整式乘除与因式分解讲义

一、幂
1、幂的运算性质：

am·an＝am＋n （m、n为正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

n
m
a

＝ amn （m、n为正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘．

nn
n
baab

（n为正整数）

积的乘方等于各因式乘方的积．
nm
aa

＝ am－n （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）

同底数幂相除，底数不变，指数相减．
2、零指数幂的概念：
a0＝1 （a≠0）
任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l．
3、负指数幂的概念：

a－p＝pa1 （a≠0，p是正整数）
任何一个不等于零的数的－p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数．

也可表示为：ppnmmn（m≠0，n≠0，p为正整数）
二、单项式、多项式乘法法则
1、单项式的乘法法则：

单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有
的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
2、单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
3、多项式与多项式的乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所
得的积相加．
4、单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字
母，则连同它的指数作为商的一个因式．
5、多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
三、乘法公式：
①平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2
文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
②完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两
个数的积的2倍．
四、因式分解：
因式分解的定义．
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
掌握其定义应注意以下几点：
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个
要素缺一不可；
（2）因式分解必须是恒等变形；
（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为
和差的形式．
五、因式分解的常用方法．

1、提取公因式法
把mambmc，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另
一个因式()abc是mambmc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因
式法.用式子表求如下：
()mambmcmabc
注：i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
ii 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；
②字母：各项都含有的相同字母；
③指数：相同字母的最低次幂.

2、运用公式法
把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.
ⅰ）平方差公式 22()()ababab
注意：①条件：两个二次幂的差的形式；
②平方差公式中的a、b可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；

③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22ba的形式，并弄清a、b分别表示什么.
ⅱ）完全平方公式 2222222(),2()aabbabaabbab
注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；
②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；
③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；
④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成
222
)(2bababa
公式原型，弄清a、b分别表示的量.

补充：常见的两个二项式幂的变号规律：
①22()()nnabba； ②2121()()nnabba．（n为正整数）
3、十字相乘法
借助十字叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次
项系数为l的二次三项式,2qpxx 寻找满足,abqabp的ab、，则有
22
()()();xpxqxabxabxaxb

4、分组分解法
定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22abab没有公因式，又不
能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提
公因式，即可达到分解因式的目的。例如：
22
abab

=22()()()()()()(1)ababababababab，

这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法.
原则：用分组分解法把多项式分解因式，关键是分组后能出现公因式或可运用公式.