2020版高考数学大二轮培优理科通用版大题专项练(二) 数列

大题专项练(二)数列

A组基础通关

1.已知等差数列{a n}满足a3-a2=3,a2+a4=14.

(1)求{a n}的通项公式;

(2)设S n是等比数列{b n}的前n项和,若b2=a2,b4=a6,求S7.

设等差数列{a n}的公差为d,

∵a3-a2=3,a2+a4=14.

∴d=3,2a1+4d=14,

解得a1=1,d=3,

∴a n=1+3(n-1)=3n-2.

(2)设等比数列{b n}的公比为q,b2=a2=4=b1q,b4=a6=16=b1q3,联立解得或

--

∴S7=-

-=254,或S7=---

--

=-86.

2.已知数列{a n}的前n项和为S n,满足a2=15,S n+1=S n+3a n+6.

(1)证明:{a n+3}是等比数列;

(2)求数列{a n}的通项公式以及前n项和S n.

S n+1=S n+3a n+6中,令n=1,得S2=S1+3a1+6, 得a1+a2=a1+3a1+6,即a1+15=4a1+6,

解得a1=3.

因为S n+1=S n+3a n+6,

所以a n+1=3a n+6.

所以=3.

所以{a n+3}是以6为首项,3为公比的等比数列.

(1)得a n+3=6×3n-1=2×3n,

所以a n=2×3n-3.

∴S n=2×(3+32+33+…3n)-3n=2×-

-3n=3n+1-3-3n.

-

3.设数列{a n}的前n项和为S n,S n=1-a n(n∈N*).

(1)求数列{a n}的通项公式;

(2)设b n=log2a n,求数列的前n项和T n.

因为S n=1-a n(n∈N*),

所以S n-1=1-a n-1(n∈N*,且n≥2),

则S n-S n-1=(1-a n)-(1-a n-1)(n∈N*,且n≥2).

即a n=a n-1(n∈N*,且n≥2).

因为S n=1-a n(n∈N*),

所以S1=1-a1=a1,即a1=.

所以{a n}是以为首项,为公比的等比数列.

故a n=(n∈N*).

(2)b n=log2a n,所以b n=log2=-n.

所以,

故T n=--+…+-=1-.

4.设等差数列{a n}的公差为d,d为整数,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知

a1=b1,b2=2,d=q,S10=100,n∈N*.

(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;

(2)设c n=,求数列{c n}的前n项和T n.

由题意可得

解得(舍去)或

所以a n=2n-1,b n=2n-1.

(2)∵c n=,c n=-

-

,

∴T n=1++…+-

-

,①T n=+…+-,②

①-②可得T n=2++…+

--

=3-,故T n=6-

-

.

5.已知正项数列{a n}的前n项和为S n,满足2S n+1=2+a n(n∈N*).

(1)求数列{a n}的通项公式;

(2)已知对于n∈N*,不等式+…+

n=1时,2a1+1=2+a1,又a n>0,所以a1=1,

当n≥2时,2S n+1=2+a n(n∈N*),

2S n-1+1=2

-

+a n-1(n∈N*),

作差整理,得a n+a n-1=2(a n+a n-1)(a n-a n-1), 因为a n>0,故a n+a n-1>0,所以a n-a n-1=, 故数列{a n}为等差数列,所以a n=. (2)由(1)知S n=,

所以-,

从而+…+

=---+…+

--

-

--

=1+=<.

所以M≥,故M的最小值为.

6.已知数列{a n}是公比为q的正项等比数列,{b n}是公差d为负数的等差数列,满足,b1+b2+b3=21,b1b2b3=315.

(1)求数列{a n}的公比q与数列{b n}的通项公式;

(2)求数列{|b n|}的前10项和S10.

由已知,b1+b2+b3=3b2=21,得b2=7,

又b1b2b3=(b2-d)·b2·(b2+d)=(7-d)·7·(7+d)=343-7d2=315,

得d=-2或2(舍),b1=7+2=9,b n=-2n+11.

于是-,

又{a n}是公比为q的等比数列,故-,

所以,2q2+q-1=0,q=-1(舍)或.

综上,q=,d=-2,b n=11-2n.

(2)设{b n}的前n项和为T n;令b n≥0,11-2n≥0,得n≤5,

于是,S5=T5==25.

易知,n>6时,b n<0,|b6|+|b7|+…+|b10|=-b6-b7-…-b10=-(b6+b7+…+b10)=-(T10-T5)=-(0-25)=25,所以,S10=50.

B组能力提升

7.已知数列{a n}的前n项和为S n,点(n,S n)(n∈N*)在函数f(x)=x2+x的图象上.

(1)求数列{a n}的通项公式;

(2)设数列的前n项和为T n,不等式T n>log a(1-a)对任意正整数n恒成立,求实数a的取值范围.

∵点(n,S n)在函数f(x)=x2+x的图象上,

∴S n=n2+n.①当n≥2时,S n-1=(n-1)2+(n-1),②

①-②,得a n=n.

当n=1时,a1=S1=1,符合上式.

∴a n=n(n∈N*).