研究生概率论复习题

解：
P( A2 | A1)
设 Ai={ 这人第i次通过考核 }，i=1,2,3
1 P( A2 | A1) 1 0.8 0.2
A={ 这人通过考核 }， A A1 A1A2 A1A2 A3
P( A) P( A1) P( A1A2 ) P( A1A2 A3)
P( A1) P( A1) P( A2 | A1) P( A1) P( A2 | A1)P( A3 | A1A2)
30
设连续型随机变量的分布函数为
0,
F
x
Ax
3
,
1,
x0 0 x 1
x 1
1.求A；2.求密度；3.求
P 0.5
P0.3 1 P 3 4
1. A F 1 F 1 1 A 1
2.
f
x
F
x
3x
2
0
0 x 1 其它
31
1
P 0.5＝ 3x2dx x3 1 0.875 0.5 0.5
8k e8 k!
P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1} 1 80 e8 81 e8 0.997. 0! 1!
21
22
23
24
25
26
27
函数 sin x在下列范围内取值
⑴ 0, π /；2 ⑵ 0,；π ⑶
0；,3π / 2
它是否可作为一个连续型随机变量的密度 函数？
的产品可以出厂，20%的产品要报废。求该厂产
品的报废率。
解：设 A={生产的产品要报废} B={生产的产品要调试}
∵AB与 AB 不相容
已知P(B)=0.3，P(A|B)=0.2， P( A | B) 0
P( A) P( AB AB) P(AB) P(AB)
利用乘 法公式
P(B) P(A | B) P(B) P(A | B)
(1) 从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大于
175cm的概率；(2) 若从中随机找5个男子测身高,问至 少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身 高大于175cm的概率为多少？
解：
(1)
P( X
175)
1(175 169.7)
4.1
1(1.293)
查表
1 0.9015 0.0985
2 23 23
2 3
4
所以它不是随机变量的分布列。
10
设随机变量的分布列为：
P( k) k , k 1,2,3,4,5
15
求(1) P( 1或 2)
(2) P(1 (35) )
2
2
P(1 2)
P( 1或 2) 1 2 1
15 15 5
P(1 5) P( 1) P( 2) 1
p2
p1,
当p
1 2
p2
p1,
当p
1 2
9
下列给出的是不是某个随机变量的分布列？
(1)
1 0.5
3 0.3
(025.2)
01.7
2 0.1
03.1
(3)
0 1 2
1 1 1 2 3
2 1 1 2 2 3
n 1 1 n 2 3
解 （1）是
（2）不是随机变量的分布列。
（3） 1 1 1 1 1 2 1 1 n 3
0.30.2 0.70 6%
另解：A B, A AB,
P(A) P(AB) P(B)P(A B) 0.3 0.2 6% 2
例：某行业进行专业劳动技能考核，一个月安排一次，每人 最多参加3次；某人第一次参加能通过的概率为60%；如 果第一次未通过就去参加第二次，这时能通过的概率为 80%；如果第二次再未通过，则去参加第三次，此时能通 过的概率为90%。求这人能通过考核的概率。
亦可： 0.60＋0.40.8 0.40.20.9 0.992
P( A) 1 P( A) 1 P( A1A2 A3) 1 P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 )
1 0.40.20.1 0.992
3
例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放
回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。
1)
116
例4： 设有80台同类型设备，各台工作是相互独
立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备 的故障能有一个人处理。
考虑两种配备维修工人的方法， 其一是由4个人维护，每人负责20台； 其二是由3个人共同维护80台。 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时 维修的概率的大小。
17
解：按第一种方法。 以X 记“第一人维护的20台中同一时刻发生故障的台数”。
P(B) P(AB) P(AB) 34 17
5
例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有5%
的假阳性及5%的假阴性：若设A={试验反应是阳性}， C={被诊断患有癌症}
则有：P( A | C) 5%, P( A | C) 5%, 已知某一群体 P(C)=0.005，问这种方法能否用于普查？
(2) 设5人中有Y人身高大于175cm，则Y b(5, p), 其中p 0.0985 P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 (1 p)5 0.4045
7
例：有4个独立元件构成的系统(如图)，设每个元 件能正常运行的概率为p，求系统正常运
行的
解：概设率Ai 。 第i个元件运行正常,i 1, 2,3, 4 A 系统运行正常
则：A A1 A2 A3 A4 源自文库
由题意知，A1, A2 , A3, A4相互独立
P( A) P( A1) P( A2 A3 A 4 ) p( p2 p p3)
AB与AB不相容 已知 P( A) 0.80, P(B | A) 0.20, P(B | A) 0.90
1 P(B) P(AB U AB) P(AB) P(AB)
P( A ) P( B | A ) P(A)P( B | A )
0.80.2 0.20.9 34 %
2 P(A | B) P(AB) P(AB) 16 8
解：(1) P( X 97.8) (97.8 100) 1(1.1)
2
查附表
=== 1 0.8643 0.1357
(2) 令：P97 X 103 90%
即 (103 100) (97 100) 2( 3 ) 1 90%
( 3 ) 0.95 3 1.645
1.8237
35
例：设某地区男子身高 X (cm) N (169.7, 4.12 )
一单位有5个员工，一星期共七天， 老板让每位员工独立地挑一天休息， 求不出现至少有2人在同一天休息的
概率。 解：将5为员工看成5个不同的球，
7天看成7个不同的盒子， 记A={ 无2人在同一天休息 }，
则由上例知：
P
A
C75 5! 75
3.7%
1
例：某厂生产的产品能直接出厂的概率为70%，余下
的30%的产品要调试后再定，已知调试后有80%
再设A 甲胜
1 三局二胜制：
P A P A1A2 A1A2 A3 A1A2 A3 p2 2 p2 1 p &p1
2 五局三胜制：
P A P A1A2 A3 前三次有一次输 A4 前四次有两次输 A5
p3 C31 1 p p3 C42 1 p2 p3 &p2
P2 P1 3P2 P 12 2P 1
2
2
5
•★
P(1 2) P( 1) P( 2) 1
5
11
1.某篮球运动员投中蓝的概率是0.9，求他两次 独立投篮投中次数x的概率分布。
v 解：x=0,1,2,
P{x=0}=0.1*0.1=0.01
P{x=1}=2*0.1*0.9=0.18
P{x=0}=0.9*0.9=0.81
概率和为1
解：
设 Ai={第i次取到红牌}，i=1,2 B={取2张恰是一红一黑}
A1 A2 与 A1 A2
不相容
P(B) P( A1A2 A1A2 ) P( A1A2 ) P( A1A2 )
P( A1) P( A2 | A1) P( A1) P( A2 | A1)
利用乘 法公式
（1）若为放回抽样： （2）若为不放回抽样：
P( X k) e k ，k 0,1, 2,, 0
k!
