2013年四川初中数学联赛初二组决赛试卷
2013年全国初中数学联赛选拔赛详解[1]-2
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2013年全国初中数学联赛初赛试题时间2013年3月3日上午 （答题时间：90分钟，20道试题共计100分）一 选择题 （每题5分，共50分）1．方程()2013211x x x -+-=的根有（ ）个A 。
1B 。
2C 。
3D 。
42．如图所示，阴影部分的面积是102cm ，ED AE =，3:5:=DC BD ，则ABC ∆的面积是（ ）。
A 。
24B 。
26C 。
27D 。
30FEBCAD图13．同时含有字母c b a ,,，且系数是10的9次的单项式，一共有（ ）个 A 。
9 B 。
10 C 。
15 D 。
284．若抛物线2442-+-=m mx x y 与x 轴相交于整点，则抛物线的对称轴为（ ）A 。
1=xB 。
1=yC 。
1-=xD 。
因为与m 取值有关，故不能确定对称轴． 5．由四名学生每人各随机投掷一枚一元硬币，恰好有两个硬币国徽朝上的概率是（ ）（ ） A 。
21 B 。
41 C 。
81 D 。
83 6．已知实数b a ,满足：1844=+-b a ab ，则22b a +的最小值是（ ）A 。
14B 。
16C 。
18D 。
20 7．已知点P 是正ABC ∆内一点，若2=PA ，7=PB ，︒=∠150APB ，则PC 的长度=( )。
A 。
3 B 。
5 C 。
3 D 。
58．设实数332142021420-++=x ，则2013x 的末位数字是（ ）A 。
3B 。
4C 。
6D 。
8 9．已知c b a ,,满足：k bac a c b c b a =+=+=+，则直线32k k kx y -+=与坐标轴围成的三角形的面积是（ ）A 。
2B 。
2或4C 。
4D 。
4或510．如图所示，点A 为圆O 外一点，AB 切圆O 于点B 。
AEF 是圆O 的割线，点E 、F 在圆上。
BC ┴AO 于点C ，CF 与OE 相交于点G 。
若CG=1，GF =4，OG =57，则圆O 的半径是（ ） A 523 B 4 C 3594 D 734GED C BOAF二 填空题 （每题5分，共50分）11．若n 是正整数，且使392-+n n 是完全平方数，则n = 或 。
四川初中数学联赛(初二组)决赛试卷及其答案
2011年四川初中数学联赛（初二组）决赛试卷（4月10日 上午8：45—11：15）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克按100克计）0.4元．某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量是470克，那么他应付邮资（ ） A ．2.3元 B ．2.6元 C ．3元 D ．3.5元2．设关于x 的分式方程2222a a x x --=--有无穷多个解，则a 的值有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无穷多个3．实数a 、b 、c 满足0a b c ++=，且0abc >，则111a b c++的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．正负不能确定4．若a ，b ，c 分别是三角形三边长，且满足1111a b c a b c+-=+-，则一定有（ ）A ．a =b =cB ．a =bC ．a =c 或b =cD ．a 2+b 2=c 25．已知如图，长方形ABCD ，AB ＝8，BC ＝6，若将长方形顶点A 、C 重合折叠起来，则折痕PQ 长为（ ）A ．152B ．7C ．8D ．1726．用三个2，能写出最大的数一定是（ ）A ．等于222 B ．等于222 C ．等于242 D ．大于1000 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．x 是实数，那么115x x x -++++的最小值是_________． 2．已知1a =，则20122011201022a a a +-的值为_____________．3．右图是一个由6个正方形构成的长方形，如果最小的正方形的面积是1，则这 个长方形的面积是_______．4．若△ABC 的三条中线长为3、4、5，则S △ABC 为____________． 三、（本大题满分20分）设有m 个正n 边形，这m 个正n 边形的内角总和度数能够被8整除，求m +n 的最小值．QP DCBA四、（本大题满分25分）现有红、黄、蓝、白4种颜色的袜子若干（足够多），若只要两只同色的袜子就可以配成1双，请问至少需要多少只袜子就一定能够配成10双袜子． 五、（本大题满分25分）已知如图：正方形ABCD ，BE ＝BD ，CE 平行于BD ，BE 交CD 于F ，求证：DE ＝DF ．FE D C B A2011年四川初中数学联赛(初二组)决赛参考解答与评分标准一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克按100克计）0.4元。
2013年全国初中数学联合竞赛试题及解析
2013年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分 42分，每小题7分） 1•计算 4,3 2,2.41 24.2（） （A ） .2 1 （ B ）1 （ C ）、.2（ D ）2m 2 m 22•满足等式2 m 1的所有实数m 的和为（）（A ）3（ B ）4 （ C ）5 （ D ）6D ，若 CD 3， 则 AB=（ ）(A )2 (B ) J6( C )2.2(D )324•不定方程3x 7xy 2x 5y 17 0的全部正整数角（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称 ）（C ） 2013 （ D ） 2014二、填空题（本题满分 28分，每小题7分）1•已知实数 x, y,z 满足 x y 4, z 1 xy 2y 9,则 x 2y 3z __________________32•将一个正方体的表面都染成红色，再切割成n （n 2）个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= ________3•在 VABC 中，A 60°, C 75°, AB 10 ,D, E, F 分别在 AB , BC , CA 上，则 VDEF 的周长最小值为 ______3•已知AB 是圆O 的直径,C 为圆O 上一点,CAB 15°, ABC 的平分线交圆 O 于点x,y ）的组数为（5矩形ABCD 的边长 AD=3，AB=2， E 为AB 的中点,F 在线段 BC 上，且 BF : FC=1 : 2，AF 分别与DE ，DB 交于点 M ，N ，贝U MN=（ (A )出(B )出714(C )出28(D)1K5 286•设n 为正整数，若不超过 所有“好数”之和为（ （A ） 33（ B ） 34n 为“好数”，那么,2 2 24•如果实数x, y, z 满足xy z xy yz zx 8，用A 表示|x y ，y z ，z x 的最大值，则A 的最大值为 __________第二试（A ）一、（本题满分20分）已知实数a,b,c,d 满足2a 2 3c 2 2b 2 3d 2 ad be 2 6,求 a 2 b 2 c 2 d 2 的值。
2013四川省成都市中考数学试题及答案(Word解析版)2[1]
![2013四川省成都市中考数学试题及答案(Word解析版)2[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/930b9bf50242a8956bece436.png)
四川省成都市2013年中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）2．（3分）（2013•成都）如图所示的几何体的俯视图可能是（）B3．（3分）（2013•成都）要使分式有意义，则x的取值范围是（）4．（3分）（2013•成都）如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（）B×（﹣3）=1×6．（3分）（2013•成都）参加成都市今年初三毕业会考的学生约有13万人，将13万用科学记数法表示应7．（3分）（2013•成都）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D 的长为（）y=210．（3分）（2013•成都）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为（）二．填空题（本大题共4个小题，每小题4分）11．（4分）（2013•成都）不等式2x﹣1＞3的解集是x＞2．12．（4分）（2013•成都）今年4月20日在雅安市芦山县发生了7.0级的大地震，全川人民众志成城，抗震救灾．某班组织“捐零花钱，献爱心”活动，全班50名学生的捐款情况如图所示，则本次捐款金额的众数是10元．13．（4分）（2013•成都）如图，∠B=30°，若AB∥CD，CB平分∠ACD，则∠ACD=60度．14．（4分）（2013•成都）如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=30°，则该山坡的高BC的长为100米．BC=三、解答题（本大题共6个小题，共54分）15．（12分）（2013•成都）（1）计算：（2）解方程组：．=4+×=4，．16．（6分）（2013•成都）化简．×17．（8分）（2013•成都）如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°（1）画出旋转之后的△AB′C′；（2）求线段AC旋转过程中扫过的扇形的面积．=18．（8分）（2013•成都）“中国梦”关乎每个人的幸福生活，为进一步感知我们身边的幸福，展现成都人追梦的风采，我市某校开展了以“梦想中国，逐梦成都”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品．现（1）表中的x的值为4，y的值为0.7（2）将本次参赛作品获得A等级的学生一次用A1，A2，A3，…表示，现该校决定从本次参赛作品中获得A等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，请用树状图或列表法求恰好抽到学生A1和A2的概率．=0.719．（10分）（2013•成都）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象都经过点A（m，2）（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）结合图象直接比较：当x＞0时，y1和y2的大小．的坐标代入：2==20．（10分）（2013•成都）如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．（1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；（i）当点P与A，B两点不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）相似可得=QF=相似可得=最后利用相似三角形对应边成比例可得===BF==BF得，==AP．×=4BQ=MN=BQ=的中点所经过的路径（线段）长为四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，）21．（4分）（2013•成都）已知点（3，5）在直线y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）上，则的值为﹣．==．22．（4分）（2013•成都）若正整数n使得在计算n+（n+1）+（n+2）的过程中，各数位均不产生进位现象，则称n为“本位数”．例如2和30是“本位数”，而5和91不是“本位数”．现从所有大于0且小于100的“本位数”中，随机抽取一个数，抽到偶数的概率为．．故答案为：．23．（4分）（2013•成都）若关于t的不等式组，恰有三个整数解，则关于x的一次函数的图象与反比例函数的图象的公共点的个数为1或0．恰有三个整数解，可得出，联立方程组x）=，24．