谈谈初中数学建模思想

随着数学教育界中数学建模理念地不断深化，提高数学建模教学势在必行。通过数学建模能力的培养，既能使学生可以从熟悉的情境中引入数学问题，拉近数学与生活、生产的联系，激发学生学习数学的兴趣，又能培养学生的数学应用意识；既能使学生掌握学习数学的方法又能培养学生的创新意识以及分析和解

决实际问题的能力，使“人人学有价值的数学”。这正是新课程改革和数学教育的目的。

数学课程标准指出：数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象，数学课程应体现“问题情境——建立数学模型——理解、应用与拓展”，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感、态度与价值观等多方面得到进步和发展．

对复杂的实际问题进行分析，发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律，把这个实际问题转化成一个数学问题，这就称为数学模型．

数学建模就是将某一领域或部门的某一实际问题，通过一定的假设找出这个问题的数学模型，求出模型的解，并对它进行验证的全过程．从广义来说，数学建模伴随着数学学习的全过程．数学概念、数学法则、数学方法的学习与应用都属于数学建模的范畴．

一、初中数学建模教学常见的几种模型

1.建立“方程（组）”模型

现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系，“方程（组）”模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型，它可以帮助人们从数量关系的角度更正确、清晰的认识、描述和把握现实世界。诸如纳税问题、分期付款、打折销售、增长率、储蓄利息、工程问题、行程问题、浓度配比等问题，常可以抽象成“方程（组）”模型，通过列方程（组）加以解决。

例：学校准备在图书馆后面的场地边上建一个面积为50平方米的长方形自行车棚，一边利用图书馆的后墙，并利用已有的总长为25米的铁围栏，请你设计，如何搭建比较合理？

[简析]：设与墙面垂直的边长为x米，可得方程x(25-2x)=50。解方程可得答案。

2、不等式模型

现实世界中不等关系是普遍存在的，许多现实问题很难确定（有时也不需要确定）具体的数值。但可以求出或确定这一问题中某个量的变化范围，从而对所有研究问题的面貌有一个比较清楚的认识。

例 2 某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100只，付款总额不得超过11815元。已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表，试解答下列问题：

（1）该采购员最多可购进篮球多少只？

（2）若该商场能把这100只球全部以零售价售出，为使商场获得的利润不低于2580元，则采购员至少要购篮球多少只？该商场最多可盈利多少元？

解：（1）该采购员最多可购进篮球ｘ只，则排球为（100－x）只，依题意得：130x＋100（100－x）≤11815

解得x≤60.5

∵x是正整数，∴x＝60

答：购进篮球和排球共100只时，该采购员最多可购进篮球60只。

（2）该采购员至少要购进篮球ｘ只，则排球为（100－x）只，

依题意得：30x＋20（100－x）≥2580

解得x≥58

由表中可知篮球的利润大于排球的利润，因此这100只球中，当篮球最多时，商场可盈利最多，即篮球60只，此时排球平均每天销售40只，

商场可盈利（160－130）×60＋（120－100）×40=1800＋800=2600（元）

答：采购员至少要购进篮球58只，该商场最多可盈利2600

元。

3.建立“函数”模型

函数反映了事物间的广泛联系，揭示了现实世界众多的数量关系及运动规律。现实生活中，诸如最大获利、用料价造、最佳投资、最小成本、方案最优化问题，常可建立函数模型求解。

例3 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。

（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。

（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

解：（1）y=90－3（x－50）化简，得y=－3x＋240

（2）w=（x－40）（－3x＋240）

=－3x2＋360x－9600

（3）w=－3x2＋360x－9600

= －3（x－60）2＋1125

∵a=－3＜0 ∴抛物线开口向下

当x=60时，w有最大值，又x＜60，w随x的增大而增大，∴当x=55时，w的最大值为1125元，

∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润1125 元的最大利润

4.几何模型

诸如台风、航海、三角测量、边角余料加工、工程定位、拱桥计算、皮带传动、坡比计算，作物栽培等传统的应用问题，涉及一定圆形的性质，常需要建立相应的几何模型，转化为几何或三角函数问题求解。

