第一二章练习题-新

第一章 集 合 论 基 础 一、填空题

1.设?

?????+<≤=i x x A i 110,N i ∈，则

=∞

= 1

i i

A

_________________.

2.欲使{正整数全体}～{正奇数全体},只须令映照=)(n ?___________，n 为正整数.

3.欲使),(b a ～),(+∞-∞，只须令映照

=)(x ?___________＿＿,x 为正实数.

4.设=∞

R

{实数列全体}，则∞R 的势为

___________.

5.设A 是B 的子集，则A ______B .

6.设[0,1]中无理数全体所成集为E ，则

=E _________.

7.

设

,A B

为集合，则

()

\A B B ________A B （用描述集合

间关系的符号填写）.

8.

设

,A B

为集合，则

()\B A

A ________A （用描述集合间关

系的符号填写）. 9.

,,2,1),,0(),1

,

0(212 ===-m m A m

A m m 则

=n

n

A lim ______，=n n

A lim

____________.

10.???

??

?+-=+1212,012m A m ,?????

?

+=m A m 211,02, ,2,1=m , 则=n n

A lim ____________，

=n n

A lim

______________.

二、判断题

1.可数集的交集必为可数集。（ ）

2.有限或可数个可数集的并集必为可数集。（ ）

3. 相等的集合是对等的，但对等的集合不一定相等. （ ）

4.()c c

A A =。（ ）

5.无限集中存在基数最大的集合，也存在基数最小的集合。（ ）

三、证明题

1．证明集合等式：(\)

A B B A B =

2.证明:)\(\)(B A B A I

I

αααα∈∈= .

3.证明：若

A B

?，且

~A A C ?，则有

~B B C ?。

4.证明：有理数集为可数集。

5.证明：若()f x 为[,]a b 上的连续函数，且

()

f x 不恒为常数，则([,])f a b 的基数为c 。

7.设f(x)是定义于E 上的实函数，a 为一常数，证明（1）

()()11;;n E x f x a E x f x a n ∞

=?

?>=

≥+???????

? （2）

()()11;;n E x f x a E x f x a n ∞

=?

?≥=

>-???????

? 8.证明：由直线上互不相交的开区间所组成

的集合至多只有可数个。

9.所有系数为有理数的多项式组成一可数集合.

第二章 n

R 中 点 集

一、填空题

1. E 为闭集的充要条件

是 。

2.若开区间(,)αβ是直线上开集G 的一个构成区间，则(,)αβ满足 。

3. 设?

?????=>=x y x y x E 1cos ,0),(，则

='E _______________________________

___．

4.设n

R E ?,试用邻域描述：0P 是E 的内点?___________；

?∈E P 0____________.

5.设n

R E ?，若_______________，则称E 为闭集；若_____________，则称E 为自密集；

若_____________，则称E 为完备集．

6.无限个开集的交未必是开集，试写出一个例

子:__________________________________.

7.1

R 上任一非空开集G 可以表示成_________________________________的并集．

8.根据闭集结构可断言：1

R 上的完备集必是_____________________的闭集. 9.设[]Q E -=1,0，则='E ____________，

=0

E ____________，=E ____________．

10.设P 为Cantor 集，则=P ___________，

=0

P ____________．

11.设P 是Cantor 集，Q 是有理数集，

{}N n n A ∈=, ∞

=??????-=212,1

n n n

B , 则它

们中的闭集有_____________， 开集有

___________，完备集有____________，稠密集有___________，疏朗集有_____________.

二、判断题

1. 设

E 为点集, P E ?, 则P 是E

的外点. （ ）

2. 点集

11,2,,E n ?

?

=???

?

的闭集. （ ）

3. 任意多个闭集的并集是闭集. （ ）

4. 设n

R E ?，若P 不是E 的聚点，则P 一定是E 的孤立点。（ ）

三、证明题

1.证明:G 为开集?G G =0

；F 为闭集

?F F =.

2.证明:开集减闭集后的差集仍是开集，闭

集减开集后的差集仍是闭集. 3.设n

n R A R x ?∈,，则A x ∈的充要条件

是0),(=A x ρ。

4.证明:n

R 中任一闭集都可表示成可数个开集的交集, 任一开集都可表示成可数个闭集的并集.

5.证明:A 是包含A 的最小闭集,即对任意闭集F ,若A F ?,那么A F ?.

6.试证一切包含E 的闭集之并恰为E .

7.设1

R A ?，A 既是开集又是闭集，证明:=A Φ或者1

R A =.

8.设()f x 是(),-∞∞上的实值连续函数，证明对于任意常数a ，(){}

;x f x a >都是开集，

(){};x f x a ≥都是闭集.

9.设1:R R f n →，证明:)(x f 在n

R 上连续的充要条件是：对任意的闭集1R F ?，

})(:{)(1F x f x F f ∈=-必为闭集.