初三数学竞赛专题讲座(三)
浙江省杭州市三墩中学九年级数学竞赛专题讲座 几个重要定理
浙江省杭州市三墩中学九年级数学竞赛专题讲座 几个重要定理1.正弦定理 △ABC 中，设外接圆半径为R ，则2.余弦定理 △ABC 中，有关系a2=b2+c2-2bccosA ； a=ccosB+bcosC ； b2=c2+a2-2cacosB ； 有时也用它的等价形式 b=acosC+ccosA ； c2=a2+b2-2abcosC ； c=acosB+bcosA.3.梅涅(Menelaus)劳斯定理（梅氏线）直线截△ABC 的边BC ，CA ，AB 或其延长线于D 、E 、F. 则4.塞瓦定理(Ceva) （塞瓦点） 设O 是△ABC 内任意一点，AB 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，则5.塞瓦定理逆定理在△ABC 三边所在直线BC 、CA 、AB 上各取一点D 、E 、F ，若则AD 、BE 、CE 平行或共点。
6.斯特瓦尔特定理 在△ABC 中，若D 是BC 上一点，且BD=p ，DC=q ，AB=c ，AC=b ，则7.托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆 BD AC AD BC CD AB ∙=∙+∙的充要条件是共圆ABCD8.西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上例题：1． 设AD 是△ABC 的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于F 。
求证：FBAF ED AE 2=。
【分析】CEF 截△ABD →1=⋅⋅FA BF CB DC ED AE （梅氏定理）【评注】也可以添加辅助线证明：过A 、B 、D 之一作CF 的平行线2、 过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于E 、F ，交CB 于D 。
求证：。
【分析】连结并延长AG 交BC 于M ，则M 为BC 的中点。
DEG 截△ABM →（梅氏定理）DGF 截△ACM →（梅氏定理） ∴===1【评注】梅氏定理3．D 、E 、F 分别在△ABC 的BC 、CA 、AB 边上，，AD 、BE 、CF 交成△LMN 。
专题 定义新运算
初中数学竞赛辅导专题讲座定义新运算例1现定义运算“*”为1111a b ab a b M *=++++，且4213*=，试求20032004*的值. 例2对于任意有理数,x y ，我们定义一种新运算“*”：x y a x b y c x y *=+-，且123,234*=*=， x m x *=，其中0m ≠.试求m 的值.例3填空题：If ()12a a a +<>=for all integers a ，and 8b <>=<>,then<b >is .1． 填空题：若规定23x y x y xy ∆=++，则()12x ∆∆= .2． 对于任意有理数,a b 运算⊕与⊗的定义如下：1a b a b ⊕=++，1a b ab ⊗=+，试求()()46835⊗⊕⊕⊗⎡⎤⎣⎦的值.3． 习惯上，我们用记号()f x 表示一个多项式，比如可以记()2258f x x x =-+，试计算()2f -的值.4． 若规定运算℘使得22323425℘=+=，2224345677℘=++=,计算65℘的值.5． 若规定运算 使得a a b b ab =- ，试计算320 的值. 6． 已知()x 表示不超过x 的质数的个数，如()84=，因不超过8的质数有2，3，5，7共4个.试求()()()2091⨯+的值.7. 定义运算()()22@:@x y x y xy =-÷,其中 ,x y 均不为零，试通过验证3@2与2@3来检验该运算是否满足交换律.8．对于任意三个互不相等的有理数,,a b c ，我们规定,,c a a b c c b+=- ，试求1,2,3-- 的值.9．对于任意正整数,x y ，定义运算:x y ∆∆表示由x 开始的连续y 个正整数的和，如232349∆=++=，3634567833∆=+++++=.试求()2223∆∆∆⎡⎤⎣⎦的值.10．{}max ,,a b c 表示,,a b c 三个数中的最大者，{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中的最小者，求{}{}{}m in m ax 1,2,1,m in 5,10,11,7-的值.1．对于不小于3的自然数n ，现规定一种操作：()n 表示不是n 的约数的最小自然数，如()()72,125==，试求()()1998⨯的值.2．现定义1a b a b ab +=- ，其中,a b 为有理数，试求111258⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 的值. 3．选择题：如果定义运算∆为ab a b a b ∆=+，那么对于该运算“∆”关于交换律， A.运算满足交换律，但不满足结合律 B. 运算满足结合律，但不满足交换律C. 运算既满足交换律，也满足结合律D. 运算既不满足交换律，也不满足结合律4. 对于任意有理数,x y ，满足运算: 43x y x y xy =-+ ，试求使得42004y = 成立的y 值.5. 对于任意有理数,a b ，现定义运算*:()()112a b a b *=++.试求12345620032004*+*+*++* 的值.6．当a b ≥时，规定aa b b = ；而当a b <时，规定a b b a =- .如果236x = ，试求x 值.7． 