（4分）（2013•成都）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k为常数）与抛物线y=x2﹣2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点的坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．有以下说法：①PO2=PA•PB；②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大；③当k=时，BP2=BO•BA；④△PAB面积的最小值为．其中正确的是③④．（写出所有正确说法的序号），当时，取得最小值为y=得：x，（，轴的交点坐标为（，）轴交点坐标为（+==0=﹣﹣PAPA OA﹣（﹣（（（mn+16=m+16=m（•m mn=时，联立方程组：，得（，﹣OP+n==2，面积有最小值，最小值为25．（4分）（2013•成都）如图，A，B，C为⊙O上相邻的三个n等分点，=，点E在上，EF为⊙O的直径，将⊙O沿EF折叠，使点A与A′重合，点B与B′重合，连接EB′，EC，EA′．设EB′=b，EC=c，EA′=p．现探究b，c，p三者的数量关系：发现当n=3时，p=b+c．请继续探究b，c，p三者的数量关系：当n=4时，p=c+b；当n=12时，p=c+b．（参考数据：，），得到，得到•ACB=×=（度）ACB=2cos•=2cos．••EA=ED+DA=EC+2cosp=c+2cosb=c+bb b•四、解答题（本小题共三个小题，共30分.答案写在答题卡上）26．（8分）（2013•成都）某物体从P点运动到Q点所用时间为7秒，其运动速度v（米每秒）关于时间t （秒）的函数关系如图所示．某学习小组经过探究发现：该物体前进3秒运动的路程在数值上等于矩形AODB的面积．由物理学知识还可知：该物体前n（3＜n≤7）秒运动的路程在数值上等于矩形AODB的面积与梯形BDNM的面积之和．根据以上信息，完成下列问题：（1）当3＜n≤7时，用含t的式子表示v；（2）分别求该物体在0≤t≤3和3＜n≤7时，运动的路程s（米）关于时间t（秒）的函数关系式；并求该物体从P点运动到Q总路程的时所用的时间．的面积之和求出总路程，然后将其，×=30×=21点总路程的时所用的时间为27．（10分）（2013•成都）如图，⊙O的半径r=25，四边形ABCD内接圆⊙O，AC⊥BD于点H，P为CA 延长线上的一点，且∠PDA=∠ABD．（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠ADB=，PA=AH，求BD的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积．ADB=，可设PA=（[4k+﹣PH=4k=；（﹣[4（﹣k=4AC=3k+25+7××+7=900+28．（12分）（2013•成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．的距离为的距离为PQ=取最小值时，y=解方程组：，PQ=的距离为x解方程组，得：的距离为．的距离为．y=解方程组，得：，1+2+，﹣﹣，﹣2+﹣）存在最大值．理由如下：PQ=取最小值时，=最小，最小值为的最大值为．。
对一道2013年全国初中数学竞赛题的剖析
Ｆ 分别是 ｃ ， 肋 的中点． 求证： Ｅ Ｆ ＞ ÷（ ｃ Ｄ一
二
因为 Ａ Ｃ：Ｂ Ｄ， 所以
。
ＰＭ ＝ ＰＮ ．
Ａ Ｊ Ｂ ） ．
丽
／Ｐ ＭＮ ＝／ＰＮ Ｍ。
证 明 取 Ａ Ｄ 中点 Ｇ， 联结Ｅ Ｇ， Ｆ Ｇ ．已知 Ｅ 是
故
／ ＿ Ａ Ｅ Ｍ＝ Ｎ Ｆ Ｂ ．
同理 ， 由 Ｆ， Ｇ分别 是 肋 和 Ａ Ｄ 的 中点得
１
Ｆ Ｇ＝
二
Ｂ ．
（ ２ ）
Ｇ Ａ ＃Ｍｃ ， 由 是／ Ｘ Ｂ Ｃ Ｇ的中位线知 Ｇ Ｂ ／ ／ Ｅ Ｆ ． 证法 ３ 如 图７ ， 延长 Ｃ Ｅ至 点 Ｇ， 使 Ｃ Ｅ＝Ｇ Ｅ，
联结 Ｇ Ａ ， Ｇ Ｂ ． 由 Ｅ是 Ａ Ｄ 的 中点 ， 知
分析 ２ 由证 法 １联 结 Ｂ Ｄ， 取 肋 的 中点 Ｇ ，
Ｇ Ｂ ＃Ｍ Ｆ ，
从而 Ｇ Ｂ Ａ＝／Ｂ Ｎ Ｆ＝ Ｂ Ｇ Ａ ．
Ｇ Ａ＝ Ｆ Ｃ ＝ ／Ｇ ＝ ／ＢＮＦ．
则 可得 到菱形 ．
证法 ２ 如图 ５ ， 联结Ｂ Ｄ， Ａ ｃ ． 取 Ｄ， Ａ ｃ的中 Ｇ。 Ｈ。 联结 Ｅ Ｇ。 Ｅ Ｈ。 Ｆ Ｇ． Ｆ Ｈ． 因 为 Ｅ。 Ｆ分 Ａ Ｄ
同理
从 而
故
Ｆ Ｋ ／ ／ Ａ Ｂ， ＝
胀 ： — ：
，
的中点， 且Ｍ Ｆ ， Ｍ Ｅ分别是 Ａ Ａ Ｄ Ｃ ， △ Ａ Ｂ ｃ的 中位
线， 所以
Ｃ：脒 ，
ＭＦ ： － Ｄ． ＭＥ ： ＢＣ．
／Ｆ Ｅ Ｋ ＝ＬＥ Ｆ Ｋ ．
由Ｅ Ｋ ＃Ｄ Ｃ ， 得
Ａ Ｃ的中点， 则Ｅ Ｇ是 Ａ Ａ Ｃ Ｄ的中位线， 因此
2013年全国初中数学竞赛考试试题参考答案
2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题：（每题7分，共35分）1.】 2222222(234)(23)0.1()0().21.().2a b c a b c a b c a b c ab bc ca a b c ab bc ca A a b c ++=++-++=++=++=-++++=-++由已知可得，因此，，则：故，选12121212222121222222222121212222222122222000.11()22111120.(2)0.().x x x b c a x x x x x x c a ax x x x b ac a x x x x c x x cb ac a x x x x c cc x b ac x a B ≠+=-=≠≠+--+==⋅=--+=--+=由于关于的二次方程有两个非零实根、，则：，且，；且，从而又，因此，以、为实根的一元二次方程为：即，故，选 3. Rt ABC O AB CD AB AB D DE OC ∆⊥⊥如图，在中，为斜边中点，交于点，交.OC E AD DB CD ODOE DE AC 于点若、和的长度为有理数，则：线段、、和的长度中，不一定为有理数的是 【 】()()()().A OD B OE C DE D AC ；；；221().2...