最新高中数学数列综合专项练习讲义

专题数列综合

考点精要

会求简单数列的通项公式和前n 项和．

热点分析

数列的通项和求和，历来是高考

命题的常见考查内容．要重点掌握错位相减法，灵活运用裂项相消法，熟练使用等差和等比求和公式，掌握分组求和法．

知识梳理

1.数列的通项求数列通项公式的常用方法：

（1）观察与归纳法：先观察哪些因素

随项数n 的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与项数n 在变化过程中的联系，初步归纳公式。

（2）公式法：等差数列与等比数列。（3）利用n S 与n a 的关系求n a ：则

???≥-==-2111

n S S n S a n n n （注意：不能

忘记讨论1=n ）

（4）逐项作差求和法（累加法）；已

知)2)((1≥=--n n f a a n n ，且{f(n)}的和可求，则求n a 可用累加法

（5）逐项作商求积法（累积法）; 已

知)2)((1

≥=-n n f a a n n

，且{f(n)}的和可求，求n a 用累乘法.

（6）转化法

2 几种特殊的求通项的方法（一）1n n a ka b +=+型。

（1）当1k =时，{}1n n n a a b a +-=?是等差数列，1()n a bn a b =++

（2）当1k ≠时，设1()n n a m k a m ++=+，则{}n a m +构成等比数列，求出

{}n a m +的通项，进一步求出{}n a 的通

项。

例：已知{}n a 满足111,23n n a a a +==-，求{}n a 的通项公式。（二）、1()n n a ka f n +=+型。（1）当1k =时，1()n n a a f n +-=，若()f n 可求和，则可用累加消项的方法。例：已知{}n a 满足

111

1,(1)

n n a a a n n +=-=

+，求{}n a 的通

项公式。

（2）当1k ≠时，可设

[]1(1)()n n a g x k a g x +++=+，则

{}()n a g x +构成等比数列，求出

{}()n a g x +的通项，

进一步求出{}n a 的通项。（注意()g x 所对应的函数类型）例：已知{}n a 满足

111,21n n a a a n +==+-，求{}n a 的通项

公式。

（三）、1()n n a f n a +=型。

（1）若()f n 是常数时，可归为等比数列。

（2）若()f n 可求积，可用累积法化简求通项。例：已知：

11121,,(2)321

n n n a a a n n --==≥+，求数列

{}n a 的通项。

（四）、1

n n n ma a k

m a --=+型。两边取倒

数，可得到111n n k k a a m -=+，令1

n n

C a =，

则{}n C 可转化为1n n a ka b +=+型

例：已知：111

,,(2)

32n n n a a a n a --==≥+，

求数列{}n a

的通项。

3.数列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式

（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，

再运用公式法求和.

（3）倒序相加法：在数列求和中，若

和式中到首尾距离相等的两项

和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.

（4）错位相减法：如果数列的通项是

由一个等差数列的通项与一个

等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是

等比数列前n 和公式的推导方法之一）.

（5）裂项相消法：如果数列的通项

可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用

裂项形式有： ①

111(1)1

n n n n =-++ ②1111()()n n k k n n k

=-++ ③

1111

[]

(1)(2)2(1)(1)(2)

n n n n n n n =--++++ 例题精讲:

例1、（1）已知数列{}n a 中，11=a ，

31+=+n n a a ，求n a

（2）已知数列{}n a 中，11=a ，

n a a n n 31+=+，求n a

例2、（1）已知数列{}n a 中，

11=a ,n n a a 21=+，求n a

（2）已知数列{}n a 中，11=a ，

n n n a a 21=+,求n a

例3、已知数列{}n a 中，11=a ，

321+=+n n a a ,求n a

例4 （快速回答） 1

、

已

知

{}

n a 满足

111,21n n a a a +==+，求通项公式。

2. 已知

{}

n a 的首

项

111,2n n a a a n +==+，求{}n a 通项公式。

3、已知

{}

n a 中，

112,2

n n n

a a a n +==

+，求数列{}n a 通项公式。

4、数列

{}

n a 中，

21,,(2)1n n n a a a n a --==

≥+，求{}n a 的通项。 5

、

数

列

{}

n a 中，

1121,,(2)2n n n n n a a a n a --==≥+，求{}n a 的

通项。

6、数列{}n a 中，

111

1,21,(2)2

n n a a a n n -==

+-≥，求{}n a 的通项公式。

7、已知{}n a 中，113,2n n n a a a +==+，求{}n a 。 8

、

已

知

{}

n a 中，

111,32,(2)n n a a a n -==+≥，求{}n a 。

9、

已

知

{}

n a 中，

111,22,(2)n n n a a a n -==+≥，求{}n a 。

例5 已知数列{}n a 的前n 项和为

n S ，11a =，121()n n a S n N *+=+∈,等差

数列{}n b 中0n b >(*)n N ∈，且

12315b b b ++=，又11a b +、22a b +、

33a b +成等比数列.