有理数,a b 按先后顺序列成一个有序数对(),a b ，显然，若a b ≠，则(),a b 与(),b a 表示两个不同的有序数对.现对数对定义运算: ()()(),,,a b c d ac bd bc ad =-+ .（1）试证明：运算 满足结合律,即()()()()()(),,,,,,a b c d e f a b c d e f =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ）.（2）若常数,k m ，使得对任意有理数,x y ，恒有()()(),,,x y k m y x =-，试求,k m 的值.8．解方程[]13122x x +=-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数. 9．有理数,a b 按先后顺序列成一个有序数对(),a b ，显然，若a b ≠，则(),a b 与(),b a 表示两个不同的有序数对.现对数对定义运算 :()()(),,,a b c d ac bd bc ad =-+ .若()()1,22,3 与()(),1,2x y 对应着相同的有序数对，求()(),,x y y x 的值.10．对于有理数,x y ，使得x y a x b y c x y =++ ，其中,,a b c 为已知的常数，且满足①123,234== ，②对于非零有理数m ，有x m x = 成立。
高中数学竞赛专题讲座---数学归纳
数学归纳法数学归纳法是用于证明与正整数n 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．这种方法的原理简单易懂，在实际生活中都能找到它的影子，多米诺骨牌、蝴蝶效应都可以看做是数学归纳法的一种体现。
而在数学方面的应用上，它更显出了重要的地位，正因如此，在近年的高考试题，特别是压轴大题上，常常运用数学归纳法来解题；在竞赛数学，数学归纳法更是在数列、组合等多方面发挥着重要作用。
（一）数学归纳法的基本形式 （1）第一数学归纳法设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果: ①当0n n =（N n ∈0）时，)(n P 成立；②假设),(0N k n k k n ∈≥=成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整 数0n n ≥时，)(n P 成立．例1 （07江西理22）设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n ∈N ，有11111122111n n n na a a a n n ++++<<+-+．（1）求1a ，3a ； （2）求数列{}n a 的通项n a ． 解：（1）据条件得1111112(1)2n nn n n n a a a a ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ ① 当1n =时， 由21211111222a a a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，即有1112212244a a +<+<+，解得12837a <<．因为1a 为正整数，故11a =．当2n =时，由33111126244a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，解得3810a <<，所以39a =． （2）由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =．下面用数学归纳法证明: 1当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立；2假设(2)n k k =≥成立，2k a k =，则1n k =+时由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭, 2212(1)(1)11k k k k k k a k k k +++-⇒<<-+-22212(1)1(1)(1)11k k k a k k k ++⇒+-<<+++-,因为2k ≥时，22(1)(1)(1)(2)0k k k k k +-+=+-≥，所以(]22(1)011k k +∈+，．11k -≥，所以(]1011k ∈-，．又1k a +∈*N ，所以221(1)(1)k k a k +++≤≤,故21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立．由1，2知，对任意n ∈*N ，2n a n =．此题在证明时应注意，归纳奠基需验证的初始值又两个，即1n =和2n =。
培优联盟骨干教师数学讲座-竞赛培优课件讲座(共82张PPT)
单墫:怎样搞数学竞赛 【很重要的高中竞赛学习策略】
在进度方面： 要在高一开学之前的那个暑假里把整个高中 的数学内容全部学完，并在高一上 学期应该完成像高三一样的两轮复习，基础太重要了，第一试占了120分，不可 小视。然后，就是竞赛内容了，不要以为看几本 竞赛书就可以了，因为那些书 上讲得较粗略；要多向老师学习并要不断地总结重要的思想方法，使自己能够 灵活运用。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点——
费马点，到三角形顶点距离的平方和最小的点——重心。
三角形内到三边距离之积最大的点——重心。
几何不等式 简单的等周问题。了解下述定理： 在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大 在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小 几何中的运动：反射、平移、旋转。
