高考数学复习-概率与统计

第1页 / 共 9页高考数学复习-概率及统计

1从1,2, 3,4中任取2个不同的数, 则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )

A. B. C. D. 2有3个兴趣小组, 甲、乙两位同学各自参加其中一个小组, 每位同学参加各个小组的可能性相同, 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )

A. B. C. D. 3某校共有学生1 200名, 各年级男、女生人数如下表:

七年级八年级九年级女生 a 216 b

男生 198 222 c

已知在全校学生中随机抽取1名, 抽到七年级女生的概率是0.17. (1) 求a的值; (2) 现用分层抽样的方法在全校抽取200名学生, 问应在九年级抽取多少名学生? (3) 已知175≤b≤183, 求九年级中女生不少于男生的概率.

4从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中, 随机(等可能) 取两点, 则该两点间的距离为的概率是 . 5(2013山东, 17,12分) 某小组共有A, B, C, D, E五位同学, 他们的身高(单位: 米) 及体重指标(单位: 千克/米2) 如下表所示: A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82

体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9

(1) 从该小组身高低于1.80的同学中任选2人, 求选到的2人身高都在1.78以下的概率; (2) 从该小组同学中任选2个, 求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5, 23.9) 中的概率.

6(2012山东, 18,12分) 袋中有五张卡片, 其中红色卡片三张, 标号分别为1,2, 3; 蓝色卡片两张, 标号分别为1,2. (1) 从以上五张卡片中任取两张, 求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率; (2) 向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片, 从这六张卡片中任取两张, 求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4 第2页 / 共 9页

的概率. 7如图, 矩形ABCD中, 点E为边CD的中点. 若在矩形ABCD内部随机取一个点Q, 则点Q取自△ABE内部的概率等于( )

A. B. C. D. 8在区间[-2,4]上随机地取一个数x, 若x满足|x|≤m的概率为, 则m= . 9点A为周长等于3的圆周上的一个定点. 若在该圆周上随机取一点B, 则劣弧的长度小于1的概率为 . 10中国共产党第十八次全国代表大会期间, 某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访, 现有记者编号分别为1,2, 3,4, 5的五名男记者和编号分别为6,7, 8,9的四名女记者. 要从这九名记者中一次随机选出两名, 每名记者被选到的概率是相等的, 用符号(x, y) 表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x、y, 且x< y”. (1) 共有多少个基本事件? 并列举出来; (2) 求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率.

11(2012山东, 14,4分) 如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位: ℃) 数据得到的样本频率分布直方图, 其中平均气温的范围是[20.5, 26.5], 样本数据的分组为[20.5, 21.5), [21.5, 22.5), [22.5, 23.5), [23.5, 24.5), [24.5, 25.5), [25.5, 26.5]. 已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11, 则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为 . 第3页 / 共 9页

12在如图所示的茎叶图中, 甲、乙两组数据的中位数分别是 , . 13(2013山东, 10,5分) 将某选手的9个得分去掉1个最高分, 去掉1个最低分, 7个剩余分数的平均分为91. 现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊, 无法辨认, 在图中以x表示:

则7个剩余分数的方差为( ) A. B. C. 36 D. 14(2012山东, 4,5分) 在某次测量中得到的A样本数据如下: 82,84, 84,86, 86,86, 88,88, 88,88. 若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据, 则A, B两样本的下列数字特征对应相同的是( ) A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 标准差 15某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组) (单位: 人).

篮球组书画组乐器组高一 45 30 a

高二 15 10 20

学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查, 按小组分层抽样的方法, 从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人, 结果篮球组被抽出12人, 则a的值为 . 16(2011山东, 8,5分) 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表: 广告费用x(万元) 4 2 3 5

销售额y(万元) 49 26 39 54

根据上表可得回归方程=x+中的为9.4, 据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) 第4页 / 共 9页

A. 63.6万元 B. 65.5万元 C. 67.7万元 D. 72.0万元 17调查了某地若干户家庭的年收入x(单位: 万元) 和年饮食支出y(单位: 万元), 调查显示年收入x与年饮食支出y

具有线性相关关系, 并由调查数据得到y对x的回归直线方程: =0.254x+0.321, 由回归直线方程可知, 家庭年收入每增加1万元, 年饮食支出平均增加万元. 18通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动, 得到如下的列联表:

男女总计爱好 40 20 60

不爱好 20 30 50

总计 60 50 110

由K2=算得,K2=≈7.8. 附表: P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参照附表, 得到的正确结论是( ) A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下, 认为“爱好该项运动与性别有关” D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下, 认为“爱好该项运动与性别无关” 19为了普及环保知识, 增强环保意识, 某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试. 统计得到成绩与专业的列联表:

优秀非优秀总计 A班 14 6 20

B班 7 13 20

总计 21 19 40

附: 参考公式及数据: (1) 卡方统计量:

K2=(其中n=n11+n12+n21+n22); (2) 独立性检验的临界值表:

P(K2≥k0) 0.050 0.010 k0 3.841 6.635 第5页 / 共 9页

则下列说法正确的是( ) A. 有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关 B. 有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关 C. 有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关 D. 有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关 20 第二十届世界石油大会于2011年12月4日—8日在卡塔尔首都多哈举行, 能源问题已经成为全球关注的焦点. 某工厂经过技术改造后, 降低了能源消耗, 经统计该厂某种产品的产量x(单位: 吨) 与相应的生产能耗y(单位: 吨) 有如下几组样本数据: x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 根据相关性检验, 这组样本数据具有线性相关关系, 通过线性回归分析, 求得回归直线的斜率为0.7. 已知该产品的年产量为10吨, 则该工厂每年大约消耗的汽油为吨. 第6页 / 共 9页

概率及统计答案和解析 1[答案] B [解析] 从1,2, 3,4中任取2个不同的数, 共有(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4) 6种不同的结果, 取出的2个数之差的绝对值为2有

(1,3), (2,4) 2种结果, 概率为, 故选B. 2[答案] A [解析] 甲、乙两人都有3种选择, 共有3×3=9种情况, 甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况. ∴甲、乙两人参加同一兴趣小组

的概率P==, 故选A. 3[解析] (1) 由题意得a=1 200×0.17=204. (2) 由(1) 及已知条件得七年级共有学生: 204+198=402(名), 八年级共有学生: 216+222=438(名), ∴九年级共有学生: 1 200-402-438=360(名).

