不等式选讲课件理课件.ppt
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§3 不等式选讲 真题热身
1．(2011·陕西)若关于 x 的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数 解，则实数 a 的取值范围是_(_－__∞_， __－__3_]_∪__[_3_，__＋__∞_)__．
解析 ∵f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝－ 3 (2－x＋1<1x<(x2≤)，－1)， 2x－1 (x≥2)，
i＝1 i＝1
i＝1
仅当ab11＝ba22＝…＝abnn(当某 bj＝0 时，认为 aj＝0，j＝1,2，…，
n)时等号成立．
(3)柯西不等式的向量形式：设 α，β 为平面上的两个向量，
则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成
立．
4．不等式的证明方法
来自百度文库
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、数学
三、含绝对值的不等式的证明 例 3 已知 f(x)＝ 1＋x2，a≠b，求证：|f(a)－f(b)|<|a－b|.
解
∵|f(a)－f(b)|＝|
1＋a2－
1＋b2|＝
|a2－b2| 1＋a2＋ 1＋b2
＝ 1|＋a－a2b＋||a＋1b＋| b2，
又|a＋b|≤|a|＋|b|＝ a2＋ b2< 1＋a2＋ 1＋b2，
归纳法等．
分类突破
一、含绝对值的不等式的解法 例 1 如果关于 x 的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1 的解集是全体实
数，则实数 a 的取值范围是_(_－__∞__，__－__5_]∪__[_－__3_，__＋__∞_)__． 解析 在数轴上，结合绝对值的几何意义可知 a≤－5 或 a≥－3.
变式训练 1 不等式|x－8|－|x－4|>2 的解集为___{_x|_x_<_5_}__．
a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.
所以 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
①
同理a12＋b12＋c12≥a1b＋b1c＋a1c，
②
故 a2＋b2＋c2＋(1a＋1b＋1c)2
≥ab＋bc＋ac＋a3b＋b3c＋a3c≥6 3.
③
所以原不等式成立．
当且仅当 a＝b＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当 a
规范演练
1．(2011·广东)不等式|x＋1|－|x－3|≥0 的解集是_[_1_，__＋__∞__)_．
解析 方法一 不等式等价转化为|x＋1|≥|x－3|，两边平方得 (x＋1)2≥(x－3)2，解得 x≥1，故不等式的解集为[1，＋∞)． 方法二 不等式等价转化为|x＋1|≥|x－3|，根据绝对值的几何 意义可得数轴上点 x 到点－1 的距离大于等于到点 3 的距离， 到两点距离相等时 x＝1，故不等式的解集为[1，＋∞)．
＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3 时，③式等号成立．
1
故当且仅当 a＝b＝c＝34 时，原不等式等号成立．
变式训练 2 设 a，b，c 均为正实数，求证：a13＋b13＋c13 ＋abc≥2 3.
证明 因为 a，b，c 是正实数，由平均不等式可得 a13＋b13＋c13≥3 3 a13·b13·c13， 即a13＋b13＋c13≥a3bc. 所以a13＋b13＋c13＋abc≥a3bc＋abc. 而a3bc＋abc≥2 a3bc·abc＝2 3， 所以a13＋b13＋c13＋abc≥2 3.
2 3
＋9(abc)
2 3
.
又
3(abc)
2 3
＋9(abc)
2 3
≥2
27＝6
3，
③
所以原不等式成立．
当且仅当 a＝b＝c 时，①式和②式等号成立．
当且仅当
3(abc)
2 3
＝9(abc)
2
3时，③式等号成立．
1
故当且仅当 a＝b＝c＝34 时，原不等式等号成立．
方法二 因为 a，b，c 均为正数，由基本不等式得
∴
|a＋b| 1＋a2＋ 1＋b2<1.
∵a≠b∴|a－b|>0.∴|f(a)－f(b)|<|a－b|.