复数方法、向量方法。
2、代数
在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。 三倍角公式，三角形的一些简单的恒等试，三角形不等式。 第二数学归纳法。 递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。 N个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
3、立体几何 多面角，多面角的性质；三面角、直三面角的基本性 质；正多面体， 欧拉定理；体积证法；截面，会作截面、表面展开图。 4、平面解析几何 直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应； 二元一次不等式表示的区域；三角形的面积公式；圆锥 曲线的切线和法线；圆的幂和根轴。 5、其他 抽屉原理；容斥原理；极端原理；集合的划分；覆盖。
上海市九年级数学 竞赛讲座 基本不等式 精品
绿地初三数学竞赛讲座之：基本不等式
一、基本不等式：
（1）对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a ＝b 时，等号成立．
（2）对任意正数a ，b
，有
2a b +≥a ＝b 时，等号成立． （Note ：我们把2
a b +
、a 、b 的算术平均数和几何平均数．） 基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
二、基本不等式应用举例
例1、求证：对任意实数a 、b 、c ，有222a b c ab bc ac ++≥++，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．
例2、已知a ，b 是实数，且a ＋b ＝1，求证：14ab ≤
，并指出等号成立的条件．
例3、某新建居民小区欲建一面积为700平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽3米，短边外人行道宽4米，如图所示；怎样设计绿地的长与宽，才能使人行道的占地面积最小？结果精确到0.1米）
三、小试牛刀
1、填空：（1）若x ＞0，则1x x + 2； 若x ＜0，则1x x
+ 2-；
2、设ab ≠0，比较a b b a
+与2的大小． 3、设a 、b 为任意实数，比较下列各题中两式值的大小： （1）224a b +与4ab -； （2）2
2433a a +++与4．
4、已知x 、y 是正数，且21x y +=，求证：18xy ≤，并指出等号成立的条件．
5、已知0＜x ＜1，求当x 取何值时，的值最大．
6、已知，a ，b 是两个实数，求证：()()2222a b a b +≥+．
7、已知x 是实数，比较2x 与22x -的大小．
8、已知0x y >>。
上海中学顾滨
数学竞赛专题讲座―组合杂题初步上海中学 (200231)顾滨组合问题是数学竞赛中的热点问题，通常也是难度很高的问题．组合问题内容非常广泛，涉及代数，几何以及数论等多个数学分支．组合问题中常见的问题有：组合计数；组合最值；组合几何；组合数论，图论等，其用到的重要原理一般有：抽屉原理；容斥原理；算二次原理；平均数原理；最大（小）数原理．组合计数问题常见处理方法有：枚举法；映射法；算二次法；递推法；母函数法等；组合最值问题常见处理方法：估计法；组合分析法；局部调整法；归纳法；计数法等；组合几何问题常见处理方法：利用凸集；染色赋值法；利用海莱定理,图兰定理等；利用覆盖和嵌入法等．下面，我们来看几个组合问题中典型问题： 1． 有两位棋手在一个无限大的平面上对局，棋子共有５１个，其中只有１匹狼，５０只羊．第一位棋手开局移动狼，然后第二位棋手移动一只羊，接着第一位棋手再移动狼，然后第二位棋手再移动羊，如此下去．若规定狼和羊每次移动可沿任意方向且距离不超过１米，试问：是否有一种初始摆法，使得狼永远抓不住羊？解：有．在平面上，以米为单位，建立直角坐标系xo y ，把５０只羊分别放于５０条直线：3,6,9,,350y y y y ====⨯ 上，使得每条直线上仅有一只羊，而且开始时，没有一只羊距离狼的距离在１米之内．由于狼一步至多移动１米，但是任意两只羊之间的距离都大于等于３米，从而，在同一时刻，狼至多只威胁到一只羊，在一对一的情况下，羊沿着直线运动，那么狼不可能抓住羊．2． 是否存在空间中的５个点，使得对所有的{1,2,,10}n ∈ ，存在两个点，它们之间的距离等于n ？解：不存在．假设存在这样满足题意的空间５个点，那么它们之间有2510C =个距离，且距离值1,2,10 仅出现一次，设XY=1,且Z 是任意一点，不失一般性，有XZ YZ >（等号不可能取到,上面已经说明），因此在X YZ ∆中，由三边关系：XZ XY YZ ≤+⇒ 01XZ YZ XY <-≤=，因为XZ,YZ 都是整数，所以1XZ YZ =+，由此可得X,Y ,Z 三点共线，进而推得这样的５个点，如果存在，必定共线．接下去，不失一般性，若存在５个点共线，依次为 A,B,C,D,E ，且AE=10，则这１０个距离是：()()10()(10)(10)(10)4022S AB AB BC AB BC C D BC BC C D AB C D AB BC AB BC C D BC C D=++++++++++-++--+---=++所以，S 为偶数，但是121055+++= 为奇数，矛盾！故不存在．3． 是否存在两个无差别的骰子，使得这两个骰子点数之和(212)j j ≤≤的出现概率是24(,)3333之间的数？