∴应在九年级抽取学生为360×=60(名). (3) 由(2) 可知九年级共有学生360名, 则九年级中女生人数及男生人数的所有可能结果为 (175,185), (176,184), (177,183), (178,182), (179,181), (180,180), (181,179), (182,178), (183,177), 共9种. 其中女生不少于男生的可能结果为 (180,180), (181,179), (182,178), (183,177), 共4种.

∴九年级中女生不少于男生的概率为P=. 4[答案] [解析] 设正方形ABCD的中心为O, 从A、B、C、D、O五点中, 随机取两点, 所有可能结果为AB, AC, AD, AO, BC, BD, BO, CD, CO, DO, 共

10种, 其中距离为的结果有AO, BO, CO, DO共4种, 故所求概率为=. 5[解析] (1) 从身高低于1.80的同学中任选2人, 其一切可能的结果组成的基本事件有(A, B), (A, C), (A, D), (B, C), (B, D), (C, D), 共6个. 由于每个人被选到的机会均等, 因此这些基本事件的出现是等可能的. 选到的2人身高都在1.78以下的事件有(A, B), (A, C), (B, C), 共3

个. 因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P==. (2) 从该小组同学中任选2人, 其一切可能的结果组成的基本事件有(A, B), (A, C), (A, D), (A, E), (B, C), (B, D), (B, E), (C, D), (C, E), (D, E), 共10个. 由于每个人被选到的机会均等, 因此这些基本事件的出现是等可能的. 选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5, 23.9) 中的事件有(C, D), (C, E), (D, E), 共3个.

因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5, 23.9) 中的概率为P1=. 6[解析] (1) 标号为1,2, 3的三张红色卡片分别记为A, B, C, 标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D, E, 从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为:

合集下载

高考数学复习专题训练—统计与概率解答题(含解析)

