数学建模题型

1问题描述(问题与假设)

随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货决定.商人们怎样才能安全过河？

假设：1.过河途中不会出现不可抗力的自然因素。

2. 当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。

3. 船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。

4. 随从会听从商人的调度。

2、问题模型与求解(公式、图、表、算法或代码等) 模型的建立：

由(4,4)到达(0,0)

数学模型:

纭产70 ⑴

叫—J - 4 (2)

2 H y\ —■)

(4)

模型分析：

由(2)( 3)( 5)可得

4 Xk 4 Yk 化简得Xk Yk 关键代码：

clear

clc

n=3;m=3;h=2; .乘船渡河的方案由商人

x(k)~第k次渡河前此岸的商人数y(k)~第k次渡河前此岸的随从数s(k)=[ x(k), y(k)]~ 过程的状态

u(k)~第k次渡船上的商人数v(k)~第k次渡船上的随从数

d(k)=( u(k), v(k))~ 过程的决策

D={u,v u+v=1,2,u,v=0,1,2} 状态因决策而改变s(k+1)=s(k)+ 求d(k) D(k=1,2,….n),使s(k)

x(k),y(k)=0,1,2,3,4;

k=1,2，…

S~允许状态集合

u(k), v(k)=0,1,2;

k=1,2 …..

D~允许决策集合

-1)A k*d(k)~状态转移律

S 并按转移律s(k+1)=s(k)+(-1)Ak*d(k)

叮叮小文库

m0=0 ;n 0=0;

tic

LS=0;

LD=0;

for i=0: n

for j=0:m

if i>=j&n-i>=m-j|i==n |i==0

LS=LS+1;

S(LS,:)=[i j];

end

if i+j>0&i+j<=h&(i>=j|i==0)

LD=LD+1;

D(LD,:)=[i j];

end

end

end

N=15;

Q仁inf*on es(2*N,2*N);

Q2=i nf*on es(2*N,2*N);

t=1;

le=1;

q=[m n];

f0=0;

while f0~=1 &t

k=1;

u=[];

v=[];

for i0=1:le

s0=q(i0,:);

if f0==1

break

end

for i=1:LD

s1=s0+(-1)A t*D(i,:);

if s1==[m0, n0] u=[m0, n0]; v=D(i,:);

f0=1;

break

end

for j=2:LS-1

if s1==S(j,:)

if k==1

u(k,:)=s1; v(k,:)=D(i,:); k=k+1;

break

end

if k>1

f1=0;

for ii=1:k-1

if s1==u(ii,:) f1=1; break end end

end

if f1==0

u(k,:)=s1; v(k,:)=D(i,:); k=k+1;

break

end

end

end

end

end

q=u;

le=size(q,1);

Q1(1:le,t*2-1:t*2)=q;

Q2(1:le,t*2-1:t*2)=v;

t=t+1;

end

tr=t-1;saa1=u;

LSF=zeros(tr,2);ANS=zeros(tr,2); for k=tr:-1:2

k仁k-1;f0=0;

XMC=Q2(:,k*2-1:k*2);

WIN=Q1(:,k1*2-1:k1*2);

for i=1:2*N

saa2=saa1-(-1)A k*XMC(i,:);

for j=1:2*N if saa2==WIN(j,:)

saa仁saa2;

sbb仁XMC(i,:);

f0=1;

break

end

end

if f0==1

break

end

end

LSF(k1,:)=saa1; ANS(k,:)=sbb1;

end

LSF(tr,:)=[mO nO];

ANS(1,:)=[m, n]-LSF(1,:);

disp '初始态：’

X0=[m, n]

disp状态：'

LSF

disp '决策:'

ANS

3、结果分析与拓展(思考)

通过合理的假设，巧妙的利用三维向量表示了商人、随从、船的状态，定义此岸允许状态集合、彼岸允许状态集合及决策变量集合，把此岸允许状态集合和彼岸允许状态集合的元

素视为节点，这样把抽象的多步骤决策问题转化为图论的求从起始节点到最终节点的所有路径的问题简化了模型。

通过数学分析的方法解决实用问题，经过问题的提出、假设、分析和模型的建立、求解、检验等过程，解决了商人过河问题。通过课后延伸扩展，也可以解决多个商人过河问题。

作业6

问题：中国人口总数x 的1995--2015 每隔5年的数据如下（亿），用 Logistic 人 口模型预测2020中国人口数量。

x=[12.11 12.67 13.08 13.41 13.71]

解析：

Logistic 模型的基本形式：

亠- — （ 1）

应用微分方程的分离变量法，可得（ 由于数据取自1995~2015年，为此选择1995、2005、2015间隔相等的三个年份

…-：... I ]、匚，：二- '.，代入式（6）得

r = 0.06632, N = 14.2515

将亍&*代入式（2）得

为了计算（2）中的r N ，选择T. 「三年的人口数据期中

1）的解析解为:

由（3）（ 5）得