解：设n a 是第一个骰子出现n 的概率，其中{1,2,6}n ∈ ；n b 是第二个骰子出现n 的概率，其中{1,2,6}n ∈ ；n s 是两个骰子之和出现n 的概率，其中{1,2,6}n ∈ ．若1661112a b a b a b +≥，则722s s ≥，这与27,s s 在24(,)3333矛盾！所以有16611102a b a b a b ≤+<①； 若1661662a b a b a b +≥，则7122s s ≥，这与712,s s 在24(,)3333矛盾！所以有16616602a b a b a b ≤+<②；由①╳②可得216611166()4a b a b a b a b +<21661()0a b a b ⇔-<，这是不可能的．故不存在这样的两个骰子满足题意．4． 设n 是能够被４整除的正整数，在集合{1,2,,}n 上，计算双射f 的个数，使得1()()1,1,2,f j fj n j n-+=+= ． 解：假设()j f x =，则(())1f f x n x =+-（注意既然n 为偶数，则()f x x ≠），所以存在()y f x =，在我们用函数迭代时候，４个数将形成循环：,,1,1x y n x n y +-+-，,,1,1,x y n x n y +-+- ，在每个循环中，这４个数均不同且恰有２个在集合{1,2,,}2n中，所以共有(1)(3)3122n n --⋅ 种方法构成数组(,)x y 且每4n 组数将导致２个循环：(,,1,1)x y n x n y +-+-或者(,1,1,)x n y n x y +-+-，因而原问题结果为4[(1)(3)31]222nn n --⋅⋅ ，由于()!2(1)(3)3122()!4n n nn --⋅= 故化简后值为()!2()!4nn 42n ．5． 设F 是所有下列函数f 构成的集合：:()f P S R →，使得对所有的,()X Y P S ⊆，有()m i n (()(f X Y f X f Y ⋂=⋂，这里S 是一个有限集，P(S)是S 的子集族，试求：Im()max f Ff ∈，其中Im()f 表示f 的像集．解：Im()1max f Ff n ∈=+．对每个*n N ∈，令{12,,}n S n = ．定义f 如下：对每一个n A S ⊆，若n A ∉，则令1()1f A n =+；若n A ∈而1n A -∉，则令1()f A n=；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．； 一般地，若,1,,n n k A -∈ ，而1k A -∉，则令1()f A k=，则f 是()P S R →的一个映射，且对,()X Y P S ∈，设,1,,(n n k X Y -∈⋂ ，而1()k XY -∉⋂，(1,2,,1)k n =+ ，则有,1,,,n n k X Y -∈ 且1k -不同时属于X,Y ，于是，由f 的定义方式知：1(),()f X f Y k≥至少有一个取等号，而1()f X Y k⋂=，故()m i n ((),f X Y f X f Y ⋂=，现在有I m ()1f n =+，即I m ()1m a x f Ff n ∈=+． 6． 设边长为１的正六边形的六个顶点为126,,,P P P ，在其形内（包括边界）任放置两个不同的点78,P P ，求：18m in i j i j P P ≤<≤的最小值．解：如图所示．可以以i P 为圆心，x 为半径作圆弧，则在形内将围成一A B CDE FP 1P 2 P 3P 4P 5P 6个曲边六边形ABCDEF ．当x 于曲边六边形＂直径＂BE 相等时，有221()32x x +-=，解得1533x =．若把78,P P 放好时，由于1x <，所以18m in i j i j P P ≤<≤＝1533-．若否，存在78,P P ，使得18m in i j i j P P ≤<≤＞x ，从而78P P x >，因为曲边ABCDEF 直径为x ,所以，78,P P 中，至少有一个，不妨设为7P ，不在曲边六边形形内，但7P 在正六边形126,,,P P P 形内或者边界上．所以7P 必在以(1,2,,6)i P i = 为圆心，x 为半径的某个圆i P 内，不妨设7P 在圆1P 内，则有17P P x ≤与18m in i j i j P P ≤<≤＞x 矛盾！综上所述, 18m in i j i j P P ≤<≤3．7． 设集合{1,2,,50}S = ，X 是S 的任意子集，且X n =．求最小的正整数n ，使得X 中必有三个数为直角三角形的三边长．解：设直角三角形三边长分别为,,x y z ，有222x y z +=，其正整数解可表示为：22()x k a b =-，2y kab =，22()z k a b =+①，其中*,,,(,)1,a b k N a b a b ∈=>，则,,x y z 中必有一个为５的倍数．若否，则,,a b c 都是51,52m m ±±型的数，m N ∈，所以有21(m od 5)a ≡±；21(m od 5)b ≡±，21(mod 5)c ≡±，而2220,2c a b =+≡±，矛盾！令集合A ={S 中所有与5互质的数},则40A =,若以10,15,25,40,45分别作直角三角形的某边长,则由①知A 中找到相应的边构成如下直角三角形：(10,8,6);(26,24,10);(15,12,9);(42,27,36);(39,36,15);(25,24,7);(40,32,24);(41,40,9);(42,27,36)，此外，A 中再没有能与10,15,25,40,45构成直角三角形的三条边．令M={10,15,25,40,45}A ⋃＼{8,9,24,36}，则41M =，有上知A 中数不能够成直角三角形，故42n ≥。