称X服从参数为λ的泊松分布，记 X ~ ()
例：设某汽车停靠站候车人数X : ()， 4.5
(1)求至少有两人候车的概率；
(2)已知至少有两人候车，求恰有两人候车的概率。
解：
P( X
k)
e 4.5 4.5k
，k
0,1, 2,
k!
1 P(X 2) 1 P(X 0) P(X 1) 1 e4.5(1 4.5) 0.9389
解：作为连续型随机变量的密度函数，在
定义范围内满足
①π f x 0 ②
f xdx 1
⑴ ⑵
2
0
s
in
π
s
xdx 故1 可作为密度 函数； in xdx cosx π 2 1 不可
0
⑶0 3π
不可
2
3π
sin xdx cosx 2 1 0
0
x π,3π / 2 sin x 0
28
29
另解，P( A) P( A1A2 A3 U A1A4 ) p3 p2 p5，对吗？
2
3
1
4
注意：这里系统的概念与电路 中的系统概念不同 8
例：甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为p,
p
1 2
,
对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利？
设各局胜负相互独立。
解：设Ai 第i局甲胜 P Ai p, i 1,2,L ,5
k 0
k 0
即有：P A1 A2 A3 A4 0.0169
按第二种方法。以Y 记80台中同一时刻发生故障的台数，
此时,Y b 80, 0.01,
故80台中发生故障而不能及时维修的概率为：
3
PY 4 1 C8k0 0.01k 0.9980k 0.0087 k 0
18
➢ 泊松分布(Poisson分布) 若随机变量X的概率分布律为
P(B)
1 2
1 2
1 2
1 2
C21
(
1 2
)1
(
1 2
)1
1 2
P(B)
26 52
26 51
26 52
26 51
C216C216
/
C522
26 51
4
例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为80%， 若甲出差，则乙出差的概率为20%；若甲不出差， 则乙出差的概率为90%。(1)求近期乙出差的概率； (2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。 解：设A={甲出差}，B={乙出差}
解：考察P(C|A)的值
P(C | A) P(AC) P( A)
若P(C)较大，不妨设P(C)=0.8 推出P(C|A)=0.987
说明这种试验方法可在医院用
P(C) P( A | C)
0.087
P(C)P( A | C) P(C)P( A | C)
若用于普查，100个阳性病人中被诊断患有癌症的 大约有8.7个，所以不宜用于普查。
6
例：甲、乙两人同时向一目标射击，甲击中 率为0.8，乙击中率为0.7，求目标被 击中的概率。
解： 设 A={甲击中},B={乙击中} C={目标被击中}
则：C A B，P(C) P(A) P(B) P(AB)
∵ 甲、乙同时射击，其结果互不影响， ∴ A，B相互独立
P(C) 0.7 0.8 0.56 0.94
以Ai i 1, 2,3, 4 表示事件“第i人维护的20台中发生故障不能
及时维修”，则知80台中发生故障不能及时维修的概率为：
P A1 A2 A3 A4 P A1 PX 2
而X b20,0.01,故有：
1
1
PX 2 1 PX k 1 C2k0 0.01k 0.9920k 0.0169
2 P( X 2 | X 2) P(X 2) 0.1198
P( X 2)
19
20
某人进行射击, 每次命中率为0.02, 独立 射击400次, 试求至少击中两次的概率。
知X ~ B(400, 0.02),
np 4000.02 8,
P{X
k}
Ck 400
(0.02)
k
(0.98)400k
1
P0.3 1 3x2dx 0.973
0.3
P
3
4 P
3
4 P
3
1
4 3x2dx 3
37 64
4
32
33
34
例：一批钢材(线材)长度 X (cm) ~ N (, 2 )
(1)若μ=100，σ=2，求这批钢材长度小于97.8cm 的概率；(2)若μ=100，要使这批钢材的长度至少 有90%落在区间(97,103)内，问σ至多取何值？
X
0 12
P
0.01 0.18 0.81
12
设随机变量的分布列为 P( i) C 2 i ,i 1,2,3
求C的值。
3
C
2
2
2
2
3
1
3 3 3
C 27 38
13
14
15
若p较小，p≠0,只要n充分大，至少有一次命中的
概率很大。即“小概率事件”在大量试验中“至
少有一次发生”几乎是必然的。lim P(X n