高考数学复习专题训练—统计与概率解答题1.(2021·广东广州二模改编)根据相关统计,2010年以后中国贫困人口规模呈逐年下降趋势,2011~2019年全国农村贫困发生率的散点图如下:注:年份代码1~9分别对应年份2011年~2019年.(1)求y 关于t 的经验回归方程(系数精确到0.01);(2)已知某贫困地区的农民人均年纯收入X (单位:万元)满足正态分布N (1.6,0.36),若该地区约有97.72%的农民人均纯收入高于该地区最低人均年纯收入标准,则该地区最低人均年纯收入标准大约为多少万元?参考数据与公式:∑i=19y i =54.2,∑i=19t i y i =183.6. 经验回归直线y ^=b ^t+a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^=∑i=1n t i y i -nt y ∑i=1n (t i -t )2 ,a ^=y −b ^t . 若随机变量X 服从正态分布N (μ,σ2),则P (μ-σ≤X ≤μ+σ)≈0.682 7,P (μ-2σ≤X ≤μ+2σ)≈0.954 5,P (μ-3σ≤X ≤μ+3σ)≈0.997 3.2.(2021·湖北黄冈适应性考试改编)产品质量是企业的生命线.为提高产品质量,企业非常重视产品生产线的质量.某企业引进了生产同一种产品的A,B 两条生产线,为比较两条生产线的质量,从A,B 生产线生产的产品中各自随机抽取了100件产品进行检测,把产品等级结果和频数制成了如图的统计图.(1)依据小概率值α=0.025的独立性检验,分析数据,能否据此推断是否为一级品与生产线有关.(2)生产一件一级品可盈利100元,生产一件二级品可盈利50元,生产一件三级品则亏损20元,以频率估计概率.①分别估计A,B生产线生产一件产品的平均利润;②你认为哪条生产线的利润较为稳定?并说明理由.附:①参考公式:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.②临界值表:3.(2021·福建宁德模拟改编)某工厂为了检测一批新生产的零件是否合格,从中随机抽测100个零件的长度d(单位:mm).该样本数据分组如下:[57,58),[58,59),[59,60),[60,61),[61,62),[62,63],得到如图所示的频率分布直方图.经检测,样本中d大于61的零件有13个,长度分别为61.1,61.1,61.2,61.2,61.3,61.5,61.6,61.6,61.8,61.9,62.1,62.2,62.6.(1)求频率分布直方图中a,b,c的值及该样本的平均长度x(结果精确到1 mm,同一组数据用该区间的中点值作代表);(2)视该批次样本的频率为总体的概率,从工厂生产的这批新零件中随机选取3个,记ξ为抽取的零件长度在[59,61)的个数,求ξ的分布列和数学期望;(3)若变量X满足|P(μ-σ≤X≤μ+σ)-0.682 7|<0.03且|P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-0.954 5|≤0.03,则称变量X满足近似于正态分布N(μ,σ2)的概率分布.如果这批样本的长度d满足近似于正态分布N(x,12)的概率分布,则认为这批零件是合格的,将顺利出厂;否则不能出厂.请问,能否让该批零件出厂?4.(2021·山东潍坊期末)在一个系统中,每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度,而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度,为了增加系统的可靠度,人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备).已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”(即一台正常设备,两台备用设备)的配置,这三台设备中,只要有一台能正常工作,计算机网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为r(0<r<1),它们之间相互不影响.(1)要使系统的可靠度不低于0.992,求r的最小值;(2)当r=0.9时,求能正常工作的设备数X的分布列;(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7,根据以往经验可知,计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万元的经济损失.为减少对该产业园带来的经济损失,有以下两种方案:方案1:更换部分设备的硬件,使得每台设备的可靠度维持在0.9,更新设备硬件总费用为8万元; 方案2:对系统的设备进行维护,使得设备可靠度维持在0.8,设备维护总费用为5万元.请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策?答案及解析1.解 (1)t =1+2+3+4+5+6+7+8+99=5, y =12.7+10.2+8.5+7.2+5.7+4.5+3.1+1.7+0.69≈6.02, b ^=∑i=19t i y i -9t y∑i=19(t i -5)2=183.6-270.960≈-1.46,a ^=y −b ^t =6.02-(-1.46)×5=13.32.故y 关于t 的经验回归方程为y ^=-1.46t+13.32.(2)因为P (μ-2σ≤X ≤μ+2σ)≈0.954 5,所以P (X>μ-2σ)=0.954 5+1-0.954 52=0.977 25. 因为某贫困地区的农民人均年纯收入X 满足正态分布N (1.6,0.36),所以μ=1.6,σ=0.6,μ-2σ=0.4,P (X>0.4)=0.977 25,故该地区最低人均年纯收入标准大约为0.4万元.2.解 (1)根据已知数据可建立列联表如下:零假设为H 0:是否为一级品与生产线无关.χ2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )=200×(20×65-35×80)255×145×100×100≈5.643>5.024=x 0.025,依据小概率值α=0.025的独立性检验,推断H 0不成立,即认为是否为一级品与生产线有关.(2)A 生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为15,35,15.记A 生产线生产一件产品的利润为X ,则X 的取值为100,50,-20,其分布列为B生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为720,25 ,14.记B生产线生产一件产品的利润为Y,则Y的取值为100,50,-20, 其分布列为①E(X)=100×15+50×35+(-20)×15=46,E(Y)=100×720+50×25+(-20)×14=50.故A,B生产线生产一件产品的平均利润分别为46元、50元.②D(X)=(100-46)2×15+(50-46)2×35+(-20-46)2×15=1 464.D(Y)=(100-50)2×720+(50-50)2×25+(-20-50)2×14=2 100.因为D(X)<D(Y),所以A生产线的利润更为稳定.3.解(1)由题意可得P(61≤d<62)=10100=0.1,P(62≤d≤63)=3100=0.03,P(59≤d<60)=P(60≤d<61)=12(1-2×0.03-0.14-0.1)=0.35,所以a=0.031=0.03,b=0.11=0.1,c=0.351=0.35.x=(57.5+62.5)×0.03+58.5×0.14+(59.5+60.5)×0.35+61.5×0.1=59.94≈60.(2)由(1)可知从该工厂生产的新零件中随机选取1件,长度d在(59,61]的概率P=2×0.35=0.7,且随机变量ξ服从二项分布ξ~B(3,0.7),所以P(ξ=0)=C30×(1-0.7)3=0.027,P(ξ=1)=C31×0.7×(1-0.7)2=0.189,P(ξ=2)=C32×0.72×(1-0.7)=0.441,P(ξ=3)=C33×0.73=0.343,所以随机变量ξ的分布列为E(ξ)=0×0.027+1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1.(3)由(1)及题意可知x=60,σ=1.所以P(x-σ≤X≤x-σ)=P(59≤X≤61)=0.7.|P(x-σ≤X≤x+σ)-0.682 7|=|0.7-0.682 7|=0.017 3≤0.03,P(x-2σ≤X≤x-2σ)=P(58≤X≤62)=0.14+0.35+0.35+0.1=0.94,|P(x-2σ≤X≤x+2σ)-0.954 5|=|0.94-0.954 5|=0.014 5≤0.03.所以这批新零件的长度d满足近似于正态分布N(x,12)的概率分布.所以能让该批零件出厂.4.解(1)要使系统的可靠度不低于0.992,则P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-(1-r)3≥0.992,解得r≥0.8,故r的最小值为0.8.(2)X为正常工作的设备数,由题意可知,X~B(3,r),P(X=0)=C30×0.90×(1-0.9)3=0.001,P(X=1)=C31×0.91×(1-0.9)2=0.027,P(X=2)=C32×0.92×(1-0.9)1=0.243,P(X=3)=C33×0.93×(1-0.9)0=0.729,从而X的分布列为(3)设方案1、方案2的总损失分别为X1,X2,采用方案1,更换部分设备的硬件,使得设备可靠度达到0.9,由(2)可知计算机网络断掉的概率为0.001,不断掉的概率为0.999,故E(X1)=80000+0.001×500 000=80 500元.采用方案2,对系统的设备进行维护,使得设备可靠度维持在0.8,由(1)可知计算机网络断掉的概率为0.008,故E(X2)=50 000+0.008×500 000=54 000元,因此,从期望损失最小的角度,决策部门应选择方案2.。

2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第10章 §10.8 概率与统计的综合问题

X012 3
P
27 27 9 64 64 64
1 64
则 E(X)＝3×14＝34.
思维升华
高考常将独立性检验与分布列等交汇在一起进行考查，解决独立性检验问题，要注意过好“三关”：假设关、公式关、对比关.解决概率问题要准确地把握题中所涉及的事件，明确所求问题所属的事件类型.
跟踪训练3 (2023·昆明模拟)2022年，举世瞩目的冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”有着可爱的外表和丰富的寓意，自亮相以来就好评不断，深受各国人民的喜爱.某市一媒体就本市小学生是否喜爱这两种吉祥物对他们进行了一次抽样调查，列联表如下(单位：人)：
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）
第十章计数原理、概率、随机变量及其分布
§10.8 概率与统计的综合问题
题型一频率分布直方图与分布列的综合问题
例1 2022年是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组： [40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]，统计结果如图所示. (1)试估计这100名学生得分的平均数；
^
^
，a＝ y －b x .
n
x2i －n x 2
i＝1
由题意得， x ＝1＋2＋3＋10…＋9＋10＝5.5，
10
10
又 y ＝1.5，xiyi＝89.1，x2i ＝385，
i＝1
i＝1
10
xiyi－10 x y
^ i＝1
所以b＝
10
＝89.318－5－101×0×5.55×.521.5＝0.08，