九年级数学竞赛讲座：由常量数学到变量数学
九年级数学竞赛讲座：由常量数学到变量数学数学漫长的发展历史大致历经四个时期：以自然数、分数体系形成的萌芽期；以代数符号体系形成的常量数学时期；以函数概念产生的变量数学时期；以集合论为标志的现代数学时期．函数是数学中最重要的概念之一，它是变量数学的标志，“函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性．函数的基本知识有：与平面直角坐标系相关的概念、函数概念、函数的表示法、函数图象概念及画法．在坐标平面内，由点的坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”相互转换的最基本形式．点的坐标是解决函数问题的基础，函数解析式是解决函数问题的关键，所以，求点的坐标、探求函数解析式是研究函数的两大重要课题．【例题求解】【例1】在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(2，-3)，点P在y轴上，且△APB为直角三角形，则点P的个数为． (河南省竞赛题)思路点拨先在直角坐标平面内描出A、B两点，连结AB，因题设中未指明△APB的哪个角是直角，故应分别就∠A、∠B、∠C为直角来讨论，设点P(0，x)，运用几何知识建立x的方程．注：点的坐标是数与形结合的桥梁，求点的坐标的基本方法有：(1)利用几何计算求；(2)通过解析式求；(3)解由解析式联立的方程组求．【例2】如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽．水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系，大致是下列图象中的( )思路点拨向烧杯注水需要时间，并且水槽中水面上升高0h．注：实际生活中量与量之间的关系可以形象地通过图象直观地表现出来，如心电图、，股市行情走势图等，图象中包含着丰富的图象信息，要善于从图象的形状、位置、发展变化趋势等有关信息中获得启示．【例3】南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选择其中的一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示：运输工具途中速度(千米／时)途中费用(元／千米)装卸费用(元)装卸时间(小时)飞机200 16 1000 2火车100 4 2000 4汽车50 8 1000 2x 千米．(1)如果用Wl 、W2、W3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用(包括损耗)，求出Wl 、W2、W3与小x间的函数关系式．(2)应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出费用最小?(湖北省黄冈市中考题)思路点拨每种运输工具总支出费用＝途中所需费用(含装卸费用)+损耗费用；总支出费用随距离变化而变化，由Wl —W2＝0，W2一W3=0，先确定自变量的特定值，通过讨论选择最佳运输方式．【例4】已知在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，把它放在直角坐标系中，使AD边在y轴上，点C的坐标为(23，8)．(1)画出符合题目条件的菱形与直角坐标系；(2)写出A、B两点的坐标；(3)设菱形ABCD的对角线交点为P．问：在y轴上是否存在一点F，使得点P与点F关于菱形ABCD的某条边所在的直线对称，如果存在，写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由． (江苏省常州市中考题)思路点拨 (1)关键是探求点A是在y轴正半轴上、负半轴上还是坐标原点，只须判断∠COy 与∠CAD的大小；(2)利用解直角三角形求A，B两点坐标；(3)设轴上存在点F(0，y)，则P 与F只可能关于直线DC对称．注：建立函数关系式，实际上都是根据具体的实际问题和一些特殊的关系、数据而抽象、归纳建立函数的模型．【例5】如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点，若P为AB边上的一个动点，PQ∥BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A 的右侧作正方形PQMN，记PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y．(1)当AP＝3cm时，求的值；(2)设AP=cm时，求y与x的函数关系式；(3)当y=2cm2，试确定点P的位置．(2001年天津市中考题)思路点拨对于(2)，由于点P的位置不同，y与x之间存在不同的函数关系，故需分类讨论；对于(3)，由相应函数解析式求x值．注：确定几何元素间的函数关系式，首先是借助几何知识与方法把相应线段用自变量表示，再代入相应的等量关系式，需要注意的是：(1)当图形运动导致图形之间位置发生变化，需要分类讨论；(2)确定自变量的几何意义，常用到运动变化、考虑极端情形、特殊情形等思想方法．学力训练1．如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)、B(4，4)，∠OAB ＝90°，有直角三角形与Rt △ABO 全等且以AB 为公共边，请写出这些直角三角形未知顶点的坐标 ． (贵州省中考题)2．