等差数列及其变式
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等差数列及其变式
一、基本等差数列 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d 表示。等差数列的通项公式为:
d 1-n a a 1n )(+= (1)前n 项和公式为:d 1-n n na 21
n n )(+=S 或n a a n 121n )(+=S
注意: 以上n 均属于正整数。
【例】1,4,7,10,l 3,l 6,19,22,25,…
1、二级等差数列
一般地,一个数列相邻的两项作差,得到的新数列为等差数列,则称原数列为二级等差数列。
解题模式:(1)观察数列特征。大部分多级等差数列为递增或递减的形式。
(2)尝试作差,一般为相邻两项之间作差,注意作差时相减的顺序保持不变、
(3)测测规律
(4)检验。
(5)重复步骤(2)~(4)直至规律吻合。
【例1】(2007黑龙江,第8题)11,12,15,20,27,( )
A .32
B .34
C .36
D .38
【解题关键点】原数列:11 12 15 20 27 (36)
做一次差: 1 3 5 7 (9)等差数列 【答案】C
【例2】(2002国家,B 类,第3题)32,27,23,20,18,( )
A .14
B .15
C .16
D .1 7
【解题关键点】原数列:32 27 23 20 18 (17)
做一次差:5 4 3 2 1 等差数列 【答案】D
【例3】(2002国家,B 类,第5题)-2,1,7,16,( ),43
A .25
B .28
C .31
D .35
【解题关键点】原 数 列:-2 1 7 16 (z ) 43
做一次差: 3 6 9 x y
猜 测:一个公差为3的等差数列。
尝 试:x=9+3=12,( z )=16+12=28
检 验:y=12+3=15, ( z )=43-15=28 【答案】B
【例】3,6,11,( ),27
A .15
B .18
C .19
D .24
【解题关键点】二级等差数列。
3 6 11 (18) 27
3 5 7 9 【答案】 B
3、二级等差数列变式
(1)相邻两项之差是等比数列
【例】0,3,9,21,( ),93
A .40
B .45 C. 36 D .38
【解题关键点】二级等差数列变式
0 3 9 21 (45) 93
求差
3 6 12 (24) (48) 公比为2 的等比数列【答案】B
(2)相邻两项之差是连续质数
【例】11,13,16,21,28,( )
A.37 B.39 C.41 D.47
【解题关键点】二级等差数列变式
11 13 16 21 28 (39)
求差
2 3 5 7 (11)质数列【答案】B
(3)相邻两项之差是平方数列、立方数列
【例】1,2,6,15,()
A.19 B.24 C.31 D.27
【解题关键点】数列特征明显单调且倍数关系不明显,优先做差。
原数列:1 2 6 15 (31)
做差: 1 4 9 (16)得到平方数列。【答案】C
(4)相邻两项之差是和数列
【例】2, 1, 5, 8, 15, 25, ( )
A.41
B.42
C.43
D.44
【解题关键点】相邻两项之差是和数列
2 1 5 8 15 25 (42)
求差
-1 4 3 7 10 (17)和数列【答案】B
(5)相邻两项之差是循环数列
【例】1,4,8,13,16,20,( )
A. 20
B. 25
C. 27
D. 28 【答案】B
【解题关键点】该数列相邻两数的差成3,4,5一组循环的规律,所以空缺项应为20+5=25,故选B。
1、三级等差数列
一般地,一个数列相邻的两项作差,得到的新数列,然后对该新数列相邻两项作差,得到等差数列,则称原数列为三级等差数列。
解题模式:(1)观察数列特征。大部分多级等差数列为递增或递减的形式。
(2)尝试作差,一般为相邻两项之间作差,注意作差时相减的顺序保持不变、
(3)测测规律
(4)检验。
(5)重复步骤(2)~(4)直至规律吻合。
【例】(2009年中央机关及其直属机构公务员录用考试行测真题)1,9,35,91,189,( ) A.361 B.341 C.321 D.301
【解题关键点】原数列后项减前项构成数列8,26,56,98,( ),新数列后项减前项构成数列18,30,42,(54),该数列是公差为12的等差数列,接下来一项为54,反推回去,可得原数列的空缺项为54+98+189=341,故选B。如图所示:
1 9 35 91 189 (341)
8 26 56 98 (52)
18 30 42 (54)【答案】B
解法二:因式分解数列,原数列经分解因式后变成:1×1,3×3,5×7,7×13,9×21,(11×31),将乘式的第一个因数和第二个因数分别排列,前一个因数是公差为2的等差数列,后一个因数是二级等差数列,答案也为B。图示法能把等差(比)数列的结构清晰地表示出来,一般应用于多级等差(比)数列中。
【例2】5,12,21,34,53,80,( )
A .121 B.115 C.119 D.117