数学高考必备概率与统计知识点总结

数学高考必备概率与统计知识点总结数学高考中，概率与统计是一个重要的考点，占据大约10%的考试比重。

掌握好概率与统计的知识点，对于考试取得好成绩至关重要。

本文将对数学高考中必备的概率与统计知识点进行总结，并提供实用的解题方法和技巧。

一、基本概念和概率计算1.1 随机事件和样本空间在概率理论中，随机事件是指实验过程的一个结果，而样本空间则是实验中可能出现的所有结果的集合。

在解题时，我们需要明确随机事件和样本空间的概念，将题目中的问题抽象成适合计算的形式。

1.2 概率的定义和性质了解概率的定义和性质对于解题至关重要。

掌握概率的加法原理、乘法原理、全概率公式和贝叶斯定理能够帮助我们解决复杂的概率计算问题。

1.3 随机变量和概率分布随机变量是指与随机事件相对应的可数的数值，概率分布则定义了随机变量的取值范围和其对应的概率。

掌握随机变量和概率分布的概念和计算方法，能够在解题过程中更好地理解和分析问题。

1.4 用排列组合解决概率问题排列组合是概率计算中常用的方法之一。

理解排列和组合的概念，掌握计算排列和组合的方法，可以帮助我们解决一定范围内的概率计算问题。

二、离散分布2.1 二项分布二项分布是一种重要的离散分布，在高考中经常出现。

掌握二项分布的概念、性质和计算方法，能够解决二项分布相关的问题。

2.2 泊松分布泊松分布是一种常见的离散分布，用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数。

了解泊松分布的特点和计算方法，能够解决与泊松分布相关的问题。

三、连续分布3.1 均匀分布均匀分布是一种常见的连续分布，描述了在一定范围内任意取值的概率相等的情况。

掌握均匀分布的概念和计算方法，能够解决与均匀分布相关的问题。

3.2 正态分布正态分布是一种重要的连续分布，具有对称性和钟形曲线的特点。

在高考中，许多问题都可以近似看作正态分布，因此掌握正态分布的概念和计算方法非常重要。

四、统计分析4.1 数据的收集和整理在统计分析中，数据的收集和整理是第一步。

概率与统计高考数学专题复习精细高效梳理(附详解)

高考数学专题复习精细高效梳理（附详解）

第一节随机事件的概率一、必记4个知识点 1．随机事件和确定事件 (1)在条件S下，①____________的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件． (2)在条件S下，②____________的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件． (3)必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件． (4)在条件S下，③________________________的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件． 2．频率与概率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例④____________为事件A出现的频率． (2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的⑤________fn(A)稳定在某个⑥________上，把这个⑦________记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率． 3．事件的关系与运算高考数学专题复习精细高效梳理（附详解）

定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B⑧____事件A(或称事件A包含于事件B) ⑨______(或A⊆B)

并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的○10______(或和事件) A∪B(或A＋B)

交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当⑪____________且⑫______发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件 A∩B(或AB)

互斥事件若A∩B为不可能事件，则事件A与事件B互斥 A∩B＝∅

对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然条件，那么称事件A与事件B互为对立事件 4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：⑬____________. (2)必然事件的概率P(E)＝⑭____________. (3)不可能事件的概率P(F)＝⑮____________. (4)互斥事件概率的加法公式． ①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝⑯____________. ②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝⑰____________. 高考数学专题复习精细高效梳理（附详解）

广东专用2024版高考数学大一轮总复习第九章概率与统计9

变式2 某商场为吸引顾客，增加顾客流量，决定开展一项有奖游戏．参加一次游戏的规则如下：连续抛质地均匀的硬币三次（每次抛硬币结果相互独立），若正面朝上多于反面朝上的次数，则得3分，否则得1分．一位顾客最多可连续参加5次游戏．
（1）求顾客甲在一次游戏中正面朝上次数的分布列与期望；
解：由题意得三次抛硬币正面朝上的次数 ,则，，，，所以分布列为
[答案] 由题意知随机变量的可能取值为0, , , ，，，，，故的分布列为
（2）二项分布：一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为 ,用表示事件发生的次数,则的分布列为 _______________， , ，，n. 如果随机变量的分布列具有上式的形式,则称随机变量服从二项分布,记作 ________,且有 ____, __________.
例3 （2023届上海高三开学考试）新能源车显著促进节能减排，某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
（1）从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；
√
（3）抛掷三枚骰子，点数是6的骰子个数记为 ,则的概率分布是超几何分布.( )
×
（4）正态曲线不一定位于轴上方，它与轴可能有交点.( )
×
（5）当一定时，正态曲线的形状由确定，越大，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.( )
×
2.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是( )

高考数学2024概率与统计历年题目全集

高考数学2024概率与统计历年题目全集概率与统计是高中数学中一门重要的学科，也是高考数学考试的一部分。

在概率与统计中，我们需要通过概率的计算和统计的方法来分析和解决实际问题。

为了帮助同学们复习和准备高考数学考试，本文整理了高考数学2024概率与统计历年题目全集，希望能对同学们有所帮助。

1. 单项选择题1) 已知概率为P(A) = 0.2，P(B) = 0.4，事件A、B相互独立，求P(A并B)的值。

2) 一次抛掷一硬币，设正面向上的概率为p，反面向上的概率为q。

连续抛掷3次硬币，求正面朝上的次数不超过2次的概率。

3) 某音乐社有男生40人，女生60人。

从中随机抽取一人，求抽到女生的概率。

2. 典型案例题1) 某超市中购买了100个某品牌产品，其中有5个是次品。

现从中不放回地连续抽取3个产品，求至少有一个次品的概率。

2) 某餐厅的饭菜有4个主食和6个副食。

现从中选择2个饭菜，求至少有一个主食的概率。

3. 解答题1) 设事件A与事件B相互独立，且P(A) = 0.3，P(B) = 0.5。

求下列事件的概率：a) P(A并B)b) P(A或B)c) P(A的对立事件)2) 设P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，P(A并B) = 0.1，求下列事件的概率：a) P(A的对立事件)b) P(B的对立事件)c) P(A或B)3) 有一批产品，其中20%是次品。

