数字信号处理2010试题-电信-A(答案)

3 （9 分）设有一个谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为 2 的整数次幂，假定没有采
用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨率 ≤ 10 Hz ，如果采用的抽样时间间隔为 0.1ms，试确定： 1）最小记录长度；2）所允许处理的信号的最高频率；3）在一个记录中最少点数。 解： （1）因为 Δf = 1/ T ≤ 10 ，所以最小记录长度： T ≥ 1/ Δf = 1/10 = 0.1s （ 2 ） 因 为 抽 样 频 率 f s = 1/ Ts = 1/ 0.1×10
r =−∞
∑ y (n + rL′) R
1
∞
L′
( n) ， 即循环卷积为线性卷积的周期开拓。
若开拓周期 L′ < L ，则周期开拓后出现混叠，对于每个循环卷积，开始的 L − L′ 个点 ，当 L = 100 + 64 − 1 = 163 ， L′ = 128 时， 将是不正确的（即 n = 0,1," , L − L′ − 1 ） 前 35 点出现混叠，所以，在 n = 35, 36," ,127 点上循环卷积等于线性卷积。
A. 加大窗函数的长度和改变窗函数的种类都可以减小吉布斯效应。 B. 改变窗函数的种类或窗函数的长度都可以改变过渡带的宽度。 C. 窗函数法设计 FIR 滤波器是在频域中进行的。 D. 用窗函数法设计 FIR 数字滤波器时，加大窗函数的长度可以改变阻带衰减。
7 下列窗函数中，阻带衰减最大的是 ( D
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6 (15 分) 用双线性变换法设计无限长单位冲激响应(IIR)数字高通滤波器， 要求通带截止
频率ωc=0.8πrad，通带衰减不大于 3dB，阻带截止频率ωs=0.5πrad，阻带衰减不小 于 18 dB。 以巴特沃思(Butterworth)模拟低通滤波器为原型， 采样间隔 T=2s。 求出 H(z), 并给出其直接型结构图。 附表：巴特沃思归一化模拟低通滤波器部分参数 阶数(N) 1 2 3 4 分母多项式sN+bN-1sN-1+bN-2sN-2+…+b1s+1 的系数 b0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.4142 2.0000 2.6131 2.0000 3.4142 2.6131 b1 b2 b3
N −1
其中，对 G ( k ), k = N , N + 1, " , 2 N − 1 部分，用 X 1 ( k ) 与 X 2 (k ) 的周期性计算，即：
X 1 (k ) = X 1 (k + N ) ， X 2 (k ) = X 2 (k + N ) 。
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5 （10 分）欲设计一低通 FIR 数字滤波器，其对应的模拟信号的幅度响应为：
二、 选择题 （每题 2 分， 共 20 分） 得分
1 系统的频率响应 H (e jω ) = 2 cos ω ，则系统的单位抽样响应为 h( n) = (
A. δ ( n -1) + δ ( n + 1) B. 2[δ ( n -1) + δ ( n + 1)] C. δ ( n + 1)
A )。
N −1 n =0
2 N −1
n=0
∑ g (n)W
nk 2N
2 n +1) k =∑ g (2n)W22Nnk + ∑ g (2n + 1)W2(N
n =0 n=0
N −1
N −1
nk = ∑ x1 (n)WN + W2kN ∑ x2 (n)WNnk ， G (k ) = X 1 (k ) + W2kN X 2 (k ), k = 0,1,", N − 1 故： n =0
即 x ( n ) = − x ( N − 1 − n) ，则 X (0) = 0 ；
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证明： X (k ) =
∑ x(n)WNkn ，所以 X (0) = ∑ x(n)WN0n = ∑ x(n)
n =0 n =0 n =0
N −1
N −1
N −1
= x (0) + x(1) + " + x( N − 1) ，由于 x (n) = − x ( N − 1 − n) ，当 N 为偶数时，
d
(n) =
s in 0 .5π ( n − 9 .5 )
，
0 ≤ n ≤ N −1 其 它
π ( n − 9 .5 )
矩形窗窗函数为： w ( n ) = ⎧ 1 ⎨
h (n ) = hd (n ) w (n ) =
⎩0
s in 0 .5π ( n − 9 .5 ) π ( n − 9 .5 )
, 0 ≤ n ≤ N −1
得分
6 级蝶形运算，第一
1、 基 2DIF-FFT的基本运算单元是蝶形运算，完成N=64 点FFT需要 级有 32 个不同的旋转因子。
姓名:
2、 x( n) = cos(ω0 n) 中仅包含频率为 ω0 的信号，
y (n) = x 2 (n − n0 ) 中包含的频率为
2ω0 。
3、 已知x(n)=δ(n)，其N点的DFT［x(n)］=X(k)，则X(N-1)= 1 。
A. 实奇函数 B. 实偶函数
4 下图中运算流图符号是基 2 时域抽取 FFT 算法的蝶形运算流图的是（ C ） 。
k WN
−1
−1
k WN
k WN
−1
−1
k WN
A
B.
