代数式之规律性问题

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第03讲规律探究性问题-2022中考数学巅峰冲刺(解析版)

【难点突破】着眼思路，方法点拨,疑难突破；1、解数式规律型问题的一般方法:1当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正数列、奇数列、偶数列还是正整数列经过平方、平方加1或减1等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一种符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果；2当数字是分数和整数结合时，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的规律，最后得到该组第n项的规律；3当所给的代数式含有系数时，先观察其每一项的系数之间是否有自然数列、正整数列、奇数列、偶数列或交替存在一定的对称性，然后观察其指数是否存在相似的规律，最后将系数和指数的规律结合起来求得结果．数字循环类规律题就是几个数循环出现，解决此类问题时，一般是先求出前几个数，再观察其中隐含的规律，若和序号有关，则第n个数用含n 的式子表示，用n除以循环出现的数的个数，找出余数即可找到对应的结果．2、探索等式规律的一般步骤:1标序数；2对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序数1，2，3，4，…，n之间的关系，把其隐含的规律用含序数的式子表示出来，通常方法是将式子进行拆分，观察式子中数字与序号是否存在倍数或者次方的关系；3根据找出的规律得出第n个等式，并进行检验．3、根据图形寻找点的坐标的变换特点，这类题目一般有两种考查形式：一类是点的坐标变换在直角坐标系中递推变化；另一类是点的坐标变换在坐标轴上或象限内循环递推变化．解决这类问题可按如下步骤进行：1根据图形点坐标的变换特点确定属于哪一类；2根据图形的变换规律分别求出第1个点，第2个点，第3个点的坐标，找出点的坐标与序号之间的关系，归纳得出第M个点的坐标与变换次数之间的关系；3确定第一类点的坐标的方法：根据2中得到的倍分关系，得到第M个点的坐标；确定第二类点坐标的方法：先找出循环一周的变换次数，记为n，用M÷n＝ω……q0≤q ＜n，则第M次变换与每个循环中第q次变换相同，再根据2中得到的第M 个点的坐标与变换次数的关系，得到第M个点的坐标．4、对于求面积规律探索问题的一般步骤：1根据题意可得出第一次变换前图形的面积S；2通过计算得到第一次变换后图形的面积，第二次变换后图形的面积，第三次变换后图形的面积，归纳出后一个图形的面积与前一个图形的面积之间存在的倍分关系；3根据找出的规律，即可求出第M次变换后图形的面积．5、找图形累加型变化规律的一般步骤:1写序号，记每组图形的序数为“1，2，3，…n”；2数图形个数，在图形数量变化时，要数出每组图形表示的个数；3寻找图形数量与序数n的关系，若当图形变化规律不明显时，可利用图示法，即针对寻找第n个图形表示的数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差商来观察是否有恒等量的变化，然后按照定量变化推导出第n个图形的个数．【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的值为2，那么我们要进行的第一次计算是进行偶数程序，结果输出的是1，返回进行第二次运算则按照奇数程序进行运算，输出的是6，…第2022次输出的结果为【解析】：按照数据运算程序设计进行计算发现，输出的结果分别是1，6，3，8，4，2，因此每六次运算程序一个循环，2022÷6=336---3，故第2022次输出恰好是第三次输出的结果，即为3【原创2】发现任意一个偶数减去其12，再减去余下的13，一直减去到余下的此偶数的倒数，结果为1验证（1）10减去其12，再减去余下的13，一直减去到余下的14，一直减到最后余下的110其结果等于几（2）设一个偶数2n，依次减去其12，再减去余下的14，一直减下去，一直减到最后余下的12n，结果等于几并验证发现的结论是否正确。

专题02 整式乘除法的五种求值题型全攻略(解析版)

专题02 整式乘除法的五种求值题型全攻略【知识点梳理】整式乘法1、单项式乘单项式:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

2、单项式乘多项式:根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。

3、多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

整式除法1、单项式除单项式：（1）将它们的系数相除作为上的系数；（2）对于被除式和除式中都含有的字母，按同底幂的除法分别相除，作为商的因式；（3）被除式中独有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。