现从中不放回地连续抽取3个产品，求以下事件的概率：a) 已抽出的3个产品都是次品；b) 至少有一个次品。

（提示：利用组合数学中的排列、组合知识进行计算）本文仅列举了一部分高考数学2024概率与统计历年题目，希望能给同学们提供一些复习和备考的参考。

在备考过程中，同学们还需结合教材和课堂上的知识，多进行习题训练和模拟考试，提高解题能力和应试技巧。

祝同学们取得优异的高考成绩！。

高考数学一轮总复习统计与概率应试技巧整理

高考数学一轮总复习统计与概率应试技巧整理一、引言在高考数学考试中，统计与概率是一个重要的考点，也是一些学生容易出现困惑的部分。

为了帮助同学们更好地复习和备考，本文将整理一些高考数学统计与概率的应试技巧。

二、基础知识梳理在复习统计与概率前，要先掌握相关的基础知识。

常见的统计与概率的基础知识包括：事件的概念、随机事件的概念、样本空间与事件的关系、频率与概率的概念、设备的概念等。

掌握这些基础知识是理解后续内容的基础。

三、常见概念与公式1. 概率的基本性质在复习概率时，要了解概率的基本性质。

例如，概率是介于0和1之间的实数，所有样本点的概率之和为1等。

2. 条件概率条件概率是统计与概率中的重要概念，也是高考考点中常见的一部分。

复习时，要掌握条件概率的计算方法和应用，包括乘法定理和全概率公式等。

3. 事件的运算了解事件的运算是复习统计与概率的关键。

在考试中，往往需要对事件进行求交集、求并集、求补集等运算。

复习时，要熟练掌握这些运算的方法，并能够灵活应用。

4. 离散型随机变量与概率分布在统计与概率中，离散型随机变量是一个重要的概念。

复习时，要了解离散型随机变量的概念及其概率分布函数，包括分布列、累积分布函数等。

5. 连续型随机变量与概率密度函数与离散型随机变量类似，连续型随机变量也是一个重要的概念。

复习时，要了解连续型随机变量的概念及其概率密度函数，包括密度函数的性质、分布函数的计算等。

6. 统计图表的应用在高考数学中，统计图表的应用经常出现。

复习时，要熟悉各种统计图表的类型、特点和应用场景，包括条形图、折线图、饼图、散点图等。

四、解题技巧与策略1. 增强计算能力统计与概率涉及到大量的计算，而高考数学试卷的时间是有限的。

因此，提高计算速度和准确性是非常重要的。

可以通过多做一些练习题、刷一些真题来提升计算能力。

2. 理解题意，理顺思路在解决统计与概率的题目时，往往需要理解题意，抓住关键信息，进行问题分析。

然后，根据问题的要求，选择合适的方法和技巧来求解。

高考数学一轮复习概率与统计的综合问题

(2)由题意得 X 的可能取值为 0,1,2，
P(X＝0)＝12×32×21＝16，P(X＝2)＝21×32×12＋12×13×13＝29，P(X＝1) ＝1－61－92＝1118，
所以 X 的分布列为
X
0
1
2
P
1 11 2 6 18 9
所以 E(X)＝0×16＋1×1118＋2×29＝1198.
[方法技巧] 高考常将求概率与等可能事件、互斥事件、相互独立事件、超几何分布、二项分布、频率分布直方图等交汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键．特别是要注意挖掘题目中的隐含条件．
[针对训练] (2023·聊城模拟)某校高二年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高．
x2i －6 x 2
i＝1
3.92－(－0.26)×3.5＝4.83.
所以^z＝ln ^y＝－0.26x＋4.83，即 y 关于 x 的经验回归方程为 y＝e－ 0.26x＋4.83.
令 e－0.26x＋4.83<10＝eln 10≈e2.3，所以－0.26x＋4.83<2.3，解得 x>9.73. 由于 x∈N ，所以 x≥10，所以从第十个月开始，该年级体重超重的人数降至 10 人以下．
[针对训练] 已知A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列如下：
X1
5%
10%
P
0.6
0.4
X2
2% 8% 12%
P
0.1
0.5
0.4
(1)在 A，B 两个项目上各投资 200 万元，Y1 和 Y2(单位：万元)分别为投资项目 A 和 B 所获得的利润，求 D(Y1)和 D(Y2)；