().AD DB CD OA OB OC AD DB OD OA DA OD OD DC OE DE OC OCAC AD AB AC D ===+=-⋅===⋅=由于、和为有理数，则：为有理数也是有理数又也是有理数；也是有理数而，则：故，选4. 24ABC D AC F BC ∆如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段延长线上，4BC CF DCEF=且，四边形为平行四边形，则：图中阴影部分面积为 【 】()3()4()6()8.A B C D ；；；12121212121()2()2()424.26.().ADE BDE ABC S S S ADE BDE DE h h DE AB h h ABC BC S BC h h CF h h DE h h S S C ∆∆∆=+∆∆+∆=⋅+=⋅+=⋅+===图中阴影部分面积，设、中，底边上的高分别为、；由于，因此，为底边上的高.又因此，阴影部分的面积故，选 5. 2012**3*2的值为()C ()()323232233320132012433392745201320124339331646039239292455463201320123292.10360967m mm m m mm m ***=⨯+⨯+⨯+****=*==++++-⨯⨯+⨯⨯+⨯+****=*==+-设，则：，因此， 二、填空题：（每题7分，共35分）6. 2232322(2)9.a b ab b <=<=-⇒+=+=由于，因此， 7. 3FCD D E ABC AC AB BD CE F S ∆∆=如图，、分别是的边、上的点，、交于点，若，45________F B E F B C S S A E F D ∆∆==，，则：四边形的面积为312.551235.12454586412864204..65565134=FDE FCD FDE FEB FFBC ADE ACE ADE DEB BBCE AEFD AEF AEF BFE BCF AFD AFD S S DE S S S x S AE S x S x S EB S x S S S S BF S AF S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆==⇒=++====++==+=++==四边形【方法一】：连接，则：记，则：，即：因此，则：【方法二】：连接，则：5.33510896.41313204.13CDF AFD AFD CDF BCF AEF AFD AEF AEF BEF S S S CF S S S S S FE S AEFD ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆=++====⇒==，因此，四边形的面积为 8. 22220380.a b c a b c a b c +--=-+=已知正整数、、满足：，则：__________.abc 的最大值为 2222222212(1)220380(8)666666.1 3.(2)1(8)592(8)403(8)9511.351331161.311a b c a b c c b a a a a a a a b a b a b b b a b c a b c abc +--=-+=-++=⇒+≤≤≤=-==-==-=========⨯从，两式中消去可得：又为正整数，则，当时，，没有正整数解；当时，，没有正整数解；当时，，则：，而，当，时，；当，时，因此，的最大值为132013.⨯=9. 2200a b c d x cx d a b x ax b ++=++=实数、、、满足：方程的两根为、；方程()___________.a b a b c d =的两根为、，则满足条件的所有，，，..(1)0(2)01 2.()(1212)(00).a b c ab d b d c d a cd b b d a c b d a c b d a b c d k k +=-=⎧=⎨+=-=⎩===-=≠====-=---，根据题意可得，由此可得，，当时，；当时，，且因此，满足条件的所有，，，，，，或，，，10. 小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．min 472013.350201371(5032).144420134()343503204.207141.x y x y x y y y x y y x y y y y y x +=⎧⎨+<⎩-+==-+⇒+=++<⨯+⇒>==设小明卖出铅笔与圆珠笔分别为支和支，则：因此，为的倍数.而，因此，；此时。
2013年全国初中数学竞赛试题参考答案
2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0（C ）12（D ）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）． （A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12bx x a+=-，12c x x a =，且120x x ≠，所以0c ≠，且 221212222221212()2112x x x x b ac x x x x c +--+==，22221211a x x c⋅=， 于是根据方程根与系数的关系，以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=．3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．（A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC=都是有理数，而AC4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6（D ）8【答案】C【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ． 连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ． 因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．