2、多项式除单项式：多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。

类型一、“不含某一项”求参例、已知将（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）乘开的结果不含x2项，并且x3的系数为2．则m+n＝_____．【答案】-8【详解】（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）＝x5﹣3x4+4x3+mx3﹣3mx2+4mx+nx2﹣3nx+4n＝x5﹣3x4+（4+m）x3+（﹣3m+n）x2+(4m﹣3n)x+4n，∵结果不含x2项，并且x3的系数为2，∴﹣3m+n＝0，4+m＝2，∴m＝﹣2，n＝﹣6，∴m+n＝﹣2﹣6＝﹣8，故答案为：﹣8【变式训练1】若多项式x 2＋2mx ﹣1与x 2﹣2x ＋n 的乘积中不含x 2和x 3项，则m 2﹣mn ＋14n 2＝_____．【变式训练2】若()22133x px x x q æö+--+ç÷èø的积中不含x 项与3x 项．(1)求p 、q 的值；(2)求代数式()()2322012201423p q pq p q -++的值．【变式训练3】若（x 2＋3mx ﹣13）（x 2﹣3x ＋n ）的积中不含x 和x 3项，（1）求m 2﹣mn ＋14n 2的值；（2）求代数式（﹣18m 2n ）2＋（9mn ）﹣2＋（3m ）2014n 2016的值．【变式训练4】已知将32()(34)x mx n x x ++-+展开的结果不含3x 和2x 项，（m 、n 为常数）（1）求m 、n 的值；（2）在（1）的条件下，求22()()m n m mn n +-+的值．（先化简，再求值）【答案】（1）412m n =-ìí=-î；（2）33m n +，-1792【详解】解：（1）32543322()(34)343434x mx n x x x x x mx mx mx nx nx n ++-+=-++-++-+，54323(4)(3)(43)4x x m x n m x m n x n =-+++-+-+，由题意得：4030m n m +=ìí-=î，解得：412m n =-ìí=-î；（2）22()()m n m mn n +-+322223m m n mn m n mn n =-++-+33m n =+，当4m =-，12n =-时，原式33(4)(12)6417281792=-+-=--=-类型二、特殊值法求值例1、已知7765012672()3x a x a x a x a x a =++¼¼+++-，则0127a a a a ¼+¼+++=（）A ．1B ．－1C ．2D ．0【答案】B 【解析】将1x =代入7765012672()3x a x a x a x a x a =++¼¼+++-得：7012672(13)a a a a a =++¼¼++´-+，∴012671a a a a a ¼¼+++++=-．故选：B ．【变式训练1】（1）已知：210,a a +-=则43222000a a a +++的值是_____（2）如果记162a =，那么1231512222+++++=L _____（3）若232122192,x x ++-=则x=_____（4）若5543254321021),x a x a x a x a x a x a -=+++++（则24a a +=_____【答案】（1）2001 （2）1a - （3）52 （4）﹣120【解析】（1）由题意得：21a a +=；∴43222000a a a +++=43322000a a a a ++++=()22322000a a a a a ++++=3222000a a a +++=()222000a a a a +++=12000+=2001（2）设1231512222m =++++¼+，则23416222222m =++++¼+；∴16221m m -=-，即1621m =- ∴原式=1a -（3）232122x x ++-=212x +∙22122x +-=2132x +×=192∴21264x += ∴216x += ∴52x =（4）当x=1时，1=012345a a a a a a +++++ ……①当x=﹣1时，53-=012345a a a a a a -+--+ ……②当x=0时，-1=0a ①＋②=()0242a a a ++=513-即024a a a ++=5132- ∴24a a +=5132-＋1=﹣120【变式训练2】小东在学习多项式乘以多项式时发现：14(25)(36)2x x x æö++-ç÷èø的结果是一个多项式，并且最高次项为：312332x x x x ××=，常数项为：45(6)120´´-=-，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结，他发现：一次项系数就是：()()156********´´-+´-´+´´=-，即一次项为3x -．请你认真领会小东解决问题的思路、方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题，(1)计算()()()23153x x x ++-所得多项式的一次项系数为___________；(2)若计算()()2213(21)x x x x a x ++-+-所得多项式不含一次项，求a 的值；(3)若()2023202320222021012202220231x a x a x a x a x a +=+++++L ，则2022a =___________．【答案】(1)11-；(2)3a =-；(3)2023【详解】（1）解：()()1133325213181011´´-+´-´+´´=--+=-，∴()()()23153x x x ++-所得多项式的一次项系数为11-，故答案为：11-（2）解：由题意得，()()2213(21)x x x x a x ++-+-的一次项系数为：()()()1131121323a a a a a ×´-+-´´-+´×=-++=+，∵计算()()2213(21)x x x x a x ++-+-所得多项式不含一次项，∴30a +=，∴3a =-；（3）解：∵()20231x +表示2023个()1x +相乘，几个多项式乘积的一次项系数为多项式中的一次项系数与其他多项式的常数项的积的和，∴()20231x +的结果的一次项系数为2023个1111´´´´L （一共2023个1），∴()20231x +的结果的一次项系数为2023，∴20222023a =，故答案为：2023．【变式训练3】我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了()na b +（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．例如：0()1a b +=，它只有一项，系数为1；1()a b a b +=+，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；222()2a b a ab b +=++，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；根据以上规律，解答下列问题：(1)5()a b +展开式共有______项，系数和为______．(2)求5(21)a -的展开式；(3)利用表中规律计算：5432252102102521-´+´-´+´-（不用表中规律计算不给分）；(4)设171716171610(1)x a x a x a x a +=++¼++，则1231617a a a a a +++¼++的值为______．【答案】(1)6，32(2)543232808040101a a a a a -+-+-(3)1(4)1721-【详解】（1）解：根据图表中的规律，可得：5()a b +展开式共有6项，系数和为1510105132+++++=，故答案为：6，32；（2）5(21)a -()5544332223452521102(1)102(1)52(1)(1)a a a a a =+´-+´-+´-+´-+-543232808040101a a a a a =-+-+-；（3）根据图表中数据的规律可以发现：54325252102102521(21)-´+´-´+´-=-，54322521021025211\-´+´-´+´-=；（4）171716171610(1)x a x a x a x a +=++¼++Q ，\当1x =时，1701231617(11)a a a a a a +=++++¼++，当0x =时，170(01)1a +==，17123161721a a a a a \=++++¼++，1231617a a a a a \+++¼++的值为1721-．故答案为：1721-．类型三、整体代入法求值例1、若a +b ＝﹣3，ab ＝1，则（a +1）（b +1）（a ﹣1）（b ﹣1）＝_____．【答案】-5【详解】解：∵a +b =-3，ab =1，∴（a +1）（b +1）（a -1）（b -1）=[（a +1）（b +1）][（a -1）（b -1）]=（ab +a +b +1）（ab -a -b +1）=（1-3+1）×（1+3+1）=-1×5=-5．故答案为：-5．【变式训练1】计算()()()()12320222320231232023232022----´+++-----´+++L L L L 的结果是（）A ．2023B ．2022C ．2021D ．2020【答案】A 【详解】解：设12342022x =-----L ，2342023y =++++L ，则123420232023x -----=-L ，23420222023y ++++=-L ，\()()()()12320222320231232023232022----´+++-----´+++L L L L ()()20232023xy x y =---()2202320232023xy xy x y =---+2202320232023xy xy x y =-++-2202320232023x y =+-()220232023x y =+-()212342022220234023202323=-----+++++-´L L ()22023120232023=´+-22202320232023=+-2023=．故选：A ．【变式训练2】（1）已知2x 2＋6x ＝3，求代数式x （x ＋1）（x ＋2）（x ＋3）的值；（2）如果多项式4x 2＋kx －7被4x ＋3除后余2，求k 的值．【答案】（1）214；（2）-9【详解】（1）由2x 2＋6x ＝3，得2332x x +=∴x （x ＋1）（x ＋2）（x ＋3）=223321(3)(32)2224x x x x æö+++=´+=ç÷èø；（2）∵多项式4x 2＋kx －7是二次多项式，除式4x+3是一次多项式∴多项式4x 2＋kx －7被4x ＋3除，则商应为一次多项式∵多项式4x 2＋kx －7的二次项系数为4∴商的一次项系数为1∵多项式4x 2＋kx －7的常数项为-7，余数为2∴商的常数项为-3∴商为3x -∴4x 2＋kx －7=2(43)(3)2497x x x x +-+=--，∴k =-9【变式训练3】已知2a 2+a -6=0，求代数式(3a +2)(3a -2)-(5a 3-2a 2)÷a 的值．【答案】8【详解】解：()()()32323252a a a a a +---¸()229452a a a =---，229452a a a =--+，2424a a =+-；∵2260a a +-=，∴226a a +=，∴2424a a +-()2224a a =+-264=´-8=．类型四、规律性问题例1、我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了()n a b +（n ＝1，2，3，4，…）的展开式的系数规律（按a 的次数由大到小的顺序）：111()a b +＝a +b1212()a b +＝222a ab b ++13313()a b +＝322333a a b ab b +++146414()a b +＝++++432234a 4ab 6a b 4ab b 请根据上述规律，写出20212()x x+的展开式中含2019x 项的系数是（）A ．2021B ．4042C ．2043231D ．2019【变式训练1】大家一定熟知杨辉三角（Ⅰ）,它可以解释二项式和的乘方规律，观察下列等式（Ⅱ）根据前面各式规律，则6()a b +的展开式是_________．【答案】654233245661520156a a b a b a b a b ab b ++++++【详解】解：1()+=+Q a b a b222()2a b a ab b +=+++=+++33223()33a b a a b ab b 4322344()464a b a a b a b ab b +=++++66542332456()61520156a b a a b a b a b a b ab b \+=++++++，故答案为：654233245661520156a a b a b a b a b ab b ++++++．【变式训练2】请同学观察、计算、思考完成下列问题：计算：（1）()()a b a b -+=______；（2）()()22a b a ab b -++=______；（3）()()3223a b a a b ab b -+++=______；猜想并验证：（4）()()122221n n n n n a b a a b a b a b ab b -----+++×××+++=______；思考：（5）求202220212020321222222+++×××+++的值．【答案】（1）22a b -；（2）33a b -；（3）44a b -；（4）11n n a b ++-；（5）202322-【详解】解：（1）22()()a b a b a b -+=-，故答案为：22a b -；（2）22()()a b a ab b -++322223=++---a a b ab a b ab b33=-a b ，故答案为：33a b -；（3）3223()()a b a a b ab b -+++4322332234a ab a b ab a b a b ab b =+++----44a b =-，故答案为：44a b -；（4）122221()()n n n n n n a b a a b a b a b ab b -----+++¼+++11232211232211n n n n n n n n n n n n a a b a b a b a b ab a b a b a b a b ab b +------+=+++¼+++---¼----11n n a b ++=-，故答案为：11n n a b ++-；（5）202220212020321222222+++¼+++202220212020321(21)(2222221)(21)1=-+++¼++++--´20232111=--´2023211=--202322=-．【变式训练3】观察下列各式：()()2111x x x -+=-()()23111x x x x -++=-()()324111x x x x x -+++=-(1)根据以上规律，则()()6543311x x x x x x x -++++++=___________．(2)你能否由此归纳出一般规律()()111n n x x x x --++++=L ___________．(3)根据以上规律求2022202120202333331++++++L 的值．类型五、整式乘除与几何综合问题例、阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到22(2)()32a b a b a ab b ++=++．请解答下列问题：(1)用两种不同的方法列代数式表示图2中的大正方形面积：方法一：____________；方法二： ____________．(2)写出图2中所表示的数学等式：____________．(3)利用（2）中所得到的结论，解决下面的问题：已知++=11a b c ，++=38ab bc ac 求222a b c ++的值．【答案】(1)2()a b c ++；222222a b c ab ac bc +++++(2)2()a b c ++=222222a b c ab ac bc +++++(3)22245a b c ++=【详解】（1）方法一： 2()a b c ++故答案为：2()a b c ++方法二：222222a b c ab ac bc +++++故答案为：222222a b c ab ac bc+++++（2）因为方法一和方法二表示同一个长方形的面积，因此可2()a b c ++=222222a b c ab ac bc +++++故答案为：2()a b c ++=222222a b c ab ac bc +++++（3）根据（2）中所的结论2()a b c ++=222222a b c ab ac bc +++++得2()a b c ++=2222a b c ab ac bc +++++（）把++=11++=38a b c ab bc ac ，代入得222211238a b c =+++´解得22245a b c ++=【变式训练1】阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．例如，由图1可以得到()()22322a ab b a b a b ++=++．请解答下列问题：(1)写出图2中所表示的数学等式；(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知8a b c ++=，12ab bc ca ++=，求222a b c ++的值；(3)图3中给出了若干个边长为a 和边长为b 的小正方形纸片及若干个边长分别为a ，b 的长方形纸片．请利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得用两种不同的方法计算它的面积时，能够得到关于22273a ab b ++的数学等式.【答案】(1)()2222222a b c ab ac bc a b c +++++=++(2)40(3)见解析【详解】（1）根据题意，大矩形的面积为：()()()2a b c a b c a b c ++++=++，各小矩形部分的面积之和222222a ab b bc ac c =+++++，∴等式为()2222222a b c a b c ab bc ca ++=+++++，故答案为：()2222222a b c a b c ab bc ca ++=+++++．（2）∵()2a b c ++()2222a b c ab bc ca =+++++∵812a b c ab bc ca ++=++=，，∴2222821240a b c ++=-´=．（3）∵()()2232273a b a b a ab b++=++如图所示：【变式训练2】在数学中，根据几何图形的面积关系可以形象直观地表示多项式的乘法．例如：()()22223a b a b a ab b ++=++可以用图（1）表示．(1)根据图（2），写出一个与多项式乘法有关的等式_________________________________；(2)有足够多的两种正方形卡片（①号、②号）和一种长方形卡片（③号），如图（3），现选取①号、②号、③号卡片分别为1张、2张、3张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个图形的草图，并写出计算它的面积能得到的数学等式．【答案】(1)22(2)(2)242++=++a b a b a ab b (2)图见解析，23()(2)82++=++a b a b a ab b 【详解】（1）根据图（1）的面积可以表示为(2)(2)a b a b ++或22242a ab b ++，∴22(2)(2)242++=++a b a b a ab b ，故答案为：22(2)(2)242++=++a b a b a ab b （2）解：依题意，如图，现选取①号、②号、③号卡片分别为1张、2张、3张，拼成一个长方形∴22()(2)32a b a b a ab b ++=++．【变式训练3】数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为a 、b 的两个正方形纸片和长为b 、宽为a 的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图2可得()()22232a b a b a ab b ++=++．则：(1)由图3可以解释的等式是____________；(2)用9张边长为a 的正方形纸片，12张长为b 、宽为a 的长方形纸片，4张边长为b 的正方形纸片拼成一个大正方形，求这个大正方形的边长；(3)用5张长为b ，宽为a 的长方形纸片按照图4方式不重叠地放在大长方形ABCD 内，大长方形中未被覆盖的两个部分的面积设为1S 、2S ，BC 的长设为x ．①请用含x 的代数式表示：2123S S -；②若无论x 取任何实数时，①的结果始终保持不变，请直接写出a 与b 满足的数量关系．【变式训练4】七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式6351ax y x y -++--的值与x 的取值无关，求a 的值”，通常的解题方法是：把x 、y 看作字母，a 看作系数合并同类项，因为代数式的值与x 的取值无关，所以含x 项的系数为0，即原式()365a x y =+-+，所以30a +=，则3a =-．(1)若关于x 的多项式()22323x m m x -+-的值与x 的取值无关，求m 值；(2)已知22321A x xy x =+--，21B x xy =-+-；且36A B +的值与x 无关，求y 的值；(3)7张如图1的小长方形，长为a ，宽为b ，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD 内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为1S ，左下角的面积为2S ，当AB 的长变化时，12S S -的值始终保持不变，求a 与b 的等量关系．。