C.
D
5 已知某 FIR 滤波器单位抽样响应 h(n) 的长度为 ( M + 1) ， 则在下列不同特性的单位抽样
响应中可以用来设计线性相位滤波器的是( A )。
A. 矩形窗 B. 汉宁窗
)。 D. 布莱克曼窗
C. 海明窗
8 下列滤波器中，幅度响应在通带内具有等纹波特性，阻带内单调下降的是（ B )。
A 巴特沃思滤波器 B 切比雪夫滤波器 C 反切比雪夫滤波器 D 椭圆滤波器 )。
9 以下对双线性变换的描述中不正确的是( B
A 双线性变换是一种非线性变换；B 不宜用来设计高通和带阻滤波器 C 双线性变换总是将稳定的模拟滤波器映射为一个稳定的数字滤波器； D 使用的变换是 s 平面到 z 平面的单值映射；
D. 2 δ ( n -1)
2 一线性时不变因果系统由差分方程 y ( n) = x ( n) + x ( n -1) + 0.8 y (n -1) 描述，则系统的
频率响应呈（ A A.低通特性 ） 。 B.高通特性 )。 C. 虚奇函数 D.虚偶函数 C.带通特性 D. 无法确定
3 实奇序列的傅里叶变换必是( C
−3
= 10kHz ， 根 据 时 域 采 样 定 理 ，
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fh ≤
f s 10kHz = = 5kHz ，所以允许处理的信号的最高频率为 5kHz。 2 2
−3
（3） N ≥ T / Ts = 0.1/ 0.1× 10
= 1000 ，又因为 N 必须为 2 的整数次幂，所以，一个记
遵 守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范
4、 X [ k ], 0 ≤ k ≤ 7 是序列 x[ n] = { - 2, 3, - 3, 1, 5, -1, 3, 2} 的 8 点DFT。则 -16 。
∑ X [k ] =
k =0
7
5、 若序列 x[ n] 的长度为 M，要能够由频域抽样信号 X(k)恢复原序列，而不发生时域混叠 现象，则频域抽样点数 N 需满足的条件是 N ≥ M 。 6、 离散时间信号 x(n)=u(n)的偶对称部分为 [1 + δ ( n)] / 2 。 7、 x( n) = cos(
哈尔滨工业大学（威海） 2010 / 2011 学年 秋 季学期
数字信号处理
题 号 分 数 一 二 三 四 五 六
试题卷（ A ）参考答案
%
考试形式（开、闭卷）：闭卷 答题时间： 105 （分钟） 本卷面成绩占课程成绩 70 七 八 卷 面 总 分 平 时 成 绩 课 程 总 成 绩
学号：
班级：
一、填空题（每题 2 分，共 20 分）
⎧1 0 ≤ f ≤ 500 Hz H D ( j 2π f ) = ⎨ ， 要 求 冲 激 响 应 宽 度 为 10ms ， 抽 样 频 率 其它 ⎩0
f s = 2kHz ，阻带衰减为 20dB，利用矩形窗函数法设计一个线性相位 FIR 低通数字滤
波器，求其 h( n) 。
解：模拟信号的幅度响应为： H D ( j 2π f ) = ⎨
1 X 1 ( k ) = [ X ( k ) + X * (( N − k )) N RN ( k )] ， 2
X 2 (k ) =
1 [ X (k ) − X * (( N − k )) N RN (k )] 2j
现在要做的就是求 g ( n) 的 2N 点 DFT 与 N 点 DFT X 1 ( k ) 与 X 2 (k ) 之间的关系，由 于： G (k ) =
ω ≤ 0 .5π
0 .5π < ω ≤ π
D
，
其单位采样响应为： h ( n ) = s i n ω c ( n − α ) d
π (n − α )
要求冲激响应宽度为 10ms， f s = 2kHz ，所以滤波器的长度：
N = f s ⋅ T = 2 ×103 ⋅10 ×10−3 = 20
所以 α = N − 1 = 9.5 2 所以 h