在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C 在x 轴上(C 与A 不重合)，当点C 的坐标为 时，使得由点B 、O 、C 组成的三角形与△AOB 相似(至少找出两个满足条件的点的坐标)． (广西桂林市中考题)3．根据指令(S ≥0，0°<A<180°)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离S ．现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x 轴的正方向，(1)若给机器人下了一个指令，则机器人应移动到点 ；(2)请你给机器人下一个指令 ，使其移动到点(一5，5)．(浙江省杭州市中考题)4．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴的夹角为60°，且点A 的坐标为(一2，0)，点B 在x 轴上方，设AB ＝a ，那么点B 的横坐标为( ) A ．22a - B ．22a + C ．22a -- D ．22a +-(年南昌市中考题)5．一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300米，小军先走了一段路程，爸爸才开始出发．图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程(米)与登山所用的时间(分钟的关系)(从爸爸开始登山时计时)，根据图象，下列说法错误的是( ) A ．爸爸登山时，小军已走了50米 B ．爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面 C ．小军比爸爸晚到山顶D ．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟之后登山的速度比小军快 (江苏省淮安市中考题) 6．若函数mx x y ++=212的自变量x 的取值范围为一切实数，则m 的取值范围是( )A ．m<lB ．m=1C ． m>lD ．m ≤17．如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)、点B(0，3)，若有一个直角三角形与Rt △ABO 全等，且它们有一条公共边，请写出这个直角三角形未知顶点的坐标(不必写出计算过程)． (常州市中考题)8．如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题： （1）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y ，请写出y 与n (n 表示第n 个图形)的函数关系式； (2)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n 的值； (3)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(2)中，共需花多少元钱购买瓷砖? (4)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等情形?请通过计算说明为什么?(吉林省中考题)9．如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD ，它的4个顶点为A(10，0)，B (0，10)，C(一10，0)，D(0，一10)，则该正方形内及边界上共有 个整点(即纵横坐标都是整数的点)． (上海市初中数学竞赛题)10．如图，已知边长为l的正方形OABC在直角坐标系中，A、B两点在第一象限内，OA与x轴的夹角为30°，那么点B的坐标是．11．如图，一个粒子在第一象限运动，在第一分钟内它从原点运动到(1，0)，而后它接着按图所示在与x轴、y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在1989分钟后这个粒子所处位置为．(美国高中数学考试题)12．在直角坐标系中，已知A(1，1)，在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有( )A．1个 B．2个 C． 3个 D．4个 (2001年湖北赛区选拔赛题)13．已知点P的坐标是(a+2l，b+2)，这里a、b是有理数，PA、PB分别是点P到x轴和y 轴的垂线段，且矩形OAPB的面积为2，则P点可能出现的象限有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (江苏省竞赛题)14．甲、乙二人同时从A地出发，沿同一条道路去B地，途中都使用两种不同的速度Vl与V 2(Vi<V2)，甲用一半的路程使用速度Vl、另一半的路程使用速度V2；关于甲乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有图中4个不同的图示分析．其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程，其中正确的图示分析为( )A．图(1) B．图(1)或图(2) C．图(3) D．图(4)(河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)15．依法纳税是每个公民应尽的义务．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民每月工资、薪金收入不超过800元，不需交税；超过800元的部分为全月应纳税所得额，都应交税，且根据超过部分的多少按不同的税率交税，详细的税率如下表：级别全月应纳税所得额税率(％)1 不超过500元部分 52 超过500元至2000元部分103 超过2000元至5000元部分15……(1)(2)设表示每月收入(单位：元)，y表示应交税款(单位：元)，当1300<x≤2800时，请写出y 关于x的函数关系式；(3)某企业高级职员2002年11月应交税款55元，问该月他的总收入是多少元?