2020年高考文科数学《概率与统计》题型归纳与训练
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参考数据： ， ， ， .
参考公式：相关系数
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
【答案】见解析
【解析】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得 ， ，
，
， .
因为 与 的相关系数近似为 ，说明 与 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合 与 的关系.
（1）变量 与 的相关系数 ，
【易错点】不理解相关系数和残差平方和与相关性的关系
【思维点拨】相关系数r的绝对值越趋向于1,相关性越强.残差平方和m越小相关性越强
【巩固训练】
题型一 古典概型
1.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 个点的正方体玩具）先后抛掷 次，则出现向上的点数之和小于 的概率是．
【答案】
【解析】将先后两次点数记为 ，则基本事件共有 （个），
例1甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
m
115
106
124
103
则哪位同学的试验结果体现A、B两变量更强的线性相关性？( )
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【解析】 D 因为r>0且丁最接近1，残差平方和最小，所以丁相关性最高
【答案】
【解析】按照分层抽样的概念应从丙种型号的产品中抽取 (件)．
例2已知样本数据 ， ， ， 的均值 ，则样本数据 ， ， ， 的均值为．
【答案】
【解析】因为样本数据 ， ， ， 的均值 ，又样本数据 ， ， ， 的和为 ，所以样本数据的均值为 ＝11.
例3某电子商务公司对 名网络购物者2018年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间 内，其频率分布直方图如图所示.
【思维点拨】根据题意分情况写出函数解析式；2牵涉到策略问题,一般可以转化为比较两个指标的大小.
题型四 回归与分析
例1下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数加以说明
（2）建立 关于 的回归方程（系数精确到 ），预测 年我国生活垃圾无害化处理量.
2020年高考文科数学《概率与统计》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一 古典概型
例1从甲、乙等 名学生中随机选出 人，则甲被选中的概率为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】
【解析】可设这5名学生分别是甲、乙、丙、丁、戊，从中随机选出2人的方法有：
（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），共有 种选法，其中只有前4种是甲被选中，所以所求概率为 .故选B.
（1）求直方图中 的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为 ， ， ， 的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 户居民，则从月平均用电量在 的用户中应抽取多少户？
【答案】见解析
【解析】（1）由 ，
得 ．
（2）由图可知，月平均用电量的众数是 .
因为 ，
又 ，
所以月平均用电量的中位数在 内.
【解析】不妨设正方形边长为 ，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，所求概率为 .故选B.
例2在区间 上随机地选择一个数 ，则方程 有两个负根的概率为________.
【答案】
【解析】方程 有两个负根的充要条件是 即
或 ，又因为 ，所以使方程 有两个负根的p的取值范围为 ，故所求的概率 ，故填： .
设中位数为 ，由 ，
得 ，所以月平均用电量的中位数是 .
（3）月平均用电量为 的用户有 （户）；
月平均用电量为 的用户有 （户）；
月平均用电量为 的用户有 （户）；
月平均用电量为 的用户有 （户）.
抽取比例为 ，
所以从月平均用电量在 的用户中应抽取 （户）．
【易错点】没有读懂题意,计算错误.不会用函数思想处理问题
【易错点】“有两个负根”这个条件不会转化.
【思维点拨】“有两个负根”转化为函数图像与x轴负半轴有两个交点.从而得到参数p的范围.在利用几何概型的计算公式计算即可.
题型三 抽样与样本数据特征
例1某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 ， ， ， 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．
．
【易错点】列举不全面或重复,就是不准确
【思维点拨】直接列举,找出符合要求的事件个数.
题型二 几何概型
例1如图所示，正方形 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】
（1）直方图中的 =.
（2）在这些购物者中，消费金额在区间 内的购物者的人数为.
【答案】 人数为
【解析】由频率分布直方图及频率和等于 ，可得
，解之得 .
于是消费金额在区间 内频率为 ，
所以消费金额在区间 内的购物者的人数为 .
例4某城市 户居民的月平均用电量（单位：度），以 ， ， ， ， ， ， 分组的频率分布直方图如图所示．
例2将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.
【答案】
【解析】根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数1，数2，语; 数1，语，数2;数2，数1，语; 数2，语，数1;语，数2，数1; 语，数1，数2共有6种，其中2本数学书相邻的有4种，则其概率为：
其中点数之和大于等于 有 ，共 种，
则点数之和小于 共有 种，所以概率为 ．
2.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如 ．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）.
又ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ， ， ， ， ，
所以 ，故可用线性回归模型拟合变量 与 的关系.
（2） ， ，所以 ，
，所以线性回归方程为 .
当 时， .因此，我们可以预测2016年我国生活垃圾无害化处理 亿吨.
【易错点】没有读懂题意,计算错误.
【思维点拨】将题目的已知条件分析透彻,利用好题目中给的公式与数据.