例4 如图点P 表示广场上的一盏照明灯。

（1）请你在图中画出小敏在照明灯P 照射下的影子（用线段

表示）；

（2）若小丽到灯柱MO 的距离为

1.5米，小丽目测照明灯P 的仰角为

55°，她的目高QB 为1.6米，试求

照明灯P 到地面的距离；结果精确

到0.1米；参考数据：tan55 °≈

1.428，sin55°≈0.819，cos55°≈0.574。

解：（1）如图，线段AC 是小敏的影子。

（2）过点Q 作QE ⊥MO 于E ，过点P 作PF ⊥AB 于F ，交EQ 于点D ，则PF ⊥EQ 。在Rt △PDQ

中，∠PQD=55°，DQ=EQ －ED=4.5

－1.5=3（米）。

∵tan55°=

∴PD=3 tan55°≈4.3（米）

∵DF=QB=1.6米

∴PF=PD＋DF=4.3＋1.6=5.9（米）。

答：照明灯到地面的距离为5.9米。

5、统计模型

在当前的经济生活中，统计知识的应用越来越广泛。而数学建模思想的应用在统计学方面的研究得到很好的体现。如新课标明确提出：体会用样本估计总体的思想。统计与概率是数学在生活，生产中应用的重要方面。在教学中应注重所学内容与日常生活，自然等领域的联系。

例5 为了了解全市今年8万名初中毕业生的体育升学考试成绩状况（满分为30分，得分均是整数），从中随机抽取了部分学生的体育生学考试成绩制成下面频数分布直方图（尚不完整），已知第一小组的频率为0.12。回答下列问题：

（1）在这个问题中，总体是，样本容量为

。

（2）第四小组的频率为，请补全频数分布直方图。（3）被抽取的样本的中位数落在第小组内。

（4）若成绩在24分以上的为“优秀”，请估计今年全市初中毕业生的体育升学考试成绩为“优秀”的

人数。

解：（1）8万名初中毕业生的体育升学考试

成绩，12.060=500。（2）0.26，补图如图所示。

（3）三．

（4）由样本知优秀率为?+500

10130100％=28％（4）由样本知优秀率为?+500

10130100％=28％ ∴估计8万名初中毕业生的体育升学成绩优秀的人数为28％×80000=22400（人）。

二、建模的具体步骤

第一, 根据实际问题的特点进行数学抽象, 构造恰当的数学模型. 第二, 对所得到的数学模型,进行逻辑推理或数学演算, 求出所需的解答. 第三, 联系实际问题, 对所得到的解答进行深入讨论, 作出评价和解释, 返回到原来的实际问题中去,给出实际问题的答案

三、数学建模教学中学生的思维障碍及解决方法

由于数学应用题中往往有一些专门的名词术语,学生对这些名词术语感到陌生, 如利率、利润、保险费、折旧、纳税等等,

因而涉及到这些概念的实际问题就难以解决.同时, 数学模型方法是利用数学知识和数学方法解决实际问题的一种创造性劳动,涉及到各种心理活动, 许多学生不具备良好的心理品质,因而对解决实际问题缺乏信心.针对学生以上的建模障碍, 数学建模教学中要重视数学应用意识的培养, 重视“数学源于生活实际, 又应用于实际”的思想教育,重视培养和训练学生的各种数学能力, 如数学语言、阅读理解等. 具体的讲, 要抓好以下几个方面的教学:

1、培养学生解决实际问题的信心

学生自信心的培养是数学教育的一个基本目标,在平时的教学中, 应加强联系实际的教学,使学生从自身的生活中发现数学、创造数学、运用数学, 并在此过程中获得足够的信心. 并且在教学中注意联系身边的事物, 让学生体验数学,尝到成功的喜悦, 对激发学生的数学兴趣、培养学生的数学应用意识以及解决实际问题的自信心是非常重要的.

2、注意阅读理解能力的培养

“数学教学是数学语言的教学. ”作为数学教师要重视培养学生的阅读能力, 让学生认识到阅读的重要性, 注意教给学生科学有效的阅读方法, 使学生学会“数学地”阅读材料、理解材料, 充分体验到数学阅读的乐趣,从而提高阅读能力.

综上所述，在数学教学中构建学生建模意识与素质教学所需要的培养学生的创造性思维能力是相辅相成，密不可分的。要真

正培养学生的创新能力，光凭传授知识是远远不够的，重要的是在教学中必须坚持以学生为主体，不能脱离学生搞一些不切实际的建模教学，我们的一切教学活动必须以调动学生的主观能动性，培养学生的创新思维为出发点，引导学生自主活动，自学的学习过程中构建教学建模意识，只有这样才能使学正提高学生的创新能力，使学生学到有用的教学。生分析和解决得到找足的进步，也只有这样才能真正提高学生的创新能力，使学生学到有用的教学。