重难点01实数计算中的规律性问题(5种题型)(解析版)

重难点01实数计算中的规律性问题（5种题型）探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．【考点剖析】一．数轴（共1小题）1．（2022秋•杭州期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母A，B，C，D，先将圆周上的字母A对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的﹣2022所对应的点将与圆周上字母（）所对应的点重合．A．A B．B C．C D．D【分析】根据圆的周长得到，4个数字一个周期，然后从0开始，即出发的位置是点B，然后用2022除以4看余数即可．【解答】解：∵圆的周长为4个单位长度，∴4个数字为一个循环，点B与数字0对应，∴2022÷4＝505……2，即从B开始在转2次，∴﹣2022对应的字母是D．故选：D．【点评】本题考查数轴，能够注意到点B对应的是数字0是解答本题的关键．二．有理数的混合运算（共3小题）2．（2022春•海淀区校级期末）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：，，，，…利用以上运算的规律，写出f（n）＝1﹣（n为正整数），计算f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）＝．【分析】根据f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的运算方法，写出f（n）的表达式；再根据f（n）的表达式，代入f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100），计算即可．【解答】解：（1）∵，，，，…∴f（n）＝1﹣．f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）•••（1﹣）＝×××•••×＝．故答案为：1﹣；．【点评】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．理解新运算，进而写出f（n）的表达式是解题的关键．3．（2022秋•拱墅区月考）观察下列运算过程：22＝2×2＝4，；，＝；…（1）根据以上运算过程和结果，我们发现：22＝；（）2＝；（2）仿照（1）中的规律，判断（）3与（）﹣3的大小关系；（3）求（﹣）﹣4×（）4÷（）﹣3的值．【分析】（1）观察计算过程即可得出结论；（2）利用题干中的方法解答即可得出结论；（3）利用以上的解题规律进行运算即可．【解答】解：（1）∵22＝2×2＝4，，∴；∵，＝，∴，故答案为：；；（2）（）3＝（）﹣3，理由：∵＝＝，＝＝，∴（）3＝（）﹣3．（3）原式＝×÷23＝×＝16×＝2．【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是阅读型题目，利用题干中的方法和解答中发现的规律解答是解题的关键．4．（2021秋•台州期末）规定：若有理数a，b满足a﹣b＝ab，则a叫做b的“差积数”．例如：1﹣＝1×，那么1是的“差积数”；﹣1≠×1，可知不是1的“差积数”．请根据上述规定解答下列问题：（1）填表：有理数x3452x的“差积数”﹣﹣﹣﹣2（2）一个有理数的“差积数”等于这个数，求这个有理数；（3）若m为正整数，记m+1，m+2，m+3，…，m+2022这2022个数的“差积数”的积为A，试猜想A 的值（用含有m的式子表示），并给出合理的猜想过程．【分析】（1）根据定义分别求出各自对应的“差积数”：（2）可设这个有理数为x，再由定义求出即可：（3）先解出前几项对应的差积数，观察找规律，总结一般结论再代入求值即可．【解答】解：（1）设3的积差数为x，y的积差数为﹣2，由题意可列：x﹣3＝3x，﹣2﹣y＝﹣2y，解得：x＝﹣，y＝2，故答案为：﹣：；2．（2）设这个有理数为a，由题意可列：a﹣a＝a2，解得：a＝0，答：这个有理数为0．（3）设m+1的差积数为b，由题意可列：b﹣（m+1）＝（m+1）b，解得：b＝，∴m+1的差积数是，同理：m+2的积差数是，则A＝＝＝1+．【点评】认真读题，理解差积数的含义，培养学生的阅读理解能力和知识迁移能力．，最后一问考查了学生由特殊到一般的数学思想．三．算术平方根（共2小题）5．（2022秋•鄞州区校级期中）（1）若a+b＝，则代数式（a+b）2的值为3．（2）如下是按规律排列的一列单项式：x，﹣x2，x3，﹣x4，x5，…则第10个单项式是﹣x10．【分析】（1）将a+b的值整体代入所求的代数式运算即可；（2）通过观察可得第n个单项式是（﹣1）n+1••x n，由此求解即可．【解答】解：（1）∵a+b＝，∴（a+b）2＝（）2＝3，故答案为：3；（2）∵x，﹣x2，x3，﹣x4，x5，…，∴第n个单项式是（﹣1）n+1••x n，∴第10个单项式是﹣x10，故答案为：﹣x10．【点评】本题考查数字的变化规律，整式的运算，熟练掌握整体代入思想求代数式的值，根据所给的单项式，探索出单项式的各项系数和指数的规律是解题的关键．6．（2023春•城区校级期中）观察下列一组算式的特征，并探索规律：①；②；③；④．根据以上算式的规律，解答下列问题：（1）13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝225；（2）＝；（用含n的代数式表示）（3）简便计算：113+123+133+…+193+203．【分析】（1）根据代数式所呈现的规律可得答案；（2）得出＝1+2+3+…（n﹣1）+n，再利用求和公式求出结果即可；（3）将原式化为（1）中的形式，利用简便方法求出结果即可．【解答】解：（1）∵＝1+2+3+4+5＝15，∴13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝225，故答案为：1+2+3+4+5，225；（2）由（1）可得，＝1+2+3+…（n﹣1）+n＝，故答案为：；（3）由（2）得，113+123+133+…+193+203＝13+23+33+…+193+203﹣（13+23+33+…+93+103）＝＝44100﹣3025＝41075．【点评】本题考查算术平方根，列代数式，数字变化类，理解算术平方根的意义，发现数字变化类所呈现的规律是解决问题的关键．四．规律型：数字的变化类（共19小题）7．（2022秋•北仑区期中）如图，在这个数运算程序中，若开始输入的正整数n为奇数，都计算3n+1；若n 为偶数，都除以2．若n＝21时，经过1次上述运算输出的数是64；经过2次上述运算输出的数是32；经过3次上述运算输出的数是16；…；经过2022次上述运算输出的数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】分别求出部分输出结果，发现第1次输出结果到第4次输出结果只出现一次，从第5次输出结果开始，每3次结果循环一次，则经过2022次上述运算输出的数与第6次输出的结果相同，由此可求解．【解答】解：当n＝21时，经过1次运算输出的数是64，经过2次运算输出的数是32，经过3次运算输出的数是16，经过4次运算输出的数是8，经过5次运算输出的数是4，经过6次运算输出的数是2，经过7次运算输出的数是1，经过8次运算输出的数是4，经过9次运算输出的数是2，……∴第1次输出结果到第4次输出结果只出现一次，从第5次输出结果开始，每3次结果循环一次，∵（2022﹣4）÷3＝672…2，∴经过2022次上述运算输出的数与第6次输出的结果相同，故选：B．【点评】本题考查数字的变化规律，通过运算找到输出结果的循环规律是解题的关键．8．（2022秋•莲都区期中）对一组数（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y），且规定P n（x，y）＝P1（P n﹣1（x，y））（n为大于1的整数），如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1（P1（1，2））＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1（P2（1，2））＝P1（2，4）＝（6，﹣2），则P2022（1，﹣1）＝（）A．（0，21011）B．（21011，﹣21011）C．（0，﹣21011）D．（21011，21011）【分析】根据操作方法依次求出前几次变换的结果，然后根据规律解答．【解答】解：P1（1，﹣1）＝（0，2），P2（1，﹣1）＝P1（P1（1，﹣1））＝P1（0，﹣2）＝（2，﹣2），P3（1，﹣1）＝P1（P2（1，﹣1））＝P1（2，﹣2）＝（0，4）＝（0，22），P4（1，﹣1）＝P1（P3（1，﹣1））＝P1（0，4）＝（4，﹣4）＝（22，﹣22），P5（1，﹣1）＝P1（P4（1，﹣1））＝P1（22，﹣22）＝（0，23），…，P2022（1，﹣1）＝（21011，﹣21011）．故选：B．【点评】本题考查了点的坐标，读懂题目信息，理解操作方法并观察出点的纵坐标的指数的变化规律是解题的关键．9．（2022秋•海曙区校级期中）将正偶数按下表排成5列：根据上面排列规律，则2022应在____________行，___________列．（）A．506；3B．506；2C．253；2D．