变式训练 3 设 f(x)＝x2－x＋43，实数 a 满足|x－a|<1， 求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．
证明 |f(x)－f(a)|＝|x2－x＋43－a2＋a－43| ＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|. ∵|x－a|<1，∴|x|－|a|≤|x－a|<1. ∴|x|<|a|＋1. ∴|f(x)－f(a)|＝|x－a|·|x＋a－1|≤|x＋a－1|≤|x|＋|a|＋1<2(|a| ＋1)．
＋(1a＋1b＋1c)2≥6 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立．
证明 方法一 因为 a，b，c 均为正数，由均值不等式得
a2＋b2＋c2≥3(abc)
2 3
，
①
1a＋1b＋1c≥3(abc)
1 3
，
所以(1a＋1b＋1c)2≥9(abc)
2 3
.
②
故
a2＋b2＋c2＋(1a＋1b＋1c)2≥3(abc)
2．含有绝对值的不等式的性质 |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.
3．柯西不等式
(1)设 a，b，c，d 为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，
当且仅当 ad＝bc 时等号成立．
n
n
n
(2)若 ai，bi(i∈N*)为实数，则(∑a2i )(∑bi2)≥(∑aibi)2，当且
4，
x≤4，
解析 令 f(x)＝－2x＋12， 4<x≤8，
－4， x>8.
图象如图所示．
不等式|x－8|－|x－4|>2，即 f(x)>2，由－2x＋12＝2 得 x＝5. 由函数 f(x)图象可知，原不等式的解集为{x|x<5}．
二、不等值的证明
例 2 (2010·辽宁)已知 a，b，c 均为正数，证明：a2＋b2＋c2
∴f(x)≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解， ∴|a|≥3，即 a≤－3 或 a≥3.
2．(2010·陕西)不等式|2x－1|<3 的解集为_{_x|_－__1_<_x_<_2_}． 解析 由|2x－1|<3 得－3<2x－1<3，∴－1<x<2.
考点整合
1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a 或 f(x)<－a； (2)|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x)<a. (3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c 的不等式， 可利用绝对值的不等式的几何意义求解．
1．(2011·陕西)若关于 x 的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数 解，则实数 a 的取值范围是_(_－__∞_， __－__3_]_∪__[_3_，__＋__∞_)__．
解析 ∵f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝－ 3 (2－x＋1<1x<(x2≤)，－1)， 2x－1 (x≥2)，
i＝1 i＝1
i＝1
仅当ab11＝ba22＝…＝abnn(当某 bj＝0 时，认为 aj＝0，j＝1,2，…，
n)时等号成立．
(3)柯西不等式的向量形式：设 α，β 为平面上的两个向量，
则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成
立．
4．不等式的证明方法
来自百度文库
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、数学
三、含绝对值的不等式的证明 例 3 已知 f(x)＝ 1＋x2，a≠b，求证：|f(a)－f(b)|<|a－b|.
解
∵|f(a)－f(b)|＝|
1＋a2－
1＋b2|＝
|a2－b2| 1＋a2＋ 1＋b2
＝ 1|＋a－a2b＋||a＋1b＋| b2，
又|a＋b|≤|a|＋|b|＝ a2＋ b2< 1＋a2＋ 1＋b2，
归纳法等．
分类突破
一、含绝对值的不等式的解法 例 1 如果关于 x 的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1 的解集是全体实
数，则实数 a 的取值范围是_(_－__∞__，__－__5_]∪__[_－__3_，__＋__∞_)__． 解析 在数轴上，结合绝对值的几何意义可知 a≤－5 或 a≥－3.
变式训练 1 不等式|x－8|－|x－4|>2 的解集为___{_x|_x_<_5_}__．
a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.
所以 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
①
同理a12＋b12＋c12≥a1b＋b1c＋a1c，
②
故 a2＋b2＋c2＋(1a＋1b＋1c)2
≥ab＋bc＋ac＋a3b＋b3c＋a3c≥6 3.
