等差数列的通项公式。 二、教学重点： 等差数列概念的理解和等差数列通项公式的推导。 三、教学关键： 讲清等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。 四、教学理念： 1、注重知识的形成的过程，注重学生思维发展的过程。 2、课堂设计从问题的提出到问题的解决，再提出问题。 3、引导学生“再创造”。 五、教学过程： 教学情景的设计：（在课前播放象山的风景片） T：同学们，谁不说自己的家乡好，张老师深深爱着自己的家乡---象山，刚才张老师向同学们展示了象山美丽、丰富的自然人文景观，为了让同学们更进一步了解象山，走进象山，老师 (单位:万) 思考1：上述表格中的数据变化反映了什么样的信息？（数据来源于现实社会，围绕思考让学生进行分小组讨论，目的是培养学生将实际问题数学化的能力及学生的数学建摸能力）T：从两方面考虑：从宏观上（移居大城市，计划生育、围海造田等） 从微观上（数学研究的对象是数，我们抛开具体的背景，从微观上分析，从 表格中抽象出一般数列） T：同学们能用数学文字语言来描述上述数列的共同特征。 S 1：后一项与它的前一项的差等于常数（描述1） T：反例：1，3，5，6，12，这样的数列特征和上述数列一样么？ S：不一样，要加上同一常数， S2：每一项与它的前一项的差等于同一个常数（描述2） T：反例：1，3，4，5，6，7，这样的数列特征和上述数列一样么？ S：不一样，必须从第二项起。
S3：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。（描述3） （把学生的回答写在黑板上，通过反例的说明，让学生深刻的理解这四组数列的共同特征：1、同一常数， 2、从第二项起） T ：用数学符号语言： S4：n a -1-n a =d T ：等价么？ S5：应加上（d 是常数） n ≥2,n ∈N * （让学生充分进行讨论，注意文字描述与符号描述的严谨性） T ：对式子进行变形可得：n a =1-n a +d （d 是常数） n ≥2,n ∈N * ，如果我们能跳出d 的思维定势，能得到很多的公式变形。（为今后更好的研究其特征，埋下伏笔） T ：这样的数列在你日常生活中存在？ S ：举例： 1，2，3，4，5，6，7 ，··· d=1 10，15，20，25，30，35，40 d=5 100，90，80，70 d=-10 （让学生举例，加深对数列的感性认识） T ：满足这样特征的数列很多，所以我们有必要为这样的数列取一个名字？ S ：等差数列 （让学生给出数学的定义，并有自己的语言进行交流。当然也允许学生提出“等加数列”等的说法，教师可进行比较，差有利于加一加进行消项等） 定义：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d 为公差。1a 为数列的首项。 d a a =-12，d a a =-23，d a a =-34，···d a a n n =--1···（n ≥2,,n ∈N *） （提出课题《等差数列的概念（一）》） （对定义进行分析，强调：1、同一常数， 2、从第二项起。同时在学生的举例中改动几个数，问学生破坏定义的什么要求，注意对数列概念的严谨性分析。） 数学史的介绍：等差数列的历史研究是数学史上最早出现的并引起人们广泛应用的数列，在1858年苏格兰埃及学家发现约公元前1650年的阿莫斯纸草上就记载着两例等差数列，（10人分10斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前一人少1/8），在我国出土于春秋至战国时代楚国的铜环权，其重量大致都按等差数列配置，成书于公元前2世纪的《周髀算经》上有“七衡图”···都记载着等差数列大量研究。被誉为“数字推理的第一思维”。 T ： 回到表格中抽象出的4个数列，分别说明他们的公差。 d=-0.15、 d=0.30 d=300 d=0 （引导学生发现公差d 对数列的影响，当d ）0时数列是递增，当d 《0时数列是递减，当d=0 T ：见上表， 请7号的同学回答a 7，请8号的同学求a 8，请42号的同学求a 42···