微分在近似计算中的应用
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微分在近似计算中的应用
淮南职业技术学院
什么是瞬时速度？
怎样计算函 数值呢？ 计算近似值也 是需要的。
切线方程： y=f (x0)+f (x0)(x-x0)
y = f(x) y0
x0
微分在近似计算中的应用 !
y0
y = f(x)
x0 若函数y = f ( x ) 在 x0 点处可微，则 y = f (x0+x)-f (x0)=f (x0)· x+o(x) 当 |x| << 1 时， y = f (x0+x)-f (x0) ≈f (x0)· x 所以得近似公式 y ≈ f (x0)· x f (x0+x ) ≈f (x0)+ f (x0)· x
4
0.025
当 |x| << 1 时， 由近似公式 f (x0+x ) ≈f (x0)+ f (x0)· x
即当 x0=0 ,|x| = |x| << 1 时，
f (x ) ≈f (0)+ f (0)· x 如当 x0=0 ,|x| = |x| << 1 时，
wenku.baidu.com
由于 (sin x) =cos x
所以 sinx ≈sin0+ cos0 · x=x
所以 ln(1+x ) ≈x
由于 (ln(1+ x)) = 1/(1+x) 由于 (e x) =e x
所以 e x ≈ x
总结
1.微分的近似计算的方法就是利用函数曲线 在某点的附近的近似直线（切线）来计算函 数近似值的方法
2.如果函数在某点函数值及其导数值容易计 算时，就可以利用微分近似计算公式来计算 函数在该点附近的近似值
例1 计算 arctan1.05 的近似值 .
解 设 f (x) = arctan x , 所以 f (x ) =(arctan x)=1/(1+x2)
设 x0=1, x=0.05 ，所以 f (1 ) =arctan 1= /4
由 得
f (1 ) =1/(1+12) = 1/2
f (x0+x ) ≈f (x0)+ f (x0)· x f (1.05 ) ≈f (1)+ f (1)· 0.05
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什么是瞬时速度？
怎样计算函 数值呢？ 计算近似值也 是需要的。
切线方程： y=f (x0)+f (x0)(x-x0)
y = f(x) y0
x0
微分在近似计算中的应用 !
y0
y = f(x)
x0 若函数y = f ( x ) 在 x0 点处可微，则 y = f (x0+x)-f (x0)=f (x0)· x+o(x) 当 |x| << 1 时， y = f (x0+x)-f (x0) ≈f (x0)· x 所以得近似公式 y ≈ f (x0)· x f (x0+x ) ≈f (x0)+ f (x0)· x
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当 |x| << 1 时， 由近似公式 f (x0+x ) ≈f (x0)+ f (x0)· x
即当 x0=0 ,|x| = |x| << 1 时，
f (x ) ≈f (0)+ f (0)· x 如当 x0=0 ,|x| = |x| << 1 时，
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由于 (sin x) =cos x
所以 sinx ≈sin0+ cos0 · x=x
所以 ln(1+x ) ≈x
由于 (ln(1+ x)) = 1/(1+x) 由于 (e x) =e x
所以 e x ≈ x
总结
1.微分的近似计算的方法就是利用函数曲线 在某点的附近的近似直线（切线）来计算函 数近似值的方法
2.如果函数在某点函数值及其导数值容易计 算时，就可以利用微分近似计算公式来计算 函数在该点附近的近似值
例1 计算 arctan1.05 的近似值 .
解 设 f (x) = arctan x , 所以 f (x ) =(arctan x)=1/(1+x2)
设 x0=1, x=0.05 ，所以 f (1 ) =arctan 1= /4
由 得
f (1 ) =1/(1+12) = 1/2
f (x0+x ) ≈f (x0)+ f (x0)· x f (1.05 ) ≈f (1)+ f (1)· 0.05