253；4【分析】通过观察发现，每8个偶数的位置循环一次，再由1011÷8＝126……3，可知2022在第4列，行数位于126×2+1＝253行，由此即可求解．【解答】解：由图可知，每8个偶数的位置循环一次，∵2到2022共有1011个偶数，∴1011÷8＝126……3，∴2022与6的列数相同，∴2022在第4列，∵126×2＝252，∴2022在第253行，故选：D．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的排列规律，探索出数的位置的循环规律是解题的关键．10．（2022秋•开化县校级月考）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为5，则第1次输出的结果为8，第2次输出的结果为4，……，第2022次输出的结果为（）A．1B．2C．4D．8【分析】通过计算发现，从第二次开始每三次运算结果循环一次，则可得第2022次输出的结果与第2次输出的结果相同，由此求解即可．【解答】解：第1次输出的结果为8，第2次输出的结果为4，第3次输出的结果为2，第4次输出的结果为1，第5次输出的结果为4，……∴从第二次开始每三次运算结果循环一次，∵（2022﹣1）÷3＝673……2，∴第2022次输出的结果为2，故选：B．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算探索出运算结果的循环规律是解题的关键．11．（2022秋•慈溪市月考）如图，正方形的周长为8个单位，在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表﹣3的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2021的点与正方形上的数字对应的是（）A．0B．2C．4D．6【分析】求出2021与﹣1的距离是2022个单位，再去确定2022是正方形旋转252圈余6个单位长度，则可知2021与6对应．【解答】解：∵正方形的周长为8个单位，∴正方形的边长为2个单位，由旋转可知，正方形旋转一周是8个单位长度，∵2021与﹣1的距离是2022个单位，又∵2022÷8＝252……6，∴正方形旋转252圈余6个单位长度，∴2021与6对应，故选：D．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算确定2021与﹣1的距离与正方形周长的关系是解题的关键．12．（2021秋•北仑区期末）观察下列各式：﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，…，则第n个式子是（）A．﹣2n﹣1x n B．（﹣2）n x n C．﹣2n x n D．（﹣2）n﹣1x n【分析】通过观察可知系数为﹣2的n次方，x的次数为自然数，由此可得第n个式子为（﹣2）n x n．【解答】解：∵﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，…，∴第n个式子为（﹣2）n x n，故选：B．【点评】本题考查数字的变化规律，根据所给单项式，探索出式子的一般规律是解题的关键．13．（2021秋•嘉兴期末）已知一列数a1，a2，a3，…，满足a m•a n＝a m+n（m，n为正整数）．例如：a1•a2＝a1+2＝a3，a2•a2＝a2+2＝a4．若a1＜0，a2＝4，则a2021的值是（）A．4042B．﹣22020C．22021D．﹣22021【分析】分别求出a1＝﹣2，a2＝4，a3＝﹣8，a4＝16，…，可得一般规律a n＝（﹣2）n，即可求a2021＝﹣22021．【解答】解：∵a2＝4，∴a1•a2＝a1+2＝a3＝4a1，a2•a2＝a2+2＝a4＝16，∵a1•a3＝a1+3＝a4，∴4a12＝16，∴a1＝±2，∵a1＜0，∴a1＝﹣2，∴a3＝﹣8，a4＝16，…，∴a n＝（﹣2）n，∴a2021＝﹣22021，故选：D．【点评】本题考查数字的变化规律，根据所给的条件，通过计算，探索出数的一般规律是解题的关键．14．（2022秋•浦江县月考）求1+2+22+23+…+22018的值，可令S＝1+2+22+23+…+22018，则2S＝2+22+23+…+22019，因此2S﹣S＝22019﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52018的值为（）A．52019﹣1B．52018﹣1C．D．【分析】直接根据已知条件中的示例，设所求式子为S，在所求式子中都乘以5得到一个新的式子，然后两个式子相减，从而求出所求问题．【解答】解：设S＝1+5+52+53+•••••+52018，则5S＝5+52+53+54+••••••+52019．∴5S﹣S＝52019﹣1，∴S＝．故选：D．【点评】本题主要考查同底数幂的运算及技巧性求复杂数式的值的方法，解题的关键是根据所求问题灵活运用各种运算规律．15．（2022秋•东阳市期中）正整数按如图的规律排列，请写出：（1）第3行，第6列的数字是28；（2）正整数2022在第45行，第4列．【分析】（1）根据所给的数，确定第六列的第一个数是26，再求解即可；（2）通过观察发现每行的第一个数n2，确定第45行的第一个数是2025，再求解即可．【解答】解：（1）由图可知，第六列的第一个数是26，∴第3行，第6列的数字是28，故答案为：28；（2）每行的第一个数n2，∴第45行的第一个数是2025，∵2025﹣2022＝3，∴2022在第45行第4列，故答案为：45，4．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出每行第一个数的规律是解题的关键．16．（2022秋•西湖区校级期中）观察下面算式，探索规律并解答问题：1+3＝4，1+3+5＝9，1+3+5+7＝16，1+3+5+7+9＝25．（1）计算，1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）＝n2；（2）请用上述规律计算：79+81+83+85++197+199＝8479．【分析】（1）通过观察所给的等式，可得1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）＝n2；（2）由（1）的规律，将等式变形为（1+3+5+......+77+79+81+83+85++197+199）﹣（1+3+5+ (77)再求解即可．【解答】解：（1）1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）＝（）2＝n2，故答案为：n2；（2）79+81+83+85++197+199＝（1+3+5+......+77+79+81+83+85++197+199）﹣（1+3+5+ (77)＝1002﹣392＝8479，故答案为：8479．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式结果的一般规律，并能灵活应用该规律计算是解题的关键．17．（2022秋•义乌市校级期中）小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．他发现从第三个输出项起的每一项都与这一项的前面两个输出项有关．按此规律，当输入9时，输出结果为76a13b42，从1开始一直输入到2022后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有674个．输入12345678…输出a3b24ab27ab411a2b618a3b1029a5b1647a8b26…【分析】通过观察输出结果，得到当输入的数是3n+1时，输出项的系数与次数均为奇数，再由2022÷3＝674，即可求解．【解答】解：输入1，得到a，项的系数与次数均为奇数，输入2，得到3b2，项的系数与次数不都为奇数，输入3，得到4ab2，项的系数与次数不都为奇数，输入4，得到7ab4，项的系数与次数均为奇数，输入5，得到11a2b6，项的系数与次数不都为奇数，输入6，得到18a3b10，项的系数与次数不都为奇数，输入7，得29a5b16，项的系数与次数均为奇数，……∴当输入的数是3n+1时，输出项的系数与次数均为奇数，∵2022÷3＝674，∴从1开始一直输入到2022后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有674个，故答案为：674．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的输出结果，探索出输出项的系数与次数均为奇数时，输入数的规律是解题的关键．18．（2022秋•鄞州区校级期中）按上面数表的规律，得下面的三角形数表：（1）上表中，第九行有9个算式，第九行最中间的算式是24+29．（2）把下表中的数从小到大排成一列数：3，5，6，9，10，12，…则第15个数是48．【分析】（1）通过观察可得第九行有9个算式，每一行的每个算式的第一个数的排列是20，21，22，…，2n﹣1，第二个数都是2n，由此求解即可；（2）先确定第15个数所在的位置，再根据（1）的规律进行求解即可．【解答】解：（1）第一行1个算式，第二行2个算式，第三行3个算式，第四行4个算式，……，∴第九行有9个算式，∵每一行的每个算式的第一个数的排列是20，21，22，…，2n﹣1，第二个数都是2n，∴第九行最中间的算式是24+29，故答案为：9，24+29；（2）∵3，5，6，9，10，12，…，∴第15个数是第五行第5个数，∴第15个数是24+25＝48，故答案为：48．