概率与统计知识整合-高考理科数学二轮复习微专题讲义

专题5 概率与统计一、计数原理1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别是什么?分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.2.排列数、组合数的公式及性质是什么?公式 (1)A n m =n (n-1)(n-2)…(n-m+1)=n !(n -m )!(2)C n m =A n m A m m =n (n -1)(n -2)…(n -m+1)m ! =n !m !(n -m )!(n ,m ∈N +,且m ≤n )特别地,C n 0=1 性质 (1)0!=1;A n n =n ! (2)C n m =C n n -m ;C n+1m =C n m +C n m -13.二项式系数的性质是什么?性质性质描述对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即C n k =C n n -k 增减性二项式系数C n k 当k<n+12(n ∈N +)时,二项式系数是递增的当k>n+12(n ∈N +)时,二项式系数是递减的二项式系数的最大值当n 为偶数时,中间的一项C n n 2取得最大值当n 为奇数时,中间的两项C n n -12与C n n+12取得最大值并且相等4.各二项式系数的和是什么?(1)(a+b )n 展开式的各项二项式系数的和为C n 0+C n 1+C n 2+…+C n n =2n .(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即C n 0+C n 2+C n 4+…=C n 1+C n 3+C n 5+…=2n-1.二、概率1.互斥事件与对立事件有什么区别与联系?互斥与对立都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生.因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件不一定是对立事件.2.基本事件的三个特点是什么?(1)每一个基本事件发生的可能性都是相等的;(2)任何两个基本事件都是互斥的;(3)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.3.古典概型、几何概型的概率公式分别是什么?古典概型的概率公式:P (A )=事件A 包含的基本事件的个数(m )基本事件的总数(n ). 几何概型的概率公式: P (A )=构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积). 三、统计初步与统计案例1.分层抽样的适用范围是什么?当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样的方法.2.如何作频率分布直方图?(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差).(2)决定组距与组数.(3)将数据分组.(4)列频率分布表.(5)画频率分布直方图.3.频率分布直方图的特点是什么?(1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距,纵坐标表示频率组距,频率=组距×频率组距.(2)在频率分布直方图中,各小长方形的面积总和等于1.因为在频率分布直方图中组距是一个固定值,所以各小长方形高的比也就是频率比.(3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式,前者准确,后者直观.4.如何进行回归分析?(1)定义:对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.(2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ),其中(x −,y −)称为样本点的中心.(3)相关系数当r>0时,表明两个变量正相关;当r<0时,表明两个变量负相关.r 的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强.r 的绝对值越接近于0,表明两个变量之间的线性相关性越弱.通常当|r|大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性.5.独立性检验的一般步骤是什么?解决独立性检验的应用问题,一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤:(1)根据样本数据制成2×2列联表;(2)根据公式K 2=n (ad -bc )2(a+b )(a+c )(b+d )(c+d )计算K 2的观测值k ;(3)比较k 与临界值的大小关系,做出统计推断.四、随机变量及其应用1.离散型随机变量的分布列及性质是什么?(1)离散型随机变量的分布列:若离散型随机变量X 所有可能的取值为x 1,x 2,…,x i ,…,x n ,X 取每一个值x i (i=1,2,…,n )的概率为p 1,p 2,…,p n ,则表X x 1 x 2 … x i … x nP p 1 p 2 … p i … p n称为离散型随机变量X 的概率分布列或称为离散型随机变量X 的分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质:①0≤p i ≤1(i=1,2,3,…,n );②p 1+p 2+…+p n =1;③P (x i ≤X ≤x j )=p i +p i+1+…+p j .2.事件的相互独立性的概念及公式是什么?(1)相互独立的定义:事件A 是否发生对事件B 是否发生的概率没有影响,即P (B|A )=P (B ).这时,称事件A 与事件B 相互独立,并把这两个事件叫作相互独立事件.(2)概率公式条件公式事件A ,B 相互独立 P (A ∩B )=P (A )·P (B )事件A 1,A 2,…,A n 相互独立P (A 1∩A 2∩…∩A n ) =P (A 1)·P (A 2)·…·P (A n )3.独立重复试验与二项分布的概念和公式是什么?(1)独立重复试验①定义:在相同条件下,重复地做n 次试验,各次试验相互独立,那么一般就称它们为n 次独立重复试验.②概率公式:在一次试验中事件A 发生的概率为p ,则n 次独立重复试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为P n (k )=C nk p k (1-p )n-k (k=0,1,2,…,n ). (2)二项分布:在n 次独立重复试验中,事件A 发生的次数设为X ,事件A 不发生的概率为q=1-p ,则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率是P (X=k )=C n k p k q n-k ,其中k=0,1,2,…,n ,于是X 的分布列:X 0 1 … k … nP C n 0p 0q n C n 1pq n-1 … C n k p k q n-k …C n n p n q 0此时称离散型随机变量X 服从参数为n ,p 的二项分布,记作X~B (n ,p ).4.正态分布的概念及性质是什么?(1)正态曲线:正态变量的概率密度函数的图象叫作正态曲线,其函数表达式为f (x )=√2π·σ·e -(x -μ)22σ2,x ∈R,其中μ,σ为参数,且σ>0,-∞<μ<+∞.(2)正态曲线的性质①曲线位于x轴上方,与x轴不相交,与x轴之间的面积为1;②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;③曲线在x=μ处达到峰值;σ√2π④当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826;②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544;③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974.5.离散型随机变量的数学期望(或均值)与方差的概念是什么?设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1,x2,…,x n,这些值对应的概率分别是p1,p2,…,p n.(1)数学期望:称E(X)=x1p1+x2p2+…+x n p n为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望),它刻画了这个离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差:称D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(x n-E(X))2p n为离散型随机变量X的方差,它反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或说离散程度),D(X)的算术平方根√D(X)叫作离散型随机变量X的标准差.6.均值与方差的性质有哪些?(1)E(aX+b)=aE(X)+b(a,b为常数).(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数).(3)两点分布与二项分布的均值、方差的公式①若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).②若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点,几何概型主要以客观题形式考查,求解的关键在于找准测度(长度或面积);相互独立事件、互斥事件常作为解答题的一部分考查,也是进一步求分布列、期望与方差的基础,求解该类问题要正确理解题意,准确判定概率模型,恰当选择概率公式.近几年的高考数学试题对统计案例的考查一般不单独命题,而是与概率、随机变量的数学期望交汇命题,高考对此类题目的要求是能根据给出的或通过统计图表给出的相关数据求线性回归方程,了解独立性检验的思想方法,会判断两个分类变量是否有关.