⎧1 0 ≤ f ≤ 500 Hz ， 其它 ⎩0
滤波器为截止频率为 f c = 500 Hz 的理想低通滤波器。 所 以 ， ωc = 2π fc / f s = 2π × 500 /(2 ×103 ) = 0.5π ， 对 应 的 数 字 滤 波 器 频 率 响 应 为 ：
H (e
jw − jwα ⎧ ⎪e ) = ⎨ ⎪ ⎩ 0
解：设 g ( n) 是长度为 2N 的实序列，由这个实序列可以组成如下两个长度为 N 的实序 列： x1 ( n) = g (2n), n = 0,1, " , N − 1 ， x2 ( n) = g (2n + 1), n = 0,1, " , N − 1 由这两个实序列可以组成复序列： x( n) = x1 ( n) + jx2 ( n) 计算 x ( n) 的 N 点 DFT，用以下方法提取 x1 ( n) 和 x2 ( n) 的 N 点 DFT：
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A. h ( n ) = - h ( M - n ) C. h( n) = -h( M − n + 1)
B. h ( n) = -h( M + n) D. h( n ) = h( M − n + 1) B )。
6 下列关于窗函数法进行 FIR 数字滤波器设计描述正确的是(
10
下面说法中正确的是（
C
）
A.连续非周期信号的频谱为周期连续函数 B.连续周期信号的频谱为周期连续函数 C.离散非周期信号的频谱为周期连续函数 D.离散周期信号的频谱为周期连续函数
三、计算证明题（共 60 分）
得分
1 （8 分）长度为 N 的序列 x( n) 的 N 点离散傅立叶变换为 X ( k ) ，证明若 x( n) 为奇对称，
当 N 为偶数时一样，对应相加等于 0，故 X (0) = 0 。
2 （8 分 ）一个长度 N1 = 100 点的序列 x ( n) 与长度为 N 2 = 64 点的序列 h( n) 用 N=128 点的
DFT 计算循环卷积时，在哪些 n 点上循环卷积等于线性卷积？ 解： 设 y1 ( n) 为两序列线性卷积， 则其长度为 L = N1 + N 2 − 1 点，y2 ( n) 为两序列的 L′ 点循环卷积， 则有 y2 (n) =
x(0) = − x( N − 1) x(1) = − x( N − 2) " x( N / 2 − 1) = − x( N / 2) ， 所 以 有
X (0) = 0 。当 N 为奇数时，由 x (n) = − x ( N − 1 − n) ，则
x(
N −1 N −1 N −1 N −1 ) = − x( N − 1 − ) = − x( ) ，所以必须要求 x( ) = 0 ，其它项与 2 2 2 2
录中最小点数为： N = 210 = 1024 。
4 （ 10 分 ） 已 知
，其离散傅立叶变换为 x ( n ) 是 2N 点 的 实 序 列 （ 0 ≤ n ≤ 2 N − 1 ）
X ( k ) = DFT [ x ( n )] ，请用一个 N 点 FFT 运算来求此 2N 点 X ( k ) 。
π
8
n), n = 0, "15 的
16
点 DFT 为 X ( k ) ， 则 X ( k ) =
_
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ห้องสมุดไป่ตู้[δ ( k − 1) + δ ( k − 15)] 。
8、 在利用窗函数法设计FIR滤波器时， 吉布斯效应是由于 和阻带内的波动。 9、 不考虑某些旋转因子的特殊性，用按时间抽取 FFT 计算 N 点 DFT 所需的复数乘法次数 为 N log 2 N 2 ，复数加法次数为 N log 2 N 。 10、 用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是存在 频率混叠 的现象。 窗函数截短 造成滤波器通带