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的算式的排列，探索出每一行数的排列规律是解题的关键．19．（2022秋•余杭区校级月考）已知一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…，将这列数排成下列形式：第1行1第2行﹣2，3第3行﹣4，5，﹣6第4行7，﹣8，9，﹣10第5行11，﹣12，13，﹣14，15…按照上述规律排下去，那么第10行从右边数第5个数为51．【分析】通过观察可得第n行有n个数，求出前9行45个数，可知第10行的第一个数是﹣46，再求解即可．【解答】解：第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，……，∴第n行有n个数，∴前9行有×9＝45个数，∴第10行的第一个数是﹣46，∴第10行从右边数第5个数为51，故答案为：51．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察数的排列规律，探索出每行数的个数的规律是解题的关键．20．（2021秋•缙云县期末）如图，某学校图书馆把WIFI密码做成了数学题．小红在图书馆看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“图书馆”的网络，那么她输入的密码是404888．【分析】通过观察发现：第一个两位数是5×8＝40，第二个两位数是6×8＝48，第三个两位数是40+48＝88，由此可求密码．【解答】解：∵5*2⊕6＝301242，2*6⊕9＝185472，8*3⊕4＝321244，∵5×6＝30，2×6＝12，（5+2）×6＝42，2×9＝18，6×9＝54，（6+2）×9＝72，8×4＝32，3×4＝12，（8+3）×4＝44，∴5*6⊕8＝404888，故答案为：404888．【点评】本题考查数字的变化规律，能够根据所给的式子，探索出数字之间的联系是解题的关键．21．（2021秋•临海市月考）计算：（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝1010．【分析】根据数的特点，每两个一组进行运算即可．【解答】解：（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝[（﹣1）+2]+[（﹣3）+4]+…+[（﹣2017）+2018]+[（﹣2019）+2020]＝1+1+…+1＝1010，故答案为：1010．【点评】本题考查数字的变化规律，根据所给数的特点，分组进行求解是解题的关键．22．（2022秋•拱墅区校级月考）如图，将一列有理数按如下规律排列，请回答下列问题：（1）在A，B，C三个数中，其中表示负数的是B；（2）若A，B，C，D，E均表示对应的有理数，A+B+C+D的值是﹣2；（3）数﹣2020对应A，B，C，D，E中的什么位置？并说明理由．【分析】（1）通过观察发现，A点表示的数与1的正负性相同，B点表示的数与﹣2的正负性相同，C点表示的数与3的正负性相同，由此求解即可；（2）由（1）可求A+B+C+D的值是﹣2；（3）通过观察发现，每6个数是一组循环，由此求解即可．【解答】解：（1）A点表示的数与1的正负性相同，B点表示的数与﹣2的正负性相同，C点表示的数与3的正负性相同，∴B表示负数，故答案为：B；（2）由（1）知，D点表示的数与﹣4的正负性相同，∵1+（﹣2）+3+（﹣4）＝﹣2＜0，∴A+B+C+D的值是﹣2，故答案为：﹣2；（3）由图可知，每6个数是一组循环，∵2020÷6＝336……4，∴﹣2020与D点的位置相对应．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察探索出数字的循环规律是解题的关键．23．（2022秋•义乌市校级月考）观察下面的等式：﹣1＝﹣|﹣+2|+44﹣1＝﹣|﹣1+2|+42﹣1＝﹣|1+2|+4﹣1＝﹣|+2|+4﹣1﹣1＝﹣|4+2|+4…回答下列问题：（1）填空：﹣3﹣1＝﹣|6+2|+4；（2）已知：0﹣1＝﹣|x+2|+4，则x的值是3；（3）设满足上面特征的等式最左边的数为y，求y的最大值，并直接写出此时的等式．【分析】（1）找出各式的规律，利用规律解答即可；（2）利用（1）中的规律解答即可；（3）利用（1）中的规律列出不等式，从而求得最大值，利用（1）中的规律写出当时即可．【解答】解：∵﹣1＝﹣|3﹣+2|+4＝﹣|﹣+2|+4，4﹣1＝﹣|3﹣4+2|+4＝﹣|﹣1+2|+4，2﹣1＝﹣|3﹣2+2|＝﹣|1+2|+4，﹣1＝﹣|3﹣+2|+4＝﹣|+2|+4，﹣1﹣1＝﹣|3﹣（﹣1）+2|+4＝﹣|4+2|+4，•••∴a﹣1＝﹣|3﹣a+2|+4，∴6＝3﹣（﹣3），∴﹣3﹣1＝﹣|3﹣（﹣3）+2|+4＝﹣|6+2|+4，故答案为：﹣3；（2）∵0﹣1＝﹣|3﹣0+2|+4＝﹣|x+2|+4，∴x＝3，故答案为：3；（3）∵y﹣1＝﹣|3﹣y+2|+4，∴|5﹣y|＝5﹣y，∴5﹣y≥0，∴y≤5，∴y的最大值为5，此时的等式为：5﹣1＝﹣|﹣2+2|+4．【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，绝对值，本题是规律型题目，依据各式的特征找出规律是解题的关键．24．（2021秋•临海市期末）观察下面三行数；﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；①0，6，﹣6，18，﹣30，66，…；②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，…；③（1）第①行第8个数为256；第②行第8个数为258：第③行第8个数为128．（2）是否存在这样一列数，使三个数的和为322？若存在，请写出这3个数；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①后一个数是前一个数的﹣2倍，②的数的规律是在①每个对应数加2，③后一个数是前一个数的﹣2倍，由此可求解；（2）通过观察可得规律：①的第n个数是（﹣2）n，②的第n个数是（﹣2）n+2，③的第n个数是（﹣1）n2n﹣1，再由（﹣2）n+（﹣2）n+2+（﹣1）n×2n﹣1＝322，求n即可．【解答】解：（1）﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…，∴第8个数是256，②的第8个数是256+2＝258，③的第8个数是128，故答案为：256，258，128；（2）不存在一列数，使三个数的和为322，理由如下：①的第n个数是（﹣2）n，②的第n个数是（﹣2）n+2，③的第n个数是（﹣1）n2n﹣1，由题意得，（﹣2）n+（﹣2）n+2+（﹣1）n×2n﹣1＝322，∴n为偶数，∴4×2n﹣1+2n﹣1＝5×2n﹣1＝320，∴2n﹣1＝64，∴n＝7，∴不存在一列数，使三个数的和为322．【点评】本题考点数字的变化规律，通过观察所给的式子，找到式子中各数间的规律是解题的关键．25．（2021秋•海曙区月考）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：3的差倒数是＝，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，依此类推．（1）分别求出a2、a3、a4的值．（2）计算a1+a2+a3的值．（3）请直接写出a1+a2+a3+…+a2021的值．【分析】（1）由定义直接求解即可；（2）根据（1）中所求的值进行运算即可；（3）由（1）可知，每三次运算结果循环出现，则a1+a2+a3+…+a2021＝673×+2﹣1＝．【解答】解：（1）∵a1＝2，∴a2＝＝﹣1，a3＝＝，a4＝＝2；（2）a1+a2+a3＝2+（﹣1）+＝；（3）由（1）可知，每三次运算结果循环出现，∵2021÷3＝673……2，∴a1+a2+a3+…+a2021＝673×+2﹣1＝．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算找到运算结果的循环规律是解题的关键．五．二次根式的性质与化简（共1小题）26．（2021秋•诸暨市期中）探索规律：先观察下列等式，再回答问题：①；②；③．（1）根据上面三个等式提供的信息，请你猜想＝1．（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式：＝1+．（3）计算：．【分析】（1）直接利用已知运算规律得出，最终结果的分母与后两项分母的关系，进而得出运算结果；（2）直接利用已知运算规律得出，最终结果的分母与后两项分母的关系，进而得出运算结果；（3）利用（2）中运算规律，进而化简得出答案．【解答】解：（1）＝1；（2）＝1+；（3）原式＝1+1+1+…+1＝1×99+1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝99+1﹣＝99．故答案为：（1）1；（2）＝1+．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及数字变化规律，正确发现数字之间变化规律是解题关键．。

