指数函数及其性质专题复习

第六讲指数函数及其性质

一、指数函数的概念：一般地，函数

(0,1)x

y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。

函数值的分布情况如下：

注意：（1）当底数a 大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。（2）当01a <<时，函数的图象是下降的，即函数单调递减。a 的值越大，函数图象上部分越远离y 轴；当1a >时，a 的值越大，函数图象上部分越靠近y 轴。

二、指数函数的图象变换

1、平移变换：函数内部相加减，函数图象左右移；函数外部相加减，函数图象上下移。

2、对称变换：关于x 轴、y 轴及原点对称的图象的变换；加绝对值的函数图象的变换。

三、指数函数性质的应用

（1）比较两个有理数指数幂的大小 ○

1底数相同、指数不同的两个幂的大小比较，利用指数函数单调性来判断；

○

2对底数不同、指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数图象的变化规律来判断； ○

3对底数不同、指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较；

○

4对三个（或三个以上）数的大小比较，则应先根据值得大小进行分组，再比较各组数的大小。

（2）求复合函数的定义域与值域 （3）判断复合函数的单调性：遵循“同增异

减”的规律。

（4）研究函数的奇偶性：

一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子()f x 与()f x -的关系，最后确定函数的奇偶性。

二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或y 轴对称，则函数具有奇偶性。

考查点1：有关指数型函数的定义域和值域

问题

例1

求下列函数的值域。

（1）2

21()2

x x y -=；

（2）12

4

325,[0,2]x x y x -=-⨯+∈。

考查点2：指数函数单调性应用

一、利用单调性比较大小

例1

比较下列各题中两个的大小。

（1） 2.5

31.7

____1.7； （2）0.1

0.20.8

____0.8--；

（3）0.3

3.11.7____0.9。

例 3 已知0.7

0.9

0.8

0.8,0.8, 1.2a b c ===，

则,,a b c 的大小关系是__________。 二、求复合函数的单调区间 例4 求下列函数的单调区间。 （1）2

32

(01)x

x y a a a -++=>≠且；

（2

）y =。

考查点3：有关指数函数图象的问题 一、有关指数函数的底数和指数函数图象的关系问题

例5 如图所示的是指数函数：

（1）x

y a =，（2）x

y b =，（3）x

y c =；（4）

x y d =的图象，则,,,a b c d 及1的大小关系

是 （ ） A 、1a b c d <<<< B 、1b a d c <<<< C 、1a b c d <<<< D 、1a b d c <<<< 二、指数函数图象间的变换

例6 设 ()|31|,x

f x c b a =-<<，且

()()()f c f a f b >>，则下列关系式中一定

成立的是 （ ） A 、33c

b

< D 、33c

b

> C 、332c

a

+>D 、332c

a

+< 考查点4：指数函数的综合应用题 例

7

已

知

函

数

221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间

[1,1]-上的最大值为14，求a 的值。 例8 设0,()x x e a

a f x a e

>=

+是R 上的偶函数。（1）求a 的值；（2）求证()f x 在

(0,)+∞上是增函数。

练习题： 1、函数1

()21

x

f x =

+，函数在R 上 （ ） A 、单调递减且无最小值 B 、单调递减且有最小值 C 、单调递增且无最大值 D 、单调递增且有最大值 2、设a 是实数，2

()()21

x

f x a x R =-

∈+。 （1）求证：不论a 为何实数，()f x 均为增函数；（2）试确定a 的值，使

()()0f x f x +-=成立。