(四川省竞赛题)16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB上任意一点(A、B两点除外)，过D作AB垂线与△ABC的直角边相交于E，设AD=x，△ADE的面积为y，当点D在AB上移动时，求y关于x之间的函数关系式．17．现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用6000元，使用月型车厢每节费用为8000元．(1)设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x之间的函数关系式；(2)如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节月型B车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案?(3)在上述方案中，哪个方案运费最高?最少运费为多少元? (广州市中考题)18．如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为(14，0)，(14，3)，(4，3)．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位；点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．(1)设从出发起运动了x秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试分别写出这时点Q在OC上或在CB上时的坐标(用含x的代数式表示)；(2)设从出发起运动了x秒，如果点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半，①试用含x的代数式表示这时点Q所经过的路程和它的速度；②试问：这时直线PQ是否可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分?如有可能，求出相应的x的值和P、Q的坐标；如不可能，请说明理由． (苏州市中考题)参考答案。
竞赛数学讲座PPT课件
或参观游览，第五天闭幕式，宣布考试成绩和颁奖。
成绩最好的约30名选手（现改为约60名）以及中国
女子数学奥林匹克和中国西部数学奥林匹克的前两
名（现已无参加集训队资格）组成参加当年IMO的
中国国家集训队。3月中旬至4月初，进行参加IMO
的中国代表队的选拔工作。每年7月份参加IMO。
全国中学生数学冬令营是在全国高中数学联赛的基
2.广东省历届国际数学奥林匹克竞赛获奖情 况：13人14次，其中华南师范大学附中7人8 次，深圳中学4人，深圳高级中学1人，深圳 第三高级中学1人。9人就读北京大学，3人就 读清华大学，1人就读中国科技大学。
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三、IMO——中国队获奖情况
2013年获奖的饶家鼎，深圳市第三高级中学 高二年级学生 (7岁从加拿大回国读书)。 2010年，12岁的高一学生饶家鼎参加全国高 中数学联赛，与高三顶尖学生同台竞技，获 得全国三等奖。当同龄人还在读初一、初二 的时候，他已经被北京大学数学科学学院和 清华大学数学科学系提前预录取，并入选 2012年中国数学奥林匹克广东省数学代表队， 在2013年以一分之差，遗憾地摘取了国际奥 林匹克数学竞赛银牌，而此前他被寄予得满 分的厚望。
四个方面。前两道题每题40分，后两道 题每题50分。
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七、全国高中学联赛题型与 考试大纲
考试大纲：一试完全按照全日制中学 《数学教学大纲》中所规定的教学要求
和内容，即高考所规定的知识范围和方 法，在方法的要求上略有提高。 二试：超过高考大纲（有具体的规定）
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二试
1、平面几何 基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求：面积和面积方法。 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角
新课标数学竞赛讲座目录（七、八、九年级）
新课标数学竞赛讲座目录（七、八、九年级）新课标数学竞赛讲座目录七年级第一讲走进美妙的数学世界第二讲跨越——从算术到代数第三讲创造的基石——观察、归纳与猜想第四讲数轴——数与形的第一次碰撞第五讲解读绝对值第六讲计算——工具与算法的变迁第七讲物以类聚——话说同类项第八讲一元一次方程第九讲绝对值与一元一次方程第十一讲列方程解应用题——设元的技巧第十二讲社会、生活、经济——情境应用题第十三讲一次方程组第十四讲一次方程组的应用第十五讲倾斜的天平——由相等到不等第十六讲不等式（组）的应用第十七讲整式的乘法与除法第十八讲乘法公式第十九讲丰富的图形世界第二十讲线段第二十一讲角第二十二讲平行线的判定与性质第二十三讲简单的面积问题第二十四讲质数、合数与因数分解第二十五讲奇数、偶数与奇偶分析第二十六讲整数整除的概念和性质第二十七讲不定方程、方程组第二十八讲计数方法第二十九讲最值问题第三十讲创新命题第三十一讲代数式的值第三十二讲最大公约数与最小公倍数八年级第