（第3题答题）（第4题答题）（第3题）（第4题）5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****L 的值为（ ）．（A ）607967 （B ）1821967 （C ）5463967 （D ）16389967【答案】C【解答】设201320124m ***=L ，则()20132012433m ****=*L 32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*L 3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．二、填空题6．设a =b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ． 【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故222b a =-=，因此33(2)9b +==． 7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．【答案】20413【解答】如图，连接AF ，则有：（第7题）45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是20413．8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=；（ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）（第7题答题）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=． 若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d ，进而2b d a c ==--=-．若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件．10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+，所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．三、解答题11．如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线113y x =-+与y 轴交于点D ．求∠DBC -∠CBE ．【解答】将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ．将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．…………5分抛物线223y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC＝CE，BE＝因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒．…………10分因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠．…………15分所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．…………20分（第11题答题）（第11题）12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．…………5分（ii ）若△ABC 为钝角三角形． 当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。
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2013年四川初中数学联赛（初二组）
决赛试卷
一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）
1．设13x，则13xx的最大值与最小值的和（）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．设5x，y是不超过x的最大整数，求1xy＝（）
A．52 B．52 C．51 D．51
3．如图，已知在四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠
ADC=45°，则∠CAD=（）
A．65° B．70°
C．75° D．80°
4．由1、2、4分别各用一次，组成一个三位数，这样的三位数中是4
的倍数的三位数共有（）
A． 1个 B． 2个
C． 3个 D． 4个
5．已知：,,xyz为三个非负实数，且满足325231xyzxyz，设37sxyz，则S的最大值
是（）
A．111 B．111
C．57 D．75
6．如图，∠DAP=∠PBC=∠CDP=90°，AP=PB=4，AD=3，则BC的长是（）
A．323 B．16
C．413 D．412
二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）
1．关于x的不等式组3361xxax的解是13x，则a的值是
2．如果281pp与都是质数，则p
3．设,xy为两个不同的非负整数，且213xyxy，则
xy
的最小值是
4．如图，已知ABCD为正方形，△AEP为等腰直角三角
形，∠EAP=90°，且D、P、E三点共线，若EA=AP=1，
PB=5，则DP=
三、（本大题满分20分）
设实数k满足01k，解关于x的分式方程22111kkxxxx
四、（本大题满分25分）
已知一次函数(0)ykxbk的图像与x轴的正半轴交于E点，与y轴的正半轴交于F
点，与一次函数21yx的图像相交于A(m,2)，且A点为EF的中点.
（1）求一次函数ykxb的表达式；
（2）若一次函数21yx的图像与x轴相交于P点，求三角形APE的面积。
五、（本大题满分25分）
如图，已知AB=AC，∠BAC=∠CDE=90°，DC=DE，F是BE的中点，求证：FA=FD
且FA⊥FD.
O
P A F E y x