2020高考理科数学大题专项练习：大题综合
大题综合练
一、解答题
1.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知sin(A+C )=8sin 2B
2. (1)求cos B ;
(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b. 解：(1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin 2B
2, 故sin B=4(1-cos B ).
上式两边平方,整理得17cos 2B-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去),cos B=15
17.
(2)由cos B=15
17得sin B=8
17,故S △ABC =1
2ac sin B=4
17ac. 又S △ABC =2,则ac=17
2. 由余弦定理及a+c=6得 b 2=a 2+c 2-2ac cos B =(a+c )2-2ac (1+cos B ) =36-2×
172
×(1+15
17)=4.
所以b=2.
2.某商店欲购进某种食品(保质期两天),此商店每两天购进该食品一次(购进时,该食品为刚生产的).根据市场调查,该食品每份进价8元,售价12元.如果两天内无法售出,那么食品过期作废,且两天内的销售情况互不影响.为了了解市场的需求情况,现统计该产品在本地区100天的销售量如下表:
(视样本频率为概率)
(1)根据该产品100天的销售量统计表,记两天中一共销售该食品份数为ξ,求ξ的分布列与期望;
(2)以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据,该商店一次性购进32份或33份,哪一种得到的利润更大?
解：(1)根据题意可得P (ξ=30)=1
5×1
5=1
25,P (ξ=31)=1
5×3
10×2=3
25, P (ξ=32)=1
5×2
5×2+3
10×3
10=1
4,P (ξ=33)=1
5×1
10×2+3
10×2
5×2=7
25,
P (ξ=34)=3
10×1
10×2+2
5×2
5=11
50,P (ξ=35)=2
5×1
10×2=2
25, P (ξ=36)=1
10×1
10=1
100,ξ的分布列如下:
E (ξ)=30×125+31×325+32×1
4+33×7
25+34×1150+35×2
25+36×1
100=32.8. (2)当购进32份时,利润为32×4×21
25+(31×4-8)×3
25+(30×4-16)×
125
=107.52+13.92+4.16=125.6;
当购进33份时,利润为33×4×59
100+(32×4-8)×1
4+(31×4-16)×3
25+(30×4-24)×
125
=77.88+30+12.96+3.84=124.68.
由125.6>124.68,可知当购进32份时,利润更高.
3.如图,在四棱锥P-ABCD 中,平面PAD ⊥平面ABCD ,PA ⊥PD ,PA=PD ,AB ⊥AD ,AB=1,AD=2,AC=CD=√5.
(1)求证:PD ⊥平面PAB ;
(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值;
(3)在棱PA 上是否存在点M ,使得BM ∥平面PCD ?若存在,求AM
AP 的值;若不存在,说明理由. 答案：(1)证明因为平面PAD ⊥平面ABCD ,AB ⊥AD , 所以AB ⊥平面PAD.所以AB ⊥PD. 又因为PA ⊥PD ,所以PD ⊥平面PAB. (2)解取AD 的中点O ,连接PO ,CO. 因为PA=PD ,所以PO ⊥AD.
又因为PO ?平面PAD ,平面PAD ⊥平面ABCD , 所以PO ⊥平面ABCD.
因为CO ?平面ABCD ,所以PO ⊥CO. 因为AC=CD ,所以CO ⊥AD.
如图建立空间直角坐标系O-xyz.
由题意,得点A (0,1,0),B (1,1,0),C (2,0,0),D (0,-1,0),P (0,0,1).
设平面PCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·PD ????? =0,
n ·PC ????? =0,
即{-y -z =0,
2x -z =0. 令z=2,则x=1,y=-2. 所以n =(1,-2,2).
又PB ????? =(1,1,-1), 所以cos
|n ||PB ????? |=-√33
. 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为√3
3. (3)解设M 是棱PA 上一点,则存在λ∈[0,1]使得AM ?????? =λAP ????? . 因此点M (0,1-λ,λ),BM ?????? =(-1,-λ,λ). 因为BM ?平面PCD ,所以BM ∥平面PCD 当且仅当BM ?????? ·n =0, 即(-1,-λ,λ)·(1,-2,2)=0.解得λ=1
4.
所以在棱PA 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ,此时AM
AP =1
4.
4.设椭圆E 的方程为x 2
a 2+y 2
b 2=1(a>b>0),点O 为坐标原点,点A 的坐标为(a ,0),点B 的坐标为(0,b ),点M 在线段AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线OM 的斜率为√5
10. (1)求E 的离心率e ;
(2)设点C 的坐标为(0,-b ),N 为线段AC 的中点,点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为7
2,求E 的方程.
解：(1)由题设条件知,点M 的坐标为(2
3a ,1
3b), 又k OM =√5
10,从而b
2a =
√5
10
,
进而得a=√5b ,c=222b ,故e=c
a =
2√5
5
. (2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB 的方程为
√
5b
+y b =1,点N 的坐标为(√5
2b ,-1
2b).设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为(x 1,7
2),则线段NS 的中点T 的坐标为(√5
4b +
x 12
,-14b +7
4).
又点T 在直线AB 上,且k NS ·k AB =-1, 从而有{ √5
4b+x 1
2√5b +-1
4b+7
4b
=1,
72+12b x 1-√52b =√5,解得b=3.
所以a=3√5,故椭圆E 的方程为x 2
45+
y 29
=1.
5.已知函数f (x )=√x -ln x.
(1)若f (x )在x=x 1,x 2(x 1≠x 2)处导数相等,证明:f (x 1)+f (x 2)>8-8ln 2;
(2)若a ≤3-4ln 2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a 与曲线y=f (x )有唯一公共点. 答案：证明(1)函数f (x )的导函数f'(x )=2√
x
?1
x , 由f'(x 1)=f'(x 2),得2√x ?1x 1
=2
√x ?1
x 2
,
因为x 1≠x 2,所以
√x √x =1
2.
由基本不等式,得12√x 1x 2=√x 1+√x 2≥2√x 1x 24, 因为x 1≠x 2,所以x 1x 2>256.
由题意得f (x 1)+f (x 2)=√x 1-ln x 1+√x 2-ln x 2=1
2√x 1x 2-ln(x 1x 2). 设g (x )=1
2√x -ln x ,则g'(x )=1
4x (√x -4), 所以
所以g (x )在[256,+∞)上单调递增,故g (x 1x 2)>g (256)=8-8ln 2, 即f (x 1)+f (x 2)>8-8ln 2. (2)令m=e
-(|a|+k )
,n=(
|a |+1k
)2+1,则
f(m)-km-a>|a|+k-k-a≥0,
f(n)-kn-a √n a n -k)≤n( √n k)<0, 所以,存在x0∈(m,n),使f(x0)=kx0+a. 所以,对于任意的a∈R及k∈(0,+∞),直线y=kx+a与曲线y=f(x)有公共点.由f(x)=kx+a,得k=√x-lnx-a x . 设h(x)=√x-lnx-a x , 则h'(x)=lnx-√x2-1+a x2 =-g(x)-1+a x2 . 其中g(x)=√x 2 -ln x.由(1)可知g(x)≥g(16). 又a≤3-4ln 2,故-g(x)-1+a≤-g(16)-1+a=-3+4ln 2+a≤0,所以h'(x)≤0,即函数h(x)在(0,+∞)上单调递减. 因此方程f(x)-kx-a=0至多1个实根. 综上,当a≤3-4ln 2时,对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.