一讲分解方法的延拓第二讲分解方法的延拓第三讲因式分解的应用第四讲分式的概念、性质及运算第五讲有条件的分式的化简与求值第六讲实数的概念及性质第七讲二次根式的运算第八讲二次根式的化简求值第九讲三角形的边与角第十讲全等三角形第十一讲等腰三角形的性质第十二讲等腰三角形的判定第十三讲从勾股定理谈起第十四讲多边形的边角与对角线第十五讲平行四边形第十六讲完美的正方形第十七讲梯形第十八讲由中点想到什么第十九讲平行截割第二十讲飞跃-从全等到相似第二十一讲相似三角形的性质第二十二讲直角三角形的再发现第二十三讲代数证明第二十四讲配方法的解题功能第二十五讲整体的方法第二十六讲面积问题评说第二十七讲图形的折叠、剪拼与分割第二十八讲奇妙的对称第二十九讲图形的平移与旋转第三十讲数形互助第三十一讲完全平方数和完全平方式第三十二讲几何不等式第三十三讲代数式的化简与求值第三十四讲分式方程（组）第三十五讲应用题九年级第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第二十讲直线与圆第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角第十二讲方程与函数第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手。
专题 牛吃草问题的解法
初中数学竞赛辅导专题讲座“牛吃草问题”的解法117 一牧场上的青草每天都匀速生长。
这片青草可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。
那么可供21头牛吃几周？（12周。
解：将1头牛1周吃的草看做1份，则27头牛6周吃162份，23头牛9周吃207份，这说明3周时间牧场长草207-162＝45（份），即每周长草15份，牧场原有草162－15×6＝72（份）。
21头牛中的15头牛吃新长出的草，剩下的6头牛吃原有的草，吃完需72÷6＝12（周）。
）118 由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。
经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。
那么，可供11头牛吃几天？（8天。
解：以1头牛1天吃的草为1份。
牧场上的草每天自然减少（20×5-16×6）÷（6-5）=4（份），原来牧场有草（20＋4）×5＝120（份），可供11头牛吃120÷（11＋4）=8（天）。
）119 有一水池，池底有泉水不断涌出。
要想把水池的水抽干， 10台抽水机需抽 8时，8台抽水机需抽12时。
如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？（24时。
解；将1台抽水机1时抽的水当做1份。
泉水每时涌出量为（8×12-10×8）÷（12-8）=4（份）。
水池原有水（10-4）×8＝48（份），6台抽水机需抽48÷（6-4）=24（时）。
）120 有一个水池，池底有一个打开的出水口。
用5台抽水机 20时可将水抽完，用 8台抽水机 15时可将水抽完。
如果仅靠出水口出水，那么多长时间能把水漏完？（45时。
解：将1台抽水机1时的抽水量当做1份。
出水口每时出水（8×15－5×20）÷（20－15）=4（份），水池原有水（5＋4）×20＝180（份），单靠出水口漏完需180÷4=45（时）。
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初三数学竞赛专题讲座
——有关三角形与四边形的竞赛题
[例题精讲]
例1、如图，P是等边三角形ABC内部的一点，PA=2，PB=32，PC=4.
求ΔABC的边长.
例2、如图所示，A、B、C、D是一个凸四边形的四个顶点，在ABCD所在平面上求一点P，使得PA+PB+PC+PD最小.
例3、在ΔABC中，已知∠A=90º，AB=AC，BD是中线，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F.求证：∠ADB=∠CDF.（99
年天津市初中数学竞赛题）
A
B
C
D
A
B
C
E
D
F
C
B A
P
例4、已知：如图，以ΔABC的AB、AC为斜边向外作直角三角形ABD和ACE，∠ADB=∠AEC=90º，且使∠ABD=
∠ACE，M是BC的中点.
求证：DM=EM.（98年“祖冲之杯”邀请赛试题）
例5、已知：在ΔABC中，∠ACB=90º，∠ABC=15º，BC=1，则AC的长为（ ）
（A）2+3 （B）32（C）0.3 （D）23
A
B C M
D
E
例6、ΔABC的面积为1，D、E为BC的三等分点，F、G为CA的三等分点（如图所示）.
求四边形PECF的面积.
例7、已知：如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60º，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点，满足：
AE+CF=a.
求证：无论E、F怎样移动，三角形BEF总是正三角形.
A
B
C
D
E
F
C G A B
D
E
P
F
[练习题]：
1、如图，ABCD、BEFG是两个放在一起的正方形，请你证明ΔDEG的面积等于大正方形BEFG面积的一半.
2、在ΔABC中，AB=3AC.
问：（1）在ΔABC中，哪条边是最小边？
（2）ACBC的值在什么范围内变化？
3、已知：在ΔABC中，AD为高，且AB+CD=AC+BD.
求证：AB=AC.
A
B
C D
E
F
G
4、如图，AB∥EF∥CD，已知AB=10，CD=40，则EF= .
A
B
C
D
E
F