从近几年高考情形来看,该类专题在高考中占的比例大约为15%,以简单题、中档题为主,考查题型分选择题、填空题和解答题.一、选择题、填空题的命题特点(一)考查排列、组合的应用,以考查两个计数原理和排列、组合的应用为主,难度中等,常常以选择题、填空题的形式出现.1.(2018·全国Ⅰ卷·理T15改编)从2名女生,4名男生中选3人参加科技比赛,恰有1名女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)解析▶由题意可得有1名女生,2名男生,则有C21C42=12种不同的选法.答案▶122.(2018·浙江卷·T16改编)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)解析▶一共可以组成C52C32A44=720个没有重复数字的四位数.答案▶7203.(2017·全国Ⅱ卷·理T6改编)安排5名志愿者完成4项工作,每项工作只需由1人完成,则不同的安排方式共有().A.120种B.180种C.240种D.360种解析▶由题意可得,5人中选出4人完成工作,剩下1人没有工作,故不同的安排方式有C54A44=120(种).答案▶ A(二)考查二项式定理的应用,以考查运用二项式定理求特定项、求项数和二项式定理性质的应用为主,难度中等,常常以选择题、填空题的形式出现.4.(2018·全国Ⅲ卷·理T5改编)(x2+2x )5的展开式中x的系数为().A.10B.20C.40D.80解析▶由题可得T r+1C=5r(x2)5-r(2x )rC=5r·2r·x10-3r,令10-3r=1,得r=3.所以C5r·2r=C53·23=80.答案▶ D5.(2017·全国Ⅰ卷·理T6改编)(1+1x2)(1+x)6的展开式中x4的系数为().A.15B.16C.30D.35解析▶因为(1+x)6展开式的通项为T r+1C=6r x r,所以(1+1 x2)(1+x)6的展开式中含x4的项为1C·64x4和1x2C·66x6.因为C66+C64=16,所以(1+1x2)(1+x)6的展开式中x4的系数为16.答案▶ B(三)考查随机事件的概率,以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率为主,难度中等,常与事件的频率交汇考查.本节内容在高考中三种题型都有可能出现,随机事件的频率与概率题目往往以解答题的形式出现,互斥事件、对立事件的概念及概率题目常常以选择、填空题的形式出现.6.(2018·全国Ⅲ卷·文T5改编)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.25,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为().A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7解析▶设事件A为“不用现金支付”,事件B为“既用现金支付也用非现金支付”,事件C为“只用现金支付”,则P(A)=1-P(B)-P(C)=1-0.15-0.25=0.6,故选C.答案▶ C(四)考查古典概型,全国卷对古典概型每年都会考查,难度中等,主要考查实际背景的可能事件,通常与互斥事件、对立事件一起考查.在高考中单独命题时,通常以选择题、填空题形式出现,属于中低档题.7.(2018·全国Ⅱ卷·理T8改编)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取2个不同的数,其和等于26的概率是().A.112B.114C.115D.245解析▶不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,从中随机选取2个不同的数,共有C102=45种取法.因为3+23=7+19=26,所以随机选取2个不同的数,其和等于26的有2种取法,故所求概率为245. 答案▶ D8.(2018·江苏卷·T6改编)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中1名男生和1名女生的概率为 .解析▶ 从5名学生中任选2名学生,共有C 52=10种选法,其中恰好选中1名男生和1名女生的选法有C 21C ·31=6种,因此所求概率为610=35.答案▶ 35 (五)考查几何概型,难度较大,以理解几何概型的概念、概率公式为主,会求一些简单的几何概型的概率,常与平面几何、线性规划、不等式的解集等知识交汇考查,在高考中多以选择题、填空题的形式考查,难度中等.9.(2018·全国Ⅰ卷·理T10改编)折纸艺术是我国古代留下来宝贵的民间艺术,具有很高的审美价值和应用价值.如图所示的是一个折纸图案,由一个正方形内切一个圆形,然后在四个顶点处分别嵌入半径为正方形边长一半的扇形.向图中随机投入一个质点,则质点落在阴影部分的概率P 1与质点落在正方形内圆形区域外面的概率P 2的大小关系是( ).A .P 1>P 2B .P 1<P 2C .P 1=P 2D .不能确定解析▶ 将正方形内圆形区域外面的四个角进行沿直角边重合组合,恰好得到的图形就是阴影部分图形,所以阴影部分区域的面积等于正方形内圆形区域外面的面积,故P 1=P 2.答案▶ C10.(2016·全国Ⅱ卷·文T8改编)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为( ).A .34B .710C .58D .310解析▶ 至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为40-1040=34,故选A .答案▶ A(六)考查随机抽样,在抽样方法的考查中,系统抽样、分层抽样是考查的重点,题型主要以选择题和填空题为主,属于中低档题.11.(2017·江苏卷·T3改编)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200、400、300、100件,为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从甲种型号的产品中抽取件.解析▶ ∵样本容量总体个数=60200+400+300+100=350,∴应从甲种型号的产品中抽取350×200=12(件).答案▶ 12(七)用样本估计总体,主要考查平均数、方差等的计算以及茎叶图、频率分布直方图的简单应用.题型以选择题和填空题为主,出现解答题时经常与概率相结合,属于中档题.12.(2018·全国Ⅰ卷·理T3改编)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下列选项中不正确的是( ).A .新农村建设后,种植收入增加B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C .新农村建设后,养殖收入没有增加D .新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析▶ 由题干可知,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为方便可设建设前后的经济收入分别为100,200(单位省去).A 中,种植收入前后分别为60,74,收入增加了,A 正确;B 中,其他收入前后分别为4,10,增加了一倍以上,B 正确;C 中,养殖收入前后分别为30,60,收入增加了一倍,C 错误;D 中,建设后,养殖收入与第三产业收入的总和为(30+28)×2=116>100,D 正确.故选C .答案▶ C13.(2017·全国Ⅲ卷·理T3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是().A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳解析▶对于选项A,由图易知,月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份,故A错误;对于选项B,观察折线图的变化趋势可知,年接待游客量逐年增加,故B正确;对于选项C,D,由图可知显然正确.答案▶ A(八)考查离散型随机变量分布列、超几何分布、条件概率、正态分布、数学期望与方差,求离散型随机变量的数学期望是全国卷高考重点考查的内容,在选择题、填空题中有时会出现.主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望、正态分布等.14.(2018·全国Ⅲ卷·理T8改编)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.1,P(X=4)<P(X=6),则p=().A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3解析▶因为X~B(n,p),所以D(X)=np(1-p)=2.1,所以p=0.3或p=0.7.因为P(X=4)=C104p4(1-p)6<P(X=6)=C106p6(1-p)4,所以(1-p)2<p2,可得p>0.5.故p=0.7.答案▶ A15.(2017·全国Ⅱ卷·理T13改编)一批产品的二等品率为0.08,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则D(X)= .解析▶有放回地抽取,是一个二项分布模型,其中p=0.08,n=100,则D(X)=np(1-p)=100×0.08×0.92=7.36.答案▶7.36二、解答题的命题特点概率与统计综合试题的题干阅读量大,容易造成考生在数学模型转化过程中失误,得分率不高.这些试题主要考查古典概型,用样本估计总体,利用回归方程进行预测,独立性检验的应用,离散型随机变量的分布列和数学期望,正态分布等.概率、随机变量的数学期望交汇命题,高考对此类题目的要求是能根据给出的或通过统计图表给出的相关数据求线性回归方程.1.(2018·全国Ⅱ卷·理T18)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,17)建立模型①:y ＾=-30.4+13.5t ;根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y ＾=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值.