所有的数学问题都可以用代数推理解决

数学是一门极富挑战性的学科，它的严密性和逻辑性为人所称道。

数学问题的解决，常常需要借助代数推理，通过逻辑推理和数学运算，找到问题的解答。

本文将探讨代数推理在解决数学问题中的应用，以及对于不同类型的数学问题，如何运用代数推理进行分析和解决。

一、代数推理在解决数学问题中的应用1. 代数推理的基本原理代数推理是指通过代数式的推导、变形和运算，来解决数学问题的方法。

它基于代数的基本运算规律和逻辑推理，通过数学符号和代数表达式的变换，来得到问题的解答。

2. 代数推理的优势代数推理在解决数学问题中具有以下优势：代数推理能够将抽象的数学问题转化为具体的代数式，通过符号和运算规律进行分析和推导，更加直观和简洁；代数推理能够通过逻辑推理和数学运算，得出严密的数学结论，具有较高的严密性和可靠性；代数推理可以帮助我们发现数学问题中的规律和特点，从而更好地理解和解决问题。

二、代数推理在不同类型数学问题的应用1. 代数方程的解析代数方程是数学中常见的问题类型，通过代数推理可以解析代数方程的解。

可以将代数方程转化为标准形式，并通过变形和运算，求得方程的解析解；可以通过代数推理，分析方程的根的性质和特点，从而更好地理解和解决方程问题。

2. 代数不等式的证明代数不等式是数学中重要的问题类型，通过代数推理可以进行不等式的证明。

可以通过代数推理将不等式简化和变形，从而得到更直观和简洁的形式；可以通过符号和运算规律，证明不等式的成立条件和性质，从而得出严密的结论。

3. 代数函数的分析代数函数是数学中常见的问题类型，通过代数推理可以进行函数的分析和推导。

可以通过代数推理，求得函数的零点、极值和图像的特征，从而更好地理解函数的性质；可以通过代数推理，推导函数的导数和积分，从而得到函数的变化趋势和特点。

4. 代数几何的运用代数几何是数学中重要的问题类型，通过代数推理可以进行几何问题的分析和求解。

可以通过代数推理，将几何问题转化为代数式，进行代数式的推导和运算；可以通过符号和运算规律，得出几何问题的解析解，并更好地理解和解决几何问题。

第三章代数式的归纳与猜想

1根
10个正方形的火柴根数： 4×10-（10-1）
n个正方形的火柴根数： 4×n-（n-1）
例2 (2015·益阳)如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成
的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有__(5_n_＋__1_)___根小棒．
例3. (2012·浙江宁波)用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
……
首先注意到算式中不变的部分
然后归纳随着序号变化的部分
由此可见，用n表示这个规律为：
n2+n=n(n+1)
例2. 观察下列等式：
13＝12； 13＋23＝32； 13＋23＋33＝62；
注意等式两边的关系
13＋23＋33＋43=102；…
想一想等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？
解析 ∵S1＝2a，∴S2＝S21＝1a，∴S3＝S22＝2a，S4＝ 1a，…，∴S2 012＝1a.故答案是1a.
答案
1 a
例2．
11
1
a1 1,a2 2 ,a3 3 ,a2007 2007
类型4：图形的归纳猜想
此类题通常给出一组图形的排列(或操作得到一系列的图形)探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系．其解题关键是找出相邻两个图形之间的位置关系和数量关系．
18 19 20 21
2009 – 5=4×501 所以2009恰好在第502行第1列
类型3：猜测算式的规律结果
【例例题11．】 (2012·浙江金华五模)已知 a≠0, S1＝2a，
S2＝S21，S3＝S22 ，…，S2 012＝S22011 ，则 S2 012＝ ________(用含 a 的代数式表示)．

