(整理)椭圆聚焦线圈瞬态脉冲涡流场的解析解

椭圆聚焦线圈瞬态脉冲涡流场的解析解摘要：聚焦线圈能够在被测导体内产生更加集中的涡流，脉冲激励能够使得检测信号包含更多的信息量，本文提出了椭圆聚焦线圈脉冲涡流检测方法以提高无损检测的灵敏度，推导了椭圆聚焦线圈瞬态脉冲涡流场的解析解。

建立了半无限大导体上斜置椭圆线圈瞬态脉冲涡流场电磁模型，给出了该涡流场满足的初边值问题并进行了拉氏变换和傅里叶变换，采用尺度变换技术将椭圆线圈转换为圆线圈进行求解，最后采用拉氏反变换、傅里叶反变换和尺度反变换得到了椭圆聚焦线圈瞬态脉冲涡流场的时域解析解。

本文所得解析解与利用Ansoft电磁仿真软件计算所得结果一致，通过解析解的计算，验证了该椭圆聚焦线圈具有较好的涡流聚焦效果。

关键词：瞬态脉冲涡流场；解析解；椭圆聚焦线圈；尺度变换中图分类号：TM15文献标识码：AAnalytical solutions of transient pulsed eddy currentproblem due to elliptical concentrative coilsAbstract:More concentrative eddy current within conducting medium can be generated by concentrative coils and more information can be contained in the detected signal by using pulsed exciting current, so the pulsed eddy current testing method using elliptical concentrative coil which can enhance the testing sensitivity is proposed in this paper, and analytical solutions of transient pulsed eddy current due to elliptical concentrative coils are derived. The model of elliptical coil placed in an arbitrary position above a half-infinite conducting plate is built. The initial-boundary value problem is provided, transfer them by Laplace’s transform and Fouier’s transform, and elliptical coil is transformed to loop coil by sacle-transformation. Analytical solution of transient pulsed eddy current due to elliptical concentrative coils in the time domain is obtained by inverse Laplace’s transform, inverse Fouier’s transform and inverse sacle-transform. The results of analytical solution agree with the numerical calculation result by ANSOFT software. By the means of analytical computation, the good concentrative effect of elliptical concentrative coil is validated.Key words:transient eddy current, analytical solution, elliptical concentrative coil, scale-transformation引言涡流检测大多采用水平圆环线圈，其在导体中激励出的涡流分布不具有集中性，而采用具有聚焦作用的激励线圈能够使涡流集中分布，从而提高检测的灵敏度。

传统的涡流检测通常采用正弦信号作为激励，检测线圈的阻抗变化，而脉冲涡流检测的时域分析方法将获得更多的信息。

因此具有聚焦作用的线圈的瞬态脉冲涡流场解析解的研究对于提高检测的灵敏度，设计新型电磁传感器具有重要作用。

聚焦线圈最早被用于功能磁刺激中[1]，为了对指定的部位进行电流刺激而对其它部位尽量避免不必要的电流刺激，需要磁刺激器有字形线圈的设计方案。

“8”字线圈是由两个斜置的圆形线圈构成，其产生的涡流场有一定的聚焦作用[2]。

斜置圆形线圈在正弦激励下的时谐涡流场的解析解已经得到[3]。

对于脉冲激励下的瞬态涡流场的解析解只给出了圆形线圈与导体面平行和垂直两种特殊情况下的解析解[4]，目前尚未得出斜置椭圆形线圈脉冲激励下的瞬态涡流场的解析解。

本文将推导椭圆聚焦线圈瞬态脉冲涡流场的解析解。

首先建立斜置椭圆线圈瞬态脉冲涡流场的电磁模型，写出该涡流场的初边值问题；然后采用尺度变换技术将椭圆形线圈转换为圆形线圈求解，并采用拉氏变换与反变换技术得出椭圆斜置线圈瞬态脉冲涡流场的时域焦线圈，将所得解析解与利用Ansoft 软件计算所得的数值结果相比较验证解析解的正确性，并选定不同参数进行解析计算，验证线圈的聚焦效果。

1斜置椭圆线圈瞬态涡流场的电磁模型斜置椭圆线圈指的是法线与被测物体表面法线既不平行又不垂直的截面为椭圆的线圈。

建立的斜置椭圆线圈的电磁模型如图1所示，图中给出了直角坐标系O xyz -，其中曲线C 表示由细导线绕成的线圈，线圈中通有电流()i t ，电流t i 的波形如图2所示，幅值为0I ；α是线圈法线与z 轴正向的夹角，称为线圈的倾斜角；h 是线圈几何中心与平面xOy 距离；R 是椭圆线圈横轴半径；η为椭圆纵轴与横轴的比例系数。

