西南交大研究生机械振动与模态分析期末考试试题解答2012

西南交通大学研究生2011－2012学年第(二)学期考试试卷

课程代码 M11206 课程名称 机械振动与模态分析 考试时间 120分钟

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总成绩 得分 10

10

15

20

15

10

10

10

阅卷教师签字：

1 对于如图所示的单自由度系统，计算在ξ=1和0<ξ<1时，对于初始条件x(0)=0，dx/dt(0)=v 0

的响应 (10分)

解：系统微分方程 特征方程 通解

临界阻尼ξ=1时： 根据初始条件得到：A 1=0，A2=v 0,。所以此时系统的响应为

当欠阻尼0<ξ<1时：由初始条件x(0)=0得到相位角φ=0，和幅值A=v 0/ωd 得到

班 级 学 号 姓 名

密封装订线 密封装订线 密封装订线

()()()0

mx t cx t kx t ++=22

20n n s s ζωω++=()[](

)[]

[

]

t n n n n t s t s n e t A t A t A t A e A e A t x ζωωζωζωζζωζζ---+-=---+-+-=+=)1ex p()1ex p(1ex p 1ex p )(2

22122212121t

n

e tA A t x ω-+=)()(21

2 实验观察到一有阻尼单自由度系统的振动幅值在5个完整的周期后衰减了50%，设系统阻尼为粘性阻尼，试计算系统的阻尼因子。(10分)

解：由

得对数衰减率

从而有：

间隔任意周期时 得到间隔j 个周期后的衰减

当j=5时，有

阻尼因子为

3 如图所示是惯性传感器原理图，（1）写出运动方程；（2）写出稳态响应时系统的频响函数；（3）绘制幅频和相频曲线。（10分）

解：运动方程：

或

2

2112ln ζπζ

ζωδ-=

==T x x n 1

1ln

1

+=j x x j

δe r r r x m kx x c x m -=++e r n r n r x x x x -=++2

2ωζωm k n =

ωmk c 2=ζ班 级 学 号 姓 名

密封装订线 密封装订线 密封装订线

()T

T t t

n n n e e e x x ζωζωζω==+--121()2

22δπδ

ζ+=T

j j n e x x ζω=+1

1

ωn 为传感器底座刚性固定时振子的固有频率，ξ为振子的阻尼比。

频响函数：

4如图所示系统，已知m 1=m, m 2=2m, k 1=k 2=k, k 3=2k,求系统固有频率和振型（20分）。

2

22222θζωωωωωj n

n e r e D j X X -=+-=()

2

22

22

241λζλλ+-=

D 2

1

212tan λζλ

θ-=-)0(2πθ<<班 级 学 号 姓 名

密封装订线 密封装订线 密封装订线

5 如图所示，k1=0,k2=k3,m1=m2=m,m3=2m,求固有频率和振型（15分）。

解：

班 级 学 号 姓 名

密封装订线 密封装订线 密封装订线

6试证明振型矩阵关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性（10分）。

{}[]

{}{}[]

{}j i K M j T i j T i ≠⎪⎭

⎪

⎬⎫==00φφφφ

{}[]

{}{}[]

{}j i k K m M i i T i i i T i =⎪⎭

⎪

⎬⎫==φφφφ

解：

证明：设第i 个与第j 个模态向量分别为 {}{},,j i φφ 则有

[]{}[]{}i i i M K φλφ= （1）

[]{}[]{}j j j

M K φλφ=

（2）

用{}T j φ前乘式（1）有

{}[]{}{}[]{}i T

j i i

T j M K φφλφφ=

（3）

用{}T i φ前乘式（2）有

{}[]{}{}[]{}j T

i i j T i M K φφλφφ=

（4）

因[][]M K ,都是对称阵，对（4－24）取转置，有

{}[]{}{}[]

{}j T i i T j M K φφφφ= {}[]{}{}[]{}i T j i T j M K φφφφ=

将她们代入式（2）后再与式（4）相减，得

{}[]{}0)(=-j T

i j i M φφλλ

（5）

当j i ≠时，j i λλ≠，有

{}[]

{}0=j T i M φφ 班 级 学 号 姓 名

密封装订线 密封装订线 密封装订线

再由式（3），显然有{}[]

{}0=j T i K φφ 证毕

7 写出2自由度系统实频与虚频响应函数表达式，绘制相应的实频与虚频速度导纳曲线（10分）。

8 简述klaustman 方法适用范围及模态参数识别过程（10分）。

班 级 学 号 姓 名

密封装订线 密封装订线 密封装订线