高考复习数列解答题大题训练测试题(含答案)

高考复习数列大题训练题

一、解答题（共19题；共190分）

1.（2018高三上·济南月考）已知等差数列中，，且前10项和．（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

2.（2020·肥城模拟）记为公差不为零的等差数列的前项和，已知，.

（1）求的通项公式；

（2）求的最大值及对应的大小.

3.（2018·绵阳模拟）已知正项数列的前项和满足：．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和.

4.已知数列的前项和满足，且是的等差中项，是等差数列，.

（1）求数列的通项公式；

（2），求数列的前项和.

5.（2020·新课标Ⅲ·理）设数列{a n}满足a1=3，．

（1）计算a2，a3，猜想{a n}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2n a n}的前n项和S n．

6.（2020·新课标Ⅰ·理）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．

（1）求的公比；

（2）若，求数列的前n项和．

7.（2020·新高考Ⅱ）已知公比大于的等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）求.

8.（2020高二下·丽水期末）已知数列的前n项和，正项等比数列满足，且是

与的等差中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

9.（2020高一下·大庆期末）在等差数列中，为其前n项和，且

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和

（3）设，求数列的前n项和

10.（2020高一下·六安期末）记为等差数列的前n项和，已知．

（1）若，求的通项公式；

（2）若，求使得的n的取值范围．

11.（2020高一下·太和期末）已知数列的前n项和为，且.

（1）求出数列的通项公式；

（2）记，求数列的前n项和.

12.（2020高一下·湖州期末）设为数列的前n项和，满足，且，

，成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）数列的前n项和为，求使得成立的n的最小值．

13.（2020高一下·温州期末）已知数列满足：且，

（1）证明：数列为等比数列；

（2）记数列的前n项和，证明：

14.（2020高一下·徐汇期末）已知数列满足，，. （1）证明：数列是等比数列；

（2）若，求数列中的最小项.

15.（2020高一下·上海期末）已知数列满足，.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）求数列的通项公式.

16.（2020高一下·上海期末）设数列的前n项和为.已知.

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足，求的前n项和.

17.（2020高一下·上海期末）已知为的前n项和，是等比数列且各项均为正数，且

，，.

（1）求和的通项公式；

（2）记，求数列的前n项和.

18.（2020高一下·上海期末）在数列中，，，且

；

（1）设，证明是等比数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）若是与的等差中项，求q的值，并证明：对任意的，是与的等差中项；

19.（2020高一下·开鲁期末）设数列的前n项和，数列满足

.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和.

答案解析部分

一、解答题

1.【答案】（1）解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d．

由已知得解得

所以数列{a n}的通项公式为a n＝1＋2(n－1)＝2n－1

（2）解：b n＝，

所以

【解析】【分析】(1)本题主要考查数列的通项公式，先设首项和公差，由题意可得

，从而可得首项和公差，进而可得通项公式;

(2)本题主要考查裂项相消的方法来求数列的和，由题意b n = ，从而可得其前n项和.

2.【答案】（1）解：设的公差为，且．

由，得，

由，得，

于是, ．

所以的通项公式为．

（2）解：由（1）得

因为，

所以当或时,

有最大值为20．

【解析】【分析】（1）将已知条件转化为的形式列方程，由此解得，进而求得的通项公式.（2）根据等差数列前项和公式求得，利用配方法，结合二次函数的性质求得的最大值及对应的大小.

3.【答案】（1）解：由已知，可得

由是正项数列，故.

当时，由已知可得，，

两式相减得，.化简得，

∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故.

∴数列的通项公式为.

（2）解：∵，代入化简得，显然是等差数列，

∴其前项和.

【解析】【分析】（1）先求a1,再消去s n得到a n之间的递推。(2)化简可得b n是等差数列。

4.【答案】（1）解：由题意知，当时，，

又因为，且，

则，

所以，

又成等差数列，

则，所以，解得，

所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，故.

设的公差为，则，

解得，

所以.

（2）解：由（1）得，

所以，

，

两式相减得，

整理得.

【解析】【分析】(1)首先根据数列前n项和求得数列a n，再依据等差数列定义求得b n.

(2)首先求得数列c n.再根据错位相减求得数列前n项和。

5.【答案】（1）解：由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以3为首项，2为公差的等差数列，即，证明如下：

当时，成立；

假设时，成立.

那么时，也成立.

则对任意的，都有成立

（2）解：由（1）可知，

，①

，②

由① ②得：

，

即.

【解析】【分析】（1）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）由错位相减法求解即可.

6.【答案】（1）解：设的公比为q，为的等差中项，

，

；

（2）解：设的前项和为，，

，①

，②

① ②得，

，

.

【解析】【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比q的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.

7.【答案】（1）解：设等比数列的公比为q(q>1)，则，

整理可得：，

，

数列的通项公式为：.

（2）解：由于：，故：

.

【解析】【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；(2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n 项和即可.