题型五 独立性检验
参考公式：相关系数
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
【答案】见解析
【解析】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得 ， ，
，
， .
因为 与 的相关系数近似为 ，说明 与 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合 与 的关系.
（1）变量 与 的相关系数 ，
【易错点】不理解相关系数和残差平方和与相关性的关系
【思维点拨】相关系数r的绝对值越趋向于1,相关性越强.残差平方和m越小相关性越强
【巩固训练】
题型一 古典概型
1.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 个点的正方体玩具）先后抛掷 次，则出现向上的点数之和小于 的概率是．
【答案】
【解析】将先后两次点数记为 ，则基本事件共有 （个），
例1甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
m
115
106
124
103
则哪位同学的试验结果体现A、B两变量更强的线性相关性？( )
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【解析】 D 因为r>0且丁最接近1，残差平方和最小，所以丁相关性最高
【答案】
【解析】按照分层抽样的概念应从丙种型号的产品中抽取 (件)．
例2已知样本数据 ， ， ， 的均值 ，则样本数据 ， ， ， 的均值为．
【答案】
【解析】因为样本数据 ， ， ， 的均值 ，又样本数据 ， ， ， 的和为 ，所以样本数据的均值为 ＝11.
例3某电子商务公司对 名网络购物者2018年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间 内，其频率分布直方图如图所示.
【思维点拨】根据题意分情况写出函数解析式；2牵涉到策略问题,一般可以转化为比较两个指标的大小.
题型四 回归与分析
例1下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数加以说明
（2）建立 关于 的回归方程（系数精确到 ），预测 年我国生活垃圾无害化处理量.
2020年高考文科数学《概率与统计》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一 古典概型
例1从甲、乙等 名学生中随机选出 人，则甲被选中的概率为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】
【解析】可设这5名学生分别是甲、乙、丙、丁、戊，从中随机选出2人的方法有：
（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），共有 种选法，其中只有前4种是甲被选中，所以所求概率为 .故选B.
（1）求直方图中 的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为 ， ， ， 的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 户居民，则从月平均用电量在 的用户中应抽取多少户？
【答案】见解析
【解析】（1）由 ，
得 ．
（2）由图可知，月平均用电量的众数是 .
因为 ，
又 ，
所以月平均用电量的中位数在 内.
【解析】不妨设正方形边长为 ，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，所求概率为 .故选B.
例2在区间 上随机地选择一个数 ，则方程 有两个负根的概率为________.
【答案】
【解析】方程 有两个负根的充要条件是 即
或 ，又因为 ，所以使方程 有两个负根的p的取值范围为 ，故所求的概率 ，故填： .
设中位数为 ，由 ，
得 ，所以月平均用电量的中位数是 .
（3）月平均用电量为 的用户有 （户）；
月平均用电量为 的用户有 （户）；
月平均用电量为 的用户有 （户）；
月平均用电量为 的用户有 （户）.
抽取比例为 ，
所以从月平均用电量在 的用户中应抽取 （户）．
【易错点】没有读懂题意,计算错误.不会用函数思想处理问题
【易错点】“有两个负根”这个条件不会转化.
【思维点拨】“有两个负根”转化为函数图像与x轴负半轴有两个交点.从而得到参数p的范围.在利用几何概型的计算公式计算即可.
题型三 抽样与样本数据特征
例1某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 ， ， ， 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．
．
【易错点】列举不全面或重复,就是不准确
【思维点拨】直接列举,找出符合要求的事件个数.
题型二 几何概型
例1如图所示，正方形 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】
（1）直方图中的 =.
（2）在这些购物者中，消费金额在区间 内的购物者的人数为.
【答案】 人数为
【解析】由频率分布直方图及频率和等于 ，可得
，解之得 .
于是消费金额在区间 内频率为 ，
所以消费金额在区间 内的购物者的人数为 .
例4某城市 户居民的月平均用电量（单位：度），以 ， ， ， ， ， ， 分组的频率分布直方图如图所示．
例2将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.
【答案】
【解析】根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数1，数2，语; 数1，语，数2;数2，数1，语; 数2，语，数1;语，数2，数1; 语，数1，数2共有6种，其中2本数学书相邻的有4种，则其概率为：
其中点数之和大于等于 有 ，共 种，
则点数之和小于 共有 种，所以概率为 ．
2.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如 ．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）.
又ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ， ， ， ， ，
所以 ，故可用线性回归模型拟合变量 与 的关系.
（2） ， ，所以 ，
，所以线性回归方程为 .
当 时， .因此，我们可以预测2016年我国生活垃圾无害化处理 亿吨.
【易错点】没有读懂题意,计算错误.
【思维点拨】将题目的已知条件分析透彻,利用好题目中给的公式与数据.
题型五 独立性检验