③
所以原不等式成立．
当且仅当 a＝b＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当 a
规范演练
1．(2011·广东)不等式|x＋1|－|x－3|≥0 的解集是_[_1_，__＋__∞__)_．
解析 方法一 不等式等价转化为|x＋1|≥|x－3|，两边平方得 (x＋1)2≥(x－3)2，解得 x≥1，故不等式的解集为[1，＋∞)． 方法二 不等式等价转化为|x＋1|≥|x－3|，根据绝对值的几何 意义可得数轴上点 x 到点－1 的距离大于等于到点 3 的距离， 到两点距离相等时 x＝1，故不等式的解集为[1，＋∞)．
＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3 时，③式等号成立．
1
故当且仅当 a＝b＝c＝34 时，原不等式等号成立．
变式训练 2 设 a，b，c 均为正实数，求证：a13＋b13＋c13 ＋abc≥2 3.
证明 因为 a，b，c 是正实数，由平均不等式可得 a13＋b13＋c13≥3 3 a13·b13·c13， 即a13＋b13＋c13≥a3bc. 所以a13＋b13＋c13＋abc≥a3bc＋abc. 而a3bc＋abc≥2 a3bc·abc＝2 3， 所以a13＋b13＋c13＋abc≥2 3.
2 3
＋9(abc)
2 3
.
又
3(abc)
2 3
＋9(abc)
2 3
≥2
27＝6
3，
③
所以原不等式成立．
当且仅当 a＝b＝c 时，①式和②式等号成立．
当且仅当
3(abc)
2 3
＝9(abc)
2
3时，③式等号成立．
1
故当且仅当 a＝b＝c＝34 时，原不等式等号成立．
方法二 因为 a，b，c 均为正数，由基本不等式得
∴
|a＋b| 1＋a2＋ 1＋b2<1.
∵a≠b∴|a－b|>0.∴|f(a)－f(b)|<|a－b|.
变式训练 3 设 f(x)＝x2－x＋43，实数 a 满足|x－a|<1， 求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．
证明 |f(x)－f(a)|＝|x2－x＋43－a2＋a－43| ＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|. ∵|x－a|<1，∴|x|－|a|≤|x－a|<1. ∴|x|<|a|＋1. ∴|f(x)－f(a)|＝|x－a|·|x＋a－1|≤|x＋a－1|≤|x|＋|a|＋1<2(|a| ＋1)．
＋(1a＋1b＋1c)2≥6 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立．
证明 方法一 因为 a，b，c 均为正数，由均值不等式得
a2＋b2＋c2≥3(abc)
2 3
，
①
1a＋1b＋1c≥3(abc)
1 3
，
所以(1a＋1b＋1c)2≥9(abc)
2 3
.
②
故
a2＋b2＋c2＋(1a＋1b＋1c)2≥3(abc)
2．含有绝对值的不等式的性质 |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.
3．柯西不等式
(1)设 a，b，c，d 为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，
当且仅当 ad＝bc 时等号成立．
n
n
n
(2)若 ai，bi(i∈N*)为实数，则(∑a2i )(∑bi2)≥(∑aibi)2，当且
4，
x≤4，
解析 令 f(x)＝－2x＋12， 4<x≤8，
－4， x>8.
图象如图所示．
不等式|x－8|－|x－4|>2，即 f(x)>2，由－2x＋12＝2 得 x＝5. 由函数 f(x)图象可知，原不等式的解集为{x|x<5}．
二、不等值的证明
例 2 (2010·辽宁)已知 a，b，c 均为正数，证明：a2＋b2＋c2
∴f(x)≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解， ∴|a|≥3，即 a≤－3 或 a≥3.
2．(2010·陕西)不等式|2x－1|<3 的解集为_{_x|_－__1_<_x_<_2_}． 解析 由|2x－1|<3 得－3<2x－1<3，∴－1<x<2.
考点整合
1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a 或 f(x)<－a； (2)|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x)<a. (3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c 的不等式， 可利用绝对值的不等式的几何意义求解．