8.【答案】（1）解：当时，，

当时，，

，

，

设数列的公比为q，由题意可得：，

解得，或（舍去），

，

∴，；

（2）解：由（1）有，

∴，

，

，

两式相减有：

，

∴．

【解析】【分析】（1）由可求出，设数列的公比为q，根据等比数列的通项公式和等差中项的定义列出方程，由此可求出答案；（2）由（1）有，然后根据错位相减法求和即可．

9.【答案】（1）解：由已知条件得解得所以通项公式为：

∴

数列的前项和

（3）解：由

①

②

①-②得，

【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式，求出首项和公差即可得到答案；（2）由的通项公式得到的通项公式，然后根据裂项相消法求前n项和；（3）由的通项公式得到的通项公式，然后根据错位相减法求前n项和；

10.【答案】（1）解：设的公差为d．

由得．由得．

于是．

因此的通项公式为

（2）解：由得，故.

由知，故等价于，解得．

所以的取值范围是

【解析】【分析】（1）设的公差为d．由，，利用“ ”求解．（2）由（1）得，故，然后解不等式即可.

11.【答案】（1）解：（n∈N*），

可得n＝1时，S1+1＝2a1，

即a1＝1，

当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，

S n+n＝2a n，S n﹣1+n﹣1＝2a n﹣1，

相减可得a n+1＝2a n﹣2a n﹣1，

可得a n＝2a n﹣1+1，即a n+1＝2（a n﹣1+1），

则数列{a n+1}为首项为2，公比为2的等比数列，

可得a n+1＝2n，即a n＝2n﹣1

（2）解：

前n项和为T n＝①

2T n＝②

两式相减可得﹣T n＝2+2(22+…+2n)﹣=

化简可得

【解析】【分析】（1）运用数列的递推式：时，，当时，，结合等比数列的通项公式，可得所求；（2）求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．

12.【答案】（1）解：由已知得时，，

所以，，，

故依题得，

所以是以1位首项，3为公比的等比数列，

所以

（2）解：由（1）知，，

所以，

所以由

，

即n的最小值为8

【解析】【分析】（1）由和，可得，所以为等比数列，再由，，成等差数列，通过递推分别用表示，列方程可得首项为，进而写出通项公式.（2）写出，利用等比数列的前n项和公式求，对不等式进行化简可得，，即可求出n的最小值.

13.【答案】（1）解：由，得，

可知为等比数列，且首项为，公比为2

（2）解：由（1）得到，所以..

.

即证明.

因为.

所以

前1项单独验证，即当n=1时，有.

综上所述，

【解析】【分析】（1）将已知条件转化为，由此证得数列为等比数列.（2）由（1）求得的表达式，进而求得的表达式，利用放缩法，结合等比数列前n项和公式，证得不等式成立.

14.【答案】（1）证明：，

又，

∴是首项为1，公比为的等比数列

（2）解：，

则，

① 时，，

则，

② 时，，

则，

∴，

即

【解析】【分析】（1）由得，进而可得，即可得出结果；（2）先写出的通项公式，，讨论n的情况，比较的大小即可得出结论.

15.【答案】（1）证明：，，

因此，数列是等比数列

（2）解：由于，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，

，因此，

【解析】【分析】（1）利用数列的递推公式证明出为非零常数，即可证明出数列是

等比数列；（2）确定等比数列的首项和公比，求出数列的通项公式，即可求出.

16.【答案】解：（Ⅰ）因为，所以，，故

当时，此时，即

所以，

（Ⅱ）因为，所以，

当时，

所以，

当时，

，

所以，两式相减，得

所以，

经检验，时也适合，

综上可得：

【解析】【分析】（Ⅰ）利用数列前n项和与通项的关系求解；（Ⅱ）结合第（Ⅰ）问的结果，利用关系式求出数列的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n 项和.

17.【答案】（1）解：当时，

，

当时，，也适合上式，

故；

设等比数列的公比为，由题意可知：，

因为，所以由或，

因为，所以，因此，

所以，

（2）解：由（1）可知：，，

所以，

因此，

，

得，，

所以

【解析】【分析】（1）利用公式，求出数列的通项公式；设出等比数

列的公比，根据等比数列的通项公式结合已知求出公比，进而求出数列的通项公式；（2）结合（1）求出数列的通项公式，最后利用错位相减法，结合等比数列前项和公式进行求解即可.

18.【答案】（1）证明：由题设（），得

，即，．

又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．

（2）解：由（1），

，

……

，（）．

将以上各式相加，得（）．

所以当时，

上式对显然成立

由可得，由得，①

整理得，解得或（舍去）．于是．

另一方面，，

．

由①可得，．

所以对任意的，是与的等差中项

【解析】【分析】（1）利用已知条件（），设，变形得出，，再利用，，结合等比数列的定义，从而证明出数列是等比数列。

（2）利用等比数列通项公式求出等比数列的通项公式，再利用累加法，进而求出数列的通项公式。

（3）利用（2）中的数列的通项公式求出，与的值，再利用等差中项公式结合等比数列通项公式，从而求出q的值；再利用等差中项公式结合已知条件，从而推出对任意的，是

与的等差中项。

19.【答案】解：（Ⅰ）当时，，

由得（），

（），

又也符合，

（）.

（Ⅱ）

，

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合与的关系式，从而求出数列的通项公式。

（2）利用，由（1）中的数列的通项公式，从而求出数列的通项公式，再利用裂项相消求和的方法和等比数列前n项和公式，从而求出数列的前n项和。