区域1（0z >）为空气，区域2（0z <）为导体。

图1 斜置线圈的电磁模型图2 激励电流波形2 斜置椭圆线圈瞬态脉冲涡流场的求解求解思路如下：首先将原坐标系下的椭圆线圈转换为新坐标下的圆线圈；然后写出拉氏变换后的电流表达式及所求涡流场矢量磁位所满足的约束方程及边值条件，并求出矢量磁位的拉氏变换表达式；接下来变换回原坐标系下，并求得相关电磁场量；最后拉氏反变换得到电磁场量的时域表达式。

2.1 椭圆线圈及激励电流表达式椭圆形线圈C 可表示成两曲面的交线()(),,0:,,0m x y z C q x y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩ （1） 其中方程(),,0m x y z =表示线圈所在平面，函数m 的表达式为()(),,sin cos m x y z x z h αα=-- （2） 方程(),,0q x y z =表示倾斜的椭圆柱面方程，柱面的中心轴穿过线圈的几何中心且垂直于线圈所在平面，函数q 的表达式为(),,q x y z R=（3）激励电流()i t 的函数表达式为()()()00i t I u t u t t =--⎡⎤⎣⎦ （4）其拉氏变换为()()001et ss I L i t I s -==-⎡⎤⎣⎦ （5）2.2斜置椭圆线圈脉冲涡流场矢量磁位的求解 以下采用尺度变换技术[5]将场源和介质分布变换到新的坐标系O x y z ''''-下，在新坐标系下求解出各电磁场量，然后再变换回到原来坐标系下。

将椭圆斜置线圈变为新坐标系下的圆环线圈C '，变换后的表达式为 ()sin cos 0:0x z h C R αα''--=⎧'=（6） 真空区域中任意一点),,P x y z '''的电流密度可表示成()()()()()()()(),,,δδq P m P x y z t i t m q q P m P ''∇⨯∇'''''=''∇⨯∇J()()()()cos ,,sin δδy y i t m q αχαρ'''--''='（7）其中()cos sin x z h χαα'''=+-，ρ'=。

采用尺度变换技术后，电磁场量和媒质的电磁参数都发生变化，'=⋅A T A ，'=⋅H T H , '=⋅B M B ，1-'=⋅⋅μμM T ，1-'=⋅⋅σσM T 。

其中变换矩阵:10000001η⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦T ，0001000ηη⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M 由于变换后的电磁介质不再是各向同性，因此原库仑规范0'∇⋅=A 不再成立，而采用新的规范0'''∇⋅=μA 。

在区域1（0z '>）中的矢量磁位1'A 可看作是斜置线圈在无限大真空中产生的场11'A 和导体中的涡流在区域1中产生的场12'A 的叠加，即11112'''=+A A A ，对矢量磁位'A 和()i t 进行拉氏变换后的约束方程如下。

1º约束方程区域1满足的约束方程为：()()()1011δδs s I m q -''''''∇⨯∇⨯=⋅μA ()cos ,,sin y y αχαρ'''--'（8）()112s -''''∇⨯∇⨯=μA 0 （9） 区域2满足的约束方程为:()122s s s -''''''∇⨯∇⨯=-μA σA （10） 2º分界面上的边界条件()21112000xs xs xs z z A A A '='='''-+= （11）()2111200ys ys ys z z A A A '='='''-+= （12）2111200zs zs zs z A A A x ημμ'='''⎛⎫+∂- ⎪'∂⎝⎭ 2111200xs xs xs z A A A z ημμ'='''⎛⎫+∂=- ⎪'∂⎝⎭（13）21112001zs zs zs z A A A y ημμ'='''⎛⎫+∂- ⎪'∂⎝⎭21112001ys ys ys z A A A z ημμ'='''+⎛⎫∂=- ⎪'∂⎝⎭（14） 3º无限远条件2lim 0s z '→-∞'=A （15） 12lim 0s z '→∞'=A （16） 根据所引入的规范，在两个区域中分别有110'''∇⋅=μA ,120'''∇⋅=μA 和20'''∇⋅=μA 。