(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.解析▶ (1)利用模型①,从2000年开始算起,2018年即t=19,所以该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ＾=-30.4+13.5×19=226.1(亿元).利用模型②,从2010年开始算起,2018年即t=9,所以该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ＾=99+17.5×9=256.5(亿元).(2)利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下:(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t 上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y ＾=99+17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.2.(2018·全国Ⅰ卷,理T20)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p (0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p ),求f (p )的最大值点p 0.(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p 0作为p 的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ,求E (X ).(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?解析▶ (1)由题意可知,独立重复试验符合二项分布,20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )C =202p 2(1-p )18=190p 2(1-p )18, 对上式求导得f'(p )=[190p 2(1-p )18]'=190[2p (1-p )18-18p 2(1-p )17]=190p (1-p )17[2(1-p )-18p ]=380p (1-p )17(1-10p ).当f'(p )=0时,有p (1-p )17(1-10p )=0,由0<p<1,得当p ∈(0,110)时,f'(p )>0,f (p )单调递增;当p ∈(110,1)时,f'(p )<0,f (p )单调递减. 故f (p )max =f (p 0)=f (110),即p 0=110. (2)(i)由题意,剩余未作检验的产品有180件,其中Y 表示不合格品的件数,其服从二项分布Y~B (180,110). 故E (Y )=180×110=18. 又X=40+25Y ,故E (X )=E (40+25Y )=40+25×18=490(元).(ii)若对这箱余下的所有产品作检验,则需要的检验费为200×2=400(元).因为E (X )=490>400,所以需要对这箱余下的所有产品作检验. 3.(2018·全国Ⅲ卷·理T18)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由.(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ,并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表:超过m 不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:K 2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ),P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001k03.841 6.635 10.828解析▶(1)第二种生产方式的效率更高.理由如下:(i)由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟,因此第二种生产方式的效率更高.(ii)由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟,因此第二种生产方式的效率更高.(iii)由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟,因此第二种生产方式的效率更高.(iv)由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少,因此第二种生产方式的效率更高.(2)由茎叶图知m=79+812=80.列联表如下:超过m 不超过m第一种生产方式15 5 第二种生产方式5 15(3)因为K2的观测值k=40×(15×15-5×5)220×20×20×20=10>6.635,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.4.(2017·全国Ⅰ卷·理T19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P (X ≥1)及X 的数学期望.(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性.(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.9810.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得x −=116∑i=116x i =9.97,s=√116∑i=116(x i -x −)2=√116(∑i=116x i 2-16x −2)≈0.212,其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸,i=1,2, (16)用样本平均数x −作为μ的估计值μ＾,用样本标准差s 作为σ的估计值σ＾,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(μ＾-3σ＾,μ＾+3σ＾)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z 服从正态分布N (μ,σ2),则P (μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.997416≈0.9592,√0.008≈0.09.解析▶ (1)由题可知抽取的一个零件的尺寸落在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸落在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026,故X~B (16,0.0026).因此P (X ≥1)=1-P (X=0)=1-0.997416≈1-0.9592=0.0408,X 的数学期望E (X )=16×0.0026=0.0416.(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小,因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii)由x −=9.97,s ≈0.212,得μ的估计值为μ＾=9.97,σ的估计值为σ＾=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ＾-3σ＾,μ＾+3σ＾)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(μ＾-3σ＾,μ＾+3σ＾)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为115×(16×9.97-9.22)=10.02,因此μ的估计值为10.02.∑i=116x i 2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134,剔除(μ＾-3σ＾,μ＾+3σ＾)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为115×(1591.134-9.222-15×10.022)≈0.008, 因此σ的估计值为√0.008≈0.09.1.样本数据(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是最重要的量,与每个样本数据有关,这是中位数、众数所不具有的性质.(2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度就越大.(3)茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用图表直观描述样本数据的分布规律的.2.频率分布直方图(1)用样本估计总体是统计的基本思想,而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.频率分布表在数量表示上比较准确,频率分布直方图比较直观.(2)频率分布表中的频数之和等于样本容量,各组中的频率之和等于1;在频率分布直方图中,各小长方形的面积表示相应各组的频率,所以所有小长方形的面积的和等于1;平均数是频率分布直方图各个小矩形的面积×底边中点的横坐标之和.3.排列与组合(1)①解决“在”与“不在”的有限制条件的排列问题,既可以从元素入手,也可以从位置入手,原则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑,都要贯彻到底,不能既考虑元素又考虑位置.②解决相邻问题的方法是“捆绑法”,即把相邻元素看作一个整。