第3课时整式

第二单元代数式
第3课时
整式
考点管理
1．去(添)括号法则：
不改变正负号；在括号前去(添)“＋”，括号里的各项都_________ 改变正负号．在括号前去(添)“－”，括号里的各项都_________
2．合并同类项时应注意：同类项才能合并； (1)只有__________
(2)在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的
指数不变．
3．乘法公式恒等变形：
(a＋b)2－2ab ＝_____________ (a－b)2＋2ab ； a2＋b2＝_______________ 2－4ab 2 ( a ＋ b ) (a－b) ＝_______________．
1．[2013· 丽水]化简－2a＋3a的结果是 A．－a B．a
类型之二
整式的运算
[2013· 扬州]先化简，再求值：(x＋1)(2x－1)
－(x－3)2，其中x＝－2. 解：原式＝(2x2－x＋2x－1)－(x2－6x＋9)＝2x2－x ＋2x－1－x2＋6x－9＝x2＋7x－10，当x＝－2时，原式＝(－2)2＋7×(－2)－10＝－20. 【点悟】 (1)对于整式的加、减、乘、除、乘方运算，要充分理解其运算法则，注意运算顺序，正确应用乘法公式以及整体和分类讨论等数学思想；(2)在应用乘
（n－1）2＋1＋n2 解： ·(2n－1) 2
＝(n2－n＋1)(2n－1) ＝2n3－3n2＋3n－1.
1．[2011· 聊城]如图3－2，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是 ( C )
图3－2 A．5n C．6n－1 B．5n－1 D．2n2＋1
【解析】依题意，得摆第1个“小屋子”需要5个点；摆第2个“小屋子”需要11个点；摆第3个“小屋子”需要17个点．

专题49 中考数式图规律型试题解法(解析版) 【2021年中考数学点对点突破的55个特色专题】

专题49 中考数式图规律型试题解法给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．这类问题成为探索规律性问题。

主要采用归纳法解决。

1.数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．2.数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．3.图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．4.数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题．5.解题方法规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确．【例题1】（2019安徽合肥）观察下列各组式子：①26115 13133⨯-+==⨯；②1262111 353515⨯-+==⨯；③1263117 (575735)⨯-+==⨯ （1）请根据上面的规律写出第 4个式子；（2）请写出第n 个式子，并证明你发现的规律．【答案】（1）1264123797963⨯-+==⨯；（2）()()126121212121n n n n n ⨯-+=-+-⨯+，证明见解析．【解析】（1）1264123797963⨯-+==⨯ （2）()()126121212121n n n n n ⨯-+=-+-⨯+ 证明：等式左边122121n n =+-+， ()()()()()2212121?2121?21n n n n n n -+=+-+-+ ()()()2122121?21n n n n ++-=-+ ()()6121?21n n n ⨯-=-+ ∵等式右边为()()612121n n n ⨯--⨯+，与等式左边计算出的结果相等， ∴()()126121212121n n n n n ⨯-+=-+-⨯+成立. 【点拨】本题主要考查了分式运算的规律探讨问题，根据题意正确总结归纳出相应的规律是解题关键.【对点练习】（2019湖南益阳）观察下列等式：①3﹣2＝（﹣1）2，②5﹣2＝（﹣）2，③7﹣2＝（﹣）2，…请你根据以上规律，写出第6个等式．【答案】13﹣2＝（﹣）2．【解析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n（n+1），利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为（﹣）2（n≥1的整数）．写出第6个等式为13﹣2＝（﹣）2．【例题2】（2019湖北咸宁）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是．【答案】﹣384．【解析】根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，∴这列数的第n个数可以表示为（﹣2）n﹣1，∵其中某三个相邻数的积是412，∴设这三个相邻的数为（﹣2）n﹣1、（﹣2）n、（﹣2）n+1，则（﹣2）n﹣1•（﹣2）n•（﹣2）n+1＝412，即（﹣2）3n＝（22）12，∴（﹣2）3n＝224，∴3n＝24，解得，n＝8，∴这三个数的和是：（﹣2）7+（﹣2）8+（﹣2）9＝（﹣2）7×（1﹣2+4）＝（﹣128）×3＝﹣384【对点练习】（2019湖南常德）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）A．0 B．1 C．7 D．8【答案】A【解析】首先得出尾数变化规律，进而得出70+71+72+…+72019的结果的个位数字．∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，∴个位数4个数一循环，∴（2019+1）÷4＝505，∴1+7+9+3＝20，∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．【点拨】本题属于数字规律探究的问题。