（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和T n . 例 6 已知等比数列{}n a 的公比

1q >，

是1a 和4a 的一个等比中

项，2a 和3a 的等差中项为6，若数列{}n b 满足2log n n b a =（n ∈*N ）．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．例 7 在数列{}n a 中，13a =，

121

n n a a n -=--+(2

n ≥且

*)n ∈N ．⑴求2a ，3a 的值；

⑵证明：数列{}n a n +是等比数列，并

求{}n a 的通项公式；⑶求数列{}n a 的前n 项和n S ．

针对训练

1．若数列{}n a 满足：

()

111,2N n n a a a n *+==∈，则

5a =________；前

项的和

8S =______________（用数字作答）

2．已知数列{}n a 的前n 项和公式为

21n S n =+，则他的通项公式n a =________________

3．若数列{}n a 的前n 项和

210(123)n S n n n =-=，，，，则此数列的通

项公式为______________；数列{}n na 中数值最小的项是第______________项．

4．在数列{}n a 中，111,1

n n a a a a +==

+，则此数列的第二、三、四项分别为

______________，n a =______________

5．若数列{}n a 的前n 项和公式为

()3log 1n S n =+，则5a 等于

________________

6．在数列{}n a 中，12a =，

ln(1)n n a a n

+=++，则n a =

A ．2ln n

B ．2(1)ln n n +-

C ．2ln n n +

D ．1ln

n ++7．已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S =__________

8．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若

(1)

n a n n =

+，则5S 等于 A ．1 B ．56

C ．16

D ．

130

9、已知数列{}n a 的首项3

21=

a ，1

21+=

+n n

n a a a ， 3,2,1=n （1）证明：数列???

???-11n a 是等比数

列；

（2）求数列???

???n a n 的前n 项和n S 。

答案: 例 1 (1) 32n n a =- (2)

23322n n n a -+= 例2 (1) 12n n a -= (2)

(1)2

n n n a -=

例3 123n n a +=-

针对训练：1 16 215 2

2,121,2n n a n n =?=?-≥?

211n - 3

4 2341111,,,234n a a a a n

==== 5 3

6log 5 6 A 7 (51)

n n +- 8 B 9 （1）略（2）

2(1)

222

n n n n n S ++=-+

高考链接

1（05北京文）数列{a n }的前n 项和为

S n ，且a 1=1，11

n n a S +=，

n =1，2，3，……，求

（I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式；

（II ）2462n a a a a +++

+的值.

2（10北京文）（本小题共13分）

已知||n a 为等差数列，且36a =-，

60a =。

（Ⅰ）求||n a 的通项公式；（Ⅱ）若等差数列||n b 满足

18b =-，2123b a a a =++，求||n b 的

前n 项和公式 3（07北京）（本小题共13分）数列{}n a 中，12a =1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值；

（II ）求{}n a 的通项公式． 4（全国）已知数列{}n a 的首项3

21=

a ，1

21+=

+n n

n a a a ， 3,2,1=n （1）证明：数列???

???-11n a 是等比数

列；

（2）求数列???

???n a n 的前n 项和n S 。

答案

1 解：（I ）由a 1=1，11

n n a S +=，n=1，

2，3，……，得

211111

333a S a ===

，3212114

()339a S a a ==+=

，431231116

()3327

a S a a a ==++=

，由1111

()33n n n n n a a S S a +--=-=（n

≥2），得14

n n a a +=（n ≥2），

又a 2=31

，所以a n =214()33

n -(n ≥2),

∴ 数列{a n }的通项公式为

1114()2

n n n a n -=??

=???≥；

（II ）由（I ）可知242,,,n a a a 是

首项为31

，公比为24()3

项数为n 的等

比数列

，∴ 2462n

a a a a +++

22241()1343[()1]4373

1()3

n n -?

=--. 2（北京文）（共13分）

解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d 。因为366,0a a =-= 所

以

112650a d a d +=-??

+=? 解得110,2a d =-=

所以10(1)2212n a n n =-+-?=- （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q 因

为

212324,8b a a a b =++=-=-

所以824q -=- 即q =3 所以{}n b 的前n 项和公式为

1(1)4(13)1n n n b q S q

-==--

3（共13分）

解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+，因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =．

当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =．

（II ）当2n ≥时，由于

21a a c -=， 322a a c -=，

1(1)n n a a n c --=-，

所

以

1(1)

[12(1)]2n n n a a n c c

--=++

+-=．又

a =，

2c =，故

22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=，，．

当1n =时，上式也成立，

所以22(12)n a n n n =-+=，

，．

4（1）略（2）2(1)

222

n n

n n n S ++=-+ 构词法

动词变名词

1.v+ ment 结尾

achieve---achievement 成就advertise--- advertisement agree— agreement apartment 公寓amusement 娱乐

argue---argument争吵commit奉献—commitment compliment 称赞，恭维develop---development disgree—disagreement department 局，部

experiment 实验，试验

equip 装备---equipment 装备，器材govern 统治—government 政府manage---management 经营管理

2．V+ tion 结尾admit 承认—admission attract吸引—attraction

conclude—conclusion 结论compete—competition 竞争，比赛discuss—discussion 讨论

educate-----education

decide----decision describe—description描写，描绘express 表达----expression 词语；表达graduate 毕业—graduation

operate 操作，动手术—operation organize----organization imagine—imagination 想象力introduce—introduction 介绍instruct—instruction 指导，介绍invent—inventor / invention

illustrate 阐明，举例说明--illustration invite—invitation

inspire---inspiration 灵感，鼓舞人心的pollute----pollution 污染

predict---prediction 预言

pronounce ---pronunciation

resolve 决心-----resolution 决心impress 给人印象—impression 印象permit 允许-----permission

suggest-建议，暗示--suggestion

solve解决-----solution 解决方法

3．V+ ance 结尾

allow—allowance 允许appear—appearance 外貌，出现perform----performance 演出exist—existance 存在

4．V+ ing 结尾

bathe 洗澡---bathing

end 结束----ending 结尾，结局train 训练---training mean ---- meaning 意义say-----saying 谚语remind----reminding提醒

5．V+ 其他

Beg(乞讨)—beggar 乞丐

sit--seat 座位

employ--employer 雇主，老板--employee雇员