七年级数学上册第2章代数式2.2列代数式教案1341

2．2 列代数式1．在具体情境中进一步理解用字母表示数的意义，了解代数式的概念，知道单独的一个数或字母也是代数式；2．会根据实际问题列出代数式，进一步规范代数式的书写格式；(难点)3．能理解一些简单代数式的实际背景，培养符号感；4．通过具体情境，培养把实际问题抽象为数学问题的能力．(重点、难点)一、情境导入青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段．列车在冻土地段的行驶速度是100千米/时，在非冻土地段的行驶速度可以达到120千米/时，请根据这些数据回答下列问题：列车在冻土地段行驶时，2小时能行驶多少千米？3小时呢？t 小时呢？1．思考：(1)若正方形的边长为a ，则正方形的面积是________，体积是________．(2)设n 表示一个数，则它的相反数是________；(3)铅笔的单价是x 元，钢笔的单价是铅笔单价的2.5倍，则钢笔的单价是________元．(4)一辆汽车的速度是v 千米/时，行驶t 小时所走过的路程为________千米．2．观察所列代数式包含哪些运算，有何共同的运算特征．二、合作探究探究点一：代数式的识别有下列式子：x 2，m －n >1，p ＋q ，12ab ，S ＝πR 2，2016，代数式有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个解析：代数式是用运算符号把数和字母连接而成的式子，m －n >1是用不等号“>”连接而成的式子、S＝πR 2是用等号“＝”连接而成的式子，它们都不是代数式．而x 2，p ＋q ，12ab ，2016都是代数式．故选B. 方法总结：明确代数式的意义是正确识别代数式的前提．式子中有关系符号(如等号或不等号)的都不是代数式．探究点二：列代数式用代数式表示：(1)x 与2的平方和；(2)x 与2的和的平方；(3)x 的平方与2的和；(4)x 与2的平方的和．解析：这四个小题，都有关键词“平方”和“和”，但这两个词在四个小题中的语序不一样．(1)中是先平方再求和，即x 2－22；(2)中是先求和再平方，即(x ＋2)2；(3)中是先x 的平方再求和，即x 2＋2；(4)中是先2的平方再求和，即x ＋22.解：(1)x 2－4；(2)(x ＋2)2；(3)x 2＋2；(4)x ＋4.方法总结：用代数式表示数量关系时，一般要将句子分层，逐层分析，一步步列出代数式．探究点三：代数式的意义下列代数式可以表示什么？(1)2a －b ；(2)2(a －b )．解析：解释代数式的意义，可以从两个方面入手，一是从字母表示数的角度考虑；二是可以联系生活实际来举例说明．不管采用哪种方式，一定要注意运算形式和运算顺序．解：(1)2a 与b 的差；或a 的2倍与b 的差；或用a 表示一本作业本的价格，用b 表示一支铅笔的价格，则2a －b 表示买两本作业本比买一支铅笔多的钱数；(2)2与a －b 的积；或a 与b 的差的2倍．方法总结：描述一个代数式的意义，可以从字母本身出发来描述字母之间的数量关系，也可以联系生活实际或几何背景赋予其中字母一定的实际意义加以描述．探究点四：代数式的应用【类型一】根据实际问题列代数式(1)王明同学买2本练习册花了n 元，那么买m 本练习册要花多少元？(2)正方体的棱长为a ，那么它的表面积是多少？体积呢？解析：(1)根据买2本练习册花了n 元，得出买1本练习册花n 2元，再根据买了m 本练习册，即可列出算式．(2)根据正方体的棱长为a 和表面积公式、体积公式列出式子．解：(1)因为买2本练习册花了n 元，所以买1本练习册花n 2元，所以买m 本练习册要花12mn 元； (2)因为正方体的棱长为a ，所以它的表面积是6a 2；它的体积是a 3.方法总结：此题考查了列代数式，用到的知识点包括正方体的表面积公式和体积公式，根据题意列出式子是解本题的关键．【类型二】用字母表示几何图形中的数量关系用字母表示图中阴影部分的面积：解析：(1)图中阴影部分是正方形中挖去一个圆后剩下的部分，且正方形的边长是a ，圆的直径也是a ，圆的半径是a 2；(2)图中阴影部分是长方形中挖去4个小正方形后剩下的部分，且长方形的长为a ，宽为b ，小正方形的边长为x .解：(1)S ＝a 2－π·(a 2)2；(2)S ＝ab －4x 2. 方法总结：将不规则图形的面积转化为规则图形(如长方形、圆、三角形等)的面积的和或差是解决求阴影部分面积问题的关键．探究点五：探求规律性问题观察下列图形：它们是按一定规律排列的．(1)依照此规律，第20个图形共有几个五角星？(2)摆成第n 个图案需要几个五角星？(3)摆成第2016个图案需要几个五角星？解析：通过观察已知图形可得：每个图形都比其前一个图形多3个五角星，根据此规律即可解答．解：(1)根据题意得，因为第1个图中，五角星有3个(3×1)；第2个图中，有五角星6个(3×2)；第3个图中，有五角星9个(3×3)；第4个图中，有五角星12个(3×4)；所以第n 个图中有五角星3n 个．所以第20个图中五角星有3×20＝60(个)；(2)由(1)中摆成第n 个图案需要3n 个五角星；(3)摆成第2016个图案需要五角星2016×3＝6048(个)．方法总结：此题首先要结合图形具体数出几个值．注意由特殊到一般的分析方法．此题的规律为摆成第n 个图案需要3n 个五角星．三、板书设计代数式⎩⎪⎨⎪⎧概念→用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫代数式代数式的意义及列代数式→用字母和数表示实际问题中的数量关系教学过程中，应拓展学生的思维，培养他们观察、分析及抽象思维能力、语言能力、创造能力和类比联想能力．。

重难点01实数计算中的规律性问题(5种题型)(原卷版)

新思维初一数学代数式初步

代数式初步
1.(1) 若 3x
m 5
y 2 与 x3 y n 的和是单项式，则 m n =_____4________
2
（2）（2009•沈阳）有一组单项式：a ，
，
，
，…．观察它们构成规律，用你
发现的规律写出第 10 个单项式为．分析: 通过数字的特点可以找到以下规律：分母为自然数，偶数项符号为负号，字母指数比分母大 1．解：注意观察各单项式系数和次数的变化，系数依次是 1（可以看成是），﹣ ，，﹣ … 据此推测，第十项的系数为﹣ ；次数依次是 2， 3， 4， 5…据此推出，第十项的次数为 11．所
14. 计算：
1 1 1 …+ =______________. 2004 2 3
解析:在本题中每一个括号里都含有“ 体，并一个字母来表示这个整体令
1 1 2 3

1 ” ，我们可以把这部分看成一个整 2004
1 1 2 3

1 a ,则 2004
解:根据题设可知 a＜c＜b ，且 a＜0 ， c＜0 ， b＞0 又∵ | a || b | ∴ a b 于是 a c a c b b a (c a) (c b) b a c a c b b 2c
3
7.（2005•福州）如果 x +x﹣1=0，那么代数式 x +2x ﹣7 的值为（） A． 6 B． 8 C．﹣6 D．﹣8 解：由 x +x﹣1=0 得 x +x=1， 3 2 3 2 2 ∴x +2x ﹣7=x +x +x ﹣7， =x（x +x）+x ﹣7， =x+x ﹣7， 8. 已知一个多项式与 3x +9x 的和等于 3x +4x﹣1，则此多项式是 ﹣5x﹣1 ．解析:设该多项式为 A，根据题设可得 A 3x2 9 x 3x2 4 x 1 于是 A 3x 4 x 1 (3x 9 x) 5x 1

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规律探索型问题
1.数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题.
2.数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容.
3.图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合.
4.数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题.
解题方法
规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确.
考点1数字猜想型问题
【例1】（2013·常德）小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：
3－2=1；
8＋7－6－5=4；
15＋14＋13－12－11－10=9；
24＋23＋22＋21－20－19－18－17=16；
……
根据以上规律可知第100行左起第一个数是
___.
考点2数式规律型问题
【例3】（2013·遂宁）为庆祝六一儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示：按照上面的规律，摆第n图，需用火柴棒的根数为.
探索数量规律题常用的方法
试题(1)(2012·桂林) 下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部分小正方形的个数是________．
(2)(2012·黔东南) 如图，第①个图有2个相同的小正方形，第②个图有6个相同的小正
方形，第③个图有12个相同的小正方形，第④个图有20个相同的小正方形…按此规律，那么第○n 个图有________个相同的小正方形．
(3)如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3
个图由19个圆组成，…，按照这样的规律排列下去，第9个图形由________个圆组成．
规范答题
解析(1)根据每一个图形都是一个正方形和右边的一个矩形构成，得到左边的正方形中小正方形的个数和右边的矩形中的正方形的个数的和即可．
仔细观察图形知道：每一个阴影部分由左边的正方形和右边的矩形构成，分别为：第1个图有：1＋3个；
第2个图有：4＋4个；
第3个图有：9＋5个；
……
故第n个图有：n2＋(n＋2)个．
(2)观察不难发现，每一个图形中正方形的个数等于图形序号
乘以比序号大1的数，根据此规律解答即可．
第①个图有2个相同的小正方形，2＝1×2；
第②个图有6个相同的小正方形，6＝2×3；
第③个图有12个相同的小正方形，12＝3×4；
第④个图有20个相同的小正方形，20＝4×5；……
按此规律，第○n 个图有n(n＋1)个相同的小正方形．
(3)首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
观察分析可得：
第1个图有1个圆；
第2个图由7个圆组成，7＝1＋6；
第3个图由19个圆组成，19＝1＋6＋2×6；……
故第9个图由1＋6＋2×6＋3×6＋…＋8×6＝1＋(1＋2＋3＋…＋8)×6＝217个圆组成．
2)观察不难发现，每一个图形中正方形的个数等于图形序号乘以比序号大1的数，根据此规律解答即可．
第①个图有2个相同的小正方形，2＝1×2；
第②个图有6个相同的小正方形，6＝2×3；
第③个图有12个相同的小正方形，12＝3×4；
第④个图有20个相同的小正方形，20＝4×5；……
按此规律，第○n 个图有n(n＋1)个相同的小正方形．
(3)首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
观察分析可得：
第1个图有1个圆；
第2个图由7个圆组成，7＝1＋6；
第3个图由19个圆组